پاورپوینت تفکر فازی در مدیریت

تفکر فازی در مدیریت مهندسی سيستم روشهای هوش مصنوعی برای حل مسائل پيچيده الگوريتم ژنتيک استفاده از طبيعت شبکه های عصبی حل مسائل با بهترين گزينه ها تا رسيدن به پاسخ بهينه آموزش کامپيوتر ،روباتها و ..... نظريه فازی حل مسائل پيچيده غير خطی با اطالعات نادقيق ،که سيستمهای مديريتی پيشرفته با آنها مواجه است تعريف فازی : فازی (رياضيات نامعين) عبارتست از عمليات روی اطالعات نادقيق و تحليل نادقيق اطالعات  :تاريخچه منطق فازی اولين بار توسط پروفسور لطفی زاده استاد دانشگاه برکلی در مقاله ای تحت عنوان « مجموعه های فازی » در سال 1965به دنيا عرضه شد ،ليکن نزديک به پنج سال طول کشيد تا دانشمندان به کاربردهای آن دست يافتند و منطق فوق در سيستم های کنترلی مورد استفاده قرار گرفت. اين منطق سالها بعد و در اوائل دهه 90کاربردهای خويش را در عرصه های علوم ديگر همانند مديريت يافت و راهی تازه برای تحليل و مدلسازی مسائل در فضای عدم قطعيت پيش روی محققان قرار داد. انواع عدم قطعيت : )۱عدم قطعيت از نوع احتمالی )۲عدم قطعيت از نوع کالمی مفهوم مجموعه های فازی : هر مجموعه ای يک مجمFوعه جهانی دارد و منظور ما از مجموعه ای مانند Aاين است که کدام عنصر مجموعه جهانی عضو آن است و کدام عنصر نيست. } U = { a, b, c, d, eمجموعه جهانی } A = { b, d, eمجموعه A مثال : Uمجموعه جهانی کالسيک (دقيق) ‏a 100% € A ‏b 100% € A ‏a € A or ‏b € A or ‏or b 0% € A ‏b مجموعه A ‏a  :به شيوه ای ديگر نيز می توانيم همين موضوع را بگوييم که در فازی بکار می رود عضويت aدر Aصد در صد است. ‏ A (a) 1 عضويت bدر Aصفر در صد است. ‏ A (b) 0 Uمجموعه جهانی فازی ( نا دقيق ) ‏b مجموعه فازی مجموعه A ‏d ‏a ‏A ‏d ‏c ‏a در مجموعه فازی Aمرز مجموعه به طور دقيق مشخص نبوده و حالت ابهام دارد.  A (a) 1 ‏or ‏a100% A ‏ A (b) 0 ‏or ‏b100% A حال cعضو Aهست يا نه ؟ ‏ A (c) 0.25 ‏or ‏c0.25 A ‏ A (d) 0.55 ‏or ‏d0.55 A تفاوت اصلی مجمFوعه های فازی با مجموعه های کالسيک در همين است. در نمايش مجموعه های فازی همانگونه که ديده شد می توان از تابع عضويت استفاده کرد. در مجموعه های کالسيک ( دقيق : )crisp ، اگر xعضو Aاست اگر xعضو Aنيست 1 0 ‏ A(x)  عضويت عنصر xاز مجموعه جهانی در مجموعه A ‏ مثال : حالت کالسيک ‏U 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ‏A  2,4,5,8  در ادامه برای نمايش مجموعه ها از الگوی زير استفاده می نماييم : ‏ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 ‏A  , , , , , , , ,  ‏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 در مجموعه های فازی تعلق يا عدم تعلFق ٪۱۰۰نيست .در واقع در اين مجموعه ها ) A (x عددی است که هميشه بين صفر و يک قرار دارد. مثال U :را همانند قبل در نظر می گيريم : 0  A (x) 1 ‏ 0 0 0 0.2 0.5 0.8 1 0.8 0.6 ‏A  , , , , , , , , ‏ ‏1 2 3 4 5 6 7 8 9  در اين مثال عدد ۷را عدد بزرگ و اعداد ۸و ۹را خيلی بزرگ می دانيم و همچنين ۶و ۵و ۴هم به اندازه ۷بزرگ نيستند .