پاورپوینت نــام درس رياضیات وکاربرد آن در مدیریت1

صفحه 1:
اهی نام درس رياضيات وكاربرد آن دو مديريت١‏ تعداد واحد: ۳ واحد نام منسبع: ريا پایه تعداد صفحات: ۳۸۲ 

صفحه 2:


صفحه 3:
و دانلودفایل پاورپوینت تعداد صفحات:۳۸۲ ریاضیات پایه 

صفحه 4:
هدف کلی درس دف كلي این درس آموزش مباحثی از ریاضیات است که دانشجویان رشته شته های علوم انسانی دردروس تخصصی خود به آنها نیاز خواهند داشت. رای نیل به اهداف کلی .مباحث زير درشش فصل تدوین شده است. که شامل 44 اسلاید می باشد. فصل دوم: دستگاههای مختصات که شامل 47 اسلاید می باشد. 

صفحه 5:
فصل سوم: رابطه وتابع كه شامل 69 اسلاید می باشد. فصل چهارم: حد وپیوستگی توابع که سمل اس میا فصل پلجم: مد ی که شامل 71 اسلاید مي باشد. فصل ششم: کاربردهای مشتق. که شامل 74 اسلاید مي باشد. 

صفحه 6:
غاز هر فصل نکاتی به عنوان راهنمای مطالعه وهدف کلی آمده است, که : ‎SOS‏ مين تا منظ وی کل آن فصتل را دريابيد: درفسمتى بكه با عنوان د های رفتاری وآموزشی مشخص شده است ,ازشما انتظارمی رود که ب ان مطالعه هرفصل مطالبی را که یاذگرفته ‎oul‏ با توجه به هدف های رفتار بری می تواند مثلا" بیان یک مفهوم ,مقایسه دو مفهوم بایکدیگر, توضیح یک ‎a‏ نتیجه گیری ازیک مطلب, یا حل یک مسئله باشد.نظر به پيوستگي مفاهر بی ,تا زمانی که به هدف های یک فصل نایل نشده اید,.و مسائل آن فصل ,ر نکرده اید به فصل بعدی نپردازید. 

صفحه 7:
‎as‏ یا ‏اس سس سس سس ل ]| هدف کلی: هدف کلی این فصل این است که با موم موه «اثواع انا عمال یر ‏روى مجموعه هاءو ويزكى هاى اين اعمال اشنا شويد: ‎ 

صفحه 8:
از شما انتظار مى رود پس ار بایان مطالعه ار مجنقصیل‌هاتواشدا سایی کنید. عضوهای مجموعه های داده شده راتعیین کنید. زیرمجموعه های هر مجموعه داده شده راتعیین کنید. مجموعه تهی راشناسایی کنید.مثال هایی از مجموعه تهی بیاورید. اعمال جبری روی مجموعه هاراتعریف کنیدوبرای مجموعه های داده شد: مال مورد نظر راانجام بدهید. بازه های باز وبسته راتشخیص بدهیدو آنها را به صورت مجموعه نمایش بد مفهوم مجموعه جهانی را توضیح بدهید. 

صفحه 9:
, مکمل هر مجموعه را نسبت به مجموعه جهانی داده شده ,تعیین کنید. . ویژگی های اعمال جبری روی مجموعه هارابیان کنید ودرمسائل به کاربب 1.قوانین «دمورگان »را بیان کنیدودرمسائل به کارببرید. 1.تعدادعناصر هرمجموعه متناهی داده شده راتعیین کنید. 1.حاصل ضرب.دکارتی دو مجموعه رابیان کنید وآن رابرای مجموعه های : شده محاسبه کنید. 

صفحه 10:
اس تموعه یکی از بنیادی ترین مفاهیم درریاضیات است وغالبا" نقطه آغازی ب ‎ole‏ پایه و کاربردهای آن در بسیاری از علوم محسوب می شود. مثلا",: بته مدیریت درموارد بسیاری صحبت از مجموعه تولیدات یک کارخانه ,یا تموعه کارگران یک کارگاه .یا مجموعه تصمیمهای ممکن برای مدیر یک وا ظایر آن به میان می آید.برای درک بسیاری ازمطالب ارائه شده دراین کتا نایی بانعاریف ومفاهیم اولیه نظریه مجموعه ها ضروری است. اين فصل ,مفهوم بنیادی مجموعه واعمال جبری روی مجموعه ها رامورد ب ار می دهیم. 

صفحه 11:
مفهوم مجسموع44)) سس سس مس مس مت مت سس مت سس مس مت سس سس مس مس سس سس ] 1-1مفهوم شهودی مجموعه پوم ریاضی یک مجموعه با مفهوم شهودی(عادی یا روز مره) آن تفاوت دار محقوعا رز راصق هنگایی من ات اشیای ‏ با دنه ]ان نيا بخص باشند.به بیان دیگر هنگامی که برای هر شی به دقت بتوان تعیین کر شی به آن مجموعه دارد يا تعلق ندارد. طوركلى م زیبایی. زشتی,کوچکی,بزر کی شمزگی,وخوش و...كه تعريف دقيقى ندارند .نمى توانند مشخص ۰ مجموعه باشند. 

صفحه 12:
1-1-2 مثال: هریک ازدسته های زیر یک مجموعه است: 3 دسته اعدادصحیح از 1تا100. 0 دسته حروف الفبای زبان فارسی. > آن دسته ازدانشجویان دانشگاه پیام نور که سن آنها کمتر از 25 است ۵ دسته کتاب های درسی سال اول ابتدایی. 6 دسته شهرهای کشور جمهوری اسلامی ایران. ‎f‏ دسته سپارات منظومه شمسی. 

صفحه 13:
1-1-3قرارداد: اگر «». عضوی از مجموعه 5 باشد. می نویسیم: xeS ‏ومی خوانیم «: متعلق به مجموعه : است» پا ««عضوی از‎ xeS ‏داست» يا به طور‎ alee ‏خلاصه,« :در 5است».نقیض‎ نشان می دهیم ومی خوانیم«: عضو 5نيست» يا ««به وتعلق ندارد» يا به طور خلاصهء «: در 5نیست». آزاین پس مجموعه ها را با حروف بزرگ لاتين مانند ...,0 ,ظ 7 ی جموعیضیزهامی نهلیر| بلجتوکه کولوک‌دلاتن نظییتوان طشکیش دادکه ‏ به لق داد امین خواهیم داد. 

صفحه 14:
1-1-6 نمایش مجمو عه ها: برای نمایش بک مجمو عه تمام عضو های آن راد که با علامت >« ‎gl‏ ‏هم جدا کرده ایم. درداخل ابرو می آوریم: 5-2073 و 8 2 ۸ توجه کنید که ترتیب نوشتن اعضای مجموعه , اهمیتی ندارد.برای مثال دو 312 ¥ 123 مجموعه درواقع یک مجموعه را نمایش می دهند. 

صفحه 15:
درمواردی که نوشتن تمام عضو های یک مجموعه غیرعملی باشد, مانتد مچموعه تمرين در :ولا عضو ها رانمیتوات برحست خاصیت مشترکی معین كني رض من كلم زاره( بان کننده این خاصیت تس ری مربوط به باشد. دراین صورت اگر مجموعه 5 شام امت همایی باشد که به ازاى آنها گزاره مانند 4 =| xeQ(x- Dax + apy otis 2PO) 

صفحه 16:
-1-1 منال: لف) خجموعه اعدادا وله ین 31 تالا زرا می توا زته صورت شان داد. 7192329 1131 235,71{ 2 ب)مجموعه ريشه های حقیقی معادله جبر 120 47+ ۶ را می توانیم ء ور ول بدو تسم 1-0 عه + تلع پ) مجمو عه اعداد صحیح فردومثبت را می توانیم به هریک از صورت ها پر نشان بدهیم: ‎xx =2k- 1keN‏ يا 150 

صفحه 17:
/1-1-1تعریف: بوعه 5 راتهی می نامیم,اگروتنها اگر دارای هیچ عضوی نباشد.مجموعه را معمولا"با حرف یونانی (فف)نشان می دهیم.بنابراین نماد ‎S=o‏ جموعه 5 تهی است» خوانده می شود.اگر مجموعه کتهی نباشد,می نویس . خوانیم« تهی نیست» يا « وناتهی است». بو 6درننیجه, ‏ #*لواهد بوداگروتنها اگر حداقل دارای یک عضو باشد. 

صفحه 18:
ی یمجموعه و ثارادرنظر می گیریم.اگر هرعضو مجموعه ۸عضوی از مجمو آهم باشد ,۸رایک زیر مجموعه #می نامیم وپا نماد ۸ شان می دهیم ومی خوانیم «۸زیرمجم وعه 8است» يا «3شامل ۸اسد باد راللامت شمتول با نیت من كوييم. صورتیکه ۸زیر مجموعه ای از #انباشد, می نویسیم ۸ ۶ 

صفحه 19:
1-1تعریف: و ری ری داشته باشدکه درمجموعه ۸ نباشد,آنگاه مجموعه ۸رایک زیرمجموعه سر ‎parol‏ وبا نماد زیرنشان می دهیم. ‎AcB‏ ‏ورتیکه مجموعه ۸زیر مجموعه سره #نباشد می نوبسیم ‎A¢B 

صفحه 20:
1-1-5متال: مجموعه های زیر رادر نظر می گیریم: ‎A =|x\xeZ’,x <100‏ ‎B=|x/ke Z*,x <50‏ روشن است که هر عضو مجموعه #به مجموعه ۸نیز تعلق دارد.پس ‎BoA‏ ‏ازطرفی عولی 8 ليس ایک زیر مجموعه سره ۸است,یعنی ‎BcA 3‏ اکنون فرض می کنیم که | بعد ضميح مقتوستكه بز © خشیذر 260 7 > ۶ 2 60 »زیر مجموعه لعاز #۸نیستویرا يلار 1 جعشا ‎Cea‏ توجه کنید که ۸هم زیرمجموعه ای از مجموعه »نیست. زهر29 ولی ‎A¢C 2958)‏ 

صفحه 21:
1-1-0قضیه: اگر تعداد عضوهای مجموعه ۸برابر عدد طبیعی «باشد آنگاه تعداد کل زیر مجموعه های ۸مساوی است. 11-2 عرف مجموعه تمام زیر مجموعه های ۸را مجموعه نوانی ۸می نامیم وآن را با نماد ‎P(A)‏ نشان می دهیم. 

صفحه 22:
1-1-2 مثال: رض كنيد 88 جنهام زیر مجموعه های ۸عبارتند از اطیه ار (ط ار اه ارو ابراین (۳)۵, مجموعه توانی ۸برابر است با الب ار ط ره ,4 |< (ه)ط ابر قضیه20-1-1 اگر مجموعه ۸دارای «عضو باشد,تعدادعضوهای مجموء ال ای ‎nl‏ ده 

صفحه 23:
1-1-6 تعریف: ومجموعه ۸و ظ, رامساوی (یا برابرامی نامیم اگروتنچا بگ ‎BEA‏ :راين صورت می نویسیم ‎A=B‏ بیان دیگر , دو مجموعه رامساوی می نامیم,اگروتنها اگر دارای عضوهای سانی باشند. 

صفحه 24:
1-1تعریف: مى كنيم 2 و 6 دوعددحقیقی باشند به طوری که >۵. مجموعه تمام اعداد حقیقی :را کهطگ *85 ببازه بسته :و «می نامیم و د [ط,ة]نشان مى دهيم.يس ‎lab =|xeRla<x <b‏ ‎JS‏ 1-1بخشی از خط حقیقی که پررنگ کشیده شده است [,] رانشان ‏.هد. ‎ 

صفحه 25:
۰)مجموعه تمام اعدادحقیقی را که>>8 ,بازه باز و امی نامیم وبانما ‎Ua,‏ نشتاق مى دهيم.بنابراين (a,b) =|xeRla<x<b ‏بکل 2-1قسمت پررنگ خط حقیقی ,نشان دهنده (طرع)است.‎ ع رس ‎pb‏ شكل 2-1‏ 8 وجه كنيد كه خود اعداد دو ايه بازه إدائة)تعلق تدارتد.وبه همين علت دري بادايره هاى توخالى نشان داده شده اند. 

صفحه 26:
هریک ازمجموعه های ط > > وه عع | ‎|xeRla<x <b‏ ‎٠‏ بازه نیمباز «و «می نامیم وبه ترتیب بانمادهای [ظرع) و(ظ,آنشان می دهٍ ‎sla JS‏ 3-1 و4-1 نگاه کنید. 

صفحه 27:
اهنگام استفاده از علامت های :تباید مواظب باشیم که این نمادها ‎SILL‏ يقى اشتباه نکنیم.زیرا آنها خواص اعدادحقیقی را ندارند.بنابراین بازه های داریم: 1 1 ‎oe‏ ط> ۳ د [طره) إه < 2۳ سبیم) ‎(-»,b)=xeRk<b fate) =|xeRx2a‏ ‎=R‏ )#00 «-( aS iS 4795.22) wo Ywlail) 6b] o5l 6-1 Seg) ‏شکل 5-1بازه‎ ازه مجموعه تمام اعدادحقیقی را نمایش می دهد. ‎a‏ شکل 5-1 شکل6-1 هریک از بازه های(ظرع) , [طرع],([طرع), (طیع] , اعدادحقیقی هو ارانقاط ما ارام تاه 

صفحه 28:
1-1-3متال: تموعه جواب نا معادله 3>5+6+2 راتعیین کنیدوآن راروی محور اعدا یقی نمایش بدهید. ‎mah‏ ‏نر «عددی باشدکه در نامساوی صدق می کند,بایدداشته باشیم ‎2x<4-L, x>-2‏ ون تمام مرحله های بالا برگشت پذیر هستند, نتیجه می گیریم که 0 کر +2 ۰ 2 -<: ابراین مجموعه جواب نا معادله مفروض ,بازه:+2) ‎caw!‏ که در شکل 1- شان داده شده است. 

صفحه 29:
اعمال جبري روي مجموعه ها2-1 دس سس مس سس مس سس سس سس سس سس سب ‎[R=‏ 1-2مقدمه: هی میان نظریه مجموعه هاونظریه اعداد حقیقی وجوددارد.باچهار عمل اه ,تفريق ,ضرت ,تقسیم وق مجموعة اعداد حقيقى اشنا هشنيم. اعمال جد بهى را مى توان براى مجموعه ها نيز تعريف كرد.دراين بخش به معرفى و سى اين اعمال مى يردازيم 

صفحه 30:
1-2تعریف: ض می کنیم ۸و 3دو مجموعه باشند, مجموعه تمام عضوهایی را که حداقل ن زاین دو مجموعه تعلق داشته باشند, اجتماع هو تظمی نامیم وقاندا ان می دهیم.به بیان دیگر ‎xeB‏ ييه ع عدإءد | - 8 ن هر 1-2-3منال: الف)فرض می کنیم ۵ لك ۸ و ,4 + ب2 ا< 8 .اجتماع دو مجموعه 4و8 بنابر تعریف 2-2-1عبارتست از ‎AUB=|abod¢d‏ فرض می کنیم ۸مجموعه تمام افرادی باشد که روزنامه کیهان را می خو [مجموعه تمام افرادی باشدکه روزنامه اطلاعات را می خوالنذ۸ عبار بت از مجموعه تمام افرادی که حداقل یکی از روزنامه های کیهان یا اطلاء می خوانند. 

صفحه 31:
-1-2تعریف: رض می کنیم ۸و قدو مجموعه باشند, مجموعه تمام عضوهایی را که به هر جموعه تعلق داشته باشند.اشتراك ۸وظمی نامیم وفتعلة بان می دهیم.به بیان دیگر ‏ 22,5 5 2 1-2-3منال: الف)فرض می کنیم ۸21237 و 0247 .اشتراك دو مجموعه ۸ بنابر تعریف 4-2-1عبارتست | ز و ابنابر تعریف ی ی 27 13 ۸ ب)مجموعه ظومثال 3-2-1(ب)عبارتست از مجموعه تمام افرادی ؟ نردوروزنامه کیهان واطلاعات را می خوانند. 

صفحه 32:
عمل های اجتماع واشتراک از قوانین خاصی پیروی مى كنند.اين قوانين غال هی اندوما یه تلور سهولت کازبردر آنها راز قالب سه»فضیه زین مَع آور 1-2-1 قضیه: رای هر سه مجموعه دلخواه ۸و 3و )ومجموعه جهانی ناداریم 1) ‏4د ودام‎ AUA=A 2) BUA =AUB 3) AU(BUC) =(AUB)UC Ps BCAUB ACAUB AUU=U 6) 

صفحه 33:
1-2-8قضیه: برای هرسه مجموعه دلخواه 3 :۸و )ومجموعه جهانی اداربم 2 ۸۵ ‎ANA=A‏ ‎BNA =AnB‏ 0( 2۸ ۵5۸0 ۸ ۱5 5 ۸ ۳5 ۸ ANU=A 1) 2) 4) 5) 

صفحه 34:
1-2-9 نکته: بااستفاده از قسمت4 درقضیه های 7-2-1و8-2-1 ,می توانیم پرانتزها را حدف كلك واختماع واسترای, تیه مهو عه را به سورت های ‎ANBNC AUBUC‏ بنویسیم.ا زقسمت 5 قضیه های مذکورنتیجه می ‎AdS Be‏ 5 ۸ 1-2-0 قضيه: براى هرسه مجموضاخواه ذو 8و0 داريم ناهام ‎AUIBNC) =(A UB)‏ )1 2) An(BuC) =(AnB)U(Anc) 

صفحه 35:
--1نمودارون: ولابرای روشن تر شدن روابط بین مجموعه هااز نمودار ون استفاده می ‎S‏ ثال هایی ازآن در شکل 8-1 آمده است. درهریک از اين نمودارهاناحیه سا ده نشان دهنده مجموعه ای است که درزیر نمودارنوشته شده است. ‎ep @ Co‏ > ‎@e) Me) Vo‏ AUB AUB AUB eT on (a an oo @ ANB ANB ANB 

صفحه 36:
1 9 رمجموعه ۸و را از هم جدا می نامیم درصورتی که عضو مشترکی ندان شند.به بان دیگر.هرگاه ۳۶اه مجموعه و ترا اره جدا مى حوا 1-2-4منال: الف) مجموعه اعداد صحیح فرد و مجموعه اعدادصحیح زوج,دومجموعه ازهم جداهستند. ANB=o 

صفحه 37:
-1-2 تعريف: جموعه هو آرادرنظر می گیریم.تفاضل مجموعه #۶ازمجموعه ۸,آن را بان نشان‌میدهیم, عبارتساز تمام عضو هاییاز که عضو نی ستند. به دیگر: ‎A- B=|xxe A,x¢B‏ کل 9-1ناحیه سایه خورده ,تفاضل از ۸یعنی ظ-ذرابرای مجموعه های واه ۸و انشان می دهد. ۱ 

صفحه 38:
1-۰ تعریف: هرمجموعه ۸بامجموعه جهانی نا مجموعه ۸-آرامکمل مجموعه ۸می نز ماد نشال می دهیم.پس ‎A’=|xxeU, x¢A‏ , سایه خورده در شکل 10-1 نشان دهنده مکمل مجموعه ۸است. oO CO شکل 10-1 A 

صفحه 39:
1-2-1منال: رض می کنیم تامجموعه اعداد حقیقی ۸ مجموعه تمام اعدادگنگ(یااصم) تموعه تمام اعدادگویا باشد.بنابر تعریف 18-2-1 داریم 28 ۶۶۸ , 265 ۸ -17< ۵ ‎wily‏ برایق مجموعه اعداد گویاست.به همین ترتیب ‎B’=U- B=|xkeR, x¢B =A‏ 1-2-2 قضيه: ر 4و زیرمجموعه از مجموعه جهانی تاباشند, آنگاه ‎SU aM call‏ ب) - (ها ‎ts U =o 0‏ > ۸ ,نگ, 2۸ 8 وبرعکس 

صفحه 40:
1-2-2 قضیه قوانین دمورگان: اگر ۸و8 زیرمجموعه هایی از مجموعه جهانی نا باشند, آنگاه (AUB) =AUB (cal (ANB) =ANB ‏ب‎ 1-2-4 قضيه تعمیم قوانین دمورگان اگر مجموعه های :2:۰۰-۸,2 زیرمجموعه ای از مجموعه جهانی باشند, آنگاه (A, UA, U...UA,) =A; UASU...UA, (ull ‎tS‏ يُقم.ه هش ,۸.0۸ بها) 

صفحه 41:
12 ی رض می کنیم و3 دو مجموعه باشند. مجموعه تمام عضو هایی راکه تنها؛ تنها به ظ تعلق دارند,تفاضل متقارن 4و ظ می نامیم قاشاد بان می دهم. به بیان دیگر ‎AAB=(A- B)U@- A)‏ اوی بالاء دلیل انتخاب نام تفاضل متقارن براق۸۸ رانشان می دهد,زیرا ضل متقارن ۸و ظ برابربا اجتماع دو تفاضل ‎-cawlB-A 9A-B‏ درشکل 12-1 ناحیه سایه خورده 0 1 تآفهان داده شده است. 

صفحه 42:
بش ازاینکه به تعریف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه بپردازیم.مفهوم وج های مرتب را یادآوری می کنیم. 1-3۰ تعره زا ‎al‏ (طوازراکه درآن تیب عناصرمظرح است یک دوتایی زنب با زو ‏تب یا جفت مرتب می نامیم.در زوح مرتب (ظبع) . هرامولفه اول و راموا م می گوییم. ۰تعریف: ج مرتب (ط,ع) و(6,۵)رامساوی یا برابر می گوییم,اگروتنها اگر داشته با ‎a=c ,b=d ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 43:
رو رض مى كنيم 4و8 دو مجموعه ناتهى دلبخواه باشند.حاصل ضرب دک أو 8 كذ با نهار ۳ هشان‌داده ‎dine‏ 29 عبایتساز مجموعه تمام زه رتبى به صورت ‎lyn oS (a,b)‏ 36۸ #>یعنی AxB=((ablac A,be B ؟توجه كنيد كه هرعضو مجموعه ‎SAXB‏ زوج مرتب است. 

صفحه 44:
1-3-6منال: برض می کنیم (3 ,2 ,1) ح۸وط ,و -3).بناب 5-3-1 حاصل ضرب دکارتو ۶بارست از ‎AxB=|(L9),1),29,.20),89),6))‏ حاصل ضرب دکارتی ۲*۸ بزابراست با ‎BxA = (G),(g2),(g3),(h,),(h,2),(h,3)‏ » طوری که مشاهده می کنیم , حاصل ضرب های دکلزتیم۸ ‎BXA‏ ما بر ابا هه 

صفحه 45:
تعداد عضوها و افراز یک مجسموعه0) سس سس مس مس مت مت سس مت سس مس مت سس سس مس مس سس سس ] 1-4-2 قرارداد: تعدادعضو هاى مجموعه متناهى 4 رابا نماد (12)4 نشان مى دهيم. © مجموعه تهى يى مجموعه متناهى at Ad مجموعه ای که تعداد اعضای آن متناهی باشد, مجموعه متناهی یابا پایان نامیده میهد مجموعه آی که متاهی ناد امتناهی بایان 

صفحه 46:
1-4-3منال: الف) مجموعه (1, 7,3, 9,11)متناهی است زیرادارای 5عضو است. ب) مجموعه ‏ 12 - #۷ لتناهي است پ) مجموعه لک 2۱0۶ [لللتناهی است. ت) هرک از مجعوع های اعذاد طیعی. صح كوا كك عقیقی نامتناهی است. ث) ‎(a,b) oj‏ که >2,مجموعه ای نامتناهی است. 

