جزوه مکانیک سیالات -جلسه 4 (Hydrostatics-2)

صفحه 1:
Hydrostatics (2) 

صفحه 2:
نیروی هیدرواستاتیک وارد بر سطوح مسطح غوطه ور در سیال غیر قابل تراکم ساکن: (Static incompressible submerged fluid) بدلیل عدم وجود تدش برشی. ‎ee‏ ‏نیروی ورد بر سطوح غوطه ور عمود بر آن می باشد. برآیند نیروی فشار ناشی از فشار یکنواخت. ‎Lect gly Pain)‏ J Pan = ‏«ماهي‎ = Pag. ۳ واقع بر سطح چسم برای بدست آوردن فشار هیدرواستاتیک سیال, نوار 0 را به شکلی انتخاب می کنیم كه 0 5 قاط آن عمق یکسانی داشته باشند. این حالت فشار وارد بر تمامنقاط یکنواخت و برابر 1 می باشد. جزه نیروی وا بر 10 

صفحه 3:
بنابر اين كل نيروى وارد بر سطح 24 ماس [0 متعم - 01044 ] - لف ]حرا ممان استاتیک سطح حول محور ماع = F,=ysin0).A=jhA=P.A ly ۳3 WA ‏نمای‎ بنابراین می توائیم فرض کنیم فشار یکنواختی برابر م/ (فشار در مرکز سطح) به تمام صفحه اثر می کند. محل اثر نيروى برآيتد جر/ (/ل)» لنكر توزيع فشار نسبت به محور ۸ ها را در نظر می گیریم: ‎ae‏ ‎ao‏ ‎Fry’ J,Gavdaxy‏ ‎ey‏ وا ‎Mh,‏ برای بدست آور 

صفحه 4:
sh Ay'= J yysin Odd ysin @,Ay'= ysin of y°da ysin 6y,Ay'= ysin @,, => که در آن ,رو ممان دوم سطح حول محور 2 ها است. اگر به جای بل عبارت تم /[4 ی را قرار دهیم که عِ ممان دوم سطح حول محور م عبوری از مرکز سطح یه موازات محور ‏ ها می باشد: Ay? +1. y+ Ay, “Ay, نقطهاثر نیرویبرآیند ورد بر سطح غوطه ور مرکز فشار ‎Center of pressure)‏ نامیده می شود. مرکز فشار همواره زیر مرکز سطح قرار می گیرد: 

صفحه 5:
برای محاسیه . قاصله مرکز فشار از محور لل ها. لنكر نيروى برآيند جر و لنگر توزيع در نظر مى كيريم: فشار نسبت به محور لز ها را ‎oF‏ علش ری > جزه سح مار باه ‎F=f, (psin@ydcx ۳۳(‏ om, (ysin @,A)x'= ysin Of xydd = كه ‎Ay glo‏ حاصل ضرب اینرسی ‎gee ca eas (Product of inertiay‏ اگر به جای ‎alee Lay ey‏ دوم عبوری از مرکز سطح را قرار دهيم: Ix, #4 Ay, 3 رز رهای ۲ ول است. به ترتیب موازی و عمود بر خط اثر صفحه و سطح آزاد می باشند. از آنجایی که ری می توائد مثبت یا منفی باشد. مركز فشار در هر دو طرف خط م۷ ممکن است قرر بگیرد. چنانچه یکی از محورهای و7 بمخورتقارن سطح باشد, ‎My‏ صفر شده و مرکز فشار بر روی خط م۳ قرار می گیرد 

صفحه 6:
Centroids and moments of ertia of plane surfaces 5 L Ie عاد چا 1 4 اليم | موه ‎[rosin‏ *— 

صفحه 7:
(Pressure prism): ,li3 jgcr0 ‏روش دیگر حل مسئله نیروی وارد بر سطوح مسطح غوطه ور تعیین نیروی برآیند و محل اثر آن استفاده از منشور‎ ‏فشار می باشد. این متشور حجم منشوری شکلی است که قاعده اش سطح صاف اعمال فشار بوده و ارتفاعش با‎ ‏رابطه ۰ 2۸ بدست می آید ( قاصله عمودی تا سطح آزاد واقعی يا فرضی مایع می باشد.‎ جزء نیروی وارد بر 4۸ ‎dF = yhdA = dV‏ که یک عنصر حجم از منشور فشار می باشد. بنایراین کل نیروی وارده (برآیند فشار اعمال شده به سطح) برایر است با حجم متشور فشار: ‎F=[av=v‏ ‏0 نيروى ”7 از مركز حجم منشور فشار مى كذرد: 

صفحه 8:
در بعضی شکلهای ساده روش منشور قشاربسیار منسيتر از روش انتگرال گیری می باشد.مثلا در سطح مستطیل شکلی که ضلع فوقنی آن منطبق بر سطح ‎il‏ میع است. منشور فشار سه گوش (گوه ای شکل) است: با استفاده از روابط قبل: لل - («م ۳-۲۸-۷ با استفاده از روش منشور فشار: 0 0 ‎=e‏ روا يرم رار وير - عم (مرکز حجم در 1/3 قاعده قرار دارد» 

صفحه 9:
ارتفاع معادل سیال: ‎(Equivalent height)‏ تاثير فشار يكنواخت وارد بر سلح سیال را می توان با ازایش فرضی ارتفاع سیال جایگزین نمود. بدین منظور کافیست ارتفاع معادل به گوته ای انتخاب شود که فشار یکسانی در سطح سیال اعمال گردد: 2 __ Ld yh, +hy استفاده از روش ارتفاع معادل گاهی راه حل ساده تری در تعیین مقدار و محل اثر نیروی وارده از طرف سیال ارائه ‎a‏ 

صفحه 10:
واضح است که توزیع فشار صرفا در پایین تر از تراز سیال می تواند بدین روش تعیین شود و استفاده از این روش در بالاتر از تراز سیال اشتیاه می باشد: اسلا توزیع فشار در بالاتر از راز آب غلط است. فشار صحیح 

صفحه 11:
نیروی هیدرواستاتیک وارد بر سطوح منحنی غوطه ور ] force on curved submerged surfaces) که در آن ۸4 همراستا با (طبق بوسته- صرفنظر از تقمر يا تحدب آن) اسسته | < ره یا ضرب داخلی طرفین در بردار 7 5 ‎=-pdai‏ 487 ‎dF. =—pdA,‏ که در آن ‎dA,‏ تصوير المان 0/4 بر روی سطح 2 می باث با انتگرال گیری بر روی صفحه 1/2 (یا هر صفحه دیگر عمود بر محور ‎sla X‏ 

صفحه 12:
F, = J-pda, بدين ترتیب دو موفه نیروی برآیند را می تون با روشهای مربوط به سطوح مسطح غوطه ور بدست أورد. اين مولفه ها پا سطح آزاد موازی هستند (مقدار و محل اثر نيروهاى افقى وارده ير سطح مورب با مقدار و محل اثر نيروهاى وارد ير ‎(2S papal ayes yeaa lan‏ نيروهاى افقى و قائم ناشى از فشار جو وارد بر سطوح منحنی شکل نیز بسادگی به همین روش تعيين مى گردند (رر۳۳) و تنها کافیست تصویر سطح منحنى شكل بر روى صفحات <ل. 12 يا /20 در نظر كرفته شود: "= [= Pum, =—Pam Ay Pan, i ۳۴ Pam lA. =~ Pag As 

صفحه 13:
برای تعیین مولفه عمود بر سطح أزاد. رم ٩ ‏تلهم‎ باه عفر 1 5 7 ts , ; ۳ ‎ol p‏ 6/241 وزن المان كوجكى از 1 سيال است كه داخل ستون سيال از روی المان تا سطح آزاد ادامه دارد. رابطه فوق در سيال تراکم پذیر نیز صادق ‏ سطح منحتی بدست می آید. از اتگرال گیری ,4 بر روى تمام سطح. / برابر وزن كل سيال” علامت منفى نشان مى دهد كه به يك سطح منحنى كه تصوير 4/1 أن مثبت است (بخش فوقانى يك جسم) نيرويى در جهت خلاف محور 2 (به طرف پایین) وارد می شود. با فرض 7 با اعده و اتاع ‏ اه امجرقية ا نت ‎4p ei) 0A, nets‏ بل معان لوطه ور هو 4۷-۷ 1 ‎~2')dA, =‏ و ‎ ‎=-rf‏ 4( 2 - و2) 

صفحه 14:
خط اثر مولفه قائم. با مساوی قرار دادن گشتاور مولفه های قائم جزئی (متتاظر با ر0۸4) حول محورهای ۲ و 2 بدست ‎sal‏ ‎lee‏ (لنكركيرى ‎fxd ye Se‏ (لنگرگیری حول محور 2) ۷ - ينابراين خط اثر نيروى قائم از مركز حجم سيال روى سطح منحنی تا سطح أزاد فرضى يا واقعی عبور می کند. در ساختن یک سطح آزاد ذهنی, مایع فرضی باید از همان وزن مخصوص مايع در تماس با سطح منحنى برخوردار ياشد تا توزیع فشار روى سطح صحيح باشد. خط اثر سه مولفه نيروهاى افقى و نيروى قائم لزوما در يك نقطه تلاقى نمى كنند. به عبارث ديكر برآيند نيروهاى واردهلزوما نیروی منفردی نیست. در مسائل عملی می توان از مولفه های قائم و موازى با سطح آزاد استفاده كرد. نتایج اين بخش محدود به سیالات غیر قابل تراکم نبوده و در هر سیالی معتبر است. در سیال تراکم پذیره خط اثر نیروی قائم از مرکز تقل (یا مرکز جرم با فرض شتاب ثقل ثابت) سیال بالای سطح منحتی می گذرد. 