در اينجا چون منظورمان عدد بزرگ است ،عضويت عدد ۷از همه بيشتر است. ‏ 0 0.1 0.8 1 0.8 0.2 0 0 0 ‏B  , , , , , , , ,  ‏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 به همين ترتيب ۴نسبتاً کوچک است۳ ،و ۲و ۱کوچک هستند ۵ ،متوسط است و مقادير باالتر يعنی ۶و ۷و ۸و ...در اينجا بزرگ هستند. مقايسه بين منطق فازی و ارسطويی فرض کنيم که پاسخ دهنده ای بر مبنای طيف پنج گزينه ای Likertبه يکی از سواالت پرسشنامه :بصورت زير پاسخ داده است 5) Very high  4) High 1) Very low  2) Low  3) Medium  .بر اساس تحليل های آماری گزينه چFهارم به عنوان پاسخ اين سوال در نظر گرفته می شود 0 1 0 0 0 رويکرد غير فازی 0.6 1 0.6 0.2 0 رويکرد فازی کاربرد اعداد فازی : اعداد فازی برای نشان دادن مقادير نادقيق Uncertainيا مبهم Obscureبکار می رود. مراحل فازی کردن اعداد نادقيق : -۱مقادير حداکثر و حداقل مجموعه جهانی را تعريف کنيد. مثال :دمای محيط ‏max: 500 ‏min:  400 , -۲مقادير کالمی بصورت جمالت اتمی را تعريف کنيد. مثال :سرد طاقت فرسا ،خيلی سرد ،سرد ،خنک ،مطلوب ،گرم ،داغ -۳فضای مجموعه جهانی (بين maxو )minرا به قسمت های مختلف (خطی و غيرخطی) تقسيم کنيد( .ترجيحاً به تعداد جمالت اتمی) مثال : ‏x   40, 25, 10,5,20,35,50 ‏x   40, 30, 10,0,10,30,50 غير خطی  - ۴با در نظر گرفتن توابع عضويت مناسب مقادير کالمی را بصورت مجموعه های فازی تعريف کنيد. مثال : 0.8 0.2 0 0 0 0  ‏ 1 ‏verycold:  , , , , , ,  ‏  40  25  10 5 20 35 50 0 0 0 0.8 1 0.8 ‏ 0 ‏warm : , , , , , , ‏ ‏  40  25  10 5 20 35 50 اخيرا ً سعی می شود با استفاده از فرمول های خاصی اين مقادير را بدست آورد .دو فرمول منحنی زنگوله ای و منحنی مثلثی معروف هستند. اگر اعداد خيلی بهم نزديک باشند می توان مجموعه توابع عضويت را به شکل منحنی نشان داد. فرمول زنگYوله ای : فرمول مثلثی : 1 ‏ A(x)  2 )1 d (x  c عدد تعيين کننده عددی که محوريت مورد نظر ما است عنصر مجموعه جهانی پهنای شکل ‏b ‏c x  2 ‏b 2 ‏c x  ‏if ‏ ‏if ‏0 ‏ A (x)  ‏1 2c  x ‏ ‏b چون رفتار انسان فازی تر است و گاهی گفتن جمFالت اتميک سخت است ،می توان با ترکيب جمالت اتمی و نوعی قيدها جمالت کامل تری (فازی تری) ساخت. مثال ( :چند مقدار کالمی) فرض کنيد Aمجموعه ای فازی است : 2 ‏  A x  ‏x 4 ‏  A x  ‏x 2 ‏veryA A  4 ‏veryveryA A  1.25 [ ‏ ( ‏x ]) ‏plusA  A1.25  A ‏x 0.75 [  ( x )] minusA  A0.75  A x 2 [ 1   ( x ) ] 2 A notveryA 1 A  x ًتقريبا بشدت Slightly  A   A (x) x  2[ A (x)]2   x Intensify A  2 1  2 [ 1   ( x )] A   x  0  A (x) 1 0.5 A (x) 1 مثال : نمايش فازی سن افراد جوان ميانسال ۴۰ نوجوان ۳۰ ۲۰ کودک بچه ۱۵ ۵ ۰ ساخت قوانين فازی ‏Fuzzy Rule ‏Base قوانين فازی به منظور مدلسازی وقايع استداللی بکار می رود .