صفحه 47:
1-4-5 قضیه: فرض می کنیم ۸و8 و )سه مجموعه دلخواه باشند.همواره داریم الف) ‎UB) =n(A) + n(B)- n(A NB)‏ قاط nA UBUO) =nA) +n(B) +n(C)- ofA iB) ‏ب‎ (0م قم شام + (0م 8م -(0م هام - n(AAB) =n(A - B)+n(B- A) 

صفحه 48:
1-4-6 مثال: فرض كنيد مجموعه 4 داراى 40 عضو ومجموعه 8 داراى 35عضو است كه 10 عضو آنها در 4و8 مشترى هستند. مجمو ‎ayia gine aig = AUB‏ چون 216 ( 5۸,بنابر 5-4-1(الف) داریم ‎n(A UB) =n(A) + nfB)- n(A mB)‏ =45+35- 10=65 

صفحه 49:
0 ریت مجموعه نانهی ۸ رادرنظر می گیریم. مجموعه های ناتمیش...,,۸ رایک افراز مجموعه ۸ می نامیم,درصورتی که: الف) مجموعه های ,۸روشر...,یظ دو به دو ازهم جداباشند,به بیان دیگر به ازای هر نوز که [**1,داشته باشیم ‎A,NA; =‏ ب)اجتماع مجموعه هاو4 ,عظ...,۸ ‎AS linc‏ اند یعنی A,UA,U..UA, 

صفحه 50:
Ag As, Ay Az, Araligaro ‏درشکل 15-1 افراز مجموعه ۸ به شش‎ نشان داده شده است. 

صفحه 51:
فصل دوم rer. دف کلی فصل این است که بادستگاههای مختصات دکارتی وقطبی آشنا ز معادلات خطوط رابشناسید ونمودار آنهارارسم کنید. 

صفحه 52:
ازشما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه اين فصل بتوانيد: 1. مختصات دکارتی هر نقطه رادر صفحه مختصات تعیین کنید. 2 باداشتن مختصات دکارتی یک نقطه ,موضع نقطه را در صفحه 3 فاصله دو نقطه رادر صفحه مختصات محاسبه کنید. تختصات وريط ‎billet. tabi) bse tks‏ وانتهای پاره خط 5. مختصات محل تلاقی سه میانه مثلث رابا دانستن مختصات ‎ee‏ 

صفحه 53:
6 مختصات نقطه رادر دستگاهی که محور های آن به موازات خود انتقال یافته اند,تعیین کنید. 7. معادله خط را با استفاده از داده های مسئله بنویسید. 8.شیب خط راتعریف کنید,رابطه بین شیب های خطوط موازی ,متعامد, ومتقاطع نمود لیا ‎valet lat‏ رکه معلداف نها کلرم,ینیده است‌رسم کنید. کر ار ول ارهاظ ها رانمیی تن ‎geal sls‏ را سر ار 

صفحه 54:
2. فاصله دو خط موازی راتعیین کنید. 3 مختصات نقطه تلاقی دو خط رابیابید. 4. دستگاه مختصات قطبی را تعریف کنیدونحوه تعیین مختصات قطبی یک نقطه رابیان کنید. 5. رابطه بين مختصات دکارتی و مختصات قطبی یک نقطه رابدانيد ودر حل مسائل به كاربريد. ‎a‏ بن فصل ابتدا به معرفی دستگاه مختصات دکارتی و دستگاه مختصات قطب پردازیم وسپس رابطه بین این دو دستگاه رابررسی می کنیم. 

صفحه 55:
دستكاه مختصات دكار قى 0-2 ات تت سس 2-1تعريف: صفحه هندسی ,یک خط مستقیم افقی رسم مى كنيم.درروى اين خط, نقه واه رابه عنوان مبدا وطولی رایه عنوان واحد طول اختیار می کنیم.اکنور خط رابر حسب این واحد طول به ترتیب اسلاید بعدی مدرج می کنیم: 

صفحه 56:
الف) نقطه 0 .یعنی مبدا رابه عنوان نمایش عددصفر اختیار كم ت) "آكر ‎ail, .s| alas! a>0‏ فاصله 4برابرواجد طول درس زاس ماه عتوان ایس واحتار مف کنیا باکر 0 ای را تاصله درا روا ول ریت ل وتارس آعداد کت سید دزرسمت رارات بی که نمایش اعداد منفی هستند,درسمت چپ مبدا قراردارند.بنابراین, < داری به دست می کنیم آوریم که نمایش اعداد حقبقی است.ابن خط جهر ور طول هايا مخورا ‎li‏ می کنیم ناميم بم شكل ‎ge‏ b<0 a>0 0 شکل 1-2 

صفحه 57:
2-1-2 مختصات نقطه در صفحه: ن می کنیم ۳ نقطه دلخواهی در صفحه هندسه 017 باشد. نكل 3-2.خطوط 24و28 رابه ترتیب عمودبرمحور :ها وعمود بر محور ؛ م می کنیم .اندازه جبری 0۸روی محور :ها را طول نقطه ۲ واندازه جبری , محور ها را عرض نقطه «می نامیم. 

صفحه 58:
درنتیجه یک تناظر یک به یک بین نقاط صفحه وزوج هایی مانند(ظ,ه), که در آن :و« اعدادحقیقی اند وجوددارد.بنابراین می توان صفحه 017 رابا ‎Ac pane‏ ی گرفت.درشکل 4-2,یک دستگاه مختصات دکارتی وچند نقطه درآن نشان داده شده است. 

صفحه 59:
2-1-4مفال: تن ره کتک مات رای #های ان( اه رو 0 باشد. 

صفحه 60:
2-1-5 فاصله دو نقطه : رض مى کنیم ۸ نقطه به مختصات ابو 8 نقطه به مختصالقل ۰ اشد.فاصله دو نقطه 4و8رامساوى طول پاره خط ۸ تعریف می کنیم « ماد ((,0)۵نشان ‎Wo‏ دهیم. می توان ثابت کرد که فاصله میان ۸ و ظ از ابطه زیربه دست می آید. ‎ya)‏ - ولا + ید - بات (بشل 

صفحه 61:
tls ‏پاره‎ dows ‏مختصات‎ 2-1- و نقطه ۸ و ظ را به ترتیب با مختصات ‎Gaya)‏ لدلانه#إر صفحه ر نظر می گیریم .اگر نقطه وسط پاره خط ۸۴ باشد, آنگاه مختصات نق برابراستبا Xo aly, +X) 37 1 لولا* ولااج- ‎Yo‏ 

صفحه 62:
2-1-6منال: تختصات نقطه وشظ باره خط در مقال" 12129 رانعیین"کنید: ارد قر رو ی ی ‎x =H- 140) 0‏ 2 Yp 3 34+) =-1 بنابراین مختصات نقطه (1- ,0),ظ است. 

صفحه 63:
2-1-2 انتقال محورهای مختصات : x=X+a y=Y+b 

صفحه 64:
0 :2 ۱ + معادله ونمودار ‎O-OLA‏ ‏ا م م 2س -2-2مقدمه: ط راس و راکه مواز ی آمحور ‎eS coo Glen lalla ide Les) cong lay‏ و ظ دو نقطه متمایز دلخوله رووخط ۲ب اشند آنگاه شیب اضریبزاویه خ ابا حرف «نشان می دهیم وبه صورت زیر تعریف می کنیم. ی ‎Xp Xa‏ 

صفحه 65:
فت كنيد 5 انتيب خطاییسشنگی به نعاظی که براف محاسبه آن آنتخاب موه د,ویرای تمام نقاطهروی هر خط مقداری ثابت است.(چرا؟) -2-2 مثال: تیت‌خطی مه اوه تفص 9و ای کرد برایراسسا اب ‎oan‏ 4-2 -2نكته: خط ارا مي تؤان دا راتت أزاو ات كه لين خط )0 مقت م , سازد نيزتعبير كرد.به بيان ديكر m=tané 

صفحه 66:
98دراین جا ۰ .)18 تایه ای است که خط باجهت مثبت محور »ها می سازد. 

صفحه 67:
به شکل های 10-2توجه کنید. m=0 m<0 ae سوجودندارد شکل های 10-2 m>0 

صفحه 68:
-2-2 قضیه: ه نقطه ۸و3 و )برروی یک خط واقع اند اگروتنها اگر شیب های خطوط 1 36مساوی باشند,به عبارت دیگر داشته ‎m,, ets‏ -2-2 منال: دد درا جنان تعيين كنيد كه سه نقطه (1-,۸)1 ,(2 ,0)ظ , (28-,0)8),برروو ک خط راست واقع باشند. بنابرقضیه 6-2-2بایدداشته باشیم و 2 287 دن (1-) -2 2-0 01 May =Myo > .2-2 ‏درنتيجه‎ 

صفحه 69:
2-2-9 قضیه (شرط توازی وتعامد دوخط): فرض می کنیم ‎DR WL‏ ترتيب شيب هاى خط هالى ‎gle‏ باشند. الف)دوخط تاو م1 متوازی اند اگروتنها اگر1۳< ,17 ب)دوخط "و مأبرهم عمودند اگر وتنها اگ = ‎MM,‏ ‏2-2-1منال: ‏ان ده ‎alas lee nas‏ رما ره ی( کر مستطیل آند. te ‏دانیم مستطیل یک چهار ضلعی است که درآن اضلاع دو به دو برهم عمود‎ , نلاع روبه رو با هم مساوی ومتوازی اند,به شکل 11-2 دراسلاید بعدی توجه ‎+o‏ 

صفحه 70:


صفحه 71:
9ازآن جا که 2-1 مب وبظظ و 2-1 تتدوبتتا خطوط ۸و۸و همچنین خطوط )ود دوبه دو برهم عمود ند. 9 ازطرفی چوو۳ ۳۵۲ و7۳« ,روخط و0 باهم ودوخط ۸ ‎CD‏ توازی اند. ما ال ل شور که هار صلعی ‎faculties ABCD‏ 2-2-1 زاوية بين دو خط ؛ رض مى كنيم 801 لاله ترتيب شيب هاى دو ‎glo Le‏ باشند. زاويه ن دو خط , «ازرابطه زيربه دست مى آيد. aig i+mm, 

صفحه 72:
‎‘eile als, 2-2:‏ ‎aby) Aly) Aisa‏ متمایزروی خط اباشند. اگر نقط لیلهار ۰ سای برحسا له خط فا اند ‏له خط تأعبارثك انعت از الت اول)اگر خط ۱ قائم نباشد.یعنی* 5 ,آنگاه معادله خطبا برابراسد ‏6 -قلاب ‎oe x,)‏ وا ‎y- wa x,)‏ لت دوم)اگر خط اقائم باشد.یعنی 3 .1 نگاه معادله خط قائم .1 عبارد ‏ت از ‎x=X, 

صفحه 73:
2-2-6متال: ادص رای اكه ارو لطهت 0015/14 کرت حل: 2 یت خظ برابراست ۲ 7 معادله خط بنابر 15-2-2 (الف)عبارت است از اه وت 9-7 (3 4-2 ۷ ‎x- 4y+13=0‏ 2-2-1 نکته: طور کلی هر معادله ای به صورت 7+0<0 +۸ ,که درآن اعدادحقیقی ردو اه تمه را ده تيكو ای خسف ارما كله 13 أمل:ثوان های اولد وراست برس ۰ ون خطى می ام 

صفحه 74:
تایراین هط راست اضف وله یک لاله خطى لضن مركا له ی ‎aol‏ خطی 00+ +۸۵,راکه درآن اعدادحقیقی ۸ و 8 هردو باهم صف ستند.مى توانیم به صورت زیربنویسیم: 7 رط عه دو رن مرا کار مساو + برااطول از شدا یی نموه جه کنید که اعدادحقیقی »و ّبه ترتیب به ازای 1-0 و0 از معادله ‎a es odd es ayy =axt‏ 12-2 نگاه كننية 

صفحه 75:
حقیقت (0,0),نقطه ای است که درآ«خط مورد نظر با محور ها تلاقی ‎no‏ ‎-b‏ 2 کر له ای کپوا ورد ل رهق ‎Guy =axtb alo‏ خط برابر ءاست .چون این معادله برحسب .شیب ‏از مبدا خط ,نوشته شده است,آن را معادله شیب و عرض از مبدا 

صفحه 76:
2-2-3منال: 2 نموداز خطی با معادله 3**2 ۷ را رسم کنید. 0 ن معادله خط به صورت شيب و عرض از مبدا داده شده است,لذا تعيين ي خط با محور های مختصات ,یعنی عرض از مبدا از مبدا وطول از مبدا > است. داریم: كر ‎aS‏ yo = x=3 ‏دو نقطه (0,2)و (3,0) روی این خط قراردارند.خطی که این دو نقطه را‎ صل کند.نمودارخط داده شده است.این نمودار درشکل 13-2 نشان داده : 

صفحه 77:
(0,2 (3,0) X 2-2-6 فاصله یک نقطه از یک خط: اصله نقطه (ط,۳)۵از خط ابا معادله 0-<۵+13+0برابراست با: 0 +ظ جمها ‎a‏ ‏+ لد 

صفحه 78:
22-7 فاضله تواحظ مفاقى: فاصله دو خط موازى با معادله هاى ‎|~Ax+By+D=0 5 Ax+By+C=0‏ است با: 0-9 ‎Te‏ ‎VA? +B?‏ ۰2-2 مختصات"نقطه تلاقی دو خط: تلاقی دو خط, نقطه ای است که برهر دو خط واقع است.بنابراین اگر معا ط به صورت 0<0)+ +۸ و 20< 0 +857 +56 حباشند. مختصات نقطه .اين دو خط ,از حل دستگاه دو معادله دو مجهولی به دست مى آيد: Ax+ By+C =0 Ax+By+C =0 

صفحه 79:
2-2-3متال: تصات نقطه تلاقی دوخط با معادله ‎93x-4y+6=0 isla‏ 27-3<0-ذرا به « ريد. بر 31-2-2 بايد دستكاه دو معادله دو مجهولى زيرزا حل كنيم. ‎3x- 4y+6=0‏ ‎x- 2y- 3=0‏ ای این کار معادله دوم دستگاه بالا رادر (3-)ضرب ونتیجه را با معادله اول ۰ جمع می كلم ريدي ‎3x- 4y+6=0‏ ‎3x+6y+9=0‏ - 0+2y+15=0 

صفحه 80:
15 0 3 نتیجه, .با قرار دادن و دز معادله دوم دستگاه به دست می آو ‎x=-12‏ = مود له »م ‎2 ‎ 

صفحه 81:
دستگاه مختصات قطیی ‎٩-۵‏ ا ‎eee‏ 0ك '-2 مقدمه: نش 1-2ديديم كه مكان يى نقطه از صفحه را مى توانيم با طول وعرض نطه در دستكاه مختصات دكارتى مشخص كنيم.روش ديكرى براى تعيين م قطه در صفحه وجوددارد که به کمک دستگاه مختصات قطبی انجام می ش , بخش ,دستگاه مختصات قطبی را معرفی می کنیم و سپس به بررسم سات قطبی یک نقطه ورابطه آن با مختصات دکارتی آن نقطه می پردازیه 

صفحه 82:
ض می کنیم ۳ نقطه ای ثابت باشد که بر ه.قطب,منطبق نیسلات.اگر زا ت دار ۳م۸باشد۸هرا شعاع نخستین و ۳را شعاع نهایی زالیه مى نامي ت مثبت دراندازه گیری زاویه ۵برخلاف عقربه های ساعت (پادساعنگرد) نظر گرفته می شود.اگر : فاصله جهت دار ه از ۲,باشد, زوج مزفتا ر تصات قطبی نقطه در صفحه ‎xo‏ نامیم,ومی نویسلیلی". (به شكل ' ه کنید. 0 مر 

صفحه 83:
مولا" زاویه برهحسب درجه یا رادیان اندازه گیریمی شود.بین درجه وراد طه زیر برقراراست. 3 راديان- 1 درجه عاع نهايى 072را شعاع حامل نقطه «نیز می نا مند. 0 3 3 کر ‎١ Tn Lense alas parcel‏ بدا نیم خطى آرون سم می کنیم به طوریکه زاویه 0۳هبرابر + باشد. نقطه ای که روی شعا ابن أبن رافية در فاص و از »‌فرازنارد همان عظه اس 

صفحه 84:


صفحه 85:
2-3-5 نکته: در دستگاه محتصات قطیی ۳ تمدو و ور 327 کلی به ازلی هر عدد صحح ۲,نقطه ‎SE‏ 9۳| برهم منطبق هس 

صفحه 86:
2-3رابطه میان دستگاه مختصات دکارتی و قطبی : می کنیم محور:ها منطبق بر محور قطبی و .مبدا دستگاه مختصات دكار قطب واقع باشد.محور رها را منطبق بر شعاع 0-5 . اختیار مى كنيم. ‎wo‏ کنیم مختصات قطبی نقطه «نسبت به محور *0وقطب ,زوج مرا و(مبگتصات دکارتی این نقطه نسبت به دستگاه مختصات دکارتی ۲0 ‏برتب (2,1)باشد.در تعیین رابطه بین ع ,۷ روا بسته به علامت :دو حالت ‏ص می دهیم: 

صفحه 87:
1)اگر ۲<0,نقطه «رویشعاع نهاییا زاویه واقع لست.به طوری که درشکل های X=TCOML 120PQ asl jl ‏زیر دیده می شود,در مثلث قائم‎ y =rsind 

صفحه 88:
0 + 0036 2ح ترب تر -12)003060 + ‏(مغرزو‎ =r ‏بنابراين‎ 2 اگر 0> : نقطه «روى ادامه شعاع نهايى زاواله واقع است. شكل اسلا يد بعدى راببينيد. 

صفحه 89:
|, 

صفحه 90:
در متلت قانم الزاوی 0۳ . داریم: با توجه به حالت هاي (1)و(2) داریم: که از آن نتيجه می شود. 

صفحه 91:
2-3-1منال: ض كنيد مختصات قطبی نقطه «,زوج مرتلچ 3 باشد, مختصات دکارتی عيين كنيد. حل: بنابر11-3-2 مختصات دكارتى «عبارت است از 3 2 X =rco# =- 3c: ۳ of : 3 ‏سد 3 -- 110و‎ y =rsii si 7 1 بنابراين مختصات دكارتي رات 2 است. 

صفحه 92:


صفحه 93:
2-3-1 متال: ‎yo.‏ کنید مختصات دکارنی نقطه ,وج مرتب(۷3) باشد.بافرض ۲<0: 2>, للكلضات قطبى نقطه «راتعيين كنيد. tu ‏ر روابط بین دستگاه های مختصات دکارتی و قطبی در 11-3-2داریم‎ مد وجللد<د ر 12۳009 ‎V3 =rsind‏ از ۲<0نتیجه باشدکه 2<-۲.برای تعییق ازمعادله های 1-2009 مصزع2- 3 به دست مى آوريم 

صفحه 94:
cos) = ‏جد‎ 0 gue wla sind = أده بنابراين مختصات قطبى نقطه طازوج مرت .2) است 11 ري رض كم 17 لیات قظیی عله رن ‎cota‏ باشد او ای ره تورت (0) معاوله فطع نی نامتی 

صفحه 95:
-2-3منال: دله قطبی ‏ 0050+5172-رآذر نظر می گیریم. می خواهیم معادله دکارت را تعیین کنید. حل: باشرط 00 قرارمی دهیم + تمرح 1۳ sind ‏ر لد‎ 98 ee ۳ 4 

صفحه 96:
۱ 0 <-2009 519 + 0 x+y? =X) +? oe Pie _ 2xy+x? ‏بر‎ در نتيجه بدست می آوریم. ‎=2xy+ x”‏ رجنم 

صفحه 97:
فصل سوم 1 سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس سس 1515557 رابطه وتابع هد کلی فص این راست ترا مفاهب رانطه و نات اتواع ‎elas‏ توابع خاض *اعفال جیوه روت توانغ ووازون تنم آشتا سویو ‎fas —‏ از شما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه اين فصل بتوانید: 1 مفهوم رایطه را توضیح دهید. 2ل راتعريفة کنید وتفاوت آن:رابا رانطه توضیح ‎Sabo‏ 

صفحه 98:
4)نمودار توایع را با روش نقطه یابی رسم کنید. 5) اعمال جبرى روى توابع را تعريف كنيد و در حل مسائل بكار ببريد. 6 انواع توابع جبری معرفی شده در کتاب را بشناسید , ویژگیهای هر یک را بشناسید و اين ویژگیها را در حل مسائل به کار ببرید. 7 انواع توابع غیر جبری معرفی شده در کتاب را بشناسید , ویژگیهای هر یک را بشناسید و اين ویژگیها را در حل مسائل به کار ببرید. ‎yusi (8‏ كنيد كه هر تابع معلوم زوج است یا فرد, یا ‎ns‏ ‎ 

صفحه 99:
.تعيينكنيد تابع پوشاستیا نه (۱0 1) تعیین کنید تابع یک به یک است يا نه. 2 شرایط وارون پذیری تابع را توضیح دهید و وارون آن هر تابع معلوم را , در صورت وجود , تعیین کنید. 3) نشان بدهید که توابع نمایی و لگاریتمی وارون همدیگرند. 8 ان توابع مثلثاتی را توضیح بدهید. 1 در علوم گوناگون , مجموعه هایی که عضوهای آنها زوج مرتب اند اهمیت ‎eal‏ دارند. در اين فصل به معرفی و مطالعه اين گونه 

صفحه 100:
‎A 1‏ محر ور ایصه»- سء ‏سس سس سس سس سس ‎ ‎ ‎ ‏3-1-1 مقدمه: در بسیاری از توایع با مجموعه هایی از زوجهای مرتب سروکار داریم . ‏برای مثال , هنگامی که متحرکی روی خط مستقیم حرکت می کند, فاصله ‏آن از طةاارا در هر لحظه می توان بوسیله زوج مرتب (, 5 1) نشان داد ‏که بر ان . و افاضله متدركى اميد اسك ‎BS? ‏هر مجموعه ای از زوج مرتب را یک رابطه دوتایی یا بطور‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 101:
3-1-4 تعریف : فرض مى كنيم ‎EVER sub all GR‏ , در این صورت می نویسیم 7 و می خوانیم « : رابطه ۶ دارد با ز »یا «بین » و رابطه 2 برقرار است » يا « زابطه ‎ .:‏ را به ‎١‏ نسبت می دهد(نظیر می کند» : مثال-3-1 رابطه ‎sla‏ مثال 3-1-3 را در نظر می گیریم .بنابر 4-1-3 داریم : 2 يا 0,25 0625-5-04 ‎GSES) bi: 422555‏ ایران نهوان & ‎(oberol we S,‏ 

صفحه 102:
: تعریفع-3-1 مجموعه تمام مختص های اول زوج مرتب یک رابطه دامنه یا قلمرو یک رابطه و مجموعه تمام مختصهای دوم عضوهای رابطه را هم دامتهرابظه می نامیم 3-1-7 متال : ابطه های مثال 3-1-3 را دز نظر می گيريم: اهنه مجقوغه (2و1) وهم دامنه آن مجموعه (8ود3و2) اشت . امنه وهم دامنه ی تمام اعداد حقیقی است . امنه مجملکه تمام اعدد حقیقی وهم دامنه آن مجط<2 ۷۱5 است امنه مجیلوعه (تهران.کابل,اسلام آباد) و هم دامنه آن (ایران, پاکستان فغانستان) است . 