صفحه 15:
(Buoyant force) :.5 92 595 نيروى بر أيند اعمال شده پر یک چسم توسط سیال ایستا که چسم در آن فوطه ور یا روی آن شتاورمی باشد.نیروی شناوری نامیده می شود. از آنجایی که تصویرقائم چسم غوطه ور یا ناحیه غوطه ور جسم شناور در مایع همواره صفر است. نیروی شناوری همواره به سمت بالا بوده و مولفه افقی ندارد. رین هوزج روهظ ‎nase LOS SURE A Seat We SS ta‏ ابه شرايط جسم كاملا غوطه ور يا شناور مى توان روابط ساده ترى ارا دو حالت زير در نظر گرفته می شوند ‎-١‏ چسم یه طور کامل در سیال غوطه ور است. ۲- چسم در سطح مشترک دو سیال غیر محلول قرار درد 

صفحه 16:
جسم كاملا غوطه ور آب را به دو بخش فوقانى ۸018 و تحتانی ۸1 تقسيم مى كنيم: اگر ستون قائمی با سطح مقطع 1ك را در نظر بكيريم. نيروى بر بالای آن م۳6 (وزن ستونی از سیال به سطح مقطع 0/4 و ارتفاع روی المان تا سطح آزاد) می باشد. فشار ۳ پایین ستون با فشار ستونی فرضی از سیال که از کف المان تا سطح آزاد ادامه مى يابد برابر است. بناير اختلاف بین نیروی فوقانی 2۵۸ و نیروی تحتانی بط برابر است با وزن ستون سیال ‎GH‏ که مقطع أن با ستون داخل جسم برابر است. با در نظر كرفتن تمام ستونهای داخل جسم غوطه وره ثیروی خالص بالابرنده جسم برابر است با وزن سيال جابجا شده (اصل ارشميدس. 06106181 816111976065). در اصل ارشمیدس محدودیتی برای تراکم پذیری وجود ندارد 

صفحه 17:
به طریق مشابه در اجسام شناور نیز نیروی بالابرنده برابر با وزن سیال جابجا ش نیروی وارد بر ۶0 مرکز شناوری: ‎(Center of buoyancy)‏ مرکز شناوری نفطه ای از فضا است که نیروی شناوری در أن اثر مى كند. در شكل اسلايد قيل: ما( - رل - رت که در سيال تراكم يذير و تراكم نابذير صحيح است. اگر سیال تراكم نابذير را در نظر بكيريم: ‎dF, =((Dy -(D-h)y|dA, = yhdA,‏ 

صفحه 18:
با انتگرال گیری بر روی کل جسم: 17 - یا که ۲ حجم جسم غوطه ور است (اين رابطه اثبات اصل ارشمیدس در سیال تراکم نا پذیر است). با لنگرگیری حول محور از هاز 0 دز رد 1 ‎WwW =rfxdv fra‏ 2 تست ‎i‏ به طريق مشابه با لنك ركيرى حول محور ها بنابراين نيروى شناورى وارده بر جسم واقع در سيال غير قابل تراكم از مركز حجم حجم جا بجا شده توسط جسم مى در سيالات تراكم يذير بايد مركز ثقل سيال جابجا شده (يا مركز جرم با ثابثت فرض كردن شتاب ثقل در محدوده ارتفاع جسم غوطه ور) در نظر گرفته شود. 

صفحه 19:
در حالتی که چسم در مرز بین دو سیال محلول قرار داشته باشد (مثلا جسم شتاور در آب با در نظر گرفتن هوای روی آب): 8 ستون 2 از سيال 8 با انتكرال كيرى بر روى كل جسم نيروى شتاورى برابر وزن دو سيال جابجا شده خواهد بود. در صورتى كه وزن مخصوص دو سيال متفاوت باشد مركز شتاورى لزوما از مركز حجم سيال جابجا شده عبور نمى ‎PAS‏ ‏ر هوا صرفنظر کرده و مرکز شتاوری را با توجه به وزن مخصوص ناچیز هواء در مباحث کشتیرانی می توان منطبق بر مرکز حجم سیال جابجا شده در نظر گرفت. 

صفحه 20:
(Hydrometer) : 209.2 ابزاری است که با استفاده از قانون شناوری برای تعیین وزن مخصوص سیالات بکار می رود. از آنجایی که نیروی شناوری تابعی از وزن مخصوص سیال است و با توجه به ثایت بودن وزن هیدرومتر, میزان فروروی هیدرومتر در سیال تایعی از وزن مخصوص سیال می باشد. بنابراین با مدرج کردن راستای قائم می توان ورن مخصوص سیال را بدست ‎Pops]‏ ور ry Graduated Zero graduation |_| Sie Ak= f(y,) of specific, gravity Ah 1 Lead weight 

صفحه 21:
پایداری اجسام ناور و غوطه ور: (11۲00۳6461) جسمى داراى بايدارى خطى است كه هر كاه تغيير مكان كوجك خطى به آن اعمال شود. نيروى بازكردائده لى در آن ايجاد شود كه تمايل به بازكرداندن جسم به موفعيت اوليه اش داشته باشد. مثلا يك جسم شناور در مايع ايستا پایداری قائم دارد. يك جسم ممكن است بطور بايدار.نابايدار و يا خنثى در سيال شناور باشد: 0 (Unstable) Jubb مركز ثقل بالاتر از مركز شناورى قرار دارد. Center of buoyancy Weight 3 © (Stable) joel (Neutral) 225 ‏مرکز تقل و مرکز شناوری مرکز ثقل پایینتر از‎ بر هم منطبق هستند. مرکز شناوری قرار داد 

صفحه 22:
حرکت در جهت خلاف عقربه های ساعت گشتاور برگرداننده ای در جهت عقربه های ساعت ایجاد می کند. شرط يايين بودن مركز ثقل جسم نسبت به مركز شتاورى براى بايدار بودن اجسام غوطه ور كافيست (مثلا بالون ‎lo‏ اما براى بايدارى اجسام شتاور در مرز مشترك سيالات ضرورى ني همانكونه كه در شكل زير ملاحظه مى شود با وجود بالاتر بودن مركز ثقل نسبت به مركز شتاورى بدليل اينكه در اثر چرخش جسم مرکز شناوری تغییر مکان می دهد. گشتاور یجاد شده باز دارنده بوده و جسم را به وضعيت اوليه بر می گرداند. مقاطع مستطیلی عریض اشکال بسيار بايدارى هستند زيرا در ثر غلطیدن مقدارزیادی سیال جابجا شده و باعث ور برگردننده نسبت بزرگی می شود که مرکز شناوری تغییر مکان زیادی به سمت قسمت کج شده بدهد و گشتا ایجاد شود. W Ww 

صفحه 23:
مطابق شکل دوران کوچک ‎AO‏ را حول محور تفارن از ها در نظر می گیریم. مرکز شناوری از 2 به ' 8 منتقل می ی حجم جایجا شده سمت چپ نیروی باابرنده 41۳ و بدلیل کاهش حجم آب جابجا شده راست نیروی رو بهپایین 4 ایجاد می شود. لنكر حاصل از اين زوج نيرو'© می باشد. 