اين امر به ما کمک می کند تا در شرايطی که دارای اطالعات نامعين و نادقيق هستيم ،ساختار قواعدی را تشکيل دهيم که به عنوان مبنايی برای پيش بينی ،شناخت تاثيرات .همزمان و انجام عمليات بعدی مورد استفاده قرار گيرد : مثال If price of cpu is medium then level of computer in market is if .medium B A  0.6 1 0.2 A  , ,   2 3 4 then  0.4 1 0.8 0.3 B  , , ,   2 3 4 5 R = (A x B) U ((1- A) x y) R = (A x B)   )ماتريس نشان دهنده قانون فوق (روش زاده )ماتريس نشان دهنده قانون فوق (روش ممدانی 1 2 1 0 0 AB 2 0 0.4 3 0 0.4 4 0 0.2 3 4 5 6 0 0 0 0 0.6 0.6 0.3 0 1 0.8 0.3 0 0.2 0.2 0.2 0 1 1 1 1 1 1 y  , , , , ,  1 2 3 4 5 6 1 0.4 0 0.8 A 1 A  , , ,  1 2 3 4  6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 ‏A y 2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 3 0 0 0 0 0 0 4 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 3 0 0.4 1 0.8 0.3 0 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 با انجام مراحل فوق در حFقيقت يک قانون ساخته شده است 4 ‏R با ترکيب چند قانون ،قانون نهايي بدست می آيد. ‏B ‏R1 `B ‏R2 ‏n ‏R ‏n قانون نهايي ‏R U Ri ‏i 1 ‏then ‏then ‏A `A ‏If ‏If در قانون نهايی ، Rهر عنصر براFبر است با ماکزيمم عناصر متناظر R1و R2و . Rn . . . پس اFز يافتن قانون نهايي Rکه در واقع خالصه شده تجربيات if A then Bها در يک ماتريس است، سوال اين است که اگر شراFيط مث ً ال `Aباشد ،با توجه به تجربه Rانتظار داريم نتيجه چه باشد؟ و يا برعکس اگر مث ً ال نتيجه `Bاست ،انتظار داريم مقدار اوليه چه مقدار کالمی يا فازی باشد؟ مثال : فرض کنيد در يک موسسه قانون مربوط به رابطه پاداFش با بهره وری به شکل زير باشد : ‏B ‏then Productivity is اين قانون در ماتريس Rبه شکل زير جمع بندی شده است. ‏A ‏If Remuneration is 6 اين ماتريس در اصل قانون مدلسازی شده رابطه پاداش با .بهره وری است 5 4 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 3 0 0.4 1 0.8 0.3 0 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.5 0.5 0.6 0.6 0.5 0.5 4 ‏A 0.5 1 0.3 0 ‏B =R فرض کنيد سطح پاداش در سازمان در حال حاضر `Aباشد. ‏A` = almost law Remuneration in organization 0.5 1 0.3 0 ‏ ‏A  , , ,  ‏ 1 2 3 4 :حال می خFواهيم مقدار بهره وری را با توجه به قانون بدست آمده محاسبه نماييم  0.5 0.5 0.6 0.6 0.5 0.5 ‏B  A 0. R  , , , , , ‏ ‏ 1 2 3 4 5 6 مقدار بدست آمده ميزان بهره وری در سازمان را با در نظر گرفتن قانون Rنشان می دهد. فرمول کلی برای B = A 0 R ‏ ) B ( y) max min  A (x), b ( y ‏x X می باشد که به فرمول maxminمعروف است.  