صفحه 103:
3-2-1 مقدمه: در این بخش دسته خاصی از رابطه ها را , که تابع نامیده می شوند ت ویژه ای دارند. معرفی می کنیم. 0 فرض می کنیم دامنه رابطه ۶ مجموعه ۸ وهم دامنه آن مجموعه © باشد که ‎(CSB)‏ ‏زیر مجموعه ای از 3 است . رابطه ۶ را یک تابع از ۸ به ‎B‏ 

صفحه 104:
الف) برای هر عط6* , عضوی مالعا وجود داشته باشد به گونه ( 0 ای که .به بیان دیگر ۶ باید هر عضو ۸ را به عضوی از ظ نسبت دهد. (xzef (۶ ب) اگر و آنگاه 722 .یعنی ؛ هر عضو هرا تنها به یک عضواز ‏ نسبت بدهد. به طور خلاصه رابطه ؛ را یک تابع می گوییم در صورتی که ۶ هر 

صفحه 105:
3-2-3 تعریف : اگر ۶ تابعی از ۸ به ظ باشد. می نویسیم: ۶:۸ مجموعه ۸ را دامنه تابع ۶ می نامیم ِا نماد نشان می دهیم. و مجموعه R, ‏را برد تابع: و بظتماط نشانهودهم. بنابرلين:‎ 8 ‏عي‎ 4 ‏جون بنابر تعريف تابع . به ازای هر » از دامنه ؛ تنها یک عضو از‎ (> 2 ‏مانند بر وجود دارد به گونه ای که , معمولا « را مقدار؛‎ (xyef ۶ ‏در‎ ‎y=i(x) ‏می نویسیم:‎ slug ‏می نامیم‎ معي )1 ات وا دموا متا سو فعا ذلك 

صفحه 106:
3-2-6 مثال : نشان بدهید که رابطه ((2,1(,)1,3(,)3,5(,)4,7)) عو بى نالع الست 7 جل :دامته رايطه ‎og‏ مجقوعه 3,41 ,21) واهم دافته (ee ۱ , ‏آن (1,3,5,7) است‎ FS) مشاهده می کنیم که هر عضو از دامنه ع فقط و فقط به یک عضو از هم دامنه ع توسط رابطه ‏ نسبت داده شده است . بنابراين ع fone 

صفحه 107:
3-2-7 نکته: در مثال 6-2-3 , تابع بودن رابطه : را با بررسی تمام زوح هایمرتب آن انجام,دادیم. در خالی در مثال :5-2-3 که رایطه ۶ با ضابطه ای تعریف lin 3-2-8 يا 3 شخيص تايع بودن ؟ از تعریف تابع استفاده كردي ار هه بح ‎a‏ 2 > (03(,)24 )< ی ‎ees‏ ):( 

صفحه 108:
3-2-0 تعیین دامنه تابع: هر تابع با ضابطه تعریف و مجموعه های دامنه وبرد مشخص می شود. ولا رون کر مشاكض كرون ‎aE SSIS ESE‏ نخست دامنه تابع را تعریف کنند , به این ترتیب با ضابطه تعریف تایع » مقدار تابع به ازای هر عضو دامنه مشخص می شود. اگر دامنه تابعی مشخص نشده باشد , آن را مجموعه تمام اعدادی در نظر من كيريم که بقازای انها صایظه تعرتف انم ‎ain ot Li‏ امد 

صفحه 109:
£(x) =4 wl sly Mio چون تقسیم بر صفر مجاز نیست. دامنه تابع مجموعه تمام اعداد حقیقی ناصفر است, يعفه و ‎D,‏ به كمين ترتيت (دامتمتاق 9190 ‎١‏ مجموته تمام عده حقيقى نامنفى است ؛ يعنى 4ن 2ح يط زيرا ريشه دوم عدد حقيقى « فقط وقتى تعريف مى شود كه داشته باشيم: 5 

صفحه 110:
3-2-4 مثال : فرض كنيقا ع -2 © ,= < ۶00 مقادیر ,00 ,)1(£ f(x-1) ‏داریم‎ ‎۶00 ‏ك2‎ ‎1+1 ‏ل رن‎ ee Soe Dee ‏ار‎ ‎286 Ax-D _Ax- 1) (-D41 x 

صفحه 111:
3-2-7 متال : نمودار تایع ؛ با ضابطهد ‎f(x)‏ رارسم کنید. y x £(x) 3 15 10 £(x) =x? 

صفحه 112:


صفحه 113:
* ‏منال‎ 3-2-8 Sg £00 zfule Lt eli, ae f(x) راز N ۱ BR infinity ininty ALR WIR NIB لاد AlK WIR NIE BN A PNIP iB! N 

صفحه 114:
3-3-1 مقدمه: بسیاری از توابعی که در مسائل مطرح می شوند ممکن است ترکیبی از توابع دیگر باشند. برای مثال , فرض کنید ()۳ مقدار سودی باشد که یک شرکت از فروش ۲ عدد از کالا یی بدست می آورد. اگر ‎R(X)‏ از فروش + واحد و(066) هزینه تولید « واحد کالا باشد, داریم : P(x)=R(x)-C(x) به اين ترتيب مى ‎2b GH gs‏ 11۵0 (/3۳لستفاده از ویژگیهای توایع ()۳و ()) پیش بینی کرد. در اين بخش به بررسی اعمال جبری روی توابع ‎wo‏ پردازیم. 

صفحه 115:
3-3-2 تعریف : دو تابع * و ع را برابر يا مساوی می نامیم , در صورتی که (الف) دامنه های ۶ و ع مساوی باشند دهتی,1 (ب) به ازای هر : از دامنه مشترک !و ء , تساوی (۶06(<00 برقرار باشد. 3-3-3 منال : 2+5 الف) دو تايع با صایطه های عطق ‎SEO)‏ f(x) = برابر نیستند , زپرا مجموعه 8ای[- ‎D,=R, D,‏ مساوی نیستند. 

صفحه 116:
2 ب) دو تابع با ضابطه های نعویف2- 000 ر ‎f(x) ee‏ + 1 ‎D, =D, =R , x°+140‏ برابرند. زیرا همواره ‎as‏ ‎a 109‏ f(x) =g(x) =2x+5 ازای هر عدد حقیقی داریم : 

صفحه 117:
9-9 تعرنف:: فرض می کنیم ؟ و 6 توابعی با دامنطاهاق بشید توابع جدید ‎,ftg,fg, fy‏ رابه صورتویر تعريفمی‌کنيم: ۱۳ 1 الف)تابع حاصل جمع 9+ روی ‎Cee‏ ‎(£+g)(x}-fx)+ g(x) ;xeD, ND,‏ D,AD, ب) تابع تفاضل ‎fg‏ روی با ضابطه ‎g)(x}-f(x)- g(x) ;xeD, ND,‏ +£( 

صفحه 118:
able DADs) fg ‏ب) تابع حاصل ضرب‎ (fg) (KF FG) g(x) ;xeD, ND, £ 7 ت) تابع خارج قسمت وروی نقاطی ‎DeODgl‏ که در0آن(90 f(x) soleil 0 )وز و۱1 م1 دز 10 Oe Ra 

صفحه 119:
‎Jlic 3-3-6‏ : فرض می کنیق -2۷ 900 , 2۷-2 20۵ . دامنه های ۶ ‏و8 ‎Rix- 2=0} =[2,+00)‏ 26 ,1 ‎D, =e R4- x =-=C~ A]‏ ‏عبارتند از ‏بنابراین دامنه توایع ۶0 , و۶ , 86 عبارتند از ‎D, OD, =[2+%)N (-0 A] =[24]‏ ‏1 ‎X=4 Use‏ ريشه معادله ‎caw! G(X)=0‏ .لأمنه تابع برابر با بازه ‎ae‏ یر که 

صفحه 120:
(f+g)(«) =Vx-24+/4-x , xe[24] (f- g)(&) =Vvx-2-/4-x ‏را‎ xe[24] (fg)(x) =V/x-2/4-x , xe[24] £ 02-2 Oo Nase 5 xe[24) 

صفحه 121:


صفحه 122:
3-4-1 مقدمه: در این بخش به معرفی توابعی می پردازیم که در مباحث مربوط به حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش مهمی دارند. مقر اگر دامنه و برد تابع ۶ زیر مجموعه هایی از اعداد حقیقی باشند , ؛ را ‎f:R'OR‏ ‎AMF,‏ مى نامیم.برای مثال اوه ‎ ‎ ‎ 

صفحه 123:
3-4 تعراف : اگر برد تابع حقیقی ؛ , مجموعه ای یکانی باشد آنگاه ارا Salas f£:R> GB} te Pia مق ناميم. براق مثال تابع ل 1000-3 يى تابع ثابت است و داریم ۶)0(<3 , 3->(1)1 , -(5-)1 . نمودار TJS jof(x)=3 

صفحه 124:
3-4-4 تعرر ‎ene‏ ور ‎OE‏ ‎X ia >‏ داسشته باشیم 2۶ (۶۳ : آنگاه ۶را نامع همانی می ناعیم بعضی مقادير اين تابع عبارت اند از: 1)2(>2 , 3--(3-)1 , 0-(1)0 نمودار تابع همانی در 

صفحه 125:
3-45 تعریف : تابع فاکتوریل تابعل ساللف۲:؟ با ضابطه تعریف >-(1)2!است. ‎nb aie‏ از مقادير تابع فاكتوريل عبارت اند از ‎f(1)=1‏ ‎£(2)=2!=1x2=2‏ ‎£(3)=3!=1x2x3 =6‏ ‎£(4)=4!=12x3x4 =24‏ ‎!=1X2x3x4.x5 =12(‏ 5)=5(£ 

صفحه 126:
3-4-6 تعر ‎ae Ae GRR OD wl‏ -00؟ راتابع ‎oy‏ م ‎ng ne‏ ركه قدر مطلق عود حقيقى © را با نماد نشان ‎ae ‏می دهیم و به صورت زير تعریف ممم کنیم لا‎ ‏* از تعریف باللانتهاجه می شود که قدر مطلق هر عدد حقیقی ‎X‏ عددی ‏نامنفی است . یعنی 

صفحه 127:
عضي عار اين نات سارت انان 0= )= £0 2= )2-(-=2-|= )2 ¢£ 2-2 2/2 (۶02 نمودار تابع قدر مطلق در شکل زیر رسم شده است : Ve f(x) ‏إداد‎ 0 x 

صفحه 128:
3-4-8 تعریف : ‎ER Aso eb‏ با ضابطه تعریف []-00] را تابع رصح ‏ام ‏توجه کنید که برای هر عدد حقیقی : , جزء صحیح را با ‎[x] sls‏ ‏نشان می دهیم وپرابر است با بزرگتریرا ماو اکقلتتی[<] صحیح نابیشتر از 0-0]- 0 ‏(كوجكت ويا )مسا وى) ب عريف من كليم ‎tty‏ 3 1 ‎3, 1 ‏ی‎ a oe ‎1 5) =[- 5 

صفحه 129:
#دقت کنید که جزء صحیح هر عدد حقیقی , عددی صحیح است وجزء صحیح هر عدد صحیح با خود ‎ol‏ برابر است .برای رسم نمودارتایع []<(] , از مقادیر زیر استفاده می کنیم: اگر3-> >4 - آنكاه 4 لد ]ست(ع ۲ - f(x)=[x]=-ol&I - 2<x<-1 ‏اكر‎ ‎-1<x<0 3 اگر 1>آنگنی0 ‎f(x)=[x]=-2‏ ‏اگر 2> آیگاج1--[]-(0؟ اگر 3>إيكاجة ‎f(x)=[x]=0‏ ‏اگر 4>آكاة 1-[]<(100 اگر آنگاه 200-0012 اگر آنكاه 3-[]-()1 

صفحه 130:


صفحه 131:
, خطی ؛ تابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعداد حقیقی است ؛ و . هر عدد حقیقی : با ضابطه : ‎f(x) =ax+b‏ فى من شود . كه فزآن ۵و۱ عدد حفیقی ای هستند : داز هر تا خطى یط رازست ارت دار تابع خطی 6(<2-1] در شکل زیر رسم شده است ‎ .‏ ‎f(x)=2x-1‏ Deets 0 XG 

صفحه 132:
0 تعربق: تابع چند جمله ای تابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعدد حقیقی است و برای عدد حقیقی :با ضابطه ب +كترية +.. . + 1 بيج + ۱ تعريف مى شود .در ‎Lal‏ « یک عدد صحیح نا منفوقاسنطو عدد حقیقی انلا .را درجه چند جمله ای ۳6 و ‎SL PO‏ ند اه ار 2+7 + و3 -= ‎P(x)‏ اتاب یک تابع چند جمله ای درجه دوم و 7 a(x) =m RE Coals ls azo Sl alas ares 

صفحه 133:
0 3-5-1 مقدمه : در تفس وتا ‎ele Gls pow loul soe ele‏ ديكرى ترون ریاضیات مطرح مى شودکه جبری نیستند . این دسته توابع را توایع غير جبری يا متعالی مي نامیم . از جمله توایع غیر جبری می توان از توابع نمایی , توابع لگاریتمی , و توا مثلثاتن نام برد كة در اين خش به رفن آنها ‎tie‏ 

صفحه 134:
و برای هر عدد حقیقی لاهع,1 نطبع ۶:5 با لا = ‎Fox)‏ رايك تابع نمايى مى ناميم. 0< 2۳ بنا بر تعریف بالا روشن است که برای هر عدد حقیقی + داربم یادآوری می کنیم که بنا بر خواص توان اعدادو, ‎sh:‏ هرردو عدد حقیقی ۲ و روط هلوبرقرارند : وج الف) ۷ 5۳ < ‎ay‏ ب ‎(a®)¥ =a”‏ ب ت) 

صفحه 135:
1 هر یک از توابع "2620 900 :1060-2 ل ا نمودارهای آنها درشکلهای زیر رسم شده است: 

صفحه 136:
x ax) oe =2* Gaye ds 1 1 2 1 4 1 8 

صفحه 137:
3-5-3 تابع نمایکي ر تعریف تابعة- 00 ,اگو را برابر عدد گنگ » انتخاب کنیم که ‎f(x) =e‏ مقدار تقریبی آن تا نه رقم برابر 718281828 /2 است ‎gl,‏ ‏نمایی ‎e =exp) 1‏ بدست آید , این تابع را با نماد 1 می اب ين ‎£(x) en‏ نیز نشان می دهند . نمودار تابع شده است. ‎f(x) =&‏ 

صفحه 138:
4 تعريفة: فرض می کنیم و عددی قبت بالقره: .تب حفللة با ‎J‏ f(x) =log* ‏ضابطه تعریف را تابع لگاریتم در مبنای «می‎ . ‏نا میم‎ ‎UAH sic aS aus es esha‏ ربنم عدد مثبت « در مبنای ‎a‏ ,عدد ی 109 ‏است مانند ‏ به طوری که عد لح ب اوقم « در مبنای + را با نماد ‏نشان می دهیم . بنابر اين همواره داریم 

صفحه 139:
: ‏متال‎ 3-5-5 ‏داریم‎ ‎5? =25< log”* =2 a ica od mG ee 1 10° = loggn=-3 aes ~ 1000 PF =1= log, -0 7 =7@ log’ =1 

صفحه 140:
3-5-2 نمودار تابع لگاریتمی: ‎oe ig‏ 0 اختیار کنیم , لگاربتم را ‎0 uel ‏نامیم.در لگاریتم معمولی , عدد مبنا را معمولا‎ ites log; =logx ‏وید‎ ‏به عبارت دیگر: ‎ ‎ ‎ ‎ ‏نمودار تابع لكاريتم معمولی در شكل ‎og‏ ‏زير رسم شده است . ‎gx‏ 

صفحه 141:
نمودار ‎f(x) =logal‏ در شکل زیر رسم شده است . 

صفحه 142:
3-5-13 تابع لکازیتم طبیعی: در محاسبات لگاریتمی اگر مبنا را عدد گنگ ۰ اختیار کنیم, ریتم را لگاریتم طبیعی يا لگاریتم نیری من نامیم: معمولا لگاریتم طبیعی را با نماد 12 نمایش می دهند. به عبارت دیگر: ‎log* =Inx‏ 

صفحه 143:
در اين بخش برخی از ویژگی های توابع را بررسی می 3-6-2 منال : الف)افر 1+ ۵9 ۳ (10۵ ۰ ؛چون دامته ‏ مجموعه‌تمام اعداد 2 4 اش ‎f(- x) =5(- x)*- 3(- x)? +1 ee‏ ‎=5x*- 3x°+1 =f£GO‏ بنابرایق ۶ بیک تالغ روج است. ب)فرض مى ‎g(x) =- 2 + 3 - BES‏ .چون دامنه ‎gel‏ مجموعه تمام اعداد حقیقی است . داربم 

صفحه 144:
g(- x) =- Y- x)? +3(- x)?- 7- x) بنا براین عیک تایع فرد است. ‎ae A ae‏ جد( خالا و اندو تر من ‎Lepage‏ ‏داري ‎fe‏ 1 - 22 ) + 03د )2 - 4د -)3- د مط ‎=3x*4+2x74+x?-1‏ ‎h(- x) #- h(x), h(- x) h(x)‏ چون , تابع « نه ذوج است نه فرد 

صفحه 145:
ee a ‏الف) اگر عددی مانند ]1۷ وجود داشته باشد به طوری که‎ x pa sly f(x) <M = ‏از دامنه ۶ داشته باشیم.‎ آنگاه ۶ را از بالا کراندار می نامیم : ب) اگر ‎sore‏ مانند ۱ وجود داشته باشد به گونه ای که ‎Sie‏ نز ‎f(x) =N‏ دامنه ۶ داشته باشیم : أنكاء ‎٠‏ را أزديابين كرانداو دن اميم 

صفحه 146:
ب)اگر عددی مانند 0< ۲ وجود داشته باشد بطوری که برای هر : دامنه ۶ - Msf(x) =M ‏داشعه بانیم‎ |fC)| >< lL ‏اه‎ tabs eral el co Olgs ‏بى‎ Oe al IES Cel Sie 

صفحه 147:
الف)تابع از بالا کراندار ب) تایع از پایین کراندار ۹ ب) ‎wl‏ کزاندار ت) تابع بی كران 

صفحه 148:
3-6-7 مثال : الف)اتوابع سینوس و کسپنوس کراندار است . زیرا به ازای هر عدد حقیقی ۶ - 1<sinx <1 -1<cosx <1 ‏داریم‎ ب) ‎f(x) =2x’ +e‏ از پایین کراقدار است , زیرا برای هر عدد قیقی + f(x) 220 +1<1 ‏داریا‎ پ) تابع: 1 (جو از بالا کراندار است , زیرا برای هر عدد g(x) =1- x? <1 ‏داریم‎ 

صفحه 149:
‎HO) =X +206 (o‏ که نه از بالا کزاندار است که از پاین ‏بى كران ‏است زيرا هر دو خط افقى ‎y=-M 5 Y=M‏ را که در نظر بکیریم ؛ ‏نقطه روی نمودار(0نع۹, حول لاد که در خارج ناحیه بین اين دو خط ‏در ‏واقع است . مثلا نقطه روى نمودار تايع ط قرار دارد ‏ولى بيرون از ناحيه بين دو خط ست . 

صفحه 150:
3-6-9 تعریف : الف) تایع ۶ زااضعودی مین نامتم اگر به باراد هر و از دامنة» که داشته باشیم f(x) <f(x,) mest! 9 ‏ب) نات ارا نزولی می نامیم اگر هتفر‎ £(x,) > f(x,) ‏داشته باشیم‎ ب) در صورتی که تابع ‎f‏ در هیچ یک از ویژگیهای (الف) و (ب) صدق نکند , می گوییم ۶ نه صعودی است نه نزولی . 

صفحه 151:
2 0 تعريف: تايع 8 <4:؟ رایک به يك مى ناميم اكر به ازاكة هر یا و ‎I‏ ‎at‏ X, =X f(x,) =f(x,) دا ساوی ایجاب کند که 3-6-13 مثال : ‎P-RoReb(call‏ , ا ضابطه بع ‎a: Ss PO) ACE‏ یک است ‎٠‏ زيزا f(x,) =f(x,) ‏با یلا‎ به ازا از ۶ , اگر داشته با ‎Te‏ ‏به ازاى هر و از كر داشتو اشيم دور x? =x3 > x, =x, ‏آنگاه بدست می آوریم‎ 

صفحه 152:
ب) تایقاً ح؟ با ضابطه تعرّت 2 22908 یک به یک نيست , ‎G(X) =9(X,)‏ زیرا از تساوی به ‎sop?‏ [ورتمر ‎X} =X‏ وعد يد 5 % كه از أن نتيجه مى شود يا . بنابر اين و با هم 3-< 2۳-7 )2 92 مساوی نیستند اكلا ‎g(2) =2- 7=-3‏ 24-2 Se oil ‏در حالی که وبنابر‎ G(-2)=G(2) 45 prin ‏می‎ ‎‘oe 

صفحه 153:
3-6-4 تعریف : تعریف 12-6-3 را می توانیم به صورت زیر بیان کنیم : ‎Bali‏ -۸:؟ رایک به یک می نامیم اگر به ااعتلقر و ‏از دامنه ‎a Xs‏ ‎aS fal‏ داشته باشیم ‎f£(x,) 4£(x,)‏ 3-6-5 منال : ‏تایع<< ۴08 یک به یک نیست ,زیلّا-ع1 در حالما که لا یعنو(1 )2۴ (0؟ , 

صفحه 154:
3-6-6 تعبيرهند سى ‎Su‏ به یک بودن y=f(x) 

صفحه 155:
3-6-8 قضیه : اگر تابع # ضغودی پا نزولق باشد, آنگاه ۲ یک به :یک خواهد بود. 3-6-10 نکته: عکس قضیه 18-6-3 برقرار نیست , به بیان دیگر ء اگر تابعی یک به یک باشد , الزاما صعودي و نزولقرنیست. برای مثال تابع: ‎f(x) =10 YD‏ ‎x>l‏ یک به یک است در حالی که نه صعودی ا 

صفحه 156:
31 تعریف تابع 5 -۸:؟ رایوشا می نامیم اگر به ازای هر « از برد تابع ۶ , عضوی مانند + از دامنه ۶ وجود داشته باشد به طوری که داشته باشیم ‎paces 3-6-22‏ ‎£:R> RL (ull‏ با ضابطه تعرقّف2- ۶0۵ پوشاست. زيرا براى هر ‎٠‏ از برد تابع ؟ یعنی ۴ , معادلق -(09-ط یا 5+5 ‎ar Vaz‏ دارای یک ريشه حفيقت | دا ‎i‏ ریم: ‎18 501 

صفحه 157:
چون برای هر عضو برد ۶ مانند « ,عضوی از دامنه ] مانند 2 وجود دارد ‎D=f(a) a5 sl aigS a‏ پس ۶ تابعی پوشاست. ب) تابع8 :9:28 با ضابطه تعريفا 900-22 يوشا نيستء زيرا 1- 2292 و اگر عضو دلبخواهی از ‎“per‏ از (9)2<ظ یا ‏نتیجه د< و ‏می گیریم که : ‏از اینجا مثلا به ازای 5-<ظ جوابی برای ۸ بدست نمی ‎ul‏ ‏يس » يوشا ‏نيست. به عبارت ديكر 5- عضوى از برد ع است كه تصوير هيج عضوى 

صفحه 158:
واروت تايع صم > در اين بخش وارون تابع را تعریف می کنیم و به بررسی خواص آن می پردازیم. 3-7-1 وارون تابع: تابع 8 ۳8-۲:؟ را در نظر می گیریم و آن را به صورت مجموعه ای ‎f ={(x, yly =f(«)}‏ از زوجهای مرتب می نویسیم: رابطه و را به صورت زیر اي ا ژوس تاش که اعضای رابطه راز وی رب لقه های اول و دوم 

صفحه 159:
اکنون می خواهیم ببینیم تحت چه شرایطی ‏ تابعی از قظبه ۸ خواهد بود . ‎beB‏ الف) برای هر باید عضوی مانند : در ۸ وجود داشته SGbUYSEL كه كه در اين صورت خواهيم داشت (82-1)3 . پس ‎an ay andl ub (y.x)Eg ek, ees ab‏ عبارت دیگر ‎£(x,) =X)‏ و2 رل ‏بايد بتوان از تساوى نتيجه كرفت كه . پس ۶ باید یک ‏اش اه ار تابعی یک ‏به یک و پوشا باشد . بر عکسن ,به آسانی هی توان نشان داد که 

صفحه 160:
تغارف ‎Bel‏ :1 تابعی یک به یک و پوشا باشد رابطه: g={y,x|( ye f} Urodass Ui hotel Og ylgtow ‏زاس تایعی ار باه‎ ‏نماد‎ ‏نشان می دهووروب رز رد-2‎ ۶ fl دقت کنید که دامنه . برابر با برد ۶ و برد برابر با دامنه ۶ است . در شکل زير وارون تابع توضیح داده شده است . 