صفحه 24:
نیروی .ور (وارد بر مرکز شناوری جدید) حاصل جمع تاثیر پر و ) می باشد: in Ad ‏نیروی شتاوری و نیروی‎ CMB < ©2( ‏اكر نقطه 16/ که به شکل فوق تعیین می شود در بالاى نقطه © قرار كيرد‎ ‏كشتاور بازدارنده ای ایجاد می کنند و به عبارت دیگر کشتی پایدار است. ضمنا هر چه ۸6 بزرگتر باشد.‎ ‏ور ایجاد شده بزرگتر بوده و کشتی پایدارتر است.‎ 176 معیاری برای پایداری بوده و ار تعادل خنثی و اگر زیر آن با اع متاسنتریک (۸618086) نامیده می شود. اگر ۸14 روی 7) واقع شود وضعیت ناپایدار خواهد بود 

صفحه 25:
برای تعیین لنگر ۸62 باید ) محاسبه شود: ‎dV =(xAO)dA‏ جزء حجم المع 4۲-۱۵۷ > C= fraf® fyxtaaid = 190 [edd = 7, ممان دوم ‎chew‏ حول ‎x‏ ‏مور لها مقطع بدنه کشتی در امتداد سلح ‎(free surface) ij)‏ ابا توجه به معادله (40 با در نظر كرفتن ‎Alb alates‏ ويا (در 46 كوجى). اكر فاصله ‎BG‏ را با / نمایش دهیم. ارتفاع متاسنتریک برابر است با ** تعادل پایدار ‎MG‏ 1 1 سس ‎MGSO; hy‏ ا شاد ا- قلا - 1/6 ‎aA MG=0 + ble‏ تعادل نابایدار ۰ 0 > 1/0 

صفحه 26:


صفحه 27:
Morro Bay, California (December 4, 2007) 

صفحه 28:


صفحه 29:
(Translation and Rotation of fluids) :oYLue ‏انتقال و دوران‎ در سیالات ایستا بدلیل نیودن ات فشار ساده است. سیال هتگام انتقال با سرعت یکنواخت تحت قوانین تغییرات فشار استاتیک قرار دارد. همچنین زمانی که سیال شتاب ثابتی دارد. ذرات نسبت به یکدیگر حرکت نسبی نداشته (حرکت صلب گونه سیال) و تنش برشی ایجاد نمی گردد. شتاب خطى یکنواخت فرض مى كنيم به مايعى كه درون ظرفى باز قرار دارد شتاب يكنواخت ‎a‏ (در صفحه 2) اعمال شود: ۶ با استفاده از معادله اصلی حرکت یا قانون دوم نیوتن: (a,i+a,k) 

صفحه 30:
۱+ dz 3 3 با انتگرل گیری برای سیالات غیرقبل تراکم ( فشار در میا | 5 1 برای بدست آوردن معادله تراز آزاد آب كافيست فشار يرابر صفر قرار داده شود 4 yar) با توجه به اينكه رابطه شيب سطح آزاد مستقل از شكل ظرف است ساده تر است حل مسائل با استفاده از آن شروع 

صفحه 31:
دوران حول یک محور قائم در دوران سیال با سرعت زلویه ای ثایت ‎oe‏ ‏حول یک محور قالم نیز سیال حرکت صلب ‎ve‏ ‏كونه داشته و تنش برشى در هیچ نقطه ای از سيال ايجاد نمى كرددو در اين وضعيت شتاب جانب فرکز (یه سنفت محور دوران) و شتاب ثقل وجود دارند. با فرض سرعت زاویه ای 60. هر جزء از سیال دارای شتابی شعاعی به سمت مجور دوران و متناسب با شعاع دوران می باشد: با استفاده از معادله اصلی حرکت (قانون دوه که در آنر بردارواحد در جهت محور / ها (جهت مماس) می باشد. 

صفحه 32:
يه 22 برو 22 بن 2 - مو 2۲ 2 عاز- رت 7 با انتگرال گیری برای سیالات غیر قابل تراکم ( و7 فشار در مبدا 0 اگر تراز آب در محور دوران با نشان , داده شود: ‎+P, 3‏ ار ‎yor‏ ‏ابجع رك روريم حب ‎Rath‏ وا ‎ ‏أرتفاع سيال واقمى يا موهومى بالاى تقطه (دية)* ‏بنابراين در اين حالت بجاى استفاده از رابطه فشار مى توان از ضرب تراز آب واقعى يا موهومى در وزن مخصوص سیال نیز استفاده کرد.* ‎ ‎ 

صفحه 33:
برای بدست آوردن معادله ترازآزاد آب: or +h, 2g بنابراين معادله سطح آزاد يك سهموی است که راس آن بر روی محور دوران در ,2-1 قرار دارد. در يك استوانه دوار مى توان روابط صريحى با توجه به بقاى جرم داخل استوانه ارائه نمود. اكر ارتفاع اوليه مايع قبل از دوران را وا 4 ‏فرض کنیم:‎ a4 5 1 0 3 or = femyn+ 2 ar > 28 - 22 hy hy 2" 8g 2 tie BO opt ‏خر رس‎ 2 ‏بي‎ Ora 2 2 84 حجم استونه ای به ارفاع ۶ و شماع و7 

صفحه 34:
2,2 o'r ‏وی‎ hy =h +27 2 4g 22 ‎we‏ دع 28 ‎or‏ را ‎2g‏ 44 ‎on, ۳‏ ‎< ‏سا‎ ]05- 67 2g %y ‏این رابطه معادله سطح آزاد استوانه‌ای 4 ‎Ela Ng My Glad‏ اولیه / را درحرکت دوار نشان می دهد. توجه شود که این معادله درصورت سرریزی مایع یا سر بسته بودن ظرف صادق نیست. 