UA1 2 3 4 ; دستورهای matlab A مجموعه جهانی  UB1 2 3 4 5 6 ; Bمجموعه جهانی % If A ThenB R  MUA 0 0.6 1 0.2 ;  MUB 0.8 1 0.4 0.2 0 0 ;  R relation ( MUA,MUB); يا با تابع می نويسيم يا دستی  MUA fuzzifys (UA,2); يا  MUB fuzzifys (UB,2);  R relation ( MUA,MUB); . قانون ما باشدR فرض کنيد همين  R  MUAprime[ 0.4 0.3 0.2 0.1];  MUBprime ruleresp ( R,MUAprime ); R تن قانون نهايیF برای ساخ، را از قبل ساخته باشيمR3 وR2 وR1 اگر قوانينی مانند: نکته : بصورت زير استفاده می کنيمrulebase از دستور  Rrulebase ( R1,R2,R3); Fuzzy to crisp conversion گاهی الزم است يک عدد يا مقدار فازی دوباره غيرفازی شود .برای اينکار نيز روشهای مختلف وجود دارد : ‏Max - membership )1 اگر *Zعدد غير فازی مربوط به مقدار فازی Zباشد. * * ‏ A( z )  ( z )  z crispvalue ‏ 0.4 0.5 0.8 0.5 * ‏A  , , , ‏ ‏A ‏3 ‏ ‏ 1 2 3 4 Center of gravity )2 )(روش مرسوم  A( x )x     A( x ) * Z  0.4 0.5 0.8 0.5 A  , , ,   1 2 3 4 :مثال 10.4 20.5 3 0.8 40.5 Z  2.63 0.4 0.5 0.8 0.5 *  UA1 2 3 4 ;  MUA 0.4 0.5 0.8 0.5 ;  Z defuzzyg (UA,MUA);  Z  2.63 matlab در دستور Likelihood and truth Qualification کيفی کردن بدست آورد که می تواند الگوييF استفاده کرده و کلمات ترکيبی راLike زاده از کلمه اتمی .برای ساختن کلمات ترکيبی از کلمه های اتمی مختلف باشد .…,Likely-very likely-high likely-un likely : مثال زاده U={0,0.1,…..,1} Normalize  0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 1 1 1 Likely , , , , , , ,  0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1  0  1 1 1 0.8 0.7 unlikely1 Likely , , , , ,........  1  0 0.1 0.2 0.3 0.4 Very Very likely = (Likely)4 Highly likely = (Very very likely) 0.75  Yesرا مFعادFلمFیگFFيريFم Yes = very very likely Noرا مFعادFلمFیگFFيريFم No = very very un likely ‏Maybe = Likely ‏Fuzzy Arithmetic حسابان فازی بطور کلی اگر yتابعی از xباشد بصورت زير نشان می دهيم : )Y = f (x ‏y در واقع تابع fيک رابطه ويژه را تعريف می کند. ‏f:x کاربردهای فازی : دو روش زير برای درست کردن قانون از مجموعه if-thenها پيشنهاد می شود. فرض کنيد در سيستمی برای توليد سيگنال کنترل کننده يک فرايند اFز خطا و نرخ تغييرات آن استفاده مي‌کنيم ‏Feed forward نتيجه سيگنال کنترل ‏U فرآيند سنجش نتيجه ‏Feed ‏back برنامه ريز کنترل کننده تصميم گيرنده ‏e ´e مقايسه هدف _ 1 2 3 4 5 : مثال 6  NB NM NS PS PM PB مجموعه خطاهاue   2  1  0.5 0.5 1 2   1 2 3 4 5 6  NB NM NS PS PM PB  مجموعه مشتق خطاهاude    0.75  0.5  0.25 0.25 0.5 0.75   1 سيگنال کنترل کننده فرايند 2 3  NB NM NS ue  2.5  2  1  4 ZE 0 5 PS 1 6 PM 2 7  2.5  PB تخصيص مقدار اوليه صفر به قانون نهايی: انونFF قUr = Zeros (6, 6, 7) یFهايFFن جدول قوانين NB d e e 1 2 3 4 5 6 NB NM NS PS PM PB 1 PB PB PM PM PS ZE PM PM PS ZE NS NM NM 2 NS 3 PS 4 PM 5 PB 6 جدولی را که نوشتيم بصورت tableدر يک برنامه يا تابع Matlabوارد می کنيم و با استفاده از آن قوانين Rو نهايتا” URرا می سازيم . ‏Table = [7 7 6 6 5 4 ; به اين شکل جدول را وارد می کنيم. 7 6 6 5 4 3 6 6 5 4 3 2 4 3 ][nr, nc ;]1= size )1 (table 2 2 ; ; تعداد ستون تعداد سطر ‏For i=1: nr ‏For j=1: nc ..