صفحه 161:


صفحه 162:
مش ]لد ‎allel Ro Rot‏ تعر 50690 , یک به یک و پوشاست(چرا؟) پس دارای وارون است . برای محاسبه وارون این تابع , معادله را را بر حسب + حل می کنیم و به دست می آوریم: ۲ در تساوی اخیر, جای « و د را عوض می کنيم , خواهیم داشت: ‎٩‏ مق ۶ ر لاح وما ‏پس وارون ۶ عبارت است از: 

صفحه 163:
وهای توانه دق در سکلتریر رتم شده اس ۰ توجه کنید که نمودارهای لو نسبت به خط 7۶ قرینه اند. 

صفحه 164:
3-7-6 وارون تابع تمایق فرض مى كنيّظ -8:؟ با ضامطط(0؟ ‏ که در آن 20 و ۰ at =a® f(x,) =f(x,) ‎owl Sa Sf eb (all‏ , زیرا تساوی يا ‏نتيجه می شود ‏تا ۰ اج از برد ۶ ‏باشد , از ‎Sob fees ahs ‏بنيجه‎ L, b=f(x) ‏از (الف) و( ‎ ‏کته من شوت که تایع ادا مارون اشت 2 

صفحه 165:
۱ ‏اس هار ار ی ار‎ ely, : ‏تعيين يم‎ (١ ‏برحسب‎ ‎Your >) log. Sy" 5 ‏جای « و « را عوض می کنیم,‎ pol ‏اكنون در تساوى‎ ‏خواهیم داشت: کی رب‎ log,” a igi ‏بنابراین . وارون تابع نمایی تابع لگاریتمی است‎ بد ‎Wi Ae‏ )وو تان + ماكر 9 ۷ #ببایر 6-7-3/وارون یکدبگرند. 2) دو تايع ‎x‏ 9-109 > 37 بنابر 6-7-3 وارون يكذيكرند. 

صفحه 166:
هدف کلی فصل این است که با مفهوم حد تابع, قضیه های حدی ,حدهای چپ وراست تابع ,حد در بینهایت, و پیوستگی تابع در بینهایت وپیوستگی ابع در یک نقطه. حقیقی ودر یک بازه آشنا شوید 

صفحه 167:
:از شما انتظار می رود پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید .مفهوم حد را توضیح بدهید(1 .حد تابع را در نقطه متناهو عادر تعریفک نید (2 .حد تابع را در نقطه متناهیعع! در محاسبه كنيد(3 قضایای‌حد را ب یان‌ک نید ولنها را در محاسبه حد به کارره .ببريد صويتهاومبهم يا نامعينحدىرا تشخيص بدهيد ومقدار (5 ولقعی‌حد داده .شده را محاسبه كنيد 

صفحه 168:
6) حدهای راست و چپ را تعریف کنید ورابطه میان حدهای یک طرفه و حد تابع را توضیح دهید وآن را در حل مسائل به کار ببرید 7) مفهوم پیوستگی ‎wl‏ را در یک نقطه توضیح بدهید. 8 رابطه بین پیوستگی تابع در یک نقطه وحد تابع در آن نقطه را بیان کنید. 9( نقاط پیوستگی و نا پیوستگی توابع داده شده را تعیین کنید. 0) پیوستگی از راست واز چپ را توضیح بدهید. 1) پیوستگی تابع را در بازه های باز و بسته تعریف کنید. 2 هم ی ی كو ای ا ل 

صفحه 169:
مق كر يكن الل كفاهيم اليك رختسا فآ ای اتكرال انسح ادر اين فصل ابتدا با مفهوم حد به طور شهودى آشنا مى شويم و سيس بيوسد تايع را بررسى مى كنيم 

صفحه 170:
4-1-1 ‏:مقدمه‎ ‏اه پر کنر‎ ales GS yl Ck ley Sl a ‏كاك‎ تا معلوم شود که وقتی متفیر مستقل به آن نقطه نزدیک می شود مقادیر تابع به عدد ثابتى نزديك مى شوند يا نه.ابتدا با یک مثال مفهوم شهودی حد را توضیح می دهیم. 

صفحه 171:
4-1-Y_lic ‏ح-ظا:ضابطه تعریف ۰ 2-3-(ترا در نظر می گیریم.‎ 8 el ی خواهیم رفتار اين تابع را هنگامی که » به عدد 2 نزدیک می ‎pw yy 29h‏ به این متطور جدولی از مفادیر ۶ را بمازای بهایی که به اندارم دلیخواه ب عدد 2 نزدیک باشند تشکیل می دهیم: 1/999 1/99 و 88 98 0/998 0/9998 1 x 2/0001 2/001 2/01 2/1 F(x 1/0002 1/002 1/02 1/2 

صفحه 172:
جدول بالا نشان می دهد هر قدر : به عدد 2 نزدیکتر باشد مقدار )1 به عدد یک نزدیکتر می شود . به عبارت دیگر می توانیم ‎f(x) polio‏ را تا هر اندازه که بخواهیم به عدد 1 نزدیک کنیم به شرطی که ‎al x‏ ۲01 اندازه کافی نزدیک به عدد 2 نه لزوما برابر با 2 انتخاب oly pds ریاضی را می توانیم به دلخواه کوچک کنیم مشروط براینکه را به اندازه کافی کوچک انتخاب کنیم. 

صفحه 173:
آتعریف 4-1-4 عدد بارا حد تابع ؛ در « مي نامیم اگر برای هرلا<ع عدد مثبتی مانند (معمولا وابسته به )ود داشته باشد به طوری که ‎O<|x- al<d > 60۵-1۶‏ در این صورت می نویسیم: ‎limf(@) =L‏ و می خوانیم حد (0] وقتی به سمت ۰ میل مى كند برابر .1 است . )توجه كنيد كه ‎٩6*۶‏ -*کلامعنای ۶۵و > -لست . 

صفحه 174:
تابر الكل 1-4 کل حدانم؟ وفتی که + به" ميل ميكلة برابر 1 انيت آنگاه وقتى ‏ + بر مخور افقى.بينة 37 وؤخه واقع باشد ()1 بر محور قائم بين +و ‏ قزار خواهد داشت. 

صفحه 175:
4-1-5 متال ‎Sx+1 x20‏ ار ال 0 3-1 :حل فرض مى كنيم حد تابع 1 در 0-<برابر .اباشد (فرض خلف) . يس بنابر 3 ۵<0 vey £0 از جمله عددی مانند وجود 800 در 20 حد ندارد. تعریف حد برای هر دارد به 1 ك-ء > لآ -همع| -9>۵ 06 گونه ای که: ‎-d<x<0 -b<x<d x 0۴۵‏ اما معادل با و است . اکنون اگر آنكاه -1 2 1 - 2000 ‎3x-1‏ <()]در نتیجه ‎at‏ (1) داریم : 

صفحه 176:
واگر >آلنگاه 3+1-(0] و در نتیجه بنابر (1) داریم: ‎Lj =]3x+1- 1 oh‏ -0@€| از روابط بالا به دست مى اوريم: إلآا+:3) -3+10) +1+1- 2-1+1 ‎=|@x+1- L)+(¢3x+1+L)‏ ‎<|3x+1- L[+|- 3x+1+U‏ لآ ‎=|3x+1- L+|3x-1-‏ ‎Lich,‏ ee ‏م2‎ 2 که این یک تناقض است .بنابر این فرض خلف باطل است و در ‎x=0‏ حد ندارد. به شکل اسلاید بعدی نگاه کنید: 

صفحه 177:
F(x)=3x-1 lim (x) =limg(x) =limh(x) =4 

صفحه 178:
2 ati ds ay ‏ضبايايى در‎ 3 اس سس :مقدمه 4-2-1 محاسبه مقدار حد تابع با استفاده از تعریف حد و بلکمک و غالبا طولانی و پیچیده است . در اين بخش قضیه هایی را در مورد حد بیان می کنیم و با روشهای فحاسی رها توانة اشنا فى نض ارزاتيا نقلين قضيه ها صرف نظر كرده ايم. 

صفحه 179:
4-2-2 قضیه : فرض می کنیم (0تتنلو ()10#هر دو موجود باشند. در اين صورت: الف) اگر » عدد ثابتی باشد آنگاه ‎limCf£@0 =Clinf@)‏ ب) اكر + عدد حقيقى مثبت باشد آنكاه لا ا ب ‎limgGd‏ + عصنا -[ ومن + هك عنصت 

صفحه 180:
linff@)- g@d]=linf@)- limged ms ‏موم کون‎ ]= dint GD) limgGd) ‏رت‎ to ee Paco ~LimgGd ج) 451 ‎Emoto‏ آنگاه carey uae) 

صفحه 181:
ح) اگر « عدد صحیح مثبتی باشد., آنگاه : نت .- ۲0 رن 9در اين رابطه اگر « زوح باشد, ۴6 بايد مثبت باشد. 4-2-3 قضیه : اكر 21 , 2 و ه سه عدد دلبخواه باشند , نگاه : lim(@x +n) =nAa+n xa 

صفحه 182:
نکته 4-2-8 بنابر نتیجه 7-2-4 برای تعیین حد یک تابع چند جمله ای يا تابع گویا, کافی است مقدار تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنیم. البته مشروط بر اینکه تابع در آن نقطه تعریف شده بآشد. برای مثال داریم: ‎3x9 +x?- 5x+2) =A D*- 3(- DP + ?- 5 +2‏ - 0026[ 13= _ x?- 3x44 : ‏همچنین چون بو حور لابلقی گویاست, داریم‎ li: x?- 3x+4 _ (@?- 30+4 x1 4x°- 3x47 40)°- 30)+7 Die 8 4 

صفحه 183:
:تذكر 4-2-9 در اکثر موارد . قبل از اينکه بتوانیم قضیه های حد را به کار ببریم , لازم است که ضابطه تعریف تابع داده شده را ساده کنیم به مثال زیر توجه كني : متال4-2-10 حدهای زیر را محاسبه کنید. 9 ‎lpg lh‏ 3 3 رز حل وت 32-90( لف) تابع 3 + 5803 تعريف نشده اسك ‎Ol.‏ 3-3 بامعین است .اين امر مشكلى به وجود نمى آورد. زيرا حد اين تابع وقتى » 3 ميل مي كتد ها به مفاديز > دراترديكل 3 ‎okie‏ دارد وامفدار 923 را شامل نمى شود. از طرفى مى دانيم : 

صفحه 184:
x’- 9=(x- 3)(x+3) يس به ازاو0* * داريم : x°-9_(x- 3&+3) _ oe ۴۶ 3 2+ 3 در نتیجه خواهیم داشت: 23+3-6 (3 +عمسنات کنر 3 - ود ب) جون به ازاى 3-0 مخرج كسر به صفر ميل مى ‎noi US‏ توانیم قضیه -4-2 (ج) را مستقیما به کار ببریم , ‎We‏ با استفاده از یک فن جبری ی توانیم این حد را قابل محاسبه کنیم. به این منظور. صورت و مخرح کب | در مزدوج صورت یعنی ‏ ۰ 3+*9+ضلرب می کنیم وبه دست می آوزیم: 

صفحه 185:
(\Vx+9- 3) \y +943) _ +99 x 9+3 x(vx+9+3) Ne ~ x(/x+9+3) pies 9+3 که به ازای 170 داریم : ; 0+3 :بنابراین li Vx+9-3 ۳ 1 1 x0 x x0 Vx 4+943 

صفحه 186:
اکنون بنابر قضیه 2-2-4 (ج) خواهیم داشت: Ling “lint /x+9+3) RAS oR / 12006 + 9( + ‏تخا‎ ‏ال مج‎ ‏3ج+ول‎ ‎1 6 

صفحه 187:
مقدمه 4-3-1 تابع ؛ را با ضابطه زیر را در نظر می گیریم20 3+1 = ‎f(x)‏ ‎x <0,‏ بل اج در5-1-4 نشان دادیم که اين تابع ‎y‏ در0-< ‎a>‏ ندارد. F(x)=3x-1 

صفحه 188:
که و و موه مر ار ام اسر و می شود, ()۶ به عدد 1 نزدیک می شود و هنگامی که از سمت چپ (: طرف اعداد منفطی) به صفر نزدیک می شود, (0] به عدد (1-) نزدیک می شود. در این صورت می گوییم حد راست تابع ؛ در نقطه 0 برایر با 1 حد چپ تابع ؛ در نقطه 0 برابر با (1-) است . اکنون به تعریف حدهای راست و چپ تابع که حدهای یک طرفه نامیده می شوند می پردازیم. 

صفحه 189:
: قتعريف4-3-1 فرض می کنیم تابع ۶ در بازه (ظ , 2) تعریف شده باشد , اگر برای هر ندع 0< ۵ :> 5 عدد ‎Lyte‏ م(نفع بوچوج داشت باشد ‎a‏ ‏ری 1 ‎lim f@ =L 58‏ آنگاه عدد .آ را حد راست 01 ‏ناميخ.وَضى نويسيم: ۵ ۲ ‎ ‎ ‎ ‏نماد به معنای2<۵ 

صفحه 190:
: فرض می کنیم تابع ۶ در بازه (ظ , 2) تعریف شده باشد .اگر ‎oe Shy‏ عدد مثبتی مانند وتجود داشته باشد به طوری که: -5<x-a<0> |f@)- U<e آنگاه عدد با را حد چپ تابع در نقطه 220 می نامیم.ومی نویسیم: limf@ =L x a نماد ته -مغناى2<< و 3 ست . 

صفحه 191:
4-3-4 نکته: تمام قضیه هايي که در بخش 2-4 بیان کردیم باتقرار داتن-: يا ب 2 به جای همچنان معتبرند. 4-3-5 منال : وا رل ار ‎٩-7 x21‏ ‎x<1‏ 2 5 حد چپ و حد راست تابع ؛ را در صورت وجود در 21 

صفحه 192:
حل: برای محاسبه حد راست تایع ۶ در 4000۳1[ ‎xo?‏ چون ‎xol‏ پس و1<< . در این حالت داریم ‎f(x)=3x+2‏ ‎limf (x) =lim@x +2) 2300 +25 posal‏ من ری آبرای محاسبه حد چپ تابع ؛ در 21 یعنی چون و1>< .در أبن عالت أرب ات زوا و تابراین : 

صفحه 193:
4-3-8 مثال : بنابر نتيجه 7-3-4 (الف) تابع “در مثال 5-3-4 در نقطه 2-1 حد ندارد. روشن است كه اين تابع در هر نقطه حقيقى به استثناى 2-1 دارایحد است. er AC ‏مى كيريم. مى‎ hi 2) fQ)=|x, ‏تابع جزء صحيجاء*‎ ‏خواهيم حد جب‎ و حد راست را در نقطه 22 تعیین کنیم. یادآوری می کنیم که منظور از جزء صحیح , بزرگترین عدد صحیح ee a eee gee bs 

صفحه 194:


صفحه 195:
به طوری که در شکل دیده می شود تابع ۶ هنگامی که « به سمت2 ميل می کند دارای حد نیست زیرا وقتی که : برابر 2 يا كمى بزرگتر از 2 اختار 550 ‎Pel plas‏ سيان ترديق لد متجواهد بود اما مى « اندکی‌کوچکتر از 2 ,مثلا 999/1 باشد داییم . .به ale اگر « عددی مثبت و کوچکتر از یک باشد بیعنی 1>1<0 ,آنگاه : به ازای هر ۰ که 2-2>> داریم : ‎1=[x]‏ 

صفحه 196:
در نتیجه بنابر تعریف های 3-3-4 و2-3-4, حد چپ و حد راست ۶1 در ‎x=2‏ برابرند با: ‎limf Gx) =lintx] =i‏ limf (x) =linfx] =2 xe x2 چون حد چپ و حد راست ‎wre 552 wl‏ در 22 برابر ید این تابع بنابر نتیجه 7-3-4 (الف) در ۱22 حد ندارد. 

صفحه 197:
به همین ترتیب به ازای هر عدد صحیح « می توان نشان داد که تابع [2] در 27 حد ندارد و داریم : ‎limfx]=n-1 7‏ xn lim[x] =n neZ xm روشن است که تایع جزء صحیح در هر عدد حقیقی غیر صحیح دارای حد است . برای مثال : lim [x] =2 = lim [x] =2 x US x 25" در نتیجه, بنابر قضیه 6-3-4 داریم : lim[x] =2 x 2/5 

صفحه 198:
‎jJlic 4-4-1‏ تابع ؛ با ضابطل مج 080 را در نظر می گیریم. نمودار ‎wb ol‏ در ‎infinity‏ ‏شکل زیر رسم شده است ‎ ‎-infinity infinity ‎ ‎ ‎ 

صفحه 199:
اکنون مقادیر ۶ را هنگامی که « نزدیک به یک باشد بررسی می کنیم. به جدول زیر نوجه کنید: x 2 1/5 1/3 1/1 1/01 1/001 و 170001 18 ۷0 ۰ ۱009 مه( به طورى كه در جدول بالا مى بینیم. هر قدر + از سمت راست به 1 نزديكتر ‎gs‏ مقدار ‎F(X)‏ بزركتر مى شود .به اين ترتيب مى توان ۶00 را بماندازه بزیگکرد مشروط بر آنکه ‎a‏ اندازه ار شش jim Ge ۳ =+00 راست به یک نزدیک شود. اين خاصیت را با نماد زیر نشان 

صفحه 200:
اکنون مقادیر (۶ را هنگامی که « از سمت چپ نزدیک به یک باشد بررسی می کنیم. به جدول زیر توجه کنید: xX 0 0/5 0/7 0/9 0/99 0/999 9 ee ‏مت(‎ 100n0 ۰ 10 ۰ 18 به طوری که درجدول بالامی بینیم هر قدر ‎Az crow jl x‏ به 1نزديكتر شود مَقدان (2)! بزرکتر می شود.ایل خاضیت رابا نماد زیر نشان lim. - xor (x- 1? : ‏می دهیم‎ 

صفحه 201:
44-3 منال : 1 با روشی مشابه متال 1-4-4 می توان ‎G0) Ee‏ را در نزدیکی نقطه یک بررسی کرد. تابع ع که نمودار آن در شکل زیر رسم شده لست . ‎il‏ x xX, mes We er 

صفحه 202:


صفحه 203:
مشاهده می کنیم هنگامی که « نزدیک ‎ay‏ عدد یک شود مقدار (00 بی اندازه کوچک می شود. اين خاصییت را به صورت زیر نشان ‎ra‏ ‏می دهیم: 4-4-4 تعريف : ‎M<0 5» sly 551‏ ,206 مثبتى0هاقند . وجود داشته باشد. به ‎O<|x- al<d = f(x) < MS Sus‏ ‎lim——_ =. 1 (x- 1P ‏آنكأة خددتابع ؟ را هتكامى كه ؛ به سمت © ميك مَى كند ,بینهایت منفو مه -= )&( ‎limf‏ ‎xa ‏می نامیم و می نویسیم: 

صفحه 204:
4-4-5 تذكر: وقتی که داشته باتفیلمد (عصصنا . مس تمصن[ ‎ee ee‏ ا اعدادی حقیقی ‎allie 2-4 4-6‏ تابع == ‎١ Ico‏ أظر مى كيريم . ‏نمودار اين تابع در شکل زیر رسم شده است . ‎ ‎ ‎ ‎infinity: ‎7 infinity ‎infinity 

صفحه 205:
چنان که در شکل دیده می شود, هنگامی که ‎crow jl x‏ راست به صفر نزدیک می شود , مقادیر تابع بزرگ و بزرگتر می شوند, یعنی lim= =+00 : ‏داریم‎ ‎xo x اگر « از سمت چپ به صفر نزدیک شود .مقادیر تابع منفی اند و کوچک وکوچکتر می شوند, یعنی داریم lim— =-<o x0 xX 

صفحه 206:
4-4-8 قضیه : اگر « عدد صحیح و مثبتی باشد , آنگاه داریم: و ‎x30 x”‏ | ل ‎tpt af. atten et‏ ‎iS‏ اگر « زوج باشد 00+[ ‎=o x"‏ قضيه بالا را مى توان به صورت زیر تعمیم داد. 4-4-9 قضيه : الفى) اكوانات . در خالف كه همواره متيب است: به سمت صفر میل کند آنگاه : ‎tia Ses‏ ‎xa f(x)‏ ق کات ول واه میرن Tren eg voll ‏صفر ميل كند‎ a f(x) 

صفحه 207:
4-4-13 منال : مک °7 دعو دمي ‎J>:‏ ‏داریم : و lim(x- 2) =0 و در نتله ۶ 0>#-4 limV4- 3? = liml4_ x2) = 0-0 x چون2ب پس 1>2 و داریم : 

صفحه 208:
_ @- »C+x) - Q@- x)V4- x? ‏دعص دن‎ و 1 ‎limy4- x 0 Use‏ 8< -4/. در حالى كه هميشه مثبت است به ~ 28 صفر ميل مى كند , بنابر قضيه 9-4-4 (الف) داريم : ‎CRORE Na ae‏ اوریم- 00+= ‎lim‏ 2 fq. 2 ‎-x 57‏ 2 نات امن لوول 22 7 227 22 ‎ ‎=+ A(+00) =-00 ‎ ‏ار نی ‎ae‏ ‎es‏ همق نا |= 

صفحه 209:
‎oye‏ سم حد در بیتهایت 46-02 ‏سح ‎ ‎ ‏4-5-1 مقدمه: در اين بخش به بررسی رفتار تابعی مانند ۶ هنگامی ‎x aS‏ به اندازه كافى ‏بزرگ شود . می پردازیم . وقتی می گوییم ‎x‏ مقادیر بزرگ ‏را به دلخواه ‏اخیار ی کند سور این ات که اهر عفدار توت دللبخواه مانند ‏7 بزرگتر باشد , و در لین‌صورتمین ویسیم: ‎X> -00 ‏هر گاه « هر مقدار دلبخواه کوچکتر از هر عدد منفی مانند ‏مر 1 ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 210:
4-5-2 متال : ox ‏تابع 00-2 رادر نظر مى كيريم . نمودار اين تابع در شکل‎ ‎infinity‏ امك 