Hydrostatics (2) ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻫﻴﺪﺭﻭﺍﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﺴﻄﺢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﺳﺎﻛﻦ: )(Static incompressible submerged fluid ‏Patm ﺑﺪﻟﻴﻞ ﻋﺪﻡ ﻭﺟﻮﺩ ﺗﻨﺶ ﺑﺮﺷﻲ، ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﺁﻥ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻓﺸﺎﺭ ﻧﺎﺷﻲ ﺍﺯ ﻓﺸﺎﺭ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ) (Patmﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ: ‏Patm dA = Patm ∫ dA = Patm A ‏A ∫ ‏A ﺟﺰء ﺳﻄﺤﻲ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻱ ﻭﺍﻗﻊ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺟﺴﻢ ﺑﺮﺍﻱ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩﻥ ﻓﺸﺎﺭ ﻫﻴﺪﺭﻭﺍﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﺳﻴﺎﻝ ،ﻧﻮﺍﺭ dAﺭﺍ ﺑﻪ ﺷﻜﻠﻲ ﺍﻧﺘﺨﺎﺏ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻡ ﻧﻘﺎﻁ ﺁﻥ ﻋﻤﻖ ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻓﺸﺎﺭ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺗﻤﺎﻡ ﻧﻘﺎﻁ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ﻭ ﺑﺮﺍﺑﺮ γhﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺟﺰء ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ :dA ‏dF = γhdA ﺑﻨﺎﺑﺮ ﺍﻳﻦ ﻛﻞ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ :A ‏FR = ∫ dF = ∫ (γh)dA = γ sin θ ∫ ydA ‏A ‏A ‏A ‏dA ﻣﻤﺎﻥ ﺍﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﺳﻄﺢ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ =Ayc ‏FR = γ sin θyc A = γhc A = Pc A ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﻴﻢ ﻓﺮﺽ ﻛﻨﻴﻢ ﻓﺸﺎﺭ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺘﻲ ﺑﺮﺍﺑﺮ ) Pcﻓﺸﺎﺭ ﺩﺭ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺢ( ﺑﻪ ﺗﻤﺎﻡ ﺻﻔﺤﻪ ﺍﺛﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. ﺑﺮﺍﻱ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩﻥ ﻣﺤﻞ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ،(y’) FRﻟﻨﮕﺮ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻓﺸﺎﺭ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ: ‏dF ‏FR y ' = ∫ (γh)dA × y ‏A ‏dMx γhc Ay ' = ∫ γy sin θydA ‏A ‏γ sin θyc Ay ' = γ sin θ ∫ y 2 dA ‏A ‏γ sin θyc Ay ' = γ sin θI xx ‏I xx = 'y ‏Ayc ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ Ixxﻣﻤﺎﻥ ﺩﻭﻡ ﺳﻄﺢ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ ﺍﺳﺖ. ﺍﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎﻱ Ixxﻋﺒﺎﺭﺕ Iξξ+Ayc2ﺭﺍ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﻫﻴﻢ ﻛﻪ Iξξﻣﻤﺎﻥ ﺩﻭﻡ ﺳﻄﺢ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ξﻋﺒﻮﺭﻱ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺢ ﺑﻪ ﻣﻮﺍﺯﺍﺕ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ: ‏I ξξ ‏Ayc = yc + ‏Ayc2 + I ξξ ‏Ayc = 'y ﻧﻘﻄﻪ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻣﺮﻛﺰ ﻓﺸﺎﺭ ) (Center of pressureﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﻣﺮﻛﺰ ﻓﺸﺎﺭ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﺯﻳﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺢ ﻗﺮﺍﺭ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﺩ: ‏y ' > yc >0 ‏I ξξ ‏Ayc ﺑﺮﺍﻱ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ’ ،xﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﻓﺸﺎﺭ ﺍﺯ ﻣﺤﻮﺭ yﻫﺎ ،ﻟﻨﮕﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ FRﻭ ﻟﻨﮕﺮ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻓﺸﺎﺭ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮﺭ yﻫﺎ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ: ‏dF ﺟﺰء ﺳﻄﺢ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ )(x,y ‏FR x' = ∫ (γy sin θ )dA × x ‏A ‏dMx (γ sin θyc A) x' = γ sin θ ∫ xydA ‏A ‏I xy ‏Ayc = 'x ‏yc Ax' = I xy ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ Ixyﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻳﻨﺮﺳﻲ ) (Product of inertiaﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮﺭﻫﺎﻱ xﻭ yﺍﺳﺖ. ﺍﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎﻱ Iξη ، Ixyﻣﻤﺎﻥ ﺩﻭﻡ ﻋﺒﻮﺭﻱ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻄﺢ ﺭﺍ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﻫﻴﻢ: ‏I ξη ‏Ayc = xc + ‏Axc yc + I ξη ‏Ayc = 'x ξﻭ ηﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻮﺍﺯﻱ ﻭ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﺧﻂ ﺍﺛﺮ ﺻﻔﺤﻪ ﻭ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﺍﺯ ﺁﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ Iξηﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﺪ ﻣﺜﺒﺖ ﻳﺎ ﻣﻨﻔﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﺮﻛﺰ ﻓﺸﺎﺭ ﺩﺭ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻃﺮﻑ ﺧﻂ x=xcﻣﻤﻜﻦ ﺍﺳﺖ ﻗﺮﺍﺭ ﺑﮕﻴﺮﺩ .ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﻳﻜﻲ ﺍﺯ ﻣﺤﻮﺭﻫﺎﻱ ξﻭ ηﺑﻤﺨﻮﺭ ﺗﻘﺎﺭﻥ ﺳﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ Iξη ،ﺻﻔﺮ ﺷﺪﻩ ﻭ ﻣﺮﻛﺰ ﻓﺸﺎﺭ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺧﻂ x=xcﻗﺮﺍﺭ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﺩ. Centroids and moments of inertia of plane surfaces ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ(Pressure prism) : ﺭﻭﺵ ﺩﻳﮕﺮ ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﺴﻄﺢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻭ ﻣﺤﻞ ﺍﺛﺮ ﺁﻥ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺍﻳﻦ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﺣﺠﻢ ﻣﻨﺸﻮﺭﻱ ﺷﻜﻠﻲ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻗﺎﻋﺪﻩ ﺍﺵ ﺳﻄﺢ ﺻﺎﻑ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﻓﺸﺎﺭ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺶ ﺑﺎ ﺭﺍﺑﻄﻪ P=γhﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ ﺁﻳﺪ ) hﻓﺎﺻﻠﻪ ﻋﻤﻮﺩﻱ ﺗﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻭﺍﻗﻌﻲ ﻳﺎ ﻓﺮﺿﻲ ﻣﺎﻳﻊ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ(. ﺟﺰء ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ : dA ‏dF = γhdA = dV ﻛﻪ ﻳﻚ ﻋﻨﺼﺮ ﺣﺠﻢ ﺍﺯ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻛﻞ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ )ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻓﺸﺎﺭ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﺪﻩ ﺑﻪ ﺳﻄﺢ( ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺠﻢ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ: ‏h1 ‏h ‏γh1 ‏h2 ‏γh ‏F = ∫ dV = V ‏V ﻧﻴﺮﻭﻱ Fﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ ﻣﻲ ﮔﺬﺭﺩ: ‏dA 1 ‏xdV ∫ ‏VV = xP 1 ‏ydV ∫ ‏VV = yP ‏γh2 ﺩﺭ ﺑﻌﻀﻲ ﺷﻜﻠﻬﺎﻱ ﺳﺎﺩﻩ ﺭﻭﺵ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ ﺑﺴﻴﺎﺭ ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮ ﺍﺯ ﺭﻭﺵ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﻣﺜﻼ ﺩﺭ ﺳﻄﺢ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﺷﻜﻠﻲ ﻛﻪ ﺿﻠﻊ ﻓﻮﻗﺎﻧﻲ ﺁﻥ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻣﺎﻳﻊ ﺍﺳﺖ ،ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ ﺳﻪ ﮔﻮﺵ )ﮔﻮﻩ ﺍﻱ ﺷﻜﻞ( ﺍﺳﺖ: ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﻗﺒﻞ: ‏γhab = )F = Pc A = γh (ab 2 2 ‏I ζζ ‏y ' = yc + ‏Ayc 1 ba 3 ‏a ‏a a 2a = + 12 = = + 2 ab(a ) 2 6 3 2 ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺭﻭﺵ ﻣﻨﺸﻮﺭ ﻓﺸﺎﺭ: ‏x = 'y ‏F 'y ‏a ‏γh ‏b ‏γhab = )F = V = 1 (γh × a × b 2 2 2a )ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﺩﺭ 1/3ﻗﺎﻋﺪﻩ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ( 3 ‏h ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﻌﺎﺩﻝ ﺳﻴﺎﻝ(Equivalent height) : ﺗﺎﺛﻴﺮ ﻓﺸﺎﺭ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﺍ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺑﺎ ﺍﻓﺰﺍﻳﺶ ﻓﺮﺿﻲ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻧﻤﻮﺩ .ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮﺭ ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﻌﺎﺩﻝ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ ﺍﻱ ﺍﻧﺘﺨﺎﺏ ﺷﻮﺩ ﻛﻪ ﻓﺸﺎﺭ ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺩﺭ ﺳﻄﺢ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﮔﺮﺩﺩ: ‏Patm ‏γ ‏Patm = he ‏h1 ‏h1 ) γ (h1 + he ‏h2 ‏h1 ‏γh1 ‏γh1 ‏Patm ‏h2 ) γ (h2 + he ﻳﺎ ‏γh2 ‏h2 = ‏Patm + ‏γh2 ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺭﻭﺵ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﻌﺎﺩﻝ ﮔﺎﻫﻲ ﺭﺍﻩ ﺣﻞ ﺳﺎﺩﻩ ﺗﺮﻱ ﺩﺭ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻭ ﻣﺤﻞ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺍﺯ ﻃﺮﻑ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ. ﻭﺍﺿﺢ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻓﺸﺎﺭ ﺻﺮﻓﺎ ﺩﺭ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ ﺍﺯ ﺗﺮﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﺪ ﺑﺪﻳﻦ ﺭﻭﺵ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺷﻮﺩ ﻭ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺍﻳﻦ ﺭﻭﺵ ﺩﺭ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺍﺯ ﺗﺮﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﺷﺘﺒﺎﻩ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ: ‏Patm ‏Patm ‏γ ‏Patm = he ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻓﺸﺎﺭ ﺩﺭ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺍﺯ ﺗﺮﺍﺯ ﺁﺏ ﻏﻠﻂ ﺍﺳﺖ. ﻓﺸﺎﺭ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻫﻴﺪﺭﻭﺍﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ: )(Hydrostatic force on curved submerged surfaces ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺁﻥ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ: ‏ ‏ ‏dF = − pdA ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ dAﻫﻤﺮﺍﺳﺘﺎ ﺑﺎ ) nﻃﺒﻖ ﻗﺮﺍﺭﺩﺍﺩ ﺑﻪ ﻃﺮﻑ ﺧﺎﺭﺝ ﭘﻮﺳﺘﻪ -ﺻﺮﻓﻨﻈﺮ ﺍﺯ ﺗﻘﻌﺮ ﻳﺎ ﺗﺤﺪﺏ ﺁﻥ( ﺍﺳﺖ: ‏ ‏ ‏dA = dAn ‏ : ﺑﺎ ﺿﺮﺏ ﺩﺍﺧﻠﻲ ﻃﺮﻓﻴﻦ ﺩﺭ ﺑﺮﺩﺍﺭ   i ‏ ‏dF .i = − pdA.i ‏dFx = − pdAx ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ dAxﺗﺼﻮﻳﺮ ﺍﻟﻤﺎﻥ dAﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺳﻄﺢ yzﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺻﻔﺤﻪ ) yzﻳﺎ ﻫﺮ ﺻﻔﺤﻪ ﺩﻳﮕﺮ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ(: ‏Fx = ∫ − pdAx ‏Ax ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﻪ ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺴﻄﺢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭﻱ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻋﻤﻮﺩ ﺍﺳﺖ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﺸﺎﺑﻪ: ‏Fy = ∫ − pdAy ‏Ay ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺩﻭ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﺭﺍ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺑﺎ ﺭﻭﺷﻬﺎﻱ ﻣﺮﺑﻮﻁ ﺑﻪ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﺴﻄﺢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩ .ﺍﻳﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻣﻮﺍﺯﻱ ﻫﺴﺘﻨﺪ )ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻭ ﻣﺤﻞ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺍﻓﻘﻲ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﻣﻮﺭﺏ ﺑﺎ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻭ ﻣﺤﻞ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺗﺼﺎﻭﻳﺮ ﺳﻄﺢ ﻣﻮﺭﺏ ﺩﺭ ﺩﻭ ﺭﺍﺳﺘﺎ -ﺳﻄﻮﺡ ﻣﺴﻄﺢ – ﻳﻜﺴﺎﻧﺴﺖ(. ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺍﻓﻘﻲ ﻭ ﻗﺎﺋﻢ ﻧﺎﺷﻲ ﺍﺯ ﻓﺸﺎﺭ ﺟﻮ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺷﻜﻞ ﻧﻴﺰ ﺑﺴﺎﺩﮔﻲ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺭﻭﺵ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﻧﺪ ) (P=Patmﻭ ﺗﻨﻬﺎ ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺷﻜﻞ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺻﻔﺤﺎﺕ xz ،yzﻳﺎ xyﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﺩ: ‏Fx = ∫ − patm dAx = − patm Ax ‏Ax ‏Fy = ∫ − patm dAy = − patm Ay ‏Ay ‏Fz = ∫ − patm dAz = − patm Az ‏Az ﺑﺮﺍﻱ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ: ‏ ‏ ‏dF = − pdA ‏ ‏  ‏dF .k = − pdA.k ‏dFz = − pdAz ‏z0 ‏z0 'z 'z = −( ∫ γdz )dAz = − ∫ γdzdAz ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ γdzdAzﻭﺯﻥ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﻛﻮﭼﻜﻲ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺩﺍﺧﻞ ﺳﺘﻮﻥ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﺯ ﺭﻭﻱ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﺗﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﺍﺩﺍﻣﻪ ﺩﺍﺭﺩ. ﺭﺍﺑﻄﻪ ﻓﻮﻕ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﺻﺎﺩﻕ ﺍﺳﺖ .ﺍﺯ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ dFzﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺗﻤﺎﻡ ﺳﻄﺢ Fz ،ﺑﺮﺍﺑﺮ ﻭﺯﻥ ﻛﻞ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﻭﻱ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ ﺁﻳﺪ. ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻨﻔﻲ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻛﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ dAzﺁﻥ ﻣﺜﺒﺖ ﺍﺳﺖ )ﺑﺨﺶ ﻓﻮﻗﺎﻧﻲ ﻳﻚ ﺟﺴﻢ( ﻧﻴﺮﻭﻳﻲ ﺩﺭ ﺟﻬﺖ ﺧﻼﻑ ﻣﺤﻮﺭ ) zﺑﻪ ﻃﺮﻑ ﭘﺎﻳﻴﻦ( ﻭﺍﺭﺩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﺑﺎ ﻓﺮﺽ γﺛﺎﺑﺖ: ﺣﺠﻢ ﻣﺎﻳﻊ ﺑﺎﻻﻱ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻏﻮ ﻃﻪ ﻭﺭ ‏Fz = ∫ − pdAy ﻣﻨﺸﻮﺭﻱ ﺑﺎ ﻗﺎﻋﺪﻩ dAzﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ z0- ’z ‏Az = − ∫ γ ( z0 − z ' )dAz = −γ ∫ ( z0 − z ' )dAz = −γ ∫ dV = −γV ‏V ‏Az ‏Az ﺧﻂ ﺍﺛﺮ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻗﺎﺋﻢ ،ﺑﺎ ﻣﺴﺎﻭﻱ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺩﻥ ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﺟﺰﺋﻲ )ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ (dAzﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭﻫﺎﻱ xﻭ zﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ ﺁﻳﺪ: ∫ xdV ‏V =V ∫ ydV ‏V =V ‏γ ∫ xdV ‏V − γV ‏γ ∫ ydV ‏V − γV = = ‏γ ∫ xdV ‏V ‏Fz ‏V ‏γ ∫ ydV ‏V ‏Fz ‏x=− )ﻟﻨﮕﺮﮔﻴﺮﻱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ Fz x = − ∫ xγdV (y ‏y=− )ﻟﻨﮕﺮﮔﻴﺮﻱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ Fz y = − ∫ yγdV (z ‏V ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺧﻂ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﻭﻱ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺗﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻓﺮﺿﻲ ﻳﺎ ﻭﺍﻗﻌﻲ ﻋﺒﻮﺭ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .ﺩﺭ ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﺫﻫﻨﻲ ،ﻣﺎﻳﻊ ﻓﺮﺿﻲ ﺑﺎﻳﺪ ﺍﺯ ﻫﻤﺎﻥ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﻣﺎﻳﻊ ﺩﺭ ﺗﻤﺎﺱ ﺑﺎ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﺮﺧﻮﺭﺩﺍﺭ ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻓﺸﺎﺭ ﺭﻭﻱ ﺳﻄﺢ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ. ﺧﻂ ﺍﺛﺮ ﺳﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺍﻓﻘﻲ ﻭ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﻟﺰﻭﻣﺎ ﺩﺭ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻼﻗﻲ ﻧﻤﻲ ﻛﻨﻨﺪ .ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﻟﺰﻭﻣﺎ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻣﻨﻔﺮﺩﻱ ﻧﻴﺴﺖ .