… if e NB and de NB then U PB % ;Mue = fuzzify (ue, ue (i)) ;Mude = fuzzify (ude, ude (j)) ;Muu = fuzzify (uu, uu (table (ij))) ;R = relation (mue, mude, muu) UR = rulebase (ur ,r) End End تYسYیY هاي اYYانونYق ن UR اگر نخواهيم تمام جدول را با قوانين مختلف پر کنيم (فقط قوانين کليدی را وارد جدول کنيم) می توانيم از يک جدول سه ستونی مانند مثال زير استفاده کنيم : :مثال فرض کنيم به جای اينکه تمام جدول پر باشد ،چند قانون کليدی را به شکل زير وارد جدول کرده باشيم : جدول قوانين NB d e e 1 2 3 4 5 6 NB NM NS PS PM PB 1 PB NM 2 NS 3 PS 4 PM 5 PB 6 PM NS ZE NS NM Ur = zeros (6 , 6 , 7) ; Table = [1 1 ; 6 4 1 ; 6 3 2 ; 5 4 2 ; 3 5 3 ; 2 6 3 ; 5 1 5 ; 2 5 5 ; 4 1 6 ; 3 2 6 ; ] 1 5 6 7 [nr, nc] = size (table); For i = 1: nr mue = fuzzify (ue, ue (table (i,1))); mude = fuzzify (ude, ude (table (i,2))); muu = fuzzify (uu, uu (table (i,3))); R = relation (mue, mude , muu( ; UR = rulebase (ur, r); end تYسYیY هاي اYYانونYق ن UR کاربرد های فازی در مديريت منطق فازی امروزه کاربرد های فراوانی در سازمان ها دارد .برای مثال در برنامه ريزی استراتژيک ،نظام های تصميم گيری ،کنترل و مديريت پروژه ها ،طبقه بندی مسايل سازمانی ،برنامه ريزی صنعتی ،کنترل کيفيت محصوالت ،شبيه سازی ،طراحی نظام های آموزشی و بسياری کاربرد های ديگر می توان اشاره نمود .در ادامه به بخشی .از اين موارد اشاره می شود کاربرد فازی درتصميم گيری : در تصميم گيری های کالسيک وقتی که مقدار بدست آمده برای هر آلترناتيو از آلترناتيو ديگر بيشتر می‌شود ،در اولويت باالتری قرار می گيرد ( . )MADMولی در عمل ،اوالً اعداFد نادقيق هستند ،ثانياً مسأله اFنتقال اولويت بندی هميشه صادق نيست و اين مشکالت ما را برای استفاده از فازی ترغيب می کند. از نظر عددی ‏A>C مثال : ‏A>B ‏B>C ‏C =2 , ‏A=4 , B=3 آFبFی= A ‏A>C ‏A>B سFFبز = B ‏B>C قFFرمز = C در ترجيح اعداد فازی خوشبختانه روش عملی برای استفاده از تابع عضويت وجود دارد .اگر ‌B و Aدو عدد فازی باشند ،خواهيم داشت : }})T (A ≥ B) = sup {min { μA (x), μB (y ‏x≥y صحت اينکه .A ≥ Bاست )T (A ≥ A1 , A2 , … , An) = T (A ≥A1) and T (A ≥ A2) and T (A ≥ A3 … and مثال : ‏ 0.7 1 ‏A2  ,  ‏ 4 6 , ‏ 1 0.3 ‏A1  , ‏ ‏3 7  ‏ 0.3 1 0.5 , , ‏ ‏ 2 4 8  ‏A3  ‏sup ‏ min  A1( x1 ), A2 ( x2 )  ‏T( A1  A2 ) max ‏x1x2 . بزرگتر است۴ از۷ . بزرگتر است۶ از۷ = max { min (0.8 , 0.7), min (0.8 , 1)} = max {0.7 , 0.8) = 0.8 sup T( A2  A1 ) max min  A1 ( x1 ), A2 ( x2 )  x2 x1 . بزرگتر است۳ از۴ . بزرگتر است۳ از۶ = max { min (0.7 , 1), min (1 , 1)} = max {0.7 , 1) = 1 * MCDM جدول نمونه برای نمايش کاربرد فازی در Criteria C1 C2 C3 C4 High Very low Medium Not very high Alternatives A1 medium small