صفحه 211:
در جدول زیر مقادیر (۶ , برای بعضی مقادیر ‎x Sy‏ سبه شده است . 10 100 1000 300 190090 3000000 3000000 101 100001 1000001 1000000: به طوری که در جدول بالا می بینیم , به تدریج که مقادیر ‎x ule‏ بزرگتر می شوند , مقادیر (] به عدد 3 نزدیکتر می شوند ‎Dal.‏ ‏خاصیت را به ‎axe‏ ‎lim—— =3 2‏ صورت زیر نشان می دهیم ‎asa‏ F(x 

صفحه 212:
در جدول زیر مقادیر (6؟ برای بعضی مقادیر کوچک ومنفی : محاسبه raul ‏کرده‎ ‎xf -100 -1000 -10000 300 30000 3000000 3000000( F(x)! t01 ۰۰ 01 1000001 1000000 توجه كنيد که برای هر عدد حقیقی : داریم (۶)]<(:-)] ,یعنی 1 تابعى زوج است . بنابراين به تدريج كه مقادير منفى *« کوچکتر می شوند, مقادير (:)1 ‎eae 1‏ به عدد 3 نزديك مى شوند2حاين س مها زا صورت بر مان ديم ‎xe XE‏ ‎ 

صفحه 213:
4-5-4 تعریف : اگر برای ط<: عدد مثبتی مانند ۷ (معمولا وابسته به ) وجود داشته باشد به طوری که: ‎x>M = 600-۶‏ آنگاه عدد با را حد تابع : ,هنگامی که به سمت بینهایت مثبت میل می کند, مى ناميم و مير نو بيع وروز[ ‘a 484 اگر برای هلرا<: ,عدد مانند ۱>0 (معمولا والسته ‎a‏ ( 2979 ‎Steel‏ که ‎ee‏ سم ‎x<N = [f(x)-L<e‏ ‏آنگاه عدد با را حد تابع ۶ ,هنگامی که « به سمت بینهایت منفی ‏ميل می کند. می نامیم و مقنویمهمینزز 

صفحه 214:
4-5-5 قضيه : 3 اگر « عدد صحیح مثبتی باشد, آنگاه داریم : الف) 0= ‎lim‏ xo +n X lim =0 Jims i ‏كم هی له و تفر ارت‎ : ‏قضیه‎ 4-5-6 + ‏فرض می کنیم : عددی حقیقی يا یکی اوه - مه‎ 9 ‏هه‎ ك١‏ + اتسنا مد ومسا باشد. در اين معد هبي جنا يا آنگاه : = 

صفحه 215:
45-7 تذکر: تمام قضیه هایی که درباره حد در بخشهای 2-4 و 4-4 دبدیم در 1 ی ‎x— -0O‏ مورد حدهايى كه در انها يا نيز صدق 435-8۲ منال : 3+4 awl». |, lim 4 si as ‎x‏ ا ‎Las 2-1 el do:‏ ‎ae‏ ‎lim[3 +4] Jjim3+4 lim+‏ 3_ 3+40_ و مدب ‎eS‏ تا ‎lim2- lim 2-0 2‏ [ك -ف]سظ ع3 مص مدعو مب مد اجه ‎ 

صفحه 216:
4-5-0 منال : 526 - 3x ‏را محاسبه کنید.‎ jim xe ‏حد‎ we قا ار ی رس ی تقسیم می کنیم. 3 ‎Dae‏ ع هن ‎i x‏ 1 ‎bat ees “ema, 1‏ ‎yoke‏ ‎۳9 3 ‎eS ‎271 ‎li 2 ‏3 نز ‎ ‏اكنون حد صورت ومخرج را جداكانه در نظر مى كيريم: 

صفحه 217:
‎=lim5- 3 lim‏ 3 -5 لول ‎xt Ke‏ مه مد ‎x‏ + جهر ‎=5- 30 =5 ‎lim| 2+ 5| =2lims+ lim+ ‏و امد‎ 2 Kate KR XH HM ‏0=0+ 20= حد صورت عدد مثبت 5 است و مخرح در حالی که ‏همواره مثبت است ‏بو و زر ينسح توا یا ‎lim. =+00 I>‏ ‎we Ox] Ss‏ ‎ ‎wli‏ حاصل از سه مثال اخیر را می توان به صورت زیر خلاصه کرد. 

صفحه 218:
2--4منال : ‎lim‏ را محاسبه کنید. بح hima 2x HS +0. Ai? eR a +8 x? (1+ از + 17 نتیجه می ‎Si, x>0 do‏ |= و بنایراین داریم: مطاع coe i مست 11۳0 < ees ‏پگ‎ 

صفحه 219:
set S| gil a> 45-18 با توجه به نمودار تابع لگاریتم طبیعی , 0< ‎f(x)= Inx‏ حد های زیر را داریم : ‎lim1nx =+00‏ الف) هم مد ‎limlnx =-00 x0 ‎ ‎ ‏ب ‎f(x)= Inx 

صفحه 220:
4-5-9 حد تابع نمایی: با توجه با نمودار ‎PO) ete; wl‏ حدهای زیر را داریم : OS te (call lime= ‏ب‎ ‎lime® =1 G x0 

صفحه 221:
4-6-1 مقدمه: در اين بخش به معرفی مفهوم پیوستگی تابع , که شرط قویتری از حد داشتن تابع است , می پردازیم. ی 7 تابع ۶ را دز 12 پیوسته می نامیم در صورتی" که سه شرط زير برقرار باشد: الف) ۶ در « تعریف شده ‎f(a) Lipaf (Geb‏ وجود داشته باشد . 

صفحه 222:
پ) حد تابع ۶ در 2 برابر مقدار تابع در اين نقطه limf (x) =f (a) هرگاه یکی از شرایط بالا در 8 برقرار نباشند , : را دراه ناییوسته می نامیم. اگر ۶ در « پیوسته نباشد : ۶ را ناییوستگی : می نامیم. 

صفحه 223:
4-64 منال : 21 بت پیوستگی ‎w=) 5 ae‏ رادر 21 بررسی limf (x) =lim(x - 3)=-1 ‎limf Gx) =lim(4x- 2-2‏ ون حد جب و حد راست تابع در 5-1 برابر نیستند, ‎X=1 59 f wl x‏ جود ندارد. بنابراين شرط (ب) تعريف ييوستكى برقرار نيست.در نتيجه ‏در 1-< ناييوسته است نمودار تابع ۶ در شکل‌زیر رسم شده است 

صفحه 224:
۳ ):6( ‏تس مرو‎ SSL x F(x)=4x-2 -2 

صفحه 225:
4-6-5 مثال : +1 x>0 ‏پیوستگی تایه ۲ 2<رالالاآر 0-< بررسى كنيد:‎ 3+1 0 حل: جون 2>-(1)0 يس شرط (الف) تعريف 2-6-4 برقرار است , از طرفى داريم : limf (x) =lim(x* +1) =1 limf (x) =lim(3x +1) =1 يس1- ‎limf Gx)‏ , یعنی شرط (ب) 2-6-4 نیز برقرار است., اما 

صفحه 226:
limf (x) 0 پس شرط (پ) تعریف پیوستگی برقرار نیست . در نتیجه ۶ در 2-0 ناپیوسته است . نمودار این تابع در ش است . f(x) =x?4+1 f(x)=3x+1 

صفحه 227:
4-6-8 تعريف : ‎oe ۳‏ گوییم تابع ؛ در : پیوستگی راست دارد: هرگاه: ‎limf@) =f@)‏ ‏ب) می گوبیم تابع ۶ در : پیوستگی چپ دارد, هرگاه: ‎lim f@) =f@)‏ 

صفحه 228:
4-6-1 قضيه : هركاه توايع ؟ و ع در ه-< بيوسته باشند , آنكاه : الف) تای900* 00 در ۲2 پیوسته است . ‎X=a yo kf(x) wl (Oo‏ پیوسته است ۰( عددی ثابت است .) ‎«Seal sents AB SACOG ‏با تام‎ gx) ‎( asl atogn SA. 53 ‏ت) تابع‎ 9 . ‏در 22 پیوسته است‎ wl le 

صفحه 229:
4-6-72 نکته: در نتیجه 7-2-4 (الف) دیدیم که هر تابع چند جمله ای درهرنقطه حقیقی حد دارد واین حد برابر با مقدار چند جمله ای در آن نقطه م ره یج نیح + نع (۳00 است . بنابراین هر تابع چند جمله ای ‎ite‏ ی تا ومع در هر نقطه حقیقی پیوسته است . 10 ‏همچنین بنابر نتیجه 7-2-4 (ب) , هر تابع ‎da) stok‏ ‎aa pla) 1 3 > ‏بلح ماهر‎ a aig a ‏همه‎ 2 

صفحه 230:
4-6-3 منال : ید 2 نشان بدهید كه د 3 ‎fe:‏ در همه نقاط دامنه اش ‎fails‏ مجموعه تمام اعداد حقیقی که به ازای آنها مخرج صفر نمی شود ‎x=‏ ‏جون به ازاى مجرج كدر ميق مي شود دامنه ‎f‏ ‏عبارت است از: ‎aeD, ‏فرض می کنیم داریم : 

صفحه 231:
2 1 5x- ae +4x41 xa xa 2-9 linf5x? - 3x?+4x+1) xa linkx?- 9) xa 5a’ - 3a’ +4a+1 a-9 =f(a) در نتیجه ۶ در هر نقطه از دامنه اش پیوسته است . 

صفحه 232:
4-6-4 قضيه : اگر تابع ۶ در < پیوسته باشد و< (وصناً , آنگاه : (ظ) ۶ (60 11۳1109 :"به بيان ديكر ‎as‏ linffog (x) =f ( limgoo) 

صفحه 233:
4-6-0 تعریف : تابع : را بر بازه باز (ظ , ) پیوسته می نامیم هر گاه ۶ در هر نقطه از اين بازه پیوسته باشد. در صورتی که ۶ دست کم در یک نقطه از یازه (ظ , 2) پیوسته نباشد , ؛ را در بازه (, ع) ات شد را در باز 5-1 2 تايع ببح (تزائار نظر مى كيريم .اين تايع در هر نقطه حقیقی به استثنای 1و3- پیوسته است و در نتیجه . بنابر تعریف 4-6-0 در هر بازه بازی که شامل 1و 3- نباشد , پیوسته خواهد بود. 

صفحه 234:
46-2 تعریف : ‎pis Gomtveny [aq Diana: ejb 53 bt ele‏ هر گاه شرایط زیر برقرار باشند: الف) ۶ را در بازه باز (ظ , 2) پیوسته باشد. دربب ی زاس وش الا ار ب) در © بيوستكى جب داشته بال 0ك هر در صورتى كه دست كم يكى از شرايط بالا برقرار ا رابك بازه بسته 1 ه] ناپيوستة ‎Mash ips‏ 

صفحه 235:
4-6-3 متال : پیوستگی تایع ۶ با ضابطه تعریف زیر را در بازه بسته [-2 , 2] 0 ‘i 1 ‏بررسی‎ -2< i ike oe f(1)=14+4=5 ¢ limf (x) =lim(x +4) =5 14 a limf(x) =lim@x +2) =5 مش 7 2 ‎nits)‏ یعنی ‎X=1 52 f‏ پیوسته است . ‎oul pot Sulake‏ )22 )یوش اسشای از ظرافین اونظ 

صفحه 236:
lim f(x) = lim(3x+2) =- 4 ‏سیر - مور‎ limf (x) =lim(x +4) =6 در نتيجه بناير 22۰6-4 ‎ginighl 2, 2-|oohl jo‏ ات 

صفحه 237:
هدف كلى فصل اين است كه با مفهوم بنیادی مشتق تابع« قضیه های مشتق گیری. توابع جبری وغیر جبری ۰ شوید. گیری از توابع ضمنی . و با مفهوم دیفرانسیل از شما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید: 1) مفهوم مشتق را توضیح بدهید. 2 ل و 3) مشتق های چپ و راست تابع را در یک نقطه تعریف کنید.و برای توابع داده شده . وجود مشتق های یک طرفه را که در نقاط خواسته شده تحقیق کنید. 

صفحه 238:
4) رابطه بین مشتقهای یک طرفه و مشتق تابع در یک نقطه را بیان کنید و آن را در حل مسائل به کار ببرید. 5( قاعده زنجیری در مشتق گیری را توضیح بدهید و مشتق توابع مرکب را یه کمک این قاعده محاسبه کنید . 6 روش مشتق گیری از توابع ضمنی را بیان کنید و مشتق توابعی را که به صورت غیر ضریح بیان شده ائد محاسبه کنید ‏ 7) مشتق توابع مثلثاتی و توابع وارون متلثاتی داده شده را به دست آورید 8) رابطه بین مشتق تابع و مشتق وارون تابع را بیان کنید و به کمک این رابطه ‏ ‎adi Gets‏ داده شنده وربا استفاده از مشتق وان آن» ویر عکس:» تعیین کید . 9 مشتق توابع نمایی و لگاریتمی داده شده را محاسبه کنید 

صفحه 239:
0) روش مشتق گیری لکاریتمی را توضیح بدهید و مشتق توابع داده شده را با استفاده از این روش محاسبه کنید. : )0 م 1) روش محاسبه مشتق توایعی به صورت ۰ ۰ (16للإضيح بدهيد وازآن در حل مسائل استفاده کنید . 2) مفهوم دیفرانسیل تابع و دیفرانسیل متغییر را توضیح بدهید و برای تابع داده شده . مقدار دیفرانسیل تابع را محاسبه کنید . 3) روش محاسبه مشتق های مرتبه های بالاتر از یک را بيان كنيد و در حل مسائل يه كار ره 14) با استفاده از مفهوم ديفرانسيل . مقدار تقریبی اعداد رادیکالی را محاسبه کنید. 5) با استفاده از مفهوم دیفرانسیل . خطای مطلق . خطای نسبی و دره خطاى محاسبه را تعیین کنید. 6) ديفرانسيل كل تابع 2 متغيره رأ تعریف کنید و آن را برای توابع داده شده . محاسبه کنید . 7) روش محاسبه مشتق توابعی را به صورت پارامتری بیان مى شوند توضیح بدهید و آن:را در محاسبه مشتق توابع داده شده بکار ببرید. 

صفحه 240:
رفصل ‎ol) ea Walser gan, alas‏ فطل بل استفا اناي هوم اساسی ,به معرفی مفهوم مهم مشتق می پردازیم . مشتق یک ابزار ضی برای اندازه گیریتغییرات متغیرها نسبت به هم است . با مطالعه بتق می توانیم آهنگ تغیبراتی راکه در مسائل مختلف پیش می آید تعیین م .علاوه براین ,به کمک مشتق می توانیم ماکسیمم ومینیمم توابع را نیز 

صفحه 241:
WS Bite ‏مفهوم‎ نامه : رن کودک با گذشت زمان تغییر می کند , پس می توانیم آن را به عنوان تا زمان در نظر بگیریم . اگر اين تابع را()* بنامیم ,آنگاه تغییر وزن کودک . بازة زمانى إيابواابر است با ۳ نگ متوسط تغییر وزن کودک در این بازة زمانی , از تقسیم تغییر وزن بر طول اين بازهة به دست مى آيد . بنا براين t)- w(t) ‎ae‏ حتوسط تغییر )۷ در بازة زمانی ‎ ‎ ‎ 

صفحه 242:
5-1 تعريف : رض كنيم تابع ؛ در باز [ط,2] تعريف شده باشد . براى هردوعدد: و در ‎a5 (a,b) o‏ >> با کتقییر مقدار (۶0 هنگامی كه عازن 38 تغيير ‏برابر ۰ 200 -ابتتاك و آهنك تغيير ؛ در بازه اعد راپر 2-30۳0 است . ‏-5-1 مثال : رض كنيد (7)؛ مساحت دايره اى به شعاع : باشد , پس ‎f() ="‏ ‏ف متوسئط تغيير ‎ce tpl ciclo‏ هنكامى كه شعاع آل اذ ‎pay os‏ ‎cul‏ 

صفحه 243:
£(G)- £@) _ 71 - Ba ‏و1‎ - 17 <7 + ‏(و1‎ بنابراین , اگر شعاع دایرچدلز 4ب تغییر کند . آهنگ یز مساحت آن برابر است بای بمب اکنون با استفاده ار آهنک متوسط تغيير يى تابع به تعريف مشتق. تابع در یک نقطه می پردازیم 

صفحه 244:
-5 تعریف : 7 ونقطه ه در دامنه : را در نظر می گیریم . اگر ‎li f£(x)- f(a)‏ ‎ee xa‏ داشته باشد , آن را مشتق تابع : در نقطه ه می ‎LS Gholi‏ نشار ایع : در نقطه ه مشتق داشته باشد , : را در 2-* مشتق پذیر می گوییم . ابع ؛ در همه نقاط دامنه اش مشتق داشته باشد , : را مشتق ‎pede‏ مى نا 

صفحه 245:
بتال6-04 نق تابع ‏ 4 -*3- ( کر نقطه ۰-2 بااستفاده از تعریف به دست آورید . :حل 4 2 داریم : )8 12( ‎f£(x)- £Q) i (8x - 4x)-‏ ن- ۶0۵ ‎x72 x- 2)‏ 2-2 2 _ 3x'-4x- 4 (Bx+2)(x- 2) Sift Se ۳ 2 x-2 =lim(3x+2 =8 

صفحه 246:
Say iS ‏تعریف 4-1-5دیدیم که مشتق تابع ۶ در نقطه ۵-: برابر است با‎ 1 200 ‏و‎ 32 fe) . قرار بدهيم 8:-<ط ؛ به ذست آوريم 3+8-< , يس(ط+100-4)2 . از طرفى اكَرْ وتنها اكر 92:0 نتيجه (1) را مى توان به صورت f(a) oe | ست . بنابراین , مشتق تابع : در نقطه ؛ را می توان از رابطه (2) نیز به ت آورد . 

صفحه 247:
عبیر هندسیمشتق5-1-8 م مشتق یک تابع در یک نقطه را می توان به شیب خط مماس در آن نقط کرد .برای روشن شدن مطلب , تابع ۷-۶00 و دو نقطه((1۵, 6۵ و 6 , +00 را روعن مودار ؛ در نظر مئكيريم . به شكازيرتوجه كنيد 

صفحه 248:


صفحه 249:
5-1-9 ax ‏ب خط مماس بر نمودار ؛ در نقطه 2-< كه آن را با (2)3< نشان می دهیم‎ ست با مشتق تابع ‏ در نقطه 2-:, به عبارت ديكر ‎ma) =f (a)‏ | عمود بر نمودار : در نقطه 2-« خطی است که بر خط مماس بر نمودار نقطه عمود است . پس اگر قيب خط عمود بر نمودار در این نقطه , داریم و m(a) 

صفحه 250:
ار و و3 بنايز5 7211 :7كشدوة نالع + ذر افظدة. تزا الشف با f(x) =lim £(x+h)- f(x) ‏راء كه ممكن است مثبت با منفی باشد , نموٌ متغير مَى ناميم‎ ٠ , ‏در اين رابطه‎ ‏دهيم.تفاضل *)5-(ط+<)؛ را نمو تابع ؛ به ازاى ط‎ wo ‏و آن را با نماد نشان‎ ‏مى ناميم و با یا نشان مى دهيم . بنابراين مى نويسيم‎ ‏كد‎ Ay ‏ون م۲6‎ SOAS ie : ‏نماد گذاری‎ 5-1-2 مشتق تابع ۶00 7 در نقطه را با نمادهای دیگری نیز نشان می دهند ,مانند 

صفحه 251:
y=f(x) Ad(x+h, f(x+h)) 01 “xth 

صفحه 252:
وجه کنید که نمادهای ‎teas a‏ ابن انها وماد به معناى م ۷۶۵ نسبت به متغیر : اند . : تعریف 5-1-13 فرض می کنیم معادله حرکت جسم « در روی محور 05 , به صورت ‎S=S(t)‏ ‏بیان شده است . ‎ee‏ ‏0 ۳ 5 شرع متخرى ‏ لحظ ةفك ار پرایر ان را ات (6- (۷)۵ 

صفحه 253:
5-1-11 ل كنيد 22+ )هلله حركت جسمی روی خط مستقیمی باشد .سری متحرک را در لحظه 21 : به دست آورید . ‎ese‏ ‏للك اند وير ‎+3t+3)t- D‏ کار ‎tt t-1 =lim (UC +3t+3) =7 ‏یه زیر رابطه مشتق پذیری تابع و پیوستگی آن را در یک نقطه بیان می کن 

صفحه 254:
صیه 5-1-15 ر تابع ؛ در نقطه 3- * مشتق پذیر باشد , آنگاه در این نقطه پیوسته است نکته 5-1-17 وجه کنید که عکس قضیه 15-1-5 درست نیست . يعنى ممکن است تابعی تقطه ای یوسته باشد ولی تور آن نقطه هشتق پذیر تباشد , ‎Jie sly‏ ‎Seek)‏ ‎=p =‏ )£3 ‎x<0‏ اد ‏در نظر بگیرید . 20-10 0 #تفیجه می شود که تابع ۶ در 2-0 ‏وسته است . اما این تابع در ‎ -0‏ مشتق پذیر نیست . زیرا داربم 

صفحه 255:
li f(x)- f0 ay ۳-0 ‏0ع‎ 1-0 x0 x-0 atin! 2-0 1 x>0 -1 x<0 ‏ون به تعریف مشتقهای یک طرفه یعنی , مشتقهای چپ و راست تابع دریک‎ طه , می پردازیم 

صفحه 256:
عریفة5-1-1 ل می کنیم (1<10 وه متعلق به دامنه تابع / باشد . مشتقهای راست ‎zg‏ دره- ۶ را به ترتیب با نمادهای (8):گو (8)-ْشان می دهیم و به صورت ‎f(a)‏ ل ‎f(a) = Jim‏ هت ‎f(a)‏ ‏روط بر اینکه این حدها وجود داشته باشند . مشتقهای چپ وراست را تقهاى یک طرفه می نامیم . : قضیه 5-1-19 مود است اگر وتنها اگر(8):؟ و۲8 موجود ومساوی باشند . 

صفحه 257:
منا-[5-1-20 شان بدهيد كه تابع 3+1 <1 ‏در‎ lg cw! aiway x =1 pf) = 2+2 ‏لد‎ رنه تق يدير ‎Jota‏ 0 limf (x) =lim(x +1) =4 ‏اريم‎ ‎limf (x) =Him(@2x’ +2) =4 ‏پیوسته است .اکنون‎ x =1 59 f aS ogc) no atimf(x) 24-100 شتقهای راست و چپ در 1-: را محاسبه می کنیم . 

صفحه 258:
‎h)+1-4‏ + وروز ‎bo‏ ‏_ ۶00 ۳ وود 0 ‎=lim3 =3‏ و ‎bo 3 bo‏ ‏4 -2+ ۳( +20 تللح لز ‎ ‎۱۳ ‏ا‎ ‏و‎ ew sh A Slim ‏وو وود هك‎ no mo ‏نقهای راست و چپ : در ‎ -1‏ برابر نیستند , پس بنابر قضیه 19-1-5 تابع؟ ‎X =!‏ مشتق پذیر نیست . 