ﺩﺭ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻤﻠﻲ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺍﺯ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﻭ ﻣﻮﺍﺯﻱ ﺑﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻛﺮﺩ. ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺍﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﻣﺤﺪﻭﺩ ﺑﻪ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺒﻮﺩﻩ ﻭ ﺩﺭ ﻫﺮ ﺳﻴﺎﻟﻲ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺍﺳﺖ .ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮ ،ﺧﻂ ﺍﺛﺮ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ )ﻳﺎ ﻣﺮﻛﺰ ﺟﺮﻡ ﺑﺎ ﻓﺮﺽ ﺷﺘﺎﺏ ﺛﻘﻞ ﺛﺎﺑﺖ( ﺳﻴﺎﻝ ﺑﺎﻻﻱ ﺳﻄﺢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻲ ﮔﺬﺭﺩ. ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ(Buoyant force) : ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺮ ﺁﻳﻨﺪ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﺪﻩ ﺑﺮ ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺗﻮﺳﻂ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﻳﺴﺘﺎ ﻛﻪ ﺟﺴﻢ ﺩﺭ ﺁﻥ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻳﺎ ﺭﻭﻱ ﺁﻥ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﺍﺯ ﺁﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻗﺎﺋﻢ ﺟﺴﻢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻳﺎ ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺟﺴﻢ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﺩﺭ ﻣﺎﻳﻊ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﺻﻔﺮ ﺍﺳﺖ ،ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺑﺎﻻ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﺍﻓﻘﻲ ﻧﺪﺍﺭﺩ. ↓F ‏FB ↑F ﺩﺭ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﻣﺮﺑﻮﻁ ﺑﻪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻄﻮﺡ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺎ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﺍﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﺮﺍﻳﻂ ﺟﺴﻢ ﻛﺎﻣﻼ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻳﺎ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﺳﺎﺩﻩ ﺗﺮﻱ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻧﻤﻮﺩ. ﺩﻭ ﺣﺎﻟﺖ ﺯﻳﺮ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ: -1ﺟﺴﻢ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﻛﺎﻣﻞ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺍﺳﺖ. -2ﺟﺴﻢ ﺩﺭ ﺳﻄﺢ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺩﻭ ﺳﻴﺎﻝ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﻠﻮﻝ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ. ﺟﺴﻢ ﻛﺎﻣﻼ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺩﺭ ﺁﺏ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺩﻭ ﺑﺨﺶ ﻓﻮﻗﺎﻧﻲ AUBﻭ ﺗﺤﺘﺎﻧﻲ ALBﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ: ﺍﮔﺮ ﺳﺘﻮﻥ ﻗﺎﺋﻤﻲ ﺑﺎ ﺳﻄﺢ ﻣﻘﻄﻊ dAzﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ،ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺑﺎﻻﻱ ﺁﻥ ) PudAzﻭﺯﻥ ﺳﺘﻮﻧﻲ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺑﻪ ﺳﻄﺢ ﻣﻘﻄﻊ dAzﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺭﻭﻱ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﺗﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ( ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻓﺸﺎﺭ PLﭘﺎﻳﻴﻦ ﺳﺘﻮﻥ ﺑﺎ ﻓﺸﺎﺭ ﺳﺘﻮﻧﻲ ﻓﺮﺿﻲ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﻛﻪ ﺍﺯ ﻛﻒ ﺍﻟﻤﺎﻥ ﺗﺎ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﺍﺩﺍﻣﻪ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺍﺧﺘﻼﻑ ﺑﻴﻦ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻓﻮﻗﺎﻧﻲ PudAzﻭ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺗﺤﺘﺎﻧﻲ PLdAzﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ ﻭﺯﻥ ﺳﺘﻮﻥ ﺳﻴﺎﻝ GHﻛﻪ ﻣﻘﻄﻊ ﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺁﻥ ﺑﺎ ﺳﺘﻮﻥ ﺩﺍﺧﻞ ﺟﺴﻢ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ .ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﻤﺎﻡ ﺳﺘﻮﻧﻬﺎﻱ ﺩﺍﺧﻞ ﺟﺴﻢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ،ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺧﺎﻟﺺ ﺑﺎﻻﺑﺮﻧﺪﻩ ﺟﺴﻢ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ ﻭﺯﻥ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ )ﺍﺻﻞ ﺍﺭﺷﻤﻴﺪﺱ .(Archimedes principle ،ﺩﺭ ﺍﺻﻞ ﺍﺭﺷﻤﻴﺪﺱ ﻣﺤﺪﻭﺩﻳﺘﻲ ﺑﺮﺍﻱ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ. ﺑﻪ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺩﺭ ﺍﺟﺴﺎﻡ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﻧﻴﺰ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺎﻻﺑﺮﻧﺪﻩ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺑﺎ ﻭﺯﻥ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ: ‏E ‏A G ‏F ‏D ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ BG ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ BCD ]) FZ = W ( ABCDE ) − [W ( ABG ) + W ( DEF ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ FD ‏B ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ‏C ) = W (GBCDF ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ(Center of buoyancy) : ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻧﻔﻄﻪ ﺍﻱ ﺍﺯ ﻓﻀﺎ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺩﺭ ﺁﻥ ﺍﺛﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .ﺩﺭ ﺷﻜﻞ ﺍﺳﻼﻳﺪ ﻗﺒﻞ: ‏dFB = ( PL − PU )dAZ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮ ﻭ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺻﺤﻴﺢ ﺍﺳﺖ .ﺍﮔﺮ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ: ‏dFB = [( Dγ − ( D − h)γ ]dAZ = γhdAZ ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﻛﻞ ﺟﺴﻢ: ‏FB = γ ∫ hdAZ = γV ﻛﻪ Vﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﺍﺳﺖ )ﺍﻳﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﺍﺻﻞ ﺍﺭﺷﻤﻴﺪﺱ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎ ﭘﺬﻳﺮ ﺍﺳﺖ( .ﺑﺎ ﻟﻨﮕﺮﮔﻴﺮﻱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ yﻫﺎ: ‏x' FB = γ ∫ xhdAZ = γ ∫ xdV ‏V ∫ xdV ‏V ﺑﻪ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻟﻨﮕﺮﮔﻴﺮﻱ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ xﻫﺎ: ‏x' = V ‏x' γV = γ ∫ xdV ‏V ∫ ydV ‏V ‏y' = V ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﺮ ﺟﺴﻢ ﻭﺍﻗﻊ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﺣﺠﻢ ﺟﺎ ﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﺗﻮﺳﻂ ﺟﺴﻢ ﻣﻲ ﮔﺬﺭﺩ .ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ )ﻳﺎ ﻣﺮﻛﺰ ﺟﺮﻡ ﺑﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﻓﺮﺽ ﻛﺮﺩﻥ ﺷﺘﺎﺏ ﺛﻘﻞ ﺩﺭ ﻣﺤﺪﻭﺩﻩ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺟﺴﻢ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ( ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﺩ. ﺩﺭ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﺟﺴﻢ ﺩﺭ ﻣﺮﺯ ﺑﻴﻦ ﺩﻭ ﺳﻴﺎﻝ ﻣﺤﻠﻮﻝ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ )ﻣﺜﻼ ﺟﺴﻢ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﺩﺭ ﺁﺏ ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻫﻮﺍﻱ ﺭﻭﻱ ﺁﺏ(: )dF2 − dF1 = Wa ( A) + Wb ( B ﻭﺯﻥ ﺳﺘﻮﻥ bﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ B ﻭﺯﻥ ﺳﺘﻮﻥ aﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ A ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﻛﻞ ﺟﺴﻢ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﻭﺯﻥ ﺩﻭ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﺧﻮﺍﻫﺪ ﺑﻮﺩ .