very large very small A2 not very large medium more or less large small A3 minus large not very small medium minus medium A4 plus medium small large plus small * تصميم گيری چند معياره Fuzzy Dynamic MADM Detail کاربرد فازی در برنامه ريزی استراتژيک ‏Endangered 10 ‏Defenseless )A (x , y ‏B2 6 )B(x0, y0 5 ‏B1 ‏Vulnerable ‏Prepared 7 ‏high 5 ‏Ability to ‏react ‏high ‏Impac ‏t ‏low 1 ‏low شناخت آسيب پذيری های سازمان و تعامل ميان فرصت ها و تهديدات با نقاط قوت و ضعف سازمان يکی از مهمترين ارکان مديريت استراتژيک است .در روش های معمول برای تحليل اين امر از منطق هندسی .و اطالعات دقيق استفاده ميشد که اين امر در عمل دارای اشکاالت متعددی است برای استفاده از اطالعات نادقيق از اطالعات کالمی استفاده نموده و منطق تحليل هندسی را به منطق فازی .تبديل می کنيم .شکل زير درحقيقت بيانگر مقدار فازی متغيرها می باشد در انتها با استفاده از قوانين تعريف شده وضعيت سازمان و فرصت ها و تهديدات بالفعل را .می توان در نمودار زير نشان داد ‏s ‏Detail کاربرد فازی در تحليل اطالعات کيفی .تحلFيل اطالعات کيفی در سازمان يکی از مهمترين دغدغه های مديران و محققان است ارزيابی رضايت شغلی ،فرهنگ سازمانی ،رضايت مشتری ،کيفيت زندگی کاری و بسياری ديگر از مولفه های سازمانی ضمن برخFورداری از اهميت بسيار زياد بدليل ماهيت اطالعات آن امری بسيار سخت به نظر می رسد .برای کمی نمFودن اطالعات مربوط به متغير های استراتژيک فوق روش های متعددی در آمار پيشنهاد گرديده است .ليکن روش های ارايه شده به لحاظ ضعف های فراوان هنوز چندان مورد اعتماد نمFی باشد .با استفاده از منطق فازی می توان بسياری از نارسايی های موجود را کاهش داده و نتايج تحليلی مفيد تری .را بدست آورد ستF برای مثال فرض کنيم پرسشنامه ای در سه سازمان توزيع و نتايج ذيل بدست آمده ا: Options 1)Very low 2)low 3)medium 4)high 5)Very high Frequencies Organization A 10 20 40 20 10 Organization B 50 30 20 0 0 Organization C 10 20 40 30 0 FREQUENCIES OF DATA FOR DIFFERENT ORGANIZATIONS با استفاده از منطق فازی و قوانين ايجاد شده می توان نتايج تحليلی پرسشنامه برای سه سازمان را بصورت نمودار های زير نشان داد. Organization C Organization B 1 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.4 VL L M H VH SA 0.3 0.2 0.1 0 1 1.5 2 2.5 3 Uni verse Membership 1 Membership Membership Organization A 0.5 0.4 VL L M H VH SC 0.3 0.2 0.1 3.5 SA  M 4 4.5 5 0 1 1.5 2 2.5 3 Uni verse 0.5 0.4 VL L M H VH SB 0.3 0.2 0.1 3.5 SB  VL 4 4.5 5 0 1 1.5 2 2.5 3 Uni verse 3.5 SC  H 4 4.5 5 کاربرد فازی در شبيه سازی ‏Simulation يک سيستم ساده : يک ماشين داريم ،يک سری قطعه کارهايي می آيند : ماشين قطعه کارها زمان سرويس فاصله زمانی رسيدن دو قطعه کار متوالی )(Service Time ‏ST (Arrival Time) AT اگر متوسط فاصله زمانی ) E(ATباشد ،زمان واقعی رسيدن قطعه کار بعدی يک عدد تصادفی با توزيع نمايي با ميانگين ) E(ATمی باشد. x 1 )E( AT ‏ 1 ‏e f ( x ) چگالی ) E( AT زمان سرويس هر قطعه کار در ماشين هم يک عدد تصادفی با ) E(STاست که معموالً توزيع آن نمايی (يا نرمال) است. باز هم زمان واقعی سرويس يک عدد تصادفي با توزيع نمايی ( نرمال) با ميانگين )E(ST خواهد بود .