صفحه 259:
تَعریف 5-1-24 بع ؛ را در بازة بسته [ظ,6] مشتق پذیر می نامیم اگر ۱: در بازة باز (ط,ع) مشتق‌پ ذیر باشد . eG ad POs ‏ای‎ 

صفحه 260:
21 یه : مشتق تابع ثابت 6< (۶6 که درآن » عدد حقیقی ثابتی است , برابر صفراست , یعنی و ضيه 5-2-2 , خطی ظ+:۵< ۶00 درهر عدد حقیقی مشتق پذیر است و داریم f(x) =a 5-2-4 ‏ضيه‎ '*كةتلثرآن : عددی حقیقی است بروی دامنه تابع ۶ مشتق يذير اس: یم ‎f(x) =rx"!‏ 

صفحه 261:
:متا ل-5-2 فرض كنيد ‎=VXx‏ £60 , ۵ گرا به دست آور ند 4 حل ون اريم ‎V2‏ (00قضیه 4-2-5 زا به ازاى ‎٠.‏ بذركازة مى بریم برای هرحد ‏1 ‏2 ات ومع ع ‏یی ‏و ‎2x 

صفحه 262:
ضيه 5-2-7 توابع (20 و9 مشتق پذیر باشند آنگاه ۰) مجموع +۶0 مشتق پذیر است وداریم ومو + م :- [0مو+(ع تفاضل (900-(100 مشتق پذیر است وداريم ‎=f'09- go‏ )90 -)@£| ) برای هر عدد حقیقی ‏ تابع(10 مشتق پذیر است و داریم ۵ 6 زک 

صفحه 263:
ت) حاصل ضرب (۶0(9)0 مشتق پذیر است و داریم وهم + وموهه ,- إوموومم | ff bol Seal oss ‏يجار كات م مور‎ 9و -صاوم 1 7 900 f(x) g(x) ج) براى هر عدد طبيعى ‎٠‏ , تابع (*)”؟ مشتق يذير است وداريم ‎'(x)f (x)‏ “كمد 1 ‎(x)‏ ع 

صفحه 264:
بضیه تابع چند جمله لع-52 PX) =ax"+ax™'+--- +a, x+a, ‏در تمام اعداد حقیقی مشتق پذیر است و داریم‎ ۵+ ها عه) + “عروم- وام 

صفحه 265:
: قضيه (قاعدة ننجيروا 5-2-11 اگر توابع (نا)7-1 و ‎u=G(x)‏ مشتق يذير باشند , آنگاه تایع مرکب ‎y= (fog) &)=f(g(x))=f(u)‏ شتق پذیر است و داریم df du edt) dx رای ‎gis cline gy AL‏ تاع ۶ تسبت به متفیر لو ‎sleet‏ شتق « نسبت به « است .این رابطه را می توان به صورت زیر نوشت ‎Dy =Dyy Du‏ 

صفحه 266:
منا 5-2-10 رض کنید ۰ 3+7 -*:2< دای 5+:-۸<2 مشتق تابع »را نسبت به « به ست آورید . بنابر قاعدة زنجيرى داريم ‎df_df du‏ از طرفی ‎dx du dx‏ ‎at = ant Su? +7) =8u?- 6u‏ ‎dx‏ ‎=8(2x*- x +5)? - 6(2x?- x+5)‏ ‎du_d‏ 2 0 

صفحه 267:
در نتيجه به دست مى أوريم ‎x45)°- 60x"- x+5)| @2- 1)‏ و كك ‎x'+15 ‏منالق5-2-1‎ ‏استفاده از قاعدة زنجیری مشتق تابع ,6 0 به دست آورید ‎x41 ‏حل‎ : ‏قرار مى دهيم ‏ رجا -(«یقابر قاعدة زنجیری داریم 

صفحه 268:
df(x) _df(u) du dx du dx df(u) _df(u’) ‏ماج عع د‎ = ۳ du du a 3 + ? du_2x(x? +1)- ‏ما للجم‎ dx 0+0 ‏ال د‎ در نتيجه به دست مى أوريم 3+2 - “ها - 1+ ا _ كك ‎Ca ae a‏ وراج ‎dx x41 (+)‏ _ 507+ DC x*- 3x? +2) 7 

صفحه 269:
نتیجه 5-2-15 ابر قضیه 4-2-5 وقاعدة زنجیری و با فرض ‎Yglu=flx)‏ ببرای هر عدد ویای : خواهیم داشت ]۶6([ ‏ومع‎ ۶0( 5-14 5 3 4 5 Parts ر 3+5 - 2 آنگاه معادله 5+ ‎L frat yy =4x°- 3x?‏ ‎٠‏ طور صریح تعریف می کند . ولی همه توایع ‎a‏ طور صریح به صورت ‎ul 7-1‏ می‌شوند . مثلاً معادله ‎F(x, y) =x’ - 3x"y’ +5y*x- 4e*y =0 (‏ ‏نمی توان بر حسب :یا بر حسب + حل كرد . 

صفحه 270:
F@y)=0 ‏از‎ , puly Ly x ‏ور ضمنی تعریف شده است اگر بخواهیم مشتق «نسبت به‎ ‏ور‎ ‎y =f) = ae اده مى كنيم که در آن ملق تابع ‎F‏ نسبت به«با فرض ثابت بودق ‎vy‏ ‏ی تابع ۳ نسبت به, با فرض ناب دس ؛ این روش محاسبه مشتق ‎aves pilin Meliss sae Sos‏ 5-2-18)-lio ‏بیان‎ Fx y) =2k° +xy' +y"- 30 leo Lawes ‏به طور ضمنى‎ y=f(x) w! شده ‎asl‏ (۱ را محاسبه کنید. 

صفحه 271:
حل مشتّق۳ نسبت به » با فرض ثابت بودن « برابر است با ‎RK, =6x? + y? +0+0=6x? +?‏ ‎cum F Gide‏ به , با فرض ثابت بودن » برابر است با ‎F, =0+ 2xy+4y’ +0=2xy+4y?‏ براین , طبق 17-2-5 داریم 2 ‎f@= ORY‏ 20747 نق این تابع را می توان به روش دیگری نیز محاسبه کرد . در اين روش از ف تساوی 5-0 - و + ‎2x? + xy‏ 

صفحه 272:
‎٠‏ به مشتق می گیریم , و البته باید توجه کنیم که مشتق ‎y‏ نسبت بلا« براب ‏0 ره + رو 2+ جع ‏« اخیر را نسبت به حل مى كنيم . به دست مى آوريم ع _ بو ‏ده می کنیم که نتیجه حاصل از دو روش یکسان است . ‎ 

صفحه 273:
DO ‏زب‎ B 9% ۱ QS ellis ‏توايع‎ Gitte مشتقتابع سينو س5-3-1 ض مى كنيم ملد( , در این صورت مشتق تابع عصنه برابرتدوه است, ى ‎im =cosx‏ 5-3-2 prox ‏و.نا هذه-(5)1 با استفاده از‎ bl xj ‏مى كنيم ()11-0 تابع مشتق پذیری‎ ) ‏ده زنجيرى و1-3-5 به دست مى أوريم‎ df(g(x)) _ df(u) du dx du dx d(sim) —a(simu) du_, du dx du dx dx 

صفحه 274:
اه ی كنيد 1 2۰+ 0و (هشتق؛ را نسبت به: محاسبه کنید . :حل قرار می دهیم1 -:2+ توت . بثابر 2-3-5 داریم df(x) _d(sim) du ces Ltd ds 2-0091 Lee +2x- 1) =cosbx’ +2x- 1) (1° +2) 

صفحه 275:
5 aes 5 gts Bio . COSX=(X) ‏فرض می کنیم‎ d =- si ‏در اين صورت‎ —(cosx) =- sinx dx 5-3-5 ‏عمیم‎ 11-6 تابع مشتق پذیری از و 0051-(5)1 باشد با استفاده از قاعدهٌ زنجیر 4-3 نت ‎ey ag evs os‏ = نودم ل dx 

صفحه 276:
تابع تانزلنت-5-3 10 ‎oh: SES a‏ دهررئ ستفاده از اتحاد مثلثاتی وم بت آورد _cosxcosx- (- sinx)sinx cosx _cosx+sittx pa 1: cogsx ۰. 604 secx =1+ tarix ‏در نتيجه داريم‎ eas (tank) =1+ tarix =se¢x dx 

صفحه 277:
3-5 ‏باشد,آنگاه با استفاده از‎ f(u)=tanu 9 x ‏پذیری از‎ wl u=g(x) ‏اعدة زنجیری به دست می آوریم‎ 0 52 ‏تا در‎ 6 (tami) =(+ tatu du =seéu-—_ secu 

صفحه 278:
مشتق توایم لگاریتمی و نمایی ‎SS‏ ‏]== - : قضیه 5-5-1 الف) مشتق تابع ۶ ها-()5 که 0<: ,برابر است ا 7 ne ee ‎x jl sue Gide wl ulx)>0 651 (VU‏ باشد آنگاه ‎1 du — (Inu) = = ui u dx ‎ ‎ ‎ 

صفحه 279:
هت #كالا *به عبارت دیگر مشتق تابعه برابربا خودش است. تيجه 5-5-4 . () تابع مشتق يذيرى از» باشد ,آنگاه بنابر 2-5-5 و قاعدة زنجیری داریم da Pave) dux) dx dx 

صفحه 280:
‎5-5-JJ-lis :‏ الف)اگر ۵0+ 21۳6۴ ل,آنگاه بنابر 1-5-5 (ب)داريم ممه = ‎3x? 44x ‏آنگاه‎ , y=Ind+ sit) (WC ‎(2sinx -cosx)‏ ع ‎ ‎37 ‎__ ‎1+5 ‏ع‎ ‎oil, yee" 3H (a Jo 434 tank) ‎dx ‎=e*"™ (1+ tartx) 

صفحه 281:
x Gs5-5:7 ‏مشتق تابع‎ ‏مى كنيم کنر 0<ه 1مرای محاسبه مشتق از روش مشتق گیری‎ تیاده مق کت به ان منظور ارهدو طری ۲ الكاريتم طبيعن كيريم : ‎Iny =Ina* =xIna‏ ل از دو طرف رابطه اخير نسبت به: مشتق مى كيريم . توجه كنيد كه 28[ رى ثابت است . به دست مى آوريم مما لك y =ylna=a* Ina ‏يجه داریم‎ عد زعم 4 ‎Go‏ 

صفحه 282:
تيجه 5-5-8 «7-5 و قاعدة زنجيرى نتيجه مى شوذ كه اكر (*)1ا تابع مشتق يذيرى از: بار ‎Bac du ‘‏ $0 a Ina oY dx oa dx 5-5-9 متال : الف) ی ۷ بنابر 8-5-5 برابر است با Sa mot 32+59 - 2۳*7 1026+ 

صفحه 283:
تومتو ب) مشتق تابع ‎cles si lates‏ ا ۱ ‏ره‎ 2 +sinx) =3r™ 1n3(- sinx + cosx) مشتق نايع 49200و دستور 8-5-5 اگر ‏ 100+ظتيازا شود كه در آر()” تابع مشتق يذير: است , به دست مى أوريم doa? (3x) ae < (log ) 

صفحه 284:
طرفی با توجه به (6< "*"وابطه بالا به صورت زیر به دست می آید a = 1 a (x) eo =v(x) Ina aged ) » از آن به دست می آوریم 1 1 ‏0ه‎ ‎v(x) Tha dx نو £10 ن رابطه را می توانیم به صورت زیر خلاصه کنیم v(x) 1 ۷00 Tha 2 090(- 

صفحه 285:
مثال 5-5-1 لف) مشتق تابع (4+ 58+ ۲20908 بنابر 10-5-5 برابر است با 1 1 و ‎x?+5x?+4 In2‏ مص1 4+ ب) مشتق ‎wl‏ (<۲<۱۵0۵+3608 بنابر 10-5-5 برابر است با , _(2+3c08 x)’ , 1 2 Gsim cose 2+3cogx In3 2+3cogsx ‏تسا‎ 

صفحه 286:
‎5-5-13J-lio :‏ فشو 1 0127 3 را محايسيه كنيد ‎és‏ ‏دو طرف معادله , لگاریتم طبیعی می گیریم ‎Iny =(6x* +2) In@+x’)‏ ‏دو طرف رابطه اخیر نسبت به« مشتق می گیریم ‎ ‎A (x! +20)‏ + ا ‎oe eb ers‏ ت از ‎y =@+x) [SC +QInd +32 ‏شب(‎ zoe +2x)] 

صفحه 287:
مشثق مرثبه های بالاتر ‎O-G‏ ‏سس تعریف 5-6-1 فرض مى كنيم تابع(*)7-1 در نقطه ه مشتق لهاي باشد . را مشتق اول ‎ 00(‏ وجوددارد- ۸۵ ‎eee oe ee‏ . فرض می ‎acA f‏ کنیم . در این صورت تابعیلهرویه هلت و مى توانیم درمورد مشتق مشتق در نقطه صحبت کنیم ۰ مشتق درنقطه ه را مشتق(248؟: ‎prof Mada alaks’ (a‏ وبا یا نشان می دهیم .به همین ترتیب مشتقهای مرتبه های بالاتر در نقطهج را درصورتى و قاع كه وجود داشته باشند با 1ه 912-21 نشان مى دهيم و انها را به ترتيب مشتق هاى مرتبه سوم : ‎Pyle?‏ ... و2 ‎Gola laa) ore al‏ كوييم”. تایراین برای اهر عدد طبیین ‎١‏ كر مشتق اول تابع وجود داشته باشد أن رامشتق ‎٠‏ ام تابع : می نامیم و با نماد نشان می دهیم . 

صفحه 288:
ماد گذارید5-6 ) گاهی ‎Liss CL‏ شان مى دهند ” همان ظ رراكة را بای ‎Olas.‏ ده رک پر ن طور که را بااتماد بیشان می ‎a SL fark‏ ست ‎at 8 0‏ ‎oo i‏ دهم" به همین ترتیب "8 را با نماوه زیر می توان نشان : همچنان کدی رانا ان مایم ۰۳۱ ات توان به ب با نمادهای ۶ ...نان داد . 

صفحه 289:
مثالخ-5-6 مشتق های اول تا سوم تابع (9+همزه+ عم را محاسبه كنيد : حل f(x) =1&e**? + 2cosk +1) £7) =(F (0) 1 ۵*3 +100 007*۰3 - 22) sinkx +1) -1 068۳3 +1 ‏توتع0‎ 3 - 4sinkx +1) ‏ا‎ ‎-1 01 &)e**? +10@x)e* ? +1087(1 &)e™ 7 - 4( ‏ووه‎ +1( -1 0 6+10 - 8009+ 

صفحه 290:
مقدمه 5-7-1 ترض می کنیم (7-۶0 تابعی مشتق پذیر باشد بنابر تعریف مشتق داریم ۶0 ‏ون‎ +49) f(x) ‏شون‎ ‎a0 AX xO AX نابر تعريف حد به ازاى هر 0< عدد مثبتى ماننة وجود دارد به طوری که ع> مر ‎O<|Ax-Q<6= |—- f‏ ‎<|Ax-G<d > ie (x)‏ ع> ال سل دورو من ‎AX‏ 

صفحه 291:
‎Ax)‏ گر تتفایسه با کوک است . به عبارت دیگر ال به اندازة ‏, کوچک باشد , ریب مناسبی برای۸7 است , یعنی می توانیم بنوین ‎Ay ~f (x)Ax ‎£(x+ Ax)- £(x) =f (x)Ax ‏ار ‏۳ 00۸+ که رح +۶6 ‎£(x+ Ax)- f(x) ~f (x)Ax 

صفحه 292:
5-7 تعریف : اه تابع ۷-۶6۵ مشتق پذیر باشد , دیفرانسیل ‏ راباتة نشان می دهیم وبارا تعریف می کنیم dy=f (x)Ax فرانسیل‌متغیر 5-7-3 ‎f(x)=x‏ باشد , آنگاه خواهیم داشت اورواباطه 2-7-5 به صورت سادة داقع تاند. يعنى 351 متغير منتشفل باد دفراسيل ‎١‏ یاو یبراب ند بود . در نتيجه تعريف 2-7-5 به صورت زير بيان مى شود : ‎dy=f (x)dx ‏این ,دیفرانسیل هرتابع مشتق پذیر برابربا حاصل ضرب مشتق آن دردیفرا 

صفحه 293:
‎A 1‏ (4+:3) مزع برابر است با ‎dy=ydx= dx‏ ‎ ‏3 ‏324 ‏نا (ع-5-7 زب برای تن ‎Je ‎Ax =dx=0/1 (p48 L x=0 abay pfx) Beye ‎Ay =f(x+Ax)- £60) ‎2 ‏داريم‎ ‎=[3(x+ Aw)? +4(c+ Ax) 7] [3x?+4x- 7] ‎=3(Ax)’ +6xAx +4Ax 

صفحه 294:
هر 0-و. ‏ ب0<تفت مى آوريم ‎Ay =30/1)’ +0+4 0/1) =0/43‏ داریم ‎dy=f (x)dx=(6x +4)dx‏ ‎so Caw) a, dx=0/19 x=0‏ آورتم ‎Ay =O +4)0/1) =0/4‏ ‏برای محاسبات تقریبی از مفهوم دیفرانسیل استفاده می شود. به مثالهای 

صفحه 295:
-5-7 مثال : ا الشتفاذه ارزرعفووم 3 كرا سيل مان تیان ۸ را مخاسية كير ‎Vx el‏ )ادر نظر مى كيريم . بنابر 1-7-5 داريم ‎£(x+ Ax) ~f£(x)+f (x)Ax 0 ‏از طرفى داريم ‎1 ‎3 ‎۶0 ‏ات‎ ee ‎ae ‎ ‏بنابراین , رابطه (1) به صورت زیر در می آید ‎۹ ‏اده‎ 0 x ‎ 

صفحه 296:
کنون فرض می کنیم 2-16 و ۸۲-2 دی ی 1 +2- یع_+4/16- ۹18 ‎ait ale‏ 2+0/0625= زرم 16 2/0625=~ 5-7-J_lic ‏با استفاده از مفهوم دیفرانسیل مقدار تقتبلهنه را حساب كنيد‎ 

صفحه 297:
las yl 1-7-5 uly f(x) =sinx wiS ‏فرض‎ £(x+ Ax) f(x) +f (K)Ax بسن ‎costs‏ )و السه بالابصورت زیر ذراسی آيد sing + Ax) ~sinx + Cosx -Ax ‘ 3/14 ‏او‎ ١ abl ‏اکنون فرض می کنیطاتد ۵2 یعنجو ترچ راديان‎ ‏به دست مى آوریم‎ sind5+) ~sint5 + ‏لاق دلوم‎ 180 2, V2 3/14 B27 80 <( 13 (194 

صفحه 298:
هوم خطا 5-7-10 ازه گیریها معمولاً مقدار اندازه گیری شده با مقدار واقعي متفاوت است . ت را با نتال داده می شود : اعم ز اينکه مثبت باشد یا منفی , خطای هم تكيوى ع فى ناكم ,زا تمعنا 5ك باناةيخطاعة تیه وان ار مت آندازه ۲ ر سنجيد . اين خطا كه بيشتر به صورت در صد بیان می شود , خطای دره صد خطا نامیده می شود. به تعریف زیر توجه کنید . -527 تعریف : دا لانت باس همان هري ادك ‎shoal‏ را ى نسبى و لازا مواق رتس ار 

صفحه 299:
ان 7-1 9 , ضلع مربعی با حداکثر خطای 0/05 سانتی متر برابر 1/5 سانتی متر ه گیری شده است . خطای نسبی و خطای درصد در محاسبه مساحت این را محاسبه کنید . فرض می کنیم «طول ضلع مریع و : مساحت مریق‌بتاشد .پس ‎-ds=2xdxg‏ بنابر فرض مسئله داریم 0/05- و5/1- .بنابراین , خطای نسبی در محاسبه 03 *_ لع _ 5 - خطای مساحت این مربع ‎Sa a TOM‏ رو و عفار ای ی 5 

صفحه 300:
ن با معرفی توایع چند متفیره به تعریف مشتقهای جزئی و دیفرانسیل کل پردازیم عریف5-7-1 کنون با توابعی سر وکار داشتیم که تنها به یک منغیر وابسته بودند , اين د ‎wl‏ را توابع یک متغیره می نامیم . در صورتی که تابعی به بیش از یک متغد تگی داشته باشد, ‎ol‏ | تايع چند متغیره می گوییم 

صفحه 301:
برا ما کمن دام که حج ی مکفت تا مکی ند .طول .عرض و ارتفاع آن دارد یه عبارت دیگو : خجم قکعب مستطیل : تابعی از طول ‎x‏ عرض , وارتفاع : آن است .پلتل 2۶0 ۷ از طرفی حجم مکعب مستطیل برابر حاصل ضرب طول , عرض , و ارتفاع آن است , پس داریم ‎f(x, y,z)=xyz‏ بنابراین (20,۲7,2 , تابع حجم مکعب مستطیل .یک تابع سه متغیره است . 

صفحه 302:
تناد 31 ض کنید در زمان معینی تعداد تولیدات کارخانه ای با ‎x‏ واحد نیروی کارو 24 حد سرمایه , برابر ‎ay) =708y?‏ » ت ) با به کارگیری 27واحد نیروی کارو8 واحد سرمایه : چند واحد محصول ید می شود؟ ب ) نشان دهید که اگر مقادیر نیروی کار وسرمایه دو برابر شود , تعداد تولیدات . کارخانه نیز دو برابر خواهد شد 

صفحه 303:
تل ف) تعداد توليدات كارخانه به ازاى 27 واحد نيروى كار و 8 واحد سرمايه بر £278) 007 <7090( 2-26۱ ) مقدار تولید حاصل از به کار گیری : واحد نیروی کار وه واحد سرمایه بر تور ‎f(a,b)‏ ندار تولید حاصل از به کارگیری 2۵ واحد نیروی کار و25 واحد سرمايه برابر اسو داریم weet 2 2 et £(2a,2b) =7 (a)? (2)? =702)3 a3 (2)? b? 1s 5 ra 5 ده إن <702( 2۳ =2£ (a,b) 

صفحه 304:
الق 57-1 شنده یک نوع ماشین حسابگر الکترونیکی در می یابد که تحت شرایط خاص د ماشینهای حسابگری که می تواند بفروشد از معادله ‎f(p,t)=-p+60t-0/02pt‏ بت هی ‎oh ail‏ در آن فقیمت یک ماشین خصایگ ی مبلقى به تومان اسك لیات شود اک کیت هر كاه ماش خسایگر 100 توسان ۱۳ تبلیغات 250 تومان باشد , فروشنده چند ماشین حسابگر ‎opts riley no‏ ‎ig‏ اد ماش این کشت بواید قوش را رات ۱ £(1000250,)=-(250)(1000)0/02-(250)60+1000 

صفحه 305:
ها مسرت ای دور 567-19 ‎wo ux‏ کنیم (,۶یک تابع دو متغیره از متغیرهای « ود باشد, جزئی ‎ ‎xy),‏ نسبت به‌متغیری: با نماد - با 1 نان می دهیم و برابر مشتق ‏(2,1] نسبنبه «تعريفمیکنيم .هنگامی‌که رن ابتو ([,10تنها تابعیاز + در ‎of ١ ‏نظر گرفته‎ ‎2 y ‏نشان می دهیم‎ LL ya, cus flay) eb Wie ‏شود.مشتق‎ ‏که بنایر تعریف‎ ‎fy) wl giro Lb awl ply‏ نسبت به « هنگامی که: ثابت و(:10 تنها تابعی از د فرض شود . 