ﺩﺭ ﺻﻮﺭﺗﻲ ﻛﻪ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺩﻭ ﺳﻴﺎﻝ ﻣﺘﻔﺎﻭﺕ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻟﺰﻭﻣﺎ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﻋﺒﻮﺭ ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ*. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﻧﺎﭼﻴﺰ ﻫﻮﺍ ،ﺩﺭ ﻣﺒﺎﺣﺚ ﻛﺸﺘﻴﺮﺍﻧﻲ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺍﺯ ﺗﺎﺛﻴﺮ ﻫﻮﺍ ﺻﺮﻓﻨﻈﺮ ﻛﺮﺩﻩ ﻭ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺭﺍ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺣﺠﻢ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ. ﻫﻴﺪﺭﻭﻣﺘﺮ(Hydrometer) : ﺍﺑﺰﺍﺭﻱ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﺑﻜﺎﺭ ﻣﻲ ﺭﻭﺩ .ﺍﺯ ﺁﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﺍﺯ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﺳﺖ ﻭ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻥ ﻭﺯﻥ ﻫﻴﺪﺭﻭﻣﺘﺮ ،ﻣﻴﺰﺍﻥ ﻓﺮﻭﺭﻭﻱ ﻫﻴﺪﺭﻭﻣﺘﺮ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﺍﺯ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺑﺎ ﻣﺪﺭﺝ ﻛﺮﺩﻥ ﺭﺍﺳﺘﺎﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﻭﺭﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﺍ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩ*. ) ∆h = f (γ f ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﺍﺟﺴﺎﻡ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﻭ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ(Hydrometer) : ﺟﺴﻤﻲ ﺩﺍﺭﺍﻱ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﺧﻄﻲ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ ﮔﺎﻩ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﻛﻮﭼﻚ ﺧﻄﻲ ﺑﻪ ﺁﻥ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﻮﺩ ،ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺎﺯﮔﺮﺩﺍﻧﺪﻩ ﺍﻱ ﺩﺭ ﺁﻥ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺷﻮﺩ ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻳﻞ ﺑﻪ ﺑﺎﺯﮔﺮﺩﺍﻧﺪﻥ ﺟﺴﻢ ﺑﻪ ﻣﻮﻓﻌﻴﺖ ﺍﻭﻟﻴﻪ ﺍﺵ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﻣﺜﻼ ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﺩﺭ ﻣﺎﻳﻊ ﺍﻳﺴﺘﺎ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﻗﺎﺋﻢ ﺩﺍﺭﺩ. ﻳﻚ ﺟﺴﻢ ﻣﻤﻜﻦ ﺍﺳﺖ ﺑﻄﻮﺭ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ،ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ﻭ ﻳﺎ ﺧﻨﺜﻲ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻝ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﺑﺎﺷﺪ: ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭ )(Unstable ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ. ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﻭ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺑﺮ ﻫﻢ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﭘﺎﻳﻴﻨﺘﺮ ﺍﺯ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ. ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺭ ﺟﻬﺖ ﺧﻼﻑ ﻋﻘﺮﺑﻪ ﻫﺎﻱ ﺳﺎﻋﺖ ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﺑﺮﮔﺮﺩﺍﻧﻨﺪﻩ ﺍﻱ ﺩﺭ ﺟﻬﺖ ﻋﻘﺮﺑﻪ ﻫﺎﻱ ﺳﺎﻋﺖ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. ‏FB ‏FFBB ‏W ‏W ﺷﺮﻁ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺑﻮﺩﻥ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﺟﺴﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ﺑﻮﺩﻥ ﺍﺟﺴﺎﻡ ﻏﻮﻃﻪ ﻭﺭ ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ )ﻣﺜﻼ ﺑﺎﻟﻮﻥ ﻫﺎ( ﺍﻣﺎ ﺑﺮﺍﻱ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﺍﺟﺴﺎﻡ ﺷﻨﺎﻭﺭ ﺩﺭ ﻣﺮﺯ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﺿﺮﻭﺭﻱ ﻧﻴﺴﺖ*. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺷﻜﻞ ﺯﻳﺮ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﺑﺎ ﻭﺟﻮﺩ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﻮﺩﻥ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺑﺪﻟﻴﻞ ﺍﻳﻨﻜﻪ ﺩﺭ ﺍﺛﺮ ﭼﺮﺧﺶ ﺟﺴﻢ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ،ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺯ ﺩﺍﺭﻧﺪﻩ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﺟﺴﻢ ﺭﺍ ﺑﻪ ﻭﺿﻌﻴﺖ ﺍﻭﻟﻴﻪ ﺑﺮ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺍﻧﺪ. ﻣﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻋﺮﻳﺾ ﺍﺷﻜﺎﻝ ﺑﺴﻴﺎﺭ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺯﻳﺮﺍ ﺩﺭ ﺍﺛﺮ ﻏﻠﻄﻴﺪﻥ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺯﻳﺎﺩﻱ ﺳﻴﺎﻝ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﻭ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﻛﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺯﻳﺎﺩﻱ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻗﺴﻤﺖ ﻛﺞ ﺷﺪﻩ ﺑﺪﻫﺪ ﻭ ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﺑﺮﮔﺮﺩﺍﻧﻨﺪﻩ ﻧﺴﺒﺘﺎ ﺑﺰﺭﮔﻲ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺷﻮﺩ. ‏FB ‏FB ‏W ‏W ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻛﻮﭼﻚ ∆θﺭﺍ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻔﺎﺭﻥ yﻫﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ .ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺍﺯ Bﺑﻪ ’ Bﻣﻨﺘﻘﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻛﺸﺘﻲ ﺩﺭ ﺍﺛﺮ ﺍﻓﺰﺍﻳﺶ ﺣﺠﻢ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺑﺎﻻﺑﺮﻧﺪﻩ ∆Fﻭ ﺑﺪﻟﻴﻞ ﻛﺎﻫﺶ ﺣﺠﻢ ﺁﺏ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷﺪﻩ ﺩﺭ ﺳﻤﺖ ﺭﺍﺳﺖ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺭﻭ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ ∆Fﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﻟﻨﮕﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﺯ ﺍﻳﻦ ﺯﻭﺝ ﻧﻴﺮﻭ Cﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻧﻴﺮﻭﻱ ’) FBﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﺟﺪﻳﺪ( ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺗﺎﺛﻴﺮ FBﻭ Cﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ: ∆F ∆F ‏W ‏W ‏W ‏FBδ − C ≡ ≡ 'B ‏FB ' FB = FB ' FB ‏δ ) ( FB = FB ' = W ) (ΙΙ ‏δ ‏sin ∆θ )(Ι = MB ‏C C = ‏FB W ﻭ ﻳﺎ ‏FBδ − C = 0 =δ ‏δ ‏MB = sin ∆θ ﺍﻣﺎ ﺍﮔﺮ ﻧﻘﻄﻪ Mﻛﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻓﻮﻕ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﺩﺭ ﺑﺎﻻﻱ ﻧﻘﻄﻪ Gﻗﺮﺍﺭ ﮔﻴﺮﺩ ) ،( MB > GBﻧﻴﺮﻭﻱ ﺷﻨﺎﻭﺭﻱ ﻭ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﻭﺯﻥ ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﺑﺎﺯﺩﺍﺭﻧﺪﻩ ﺍﻱ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ ﻭ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﻛﺸﺘﻲ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ﺍﺳﺖ .ﺿﻤﻨﺎ ﻫﺮ ﭼﻪ MGﺑﺰﺭﮔﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﮔﺸﺘﺎﻭﺭ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺷﺪﻩ ﺑﺰﺭﮔﺘﺮ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﻛﺸﺘﻲ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﺗﺮ ﺍﺳﺖ. MGﻣﻌﻴﺎﺭﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭﻱ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺘﺎﺳﻨﺘﺮﻳﻚ ) (Metacentricﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﺍﮔﺮ Mﺭﻭﻱ Gﻭﺍﻗﻊ ﺷﻮﺩ ﺗﻌﺎﺩﻝ ﺧﻨﺜﻲ ﻭ ﺍﮔﺮ ﺯﻳﺮ ﺁﻥ ﺑﺎﺷﺪ ﻭﺿﻌﻴﺖ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ﺧﻮﺍﻫﺪ ﺑﻮﺩ. ﺑﺮﺍﻱ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻟﻨﮕﺮ MGﺑﺎﻳﺪ Cﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﻮﺩ: ‏dV = ( x∆θ )dA ‏df = γdV = γx∆θdA 2 ‏x ∫ dA = γ∆θI yy ‏Af .s. * 2 ‏xdf = ‏γ ‏x ∫ ∫ ∆θdA = γ∆θ ‏Af .s. ﻣﻤﺎﻥ ﺩﻭﻡ ﺳﻄﺢ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ yﻫﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ):(I =C ‏Af .s. ﻣﻘﻄﻊ ﺑﺪﻧﻪ ﻛﺸﺘﻲ ﺩﺭ ﺍﻣﺘﺪﺍﺩ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ )(free surface ‏γ∆θI yy ‏W ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ):(II ﺟﺰء ﺣﺠﻢ =δ ‏C = γ∆θI yy ‏γ∆θI yy = MB = ‏sin ∆θ W sin ∆θ ‏δ ‏C =δ ‏W ﻭ ﻳﺎ )ﺩﺭ ∆θﻛﻮﭼﻚ(: ﺍﮔﺮ ﻓﺎﺻﻠﻪ BGﺭﺍ ﺑﺎ lﻧﻤﺎﻳﺶ ﺩﻫﻴﻢ ،ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻣﺘﺎﺳﻨﺘﺮﻳﻚ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ**: ﺗﻌﺎﺩﻝ ﭘﺎﻳﺪﺍﺭ ‏MG > 0 ﺗﻌﺎﺩﻝ ﺧﻨﺜﻲ ‏MG = 0 ﺗﻌﺎﺩﻝ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪﺍﺭ MG < 0 −l ‏γI yy ‏W ‏γI yy ‏W = MB = MG = MB − l Hendijan (1385) Morro Bay, California (December 4, 2007) ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﻭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺳﻴﺎﻻﺕ(Translation and Rotation of fluids) : ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﺍﻳﺴﺘﺎ ﺑﺪﻟﻴﻞ ﻧﺒﻮﺩﻥ ﺗﻨﺶ ﺑﺮﺷﻲ ،ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮﺍﺕ ﻓﺸﺎﺭ ﺳﺎﺩﻩ ﺍﺳﺖ .