فرض می کنيم که ما نسبت به کار ماشين خوش بين يا بدبين هستيم. )U = (1, 2, 3, 4, 5 ‏ 1 0.8 0.4 0.1 0 , , ,  =  ,زود زمان سرويسY ‏ 1 2 3 4 5  0 0.1 0.3 0.8 1 , , ,  =  ,دير 1 2 3 4 5 ‏ ) = Fuzzify (u,1زود ) = Fuzzify (u,5دFير توزيع β بدبين واقع بين خوش بين 5 جای bبه βتبديل می شود. زود يا ديرمان به قانون زمان انتظار( )WT 1 0 ‏If AT is A and ST is B Then WT is C کاربرد فازی در کنترل پروژه ‏Probability در کنترل پروژه ها برای هر پروژه شبکه ای که نشاندهندة روابط بين فعاليت های مختلف است رسم می شود .برای هر فعاليت زمانی به نام زمان اجرا را در نظر می گيريم. در روش PERTبرای هر فعاليت 3زمان در نظر می گيريم : خوش بينانه = DO واقع بينانه = DM = OP بدبينانه 2 ‏ Dp Do ‏SD   ‏ ‏ 3.2  ‏Do 4Dm Dp 6 ‏D F مثال : ‏I ‏D ‏PS ‏S ‏P عالوه بر زمان های اجرا می توان زمان تأخير را نيز براFی هر فعاليت درنظر گرفت. در اين مثال زمان اجرا غير فازی در نظر گرفته شده و بحث فازی به زمان های تأخير معطوف شده است .برای هر فعاليت يک زمان تأخير فازی (خوش بينانه ،بدبينانه و واقع بينانه) در نظر گرفته و برای هر زمان يک احتمال در نظر می گيريم. مثال : برای فعاليت مطالعه اوليه يا : PS باور احتمال ‏probability ‏delay ‏ 0.8 0.6 , ‏ ‏ ‏ 0.3 0.4 ‏ 0.8 0.7 , ‏ ‏ 0 2  ‏ احتمال اعداد احتمالی نشاندهندة باور ما نسبت به هر احتمال است ‏ 0.5 0.7 , ‏ ‏ 0 . 3 0 . 4 ‏ ‏ ‏ 0.8 0.9 , ‏ ‏ ‏ 4 6  ‏ 0.9 0.7 , ‏ ‏ 0 . 2 0 . 3 ‏ ‏ ‏ 0.7 0.6 , ‏ ‏ 6 8 ‏ ‏ ‏O ‏M ‏P ‏PS روش اول :در رابطه delayبه جای اFعداد Crispاز اعداد فازی داخل جدول استفاده می کنيم. روش دوم :اول برای هر فعاليت يک ماتريس احتماالت از ترکيب احتماالت مختلف در نظر می گيريم. مثال : 0.6 0.4 0.7 ‏ 0.4 0.9 0.2 0.6 0.4 0.5 0.3 0.7 0.3 ‏ 0.8 ‏ 0.3 ‏ 0.7 ‏ ‏ 0.4 ‏ 0.7 ‏ 0.3 )P(1 ماتريس اFحتماالت فعاليت اول =Deley1 = O × P11 + M × P21 + P × P31 =Deley2 = O × P12 + M × P22 + P × P32 =Deley3 = O × P13 + M × P23 + P × P33 ‏delay 1  delay 2  delay 3 3 ‏delay روش اول هم راحت تر است و هم جواب بدست آمده از اين روش دارای اعتبار کافی و الزم می‌باشد .در مقاله سه روش را به کار گرفته ايم .روش صفر کالسيک است .يعنی اول اعداد فازی را Defuzzyکرده و سپس delayرا حساب کرديم .در روش اول با همان شکلی که در باال توضيح داده شد delayرا بدست آورديم ( از ضرب ساده دو عدد فازی و ( . )Probabilityدر روش دوم به شکلی که در باال توضيح داده شد delay ،را بدست آورديم .حال اين مقايسه را انجام می دهيم.