صفحه 306:
منا 5-7-20 برض کنید . *3+27+59- (2,1)؟مشتقهای جزئی / را محاسبه کنید . مشتق جزئی : نسبت به : برابر است با ‎=6x+2y+0=6x +2y‏ ,£ مشتق جزئی : نسبت به « برابر است با ۶. 20+2:+1 5 2 

صفحه 307:
: منالل5-7-2 مشتق های جزئی>+ 28+ 2۷ 0,۷,2 را محاسبه كنيد : حل مشتق جزئی ؛ نسبت متغیر ‎x‏ برابر است با 2۵+ 0۵+ 2۵+ 26 ,1 مشتق جزئی : نسبت به متغیر ‏ برابراست با £, te +xd =e +x 

صفحه 308:
سس سس کاربردهای مشتق )9 ‎Geile pls csc eae lace magi eles‏ ابع صعودی یانزولی, ماکسیموم ومینیموم نسبی و مطلق تابع,رسم نمودارت عرومحدب ونقطه عطف نمودار تابع ,«وروش رفع ابهام از صورتهای مبهم دی آشنا شوید. 

صفحه 309:
: ف شما انتظار مي رود که پس از پایان مطالعه اين فصل بتوانيد: 1)برای تابع داده شده ,بازه هايي را که تابع در آنها صعودی يا نزولی 2) نقاط بحرانی توابع داده شده را تعیین کنید. 3) موی وت وه تس توايع داده يده راننا استهاده أ آزمون های مشتق اول ودوم به دست آورید. سم و مینیموم مطلق توابع داده شده را در بازه ى مورد نظرتعيين كنيد. 5) تقعر وتحدب ونقطه عطف احتمالی نمودارتابع داده شده را مشخص کنید. 

صفحه 310:
7 مجانبهای مایل نمودار تابع داده شده را در صورت وجود 8 ) محور های تقارن ومرکز تقارن نمودار تابع داده شده راءدر صورت وجود, تعیین کنید. 9 نمودار توابع داده شده را رسم کنید. 0) از صورتهای مبهم حدی داده شده رفع ابهام کنید. 1 قضیه هوپیتال را در حالت های مختلف توضیح بدهید ودر مسائل مربوط به کار ببرید. 

صفحه 311:
دمه : صل كخم با برعي از كارن هاف ‎Its gies ol stn Calis‏ رى از مشتق را در تعيين بازه های صعودی ونزولی,نقاط ماکسیموم ومینیم . وتحدب نمودار تابع‌مودر رفع ابهام از صورتهای مبهم بیان مي كنيم. 6-1-1 قضیه(آزم ون يکنوايي): فرض مي ‎fal euS‏ دربازه [ظ,18پیوسته و در بازه (8,0) مشتق پذیر باشند. 1) اگر برای هر (,8) > #داشته باشیم < 60 گآنگاه #صعودی است. 2گر برای هر (,8) >* داشته باشیم ‏ 00 گنگاه # نزولی است. 

صفحه 312:
6-1-2مثال: ‎Rb‏ + 3< (0؟ را روی 8 در نظر بگیرید.تعیین کنید *روی جه بازه ‎wh‏ ‏صافودی وروی چه بازه هایی نزولی است. ‎f(x) =6xus7‏ — روشن است که برای هر0 <8«<ام؟ ‎sles ‎R Rt £(x)<0 ‏هر 0> داریم .پس روی صعودی وروی زولی‎ f(x) 20 ‏است.توجه‎ ‎1 : 0 ۲ ‏کنید که به ازای 0 داريم ‎ely alle Ves:‏ جدول زیر + 0 5 ۶۳00 خلاصه کنیم: ‎ ‎f(x) ‏تزولي‎ Seno 

صفحه 313:
مثال: قاط ی وا ‎f(x) =2x°- 4 (call‏ ب) 2 3+ 2 ۶00 را تعیین کنید. حل* الف) ‎f(x) =62 -0 = 6x* =O> x =O‏ ‎f(x) =3x°+6x-0= x=0, x=-2 (GS‏ -6-1 نتيجه: وجه به قضيه 1-1-6- وتعریف 4-1-6 برای تعیین بازه هايي که تابع ری آنها صعودی و یا نزولی است , باید نقاط بخرانى ‎DEX) el‏ به دست ردو علامت راتكن کرد. 

صفحه 314:
ماکسیموم و مینیموم تأیع 90-0 -6 تعریف:می گوییم تابع ۶ در 6ذیک ماکسیموم نسبی یاماکسیموم موض «اككتراى تسن زار وت اری که اقا جالكد ورشية زا قم ‎£(c) =f (x)‏ شکلهای 1-6 و2-6 نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در > ماکسیموم نسبی دارند. 

صفحه 315:
6-2-2 تعریف: می گوپیم ‎wl‏ !در یک مینیموم نسبی يا مینیموم موضعی دارد.اگر برای هر > از بازه بازی که شامل باشد داشته باشیم f(c) <f(x) شکلهای 3-6 و4-6 نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در » مینیموم نسبی دارند Sy, 2 شكل 3-6 شكل 4-6 

صفحه 316:
6-2-6 تعبیر هند سی نقاط اکسترموم: ر هندسی قضیه4-2-6 این است که اگر تابع ۶ در » مشتق پذیر باشد و اين نقطه اکسترموم نسبی داشته باشد , آنگاه مماس بر()۷<۶ در نقطه افقی است . به شکل 5-6 توجه کنید. 7 (c,f( شکل 5-6 

صفحه 317:
6-2 تذکر:عکس قضیه 4-2-6 درست نیست میعنی تابعی مانند ۶ وجود د به طوری که ‎LX)!‏ أراى مفاديرى ان» صفراست ولی‌ این نانع دراین ند نسیموم يا مینیموم نسبی ندارد.برای مثال فرض لید»6- ۶00 . داريم f(x) =3(x- 1° عادله 0= £9 می شود 21 ,يير0- (0 5 .اما به ازاى 1>< , م 5)2(>0 وبه ازاى 1< داريم 1)5(<0 .درنتيجه #در1-< نه ماكسيموم ن د و نه مينيموم نسبى . 

صفحه 318:
6-2 نکته:ممکن است تابعی در نقطه ای اکسترموم نسبی داشته باشد ن نقطه مشتق پذیر نباشد. برای مثال فرض كنيد ‎3x- 2 x =2‏ ‎x x>2‏ -6 f£ Cx) ={ داراین تابع درشکل 6-6 رسم شده است. #در 22 ماکسیموم نسبی دارد ء اما چون3- (۶0 و 1-- ۶:0 است. ils $B ‏تيجه‎ 

صفحه 319:
.6-2 نتیجه: ض می کنیم تابع ‎f‏ در نقطه ‏ تعریف شده باشد,شرط لازم برای اینکه تابع برظه ی اسر موی کات ناشد اش اسب كه نيك بفطه را | ۶ باشد,به عبارت دیگر ۰ 0- ۶:۸ ۵)موجود نباشد. 6-2-0 قضیه (آزمون مشتق اول برای اکسترموم ‎(cum sl‏ فرض می کنیم تابع ؛ در بازه بازی از نقطه بحرانی » مانند (ظ,ه) پیوسته باشد و در لام نقاط آن جز احتمالاً درء مشتق پذیر باشد. 1اگر دربازه باز(م,2) مثبت ودزبازه باز(طرة) منفی باشد ‎neg‏ = 

صفحه 320:
2) اگر؟ دربازه باز(0,ع) منفی و دربازه باز(,6) مثبت باشد ‎iJ‏ ‏0 ‎F‏ دره0>-* ی ک‌مینیم وم نسبیدارد. ‏3)اگر هیچ کدام از(1) و(2) برقرار نباشدآنگاه ۶ درحعد ماکسیموم ‏يا مینیموم نسبی ندارد. 6-2-7 متال: ‏ستفاده ازآزمون مشتق اول,ماکسیموم و مینیموم نسبی تابع ‏1 ‏۵2+ 3 - تج پذلشت آورید. 

صفحه 321:
حل مشتق این تایع برایراس 54۶8 رد 0 ‎FO Ale sh ain,‏ عبارت اند از 2 و23 .بنابراین 2و3 تقاط كرابي ‏تابع ۶ اند. ۳ ‏نقاط بحرانی تابع را درجدول قرارمی دهیم وازمون مشتق اول را به کارمی بریم. ‏ی کر اک ی و جهن مه تزعق؟ ‏عبارتند از: . ‎ye‏ ‎ ‎f(x) + = + ‎ ‎f(x) Sone ‏نولي‎ Sono ‎ 

صفحه 322:
6-2-1قضیه (آزمون مشتق دوم برای اکسترموم های نسبی): ض می کنیم ‏ یک نقطه بحرانی تابع / باشد و 20 0 *همچنین برض می ‎PHS‏ "#روباژه بازی شامل » وجود ار ی اه ور اک موی قرا روه ‎fy 0‏ اگر ‎USA‏ «دره مینی موم نسبی دارد. 

صفحه 323:
6-2-8 متال: : فرض کنو*»9+ 6 - 2 ۴0۵ .با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکسیموم ‎td‏ و مینیموم نسبی تابع ۶ را به دست آورید. شتق اول تابع ۶ برابر است با: 12+9 - 23 ۶00 شه های معادله 20 () بارت اند از1-< و3<؛ .بنابراین 1و3 نقاط رانی تابع ۶ اند.مشتق دوم این تابع برابر است با:12 -266 ۴۳00 £"(x) =6- 12=-6<0 ادير تابع 1و3 عبارت اند از: ‎tg Ae.‏ 

صفحه 324:
جه بنابر آزمون مشتق دوم ,این تابع در 221 ماکسی موم نسبی ودر3< بوم نسبی دارد .مقادیر ماکسیموم ومینیم وم نسبی عبارت اند از: f(1)=7 , £(3 6-2-9 نکته: اگر در مورد تابع ۶ داشته 0تنله ‎=f‏ )£0 ,آزمون مشتق دوم اطلاعاتی از ماکسیموم نسبی یا مینیموم نسبی بودن ‎٠»‏ به دست نمی دهد. در چنین مواردی باید از آزمون مشتق اول استفاده کرد. 

صفحه 325:
برای مثال .فرض می کنیل -) - ()1 .مشتق های اول ودوم ۶ عبارت اند از: 2۳ م4 و۶ ۶۳00 <120- (۳ از0< 200 نتیجه می شود 2<.پس 2نقطه بحرانی تابع ۶ است.ازطرفی داریم ‎=f 0‏ 862 .برای تعیین ماکسیموم یا مینیموم نسبی ‎wh wl‏ ازازمون مشتق اول استفاده كرد. 3 3 ‎x i‏ ger ieee ۶00 0 n= صودي نولي ‎£(x)‏ 

صفحه 326:
تابع ۶ در2< مینیموم نسبی دارد.مقدار اين مینیموم برابر است با: 2)=1(£ نمودار تابع ۶ در شکل 10-6 رسم شده است. f(x) =(x- 2441 1 بم ‎ues‏ ‎ol‏ 

صفحه 327:
0 رف ۶ ۶ واعداد » وه را دردامنه تابع ۶ درنظر می گیریم. ‎f(c)(e‏ را لشاكسيموم تظلق _تابع , روى داهنة انل امن تاميم اكز يرا مه دامنه تابع ۶ داشته باشیم: f© =f) ‏(0)؟ را مینیموم مطلق تابع ۶ روی دامنه اش می نامیم,در صورتی که برا‎ ) از دامنه تابع ۶ داشته باشیم: 1690 10 کسیموم مطلق یا مینیموم مطلق تابع را اکسترموم مطلق تابع نیز می گوی 

صفحه 328:
جه كنيد که می توان تابعی مانند : با دامنه 1 یافت که ۶ روی 1 اکسترموم ق نداشته باشد.ولی اگر؛ وا دارای شرایط خاصی باشند,آنگاه تابع ؛ روی ۱ ده اکسترموم مطلق خواهد بود. به زیر این شرایط را معرفی می کند.ازاثبات این قضیه صرف نظر می کند -6-2 قضيه: تابع ؛ در بازه بسته [ظ,۵]پیوسته باشد,آنگاه ۶ روی اینبازه دارای ماکسیمو یموم مطلق است. 

صفحه 329:
, تعیین اکسترموم های مطلق ‎tel‏ عیین ماکسیموم ومینیموممطلق تابع ۶ روی بازه بسته [,2) ,درصورتی که به باز(ظ,2) مشتقپ یر باشدبلبتدا به کمکآزمونمشتق‌اولیا آزمون اکسیموم و مینیموم هاینسبی این تابع را دربازه داده شده به دست می ‎gl‏ ‏مقادیر()4 و(ط)؟ را محاسبه وآنها را با ماکسیموم ومینیموم های نسبی تا ه می کنیم. رين اين ‎polio‏ مینیموم مطلق و بزرگترین آنها ماکسیموم مطلق تابع ؛ خو 

صفحه 330:
مثال زیر در اين مورد توجه کنید. 6-2-2 مثال: کسیموم ومینیموم مطلق تابع12+ 9 - *2- ‎F(X)‏ را دربازه بسته 13,01 به بت آورید. tJ شتق تابع ۶ برابر است با: 12+ &1 ‎f (x) =6x?-‏ شه های معادله 00-0 عبارت اند از 1 و2 ,وبنابراین 1و2 نقاط رانی تایع اند. نون آزمون مشتق اول را به کار می بریم وجدول زیررا تشکیل می دهیم. ‎x 0 ۱ 1‏ ‎f(x) + 0 - 0 32‏ | | صوي | زو | ‎gy oes‏ 

صفحه 331:
دول 049 می شود که ۶ در1<:: ماکسیموم نسبى و در 5-2 مینیموم نسب, یراین ماکسیموم ومینیموم نسبی به ترئیب برابرند با: 08 12 رات تقاط 350 زارب .ل ‎tS)‏ = 10202 اين داریم: ‎f(2)=4, £3‏ , 1(25)؟ , 0(<0] نتیجه 0-(۶)0 مینیموم مطلق و 3)=9(£ ماکسیموم مطلق تانع ۶ است. 

صفحه 332:
تفعر و تحدب ونقطه عطف امودار تابع 8.9 أذ ا م م سس 6 تعريف:نمودارتايع (<)8-1 را درنقطه ((3,5)3) مقعرمى ناميم هركاه موجله) بأشد. مودار تابع : دربازه بازى شامل 2-< دربالاى خط مماس برنمودار دراين :قرا ركيرد. 11-6 بخشی از نمودار یک تایع | ‎aS‏ در نقطه 101 مفعرانسك نشان دهد. 

صفحه 333:
اگرنمودار تابع ؛ در هرنقطه ازبازه ! مقعرباشد.می گوییم نمودار؟ روی بازه 1 مقعر است. 

صفحه 334:
6 تعریف: ‎y=f(x) wll‏ را در نقطه ((2)۵,) محدب می نامیم اگر: موجه اشد. مودارتایع ۶ دربازه بازی شامل 2۵ درپایین خط مماس بر ودار در این تفه وا ‎yar‏ ‎(a,fla))‏ شکل 12-6بخشی از نمودار * یک تابع را نشان مي دهد, که درنقطه ۱ محدب است. 

صفحه 335:
گرنمودارتایع ۶ درهرنقطه ازبازه 1 محدب باشد,می گوییم نمودار؛ روی زه 1 محدب است. ضیه زیرآزمونی برای تعیین تقعرو تحدب یک منحنی به دست می دهد. . اثبات این قضیه صرف نظر می شود. -6-3 قضیه: ض می کنیم تابع ‏ روی بازه بازی شامل 20 دارای مشتقهای اول و م باشد. ‎FO >951(1‏ ,آنگاه نمودار؛ درنقطه ((©)1,©) مقعر است. ‏2(" ,آنگاه نمودار؛ در نقطه ((6,266) محدب ‏است. 

صفحه 336:
6-3-4 متال: تعيين كنيد نمودارتليع 2 - 2 ‎£(x)‏ درچه بازه ای محدب و درچه بازه ای مقعر است. i> مشتقهای اول ودوم تابع برابر است با ‎f(x) =4x3 - Gx? +2x‏ f(x) 21206 -12»+2 3- v3 3 3 2 9 ay ‏ريشه های0- ( ۶ عبارت‎ ils 3- 3 3+3 ‏ون‎ ‎| 6 6 ae £"(x)| 7 ۰ 3 ° + | ۶۴0۵ un ce es, 

صفحه 337:
((1)0 )15 نفطه عطق نمودارتان فى نافيمة كر موجلاق) بأشد. ازه بازی شافل و وجود داشته باس و به کویه ای که به رای هرت زاین باره اگرم<: آنگاه 0 >< آنكاه 1000 گره<: آنگاه 0< آنكاه 0> ‎f(x)‏ 

صفحه 338:
شکلهای 13-6 و14-6 بخشی ازنمودارتابعی را نشان می دهند که ۸ یک نقطه عطف آن است. شکل 14-6 

صفحه 339:
6-3-8 مثال: بازه هایی را که نمودارتابع ‏ 7+1 3+ 2- مر آنها مقعر یا محدب است تعیین کنید.نقاط عطف نمودارتابع را نیزبه دست آورید. جح مشتفهاف اول 22م نا 7 ‎=6x2 +6x-‏ )('£ كك 12+6- 0" 1 ريشه معادلها- )£00 عبارت است‌ز- ۶ 1 3 9 یت میس سب سپس سب مالس ‎£°(x) a 0 +‏ ‎pis‏ تفس ‎f(x)‏ 

صفحه 340:
Dealt C5 PN Gass Dols wliliee calli ‏نقطه ۰ (8,نقطه عطف نمودارتایع است.‎ ‏قضیه:‎ 6-3-1 ‏ض می کنیم تابع ۶ دربازه بازی شامل + مشتق پذیرو((6۵,ه) نقطه عطف‎ ۶")2( 20 ‏دار تابع ۶ باشد.اگر تعکومود باشد آنگاه‎ راق ‎jas‏ قاط عظف | تتمالل لمووازتائة بای وهای اردلست نان را ررسی کنیم که به ازای آنها ۶:00 20 ۰ (4 ‎(c‏ (وجود نداشته باشد. 

صفحه 341:
-6-4 مقدمه: راين بخش ابتدا خلاصه ای ازمفاهیم مجانب ومحورتقارن ومرکزتقارن را ادآوری می کنیم وسپس روش رسم نمودارتوایع را توضیح می دهیم. 6-4-2 تعریف: تایع (7<۶۶ را درنظرمی گیریم . اگرتابع ؛ هنگامی‌ که 8 يا نيبلا ‎+b‏ یل کند,آنگاه خط 2۵ را مجانب قائم نمودار؟ مى ناميم. ددن درتابع ب 7 الكواضورت ومخرج عامل مشتركى نداشته باشند.مجانب ثم نمودار؟ ‎a‏ معادله 600-0 به دست می آید. 

صفحه 342:
6-4-3 متال: 3 = سك ‎aoe:‏ قائم ‎ap‏ ی ج< ۲00 را تعیین ‎ree‏ ‏ريشه های معادله 20 (6+2( - )عبارت اند از1, 1- ,2-.درنتیجه بنابر تعریف 2-4-6 مجانبهای قائم نمودارء عبارت اند ازخط های 2125-2-22 6-5 تعریف: تابع (7<۶۶ را درنظرمی گیریم.اگرحد تابع ۶ هنگاه ‎Xa‏ ‏يا ‎X> -00‏ مساوی عدد حقیقی « باشد , آنگاه , خط 7۲ را مجانب افقی 

صفحه 343:
2 - ‏را‎ 0) = ۳ aa 64-0 ۰ + 6-1 ‏م‎ ee 43+ 3-1 2? +5x+7 Jimfo = im درنتیجه ,بنابرتعریف 5-4-6 ,خط 7<2 مجانب افقی نمودار؟ است. 

صفحه 344:
6-4-8 تعریف: ابع 7-۶0 را در نظر مي گیریم.اگر حد تابع ۴ وقتوهکه: ‏ یاب یا 2286 ی اومكن !ب ]م ودار 6 داراه انیت مايلى با معادله 1+:87-37 باشد. راى تعيين اين خط مجانب مايل به يكى از دو روش زير عمل مى كنيم. “a eth ‏هم | محاسبه می کنیم وآن را « می همین‎ 1 را محاسبه می کنیم وآن را « فى نامیم.معادله +76 معادله خط مجانب sy نمودان؛ است. ‎lind Tels POI‏ حالت»* 7 است. 

صفحه 345:
2 درمورد تابع گوبل- ‎ ۶6(‏ ,اگردرجه تایع صورت یک واحد سر از 0 درجه تابع مخرج باشد, از تقسیم کردن صورت بر مخرج به دست مي أوريم. ‎x(x)‏ كه درآن درجه (2)5 از درجه (:)0 كمتر است.دراين صورت معادله +۷۵۲ معادله خط مجانبمایلن مودار ۶ خواهد بود. 

صفحه 346:
6-4-2 تعریف: معادله 1(<0,؟ را درنظرمی گیریم. )اکربا تبدیل ربق (<ع) معادلة تغییریکند. مجور+ ها مجورتقارن نمودارمعاد cul f(x,y)= :)كربا تبديل + يه -)) معادله تغيير نکند, محور د ها محورتقارن نمودارمعا cul f(x,y) =! )اگربا تبدیل « به « ووبه « معادله تغییرنکند. خط -7 محورتقارن نمودا عادله 0,(<0؟ است. 

صفحه 347:
6 اکربا نبدیل «به (-+) ور به (-«) معادله تغبيزنکند, مَندا مختصات مرکزده مودار معادله (06,۷] است. 5( خط 2۵<: محورتقارن نمودارمعادله (/3,؟ است اگر: ( ,216 (ا با -1)20 6)خط ‎y=b‏ محورتقارن نمودارمعادله (6,5؟ است اگر: ‎£(x,2b- y) =f(x,y)‏ 7)نقطه (طرع) مرکزتقارن نمودارمعادله (/ز,6؟ است اگر: ‎f(Qa- x, 2b- y) =f (x,y)‏ 

صفحه 348:
6-4-3 مثال: الف) با تبدیل « به (-) مالقا +26 تغییرنمی کند. زیرا: 21 ۴ +22 ۳( -) +2 پس محور: هامحورتقارن نمودارمعادله است. ب),با تبدیتل" یه (عع) مطاذله2< ۷ تغییرنمی کند. زیرا: ‎x)? - 5=2x?- 5=y‏ - درنتیجه محور« ها محور تقارن نمودار معادله است. 

صفحه 349:
پ) با تبدیل > به « و ۲ به « معلدكه تغییرنمی کند زیرا ‎yx =xy =3‏ بایراین خط ۱ سورع ارن سودار معا اس ت) با تبدیل ۶ به (-) و ۲ به(-() مُقادللة تغییر نمی کند زیرا از ‎y=(-x)? =-x?‏ - ‎yok‏ ‏نتيجه مى شود ,درنتیجه مبداً مختصات مرکزتقارن مورا وله ارس 

صفحه 350:
ت) خط << >هحورتقارن نمودار» +۱+ ۵#- ۶00 است زیرا 2+6 ی و ‎feo:‏ ‎a a a‏ ‎Ee Bien De bx+c‏ ‎a a a‏ ‎=ax +bx+c‏ ‎Cuties 8 _ax4b «5 sis 3 0‏ ج) محل تلاقی مجانبهای قائم وافقی نمورار3< 21-00 ‎alii win,‏ ‎da‏ ‏(ج , پتهرگزتقارن نمودار؛ است زیرا: ‎2d‏ - ‎at -x)+b‏ 20 ‎fC—- x= 0‏ 0 +( 0ن 3 

صفحه 351:
__- 2ad- acx+ bc = 2cd- Cx+ed _2ad+acx be ~ e(ex+d) _ 2ad+2acx acx bc 7 c(cx+ d) __2a(cx+ d)- c(ax+ b) = c(cx+ d) _2a ax+b “ce cx+d = fo c 2a. Tae 2 

صفحه 352:
و رس ‎fe lage‏ برای رسم نمودار تابع صریح 1-۶60 يا تابع ضمنی (معامج)(۴),۷ به ترتیب زیرعمل می کنیم. ‎eel T‏ را یک ‏محورهای تقارن ومركزتقارن نمودارتابع را درصورت وجود به دست مى آو 3) مجانبهای نمودار تابع را درصورت وجود تعیین می کنیم. ‎aula ok |‏ که تمودارتابع درانها ضعودى يا تزولى اسّت تعيين مىئ كنيما 

صفحه 353:
قاط اکسترموم ماکسیموم ومینیموم نسبی ومطلق تابع را به دست مى ‎gl‏ ‏6) نقاط عطف نمودارتابع را درصورت وجود پیدا می کنیم. ) بازه هایی را که نمودارتایع درآنها حقعریا مجدب است نعبین می کنیم: Pe eal Ge fae ‏ات ال‎ a ‏با اختیارکردن چند نقطه دلبخواه (کمکی) از تابع ,منحنی همواری‎ )9 از نقاظ به دست آمده رسم می کنیم. 