ﺳﻴﺎﻝ ﻫﻨﮕﺎﻡ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ﻧﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮﺍﺕ ﻓﺸﺎﺭ ﺍﺳﺘﺎﺗﻴﻚ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ .ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺎﻝ ﺷﺘﺎﺏ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺩﺍﺭﺩ ،ﺫﺭﺍﺕ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺣﺮﻛﺖ ﻧﺴﺒﻲ ﻧﺪﺍﺷﺘﻪ )ﺣﺮﻛﺖ ﺻﻠﺐ ﮔﻮﻧﻪ ﺳﻴﺎﻝ( ﻭ ﺗﻨﺶ ﺑﺮﺷﻲ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻧﻤﻲ ﮔﺮﺩﺩ. ‏z ﺷﺘﺎﺏ ﺧﻄﻲ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ﻓﺮﺽ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﺎﻳﻌﻲ ﻛﻪ ﺩﺭﻭﻥ ﻇﺮﻓﻲ ﺑﺎﺯ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ ﺷﺘﺎﺏ ﻳﻜﻨﻮﺍﺧﺖ ) aﺩﺭ ﺻﻔﺤﻪ (xzﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﻮﺩ: ‏ ‏a ‏ − ρa ‏ ∇P ‏ − γk ‏Pg=0 ‏ax ‏x ‏az ‏ ∇P ﺧﻄﻮﻁ ﻫﻢ ﻓﺸﺎﺭ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﺻﻠﻲ ﺣﺮﻛﺖ ﻳﺎ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﻧﻴﻮﺗﻦ: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏df = −∇P − γk = ρa ‏ γ ‏ ‏ ∂P  ∂P  ∂P  −( i + ‏j+ ) k ) − γk = (a x i + a z k ∂x ∂y ∂z ‏g ∂P − γ = ‏ax ∂x ‏g ∂P =0 ∂y ‏a ∂P ) = −γ (1 + z ‏g ∂z ∂P ∂P ∂P ‏dx + ‏dy + ‏dz ∂x ∂y ∂z ‏γ ‏a = − a x dx − γ (1 + z )dz ‏g ‏g = dP ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ) P0ﻓﺸﺎﺭ ﺩﺭ ﻣﺒﺪﺍ(: ‏az ) z + P0 ‏g ‏a x x − γ (1 + ‏γ ‏g ‏P ( x, z ) = − ﺑﺮﺍﻱ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺗﺮﺍﺯ ﺁﺯﺍﺩ ﺁﺏ ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ ﻓﺸﺎﺭ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺩﻩ ﺷﻮﺩ: −γ ‏az ) z + P0 = 0 ‏g ‏a x x − γ (1 + ‏γ − ‏a − ax ‏dz ‏g x = = ‏a ‏dx γ (1 + z ) g + a z ‏g ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻳﻨﻜﻪ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺷﻴﺐ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺍﺯ ﺷﻜﻞ ﻇﺮﻑ ﺍﺳﺖ ﺳﺎﺩﻩ ﺗﺮ ﺍﺳﺖ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺁﻥ ﺷﺮﻭﻉ ﺷﻮﺩ. ‏g ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺣﻮﻝ ﻳﻚ ﻣﺤﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﺩﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺳﻴﺎﻝ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ ﺛﺎﺑﺖ ﺣﻮﻝ ﻳﻚ ﻣﺤﻮﺭ ﻗﺎﺋﻢ ﻧﻴﺰ ﺳﻴﺎﻝ ﺣﺮﻛﺖ ﺻﻠﺐ ﮔﻮﻧﻪ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﻭ ﺗﻨﺶ ﺑﺮﺷﻲ ﺩﺭ ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪ ﺍﻱ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻧﻤﻲ ﮔﺮﺩﺩﻭ ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﻭﺿﻌﻴﺖ ﺷﺘﺎﺏ ﺟﺎﻧﺐ ﻣﺮﻛﺰ )ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻣﺤﻮﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻭ ﺷﺘﺎﺏ ﺛﻘﻞ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺭﻧﺪ. ‏ − ρa ‏ − γk ‏Pg=0 ‏ ∇P ﺑﺎ ﻓﺮﺽ ﺳﺮﻋﺖ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ ،ωﻫﺮ ﺟﺰء ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺩﺍﺭﺍﻱ ﺷﺘﺎﺑﻲ ﺷﻌﺎﻋﻲ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻣﺤﻮﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﺷﻌﺎﻉ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ: ‏ ‏ 2 ‏a = − rω i ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﺻﻠﻲ ﺣﺮﻛﺖ )ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﻧﻴﻮﺗﻦ(: ‏z ‏ω 2r 2 ‏ω r 2 2 1 2g 2g ‏r ‏h1 ‏h1 − z1 ‏r ‏z1 ‏r1 ‏o ﻣﻨﺤﻨﻴﻬﺎﻱ ﻫﻢ ﻓﺸﺎﺭ ‏ω ‏ ‏ ‏ ‏ ‏df = −∇P − γk = ρa ‏ ‏ ∂P  ∂P  ∂P  2 ‏j+ ‏k ) − γk = −rω ρ i −( i + ∂r ∂y ∂z ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ jﺑﺮﺩﺍﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﺩﺭ ﺟﻬﺖ ﻣﺤﻮﺭ yﻫﺎ )ﺟﻬﺖ ﻣﻤﺎﺱ( ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ∂P ∂P ∂P = dP ‏dr + ‏dy + ‏dz ∂r ∂y ∂z ‏ω 2 rdr − γdz ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮﺍﻱ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ) P0ﻓﺸﺎﺭ ﺩﺭ ﻣﺒﺪﺍ :(o ‏γ ‏g = ∂P γ 2 = ω r ∂r g ∂P =0 ∂y ∂P = −γ ∂z − γz + P0 ‏γω 2 r 2 2g = ) P(r , z ﺍﮔﺮ ﺗﺮﺍﺯ ﺁﺏ ﺩﺭ ﻣﺤﻮﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺑﺎ ﻧﺸﺎﻥ h1ﺩﺍﺩﻩ ﺷﻮﺩ: − γz + γh1 ‏γω 2 r 2 2g ) − z + h1 = ) P(r , z ‏ω 2r 2 2g 0 = −γh1 + P0 P0 = γh1ﻭ ﻳﺎ ‏P=0 ‏r =0 ‏z = h1 (=γ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺳﻴﺎﻝ ﻭﺍﻗﻌﻲ ﻳﺎ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺑﺎﻻﻱ ﻧﻘﻄﻪ )*(r,z ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺠﺎﻱ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﻓﺸﺎﺭ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺍﺯ ﺿﺮﺏ ﺗﺮﺍﺯ ﺁﺏ ﻭﺍﻗﻌﻲ ﻳﺎ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺩﺭ ﻭﺯﻥ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﻧﻴﺰ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻛﺮﺩ*. ﺑﺮﺍﻱ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺗﺮﺍﺯ ﺁﺯﺍﺩ ﺁﺏ: + h1 ‏ω 2r 2 2g ‏γω 2 r 2 P0 =z + ‏γ 2 gγ ﻭ P0 = γh1 =z ﻭ ﻳﺎ − γz + P0 = 0 ‏γω 2 r 2 2g ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﻳﻚ ﺳﻬﻤﻮﻱ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺭﺍﺱ ﺁﻥ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﻣﺤﻮﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺩﺭ z=h1ﻗﺮﺍﺭ ﺩﺍﺭﺩ .ﺩﺭ ﻳﻚ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪ ﺩﻭﺍﺭ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﺻﺮﻳﺤﻲ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻧﻤﻮﺩ .ﺍﮔﺮ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻭﻟﻴﻪ ﻣﺎﻳﻊ ﻗﺒﻞ ﺍﺯ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺭﺍ h0 ﻓﺮﺽ ﻛﻨﻴﻢ: ‏r0 2 ‏π ‏r ‏h0 = ∫ (2πr ) zdr 0 ‏z 0 )dr ‏r0 ‏ω 2r 2 2g ‏r0 = ∫ (2πr )(h1 + ‏ω r 2 2 0 2g 0 ‏ r ω r  = 2π h1 + ‏ 8g  0 ‏ 2 ﺣﺠﻢ ﺯﻳﺮ ﺳﻄﺢ ﺳﻬﻤﻮﻱ ﻭ ﺑﺎﻻﻱ 2 2 *: h 1 ‏ω ‏r0 1 × × πr02 ) 2 2g ‏r0 2 4 ‏r ‏πω 2 r04 4g ‏r = πh r + 2 1 0 ﺣﺠﻢ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪ ﺍﻱ ﺑﻪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ h1ﻭ ﺷﻌﺎﻉ r0 ‏z ‏h0 ‏h1 ‏dr ‏ω ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ: ﻳﻌﻨﻲ h0ﺍﺯ ﻭﺳﻂ ﺳﻬﻤﻲ ﻣﻲ ﮔﺬﺭﺩ*. ‏πω r 2 4 0 1 ω 2 r02 × 2 2g ‏ω r 2 2 0 4g ‏h0 = h1 + 4g ﻭ ﻳﺎ ‏πr02 h0 = πh1r02 + ‏ω 2r 2 2g ‏ω 2r 2 2g + ‏ω 2 r02 4g ‏ω 2 r0 2 ‏r ] [0.5 − ( ) 2 2g ‏r0 ‏z = h1 + = h0 − = h0 − ﺍﻳﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺳﻄﺢ ﺁﺯﺍﺩ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪﺍﻱ ﺑﻪ ﺷﻌﺎﻉ r0ﻭ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻭﻟﻴﻪ h0ﺭﺍ ﺩﺭﺣﺮﻛﺖ ﺩﻭﺍﺭ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ .ﺗﻮﺟﻪ ﺷﻮﺩ ﻛﻪ ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺩﺭﺻﻮﺭﺕ ﺳﺮﺭﻳﺰﻱ ﻣﺎﻳﻊ ﻳﺎ ﺳﺮ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻮﺩﻥ ﻇﺮﻑ ﺻﺎﺩﻕ ﻧﻴﺴﺖ.