صفحه 354:
6-4-4 متال: نمودار تابه -3+ :5+ (< (؟ رارسم کنید. حل* ا فا ۲ رای ربا ‎f (x) =3x? +143‏ f(x) =6x +10 1 1 از د 5 ز 20 00 گنتیجه می شود -< » 

صفحه 355:
+00 صعودی مقعر نزولی مقعر نزولی محدب اصعودی محدب مینیموم نسبی . نقطه عطی ماکسیموم نسبی 2-121 27 27 100 ۶00 £(x) 

صفحه 356:


صفحه 357:
6-4-7 مثال: نمودار تایع + +29 ‎f(x)‏ رارسم كنيد. 1 9-1 tJ 1 00 9-2-3 ‏و دوم تابع ؛ برابرئد باه‎ ale Eos 3 2 19 5 1 1 Ar 5 ° = +0 1 + + وجود ندارد - 5 ‎tite)‏ Ges 8 FER 8. صعودی ومقعرلزولی و محدیلژولی و محدیاصعودی ومحدب| ۶68 ماکسیموم نسبی مینیموم نسبی 

صفحه 358:
روشن است که خط »۷-9 مجانب مایل نمووا ۷9 است. ازطرفی داریم limf(x) =lim@x + 4) =+00 x0 x0 x 3 3 1 limf (x) =lim(Qx + —) =-<0 x6 xo x يس 0-< يعنى محورنز ها مجانب قائم نمودار ؛ است. 

صفحه 359:
شکل 16-6 

صفحه 360:
6-4-8 مثال: 2 308-22 نمودار تابع ‎Gu xe‏ 09 را رسم كنيد. حل: شتقوا ی اول ودوم ی راترند 1 ‎Cea eee‏ |- ۲۵ 222 3302-3057 22+ 617 350 ‎x) x>2‏ واد دم ر 0بلشت می آوریم 2 .مشتقهای چپ وراست ۶ در2 برابرند ب ‎E70 olf@=0 00‏ تابع ذ25 وجود ارد ولى 20 وجود ندارد زيرا 0- )£52 69= ‎£7Q‏ 

صفحه 361:
00+ 2 هه ل ‎ee‏ وجود ندارد ۲*۲ محدب و نزولی | مقعر و نزولی نقطه عطف برای رسم دقیق نمودارتایع, از چند نقطه دلبخواه )0,12) .)3,1) .)1-,3) 122 کمک گرفتیم. شکل 17-6 

صفحه 362:
صورتهای مهم 5-0 ا ‎cS‏ رس اک 6-5-1 مقدمه: ممکن است هنگام محاسبه حد بعضی ازتوابع با صورتهایی ‎Sole‏ 0 -».0, 0 و مُلواجه شویم.ايین صورتهارا 7 ‎ ‏صورتهاى مبهم يا نامعين مى ناميم.دراين بخش باروش رفع ابهام از اين صورتهاى مبهم اشنا مى شويم. ‏6-52 تعریف: 3 اگردرمورد توابع ۶و ع داشته باشیم سنا 9 0= موجنا ,آنگاه ‎f(x)‏ ‏تهناصورت مبهم چرمی آید.برای رفع ابهام ازاين صورت ‏مبهم, قضيه زیررا به کارمی بریم. ‎ ‎ ‎ 

صفحه 363:
6-5-3 قضیه (قاعده هوپیتال):فرض می کنیم توايع ؛ وه دربازه بازی شامل نقطه ۰ مانند 1 , جزاحتمالاً درخود « ,مشتق پذیر باشند. همچنین فرض می کنیم به ازای هر در! داشته بالافيم<) 9 دراین صورت, اگر ۰ 0- 00| و0- (00گر . ‎ap cme‏ دانبنته يتشد انكام لل رن 90 00و 

صفحه 364:
6-5-4 متال: ‎x? +2x-3‏ کچ تلا را محاسبه کنید. حد چون 0= )5 3 + )هن و 267 + مان[ وشرایط قضیه 2-5-6 نیز برقراراست,می توانیم قاعده هوپیتال را به کار ببریم: +2۰3 2+2 4 ime Be 12x? +3x-5 14x43 7 

صفحه 365:
6-5-9 قضیه (قاعده هوپیتال): فرض می کنیم دو تابع ۶ وع به ازای هرآ(<: ,که « عدد ثابت مثبتی است. لاه زین ان "کنیم برای هرآ[< داشت۶0 (0 .درا يكحن ‎limf(x) =0‏ و0- وموستا 0 ‏صورت اكر ار ل و لالد ‎lim 1‏ ا ‎Seg) 900 ‏قضیه در حالتی که 7 ‎XP‏ نيز برقرار است. 

صفحه 366:
oe alg حد 3 ‎Jim‏ را درصورت وجودیمحاسبه ‎Be‏ 3 مروت و |= ‎lim)‏ نابر قطي 9-536 داري ‏مه بتیر ‎x‏ ‎ ‏دادم 

صفحه 367:
مه ee ‏صورت‎ 6-5-2 اگردرمورد توایع ۶و داشته باشیم مه ‎ee = tnt =‏ :ناه لو به صورت مهم ‎ae‏ ‏درمی آید.برای رفع ابهام ازاینگونه صورتهاي مبهم از قضیه زیر ‏استفاده 

صفحه 368:
6-5-17 قضیه(قاعده هوپیتال): رض ی کنیم توایع ۶ وخ دربازه بازی شتامل نقطه 5 مانند ۲ ,جراختمالاً در بشتق پذیرباشند وبه ازای هر ۶۵ ۶در! ‎Aub abl‏ 00 .دراین ‎uu inal 00 =+t009 li sto : 1‏ سورت اگر: += ‎Jitag(s) =+09 limf(x)‏ منود داشته ‎eal‏ آنگان. تس مس ۰000 ۰900 يه درحالتی که همه حدها ,حدهای راست يا حدهای چپ باشند نیزبرقراراس 

صفحه 369:
6-5-6 قضیه(قاعده هوپیتال): برض می کنیم توابع ۶ و به ازای هرآ(<: که < عدد ثابت مثبتی است, بشتق پذیرباشند وبه ازای هرل(< داشته بانلم (و .دراین صورت 7 gaat (Xx) ‏كر *+- ليس وه - (0وواگار 5 ذموجود باشد آنگاه:‎ هط 0۵ و ل قضیه درحالتی که *- «۴7 نیز برقرار است. 

صفحه 370:
6-5-7 متال: ‎2x? +3x- 4‏ حد 2 94ل زا درصورت وجوز بيابيد. جون 40= (4 ‎+3x-‏ )سنا 9 00+= ‎+5x)‏ 0 با استفاده از قاعده هوپیتال به دست می آوریم. iy 2x? +3x- 4 ‏تشر‎ ‎es + OX || See +5. 

صفحه 371:
سک 3+ ‎lim4x‏ و عبت 50+ )نا «یک باردیگرازقاعده هوپیتال استفاده می کنیم,خواهیم داشت: ‎im+ -9‏ - 3 هن ‎re‏ 5+ مسبت درنتیجه خواهیم داشت: عر + 6 . مدسیر 

صفحه 372:
6-5-9 صورت مبهم 0:06 اگردرمورد توابع ؛ وه داشته ‎limg(x) = oe lee‏ ‎il, za‏ ورم سنا ‎oe‏ ‏به صورت مبهم درمى ايد.براى رقع ابهام ,تابع حاصلضرب را | £5 POY oe vane (9 oe 1 می نویسیم. 

صفحه 373:
ه این ترتیب حد مورد نظربه یکی ازصورتهای میم و و ‎oO‏ كه درفردو حالت مى زوانيم قاعده هويتال را به كارييريم: درصورتی که به جای عدد حقیقی + یکی ازعلهاقه - يا را داشته باشیم نیزمی توانیم همین روش را برای رفع ابهام به کارببریم. 6-5-0 مثال: 5 12 ‎limx‏ را محاسبه كنيد. 

صفحه 374:
ile ‎limx =0 Us?‏ 9 مع ‎ ‏1 ‎e‏ از می نویسیم: ‎14 ‏و‎ e wo ‏سمت رایس به صورت مبهم *است,پس فاعده هوییتال را به کارمی بن : ی ‎lim =tim = 1im- | =‏ ‎a es ۳‏ ‏> سل زا ‎xo‏ ‎ ‎ ‎x ‎ ‎ ‎x a ‏3 ‏00-= | دون 0 ‏درنتيجه خواهيم داشت : 

صفحه 375:
222 صورت مبم ‎Ge‏ اگردرمورد توابع ؛ وع داشته باشیم + 71۳900 ۱۴۵ ,آزگ ]900 -(کاط به صورت مجهم- هه درمی آید.برای رفع ایهام ازاین صورت مبهم,آن را به یکی ازدو PHO SI ISP ‏تبدیل می کنیم.‎ ie ‎OD‏ 0ك درصورتی که به جای عدد حقيقي : , یکی ازنمادهای یا را داشته ‏باشیم , نیز به همین ترتیب عمل می کنیم,در دو مثال زیرروش رفع ابهام از اين ‎Pe 

صفحه 376:
6-5-3 منال: ‎lin : |‏ را محاسبه کنید. ‎| ۵-1 ide ‏این حد به صورت مبهم ‏ - 0است.ابتدا مخرج مشترک می گیریم. ‎ ‎oe iS‏ ب است,بنابر قاعده هیال دارم ‏221 ۳ و ‎=lim———.‏ ج11 ‎fF eat‏ 0 26 

صفحه 377:
أين حد نيزبه صورت مبهم 5 است, پس یکباردیگرقاعده هوپیتال را به کارمی بریم. 0 ‎eS ene‏ رز ‎x0 &4+xe-1 x0 2% + xe‏ ‎ ‎1 ‏تزا ‎x0 2+X‏ ‎1 ‎2 ‏درنتیجه به دست می آوریم: 

صفحه 378:
6-5-4 متال: ‎lin] - cotx‏ را محاسبه حد کنید. ‎‘Je‏ اين حد به صورت مبهم 0 - 00 است.می نویسیم: ‎cotx inf =‏ -+ و ‎tank‏ ]0 2 ]| 0ح لمت ‎Poe eigen‏ داست.ازقاعده مساك استفاده می کنیم aii tark- x xo xtam tam-x_), 5660-1 x0 xtark <0 tam +xse¢x 

صفحه 379:
اين حد نيز به صورت مبهم است.بنابر قاعده هوپیتال داریم: secx-1 ‏عصما< 2968 و‎ ‏اد‎ ۵+ ۱9661۲ x0 2seéx + 2xsec xtank 7 tam =n x0 1+xtam در نتيجه به دست می آوریم: =0 ‎cot‏ ون ‎x0] xX‏ 

صفحه 380:
6-5-6 صورتهای مبهم توانی: فرض کنیم "۷۶000 و هعددی حقیقی یا یکی از نتفای - باشدءدر این صور الف) اگر 0( وم (موصنا ,آنگاه 1600۳۳ به صورت مبهم & مى آيد. ب) اكر 0= ‎limi)‏ 09= وهنا آنگاه ۳2۴0۳۳ به صورت مبهم مر مى آيد. بر ‎a) ere‏ آنگاه "13۳۳0۳ به صورت مبهم ‎ul co‏ صورتهای مبهم بالا را صورتهای مبهم توانی می نامیم. 

صفحه 381:
رای رفع ابهام از این گونه صورتهای مبهم.از دو طرف تاه ]< 1 ‎pir IS‏ طبیعی می گیریم,به دست می آوریم ‎=g(x) ‘Inf (x)‏ 0099 گصاع ‎Iny‏ ‏سپس از دو طرف تساوی اخیر هنگامی که ۶ حد می گیریم. ‎limlny =g(x) -Inf(x)‏ د سمت راست تساوى اخير به صورتی است که می توان قاعده هوپیتال ر ای رفع ابهام آن به کار برد.در مثالهای زیر روش رفع ابهام از صورتهای هم توانی توضیح داده شده است. 

صفحه 382:


دانلودفایل پاورپوینت جزوات دانشگاهی نــام درس رياضیات وکاربرد آن در مدیریت1 تعداد واحـد 3 :واحد نام منــبع :رياضيات پايه تعداد صفحات382: دانلودفایل پاورپوینت نــام درس :رياضیات وکاربرد آن در مدیریت()1 تعداد واحـد 3 :واحد نام منــبع :رياضيات پايه مؤلــــــف: ليـــدا فـــرخو تعداد صفحات382: دف كلي اين درس آموزش مباحثی از رياضيات است که دانشجويان رشته شته های علوم انسانی دردروس تخصصی خود به آنها نياز خواهند داشت. مباحث کتاب برای نيل به اهداف کلی 8،مباحث زير درشش فصل تدوين شده است. فصل اول: نظريه مجموعه ها که شامل 44اساليد می باشد. فصل دوم: دستگاههای مختصات که شامل 47اساليد می باشد. فصل سوم: رابطه وتابع که شامل 69اساليد می باشد. فصل چهارم: حد وپيوستگی توابع که شامل 71اساليد می باشد. فصل پنجم: مشــــتق که شامل 71اساليد می باشد. فصل ششم: کاربردهای مشتق که شامل 74اساليد می باشد. غاز هر فصل نکاتی به عنوان راهنمای مطالعه وهدف کلی آمده است،که ب ا کمک می کند تا منظـور کل آن فصـــل را دريابيد،درقسمتی که با عنوان ف های رفتاری وآموزشی مشخـص شده است ،ازشما انتـظارمی رود که پس يان مطالعه هرفصل مطالبی را که يادگرفته ايد با توجه به هدف های رفتاری نجيد. يری می تواند مثال“ بيان يک مفهوم ،مقايسه دو مفهوم بايکديگر ،توضيح يک يه نتيجه گيری ازيک مطلب ،يا حل يک مسئله باشد.نظر به پيوستـگي مفاهي ضی ،تا زمانی که به هدف های يک فصل نايل نشده ايد،و مسائل آن فصل ر نکرده ايد به فصل بعدی نپردازيد. فصــــل اول نظريه مجموعه ها هدف کلی: هدف کلی اين فصل اين است که با مفهوم مجموعه ،انواع آن،اعمال جبری روی مجموعه ها،و ويژگی های اين اعمال آشنا شويد. :هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود پس از پايان مطالعه اين :فصل بتوانيد هاراشناسايی کنيد. مجموعه عضوهای مجموعه های داده شده راتعيين کنيد. زيرمجموعه های هر مجموعه داده شده راتعيين کنيد. مجموعه تهی راشناسايی کنيد.مثال هايی از مجموعه تهی بياوريد. اعمال جبری روی مجموعه هاراتعريف کنيدوبرای مجمــوعه های داده شده مال مورد نظر راانجام بدهيد. بازه های باز وبسته راتشخيص بدهيدو آنها را به صورت مجموعه نمايش بد مفهوم مجموعه جهانی را توضيح بدهيد.  .8مکمل هر مجموعه را نسبت به مجموعه جهانی داده شده ،تعيين کنيد. .9ويژگی های اعمال جبری روی مجموعه هارابيان کنيد ودرمسائل به کارببر .10قوانين «دمورگان »را بيان کنيدودرمسائل به کارببريد. .11تعدادعناصر هرمجموعه متناهی داده شده راتعيين کنيد. .12حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه رابيان کنيد وآن رابرای مجموعه های د شده محاسبه کنيد. مقدمه: جموعه يکی از بنيادی ترين مفاهيم دررياضيات است وغالبـا“ نقطه آغازی بر اضيات پايه و کاربردهای آن در بسياری از علوم محسـوب می شود .مثال“،د شته مديريت درموارد بسياری صحبت از مجموعه تولـيدات يک کارخانه ،يــا جموعه کارگران يک کارگاه ،يا مجموعه تصميمهای ممکن برای مدير يک واح ظاير آن به ميان می آيد.برای درک بسياری ازمطـالب ارائه شده دراين کتاب شنايی باتعاريف ومفاهيم اوليه نظريه مجموعه ها ضروری است. اين فصل ،مفهوم بنيادی مجموعه واعمال جبری روی مجموعه ها رامورد بح رار می دهيم. 1-1-مفهوم شهودی مجموعه هوم رياضی يک مجموعه با مفهوم شهودی(عادی يا روز مره) آن تفاوت دار مجموعه ازنظر رياضی هنگامی معين است که اشيای تشکيل دهنده آن کام شخص باشند.به بيان ديگر هنگامی که برای هر شی به دقت بتوان تـعيين کر شی به آن مجموعه دارد يا تعلق ندارد. طورکلی ،صفاتی مانند مهـــارت،تبحر ،زيبايی ،زشـتی،کوچکی،بزرگی، شمزگی،وخوش سليقگي و...که تعريف دقيقی ندارند ،نمی توانند مشخص ک مجموعه باشند.  1-1-2مثال: هريک ازدسته های زير يک مجموعه است: .aدستــه اعدادصحيـــح از 1تا.100 .bدستــه حروف الفبای زبــان فارسی. .cآن دسته ازدانشجويان دانشگاه پيام نور که سن آنها کمتر از 25است .dدستـه کتاب های درسـی سال اول ابتدايی. .eدسته شهرهای کشور جمهوری اسالمی ايران. .fدستــه سيــارات منظـومـه شمســی. 1-1-3قرارداد: اگر ،xعضوی از مجموعه Sباشد ،می نويسيم: ‏x S ومی خوانيم « xمتعلق به مجموعه sاست» يا « xعضوی از ‏x S ‏Sاست» يا به طور رابا نماد خالصهx «،در Sاست».نقيض ‏x S نشان می دهيم ومی خوانيم« xعضو Sنيست» يا « xبه sتعلق ندارد» يا به طور خالصه x « 8،در Sنيست». ازاين پس مجموعه ها را با حروف بزرگ التين مانند D, C,... ,B, Aو نکته: 1-1-4 بتوانd, c, b, نظير,... التين باحروف زمانیآنها را عضو های تشخيص دادكه ،xبه شی x کوچکهر که برای معين است جموعه S ،نشان خواهيم داد. علق a دارد يا نه.  1-1-6نمايش مجمو عه ها: برای نمايش يک مجمو عه تمام عضو های آن را 8،که با عالمت « »,از هم جدا کرده ايم ،درداخل ابرو می آوريم: و ‏S 5,8,26,73 ‏A  2,4,6,8 ‏توجه کنيد که ترتيب نوشتن اعضای مجموعه ،اهميتی ندارد.برای مــثال دو ‏1,2,3 ‏ 3,1,2 و مجموعه درواقع يک مجموعه را نمايش می دهند. درمواردی که نوشتن تمام عضو های يک مجموعه غيرعملی باشد، مانند مجموعه تمرين (5-1-1ب)،معموال“ عضو ها را می توانيم برحسب خاصيت مشترکی معين کنيم .فرض می کنيم گزاره ) ،P(xبيان کننده اين خاصيت مشــترک مربوط به x شامل( x P باشد .دراين صورت اگر مجموعه x) S ‏Sهايی باشد که به تمام x ازای آنها گزاره مانند 8تس8ت،م8ین88وي8سيم: )P(xدر8س ا8 ‏A  x  Q (2x  1)(3x  4) 0  1-1-7مثال: لف) مجموعه اعداداول بين 1تا 30را می توان به صورت شان داد. ‏ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 جبریx2  4x  1 0 ب)مجموعه ريشه های حقيقی معادله ه صورت زير بنويسيم ‏ 4x  10 ‏x R x 2 را می توانيم پ) مجمو عه اعداد صحيح فردومثبت را می توانيم به هريک از صورت ها زير نشان بدهيم: ‏ x x 2k  1, k  N يا ‏1,3,5,7,... 1-1-10تعريف: موعه Sراتهی می ناميم،اگروتنها اگر دارای هيچ عضوی نباشد.مجموعه ‏ (فی)نشان می دهيم.بنابراين نماد ی را معموال“با حرف يونانی ‏S  جموعه Sتهی است» خوانده می شود.اگر مجموعه Sتهی نباشد،می نويسي ی خوانيم« Sتهی نيست» يا « Sناتهی است». ‏S  درنتيجه، ‏S  خواهد بوداگروتنها اگر حداقل دارای يک عضو باشد. 1-1-13تعريف: ومجموعه Aو Bرادرنظر می گيريم.اگر هرعضو مجموعه Aعضوی از مجمو ‏Bهم باشد A ،رايک زير مجموعه Bمی ناميم وبا نماد ‏AB شان می دهيم ومـی خوانيم « Aزيرمجمــوعه Bاست» يا « Bشامــل Aاست ماد راعالمت شمــول يا جــزئيت می گوييم. رصورتيکه Aزير مجموعه ای از Bنباشد ،می نويسيم ‏AB 1-1-تعريف: ض می کنيم مجموعه ،Aزيرمجموعه ای از مجموعه ،Bباشد.اگر Bحداقل يک داشته باشدکه درمجموعه Aنباشد،آنگاه مجموعه Aرايک زيرمجموعه سره اميم وبا نماد زيرنشان می دهيم. ‏AB صورتيکه مجموعه Aزير مجموعه سره Bنباشد می نويسيم ‏AB 1-1-15مثال: مجموعه های زير رادر نظر می گيريم: ‏ ‏ ‏B  x x  Z ‏A  x x  Z , x 100 ‏ , x 50 ‏ روشن است که هــر عضـو مجموعه Bبه مجموعه Aنيز تعلق دارد.پس ‏BA ازطرفی 80 B ،پس Bيک زير مجموعه سره Aاست،يعنی ولی 80 A اکنون فرض می کنيم که ‏BA ‏C  x x 720 ِراست ‏x عدد ص حيح مثبتیاستک ه ب ر 4ب خشپذ ، ن88يستز8ي8ـرا ، ‏Cز8ي8ــر م8جمــوعه ا8یاز A 180 ‏Cو8ل8ی 180 ‏A .پ888س ‏C A توجه کنيد که Aهم زيرمجموعه ای از مجموعه Cنيست، ‏A C پس29 ‏C زيرا 29 ‏A ولی 1-1-20قضيه: اگر تعداد عضوهای مجموعه Aبرابر عدد طبيعی nباشد،آنگاه تعداد کل زير مجموعه های Aمساوی ‏n 2 است. 1-1-22تعريف: مجموعه تمام زير مجموعه های Aرا مجموعه توانی Aمی ناميم وآن را با نماد ) P(Aنشان می دهيم.  1-1-23مثال: رض کنيد ‏A  a, b .تمام زير مجموعه های Aعبارتند ا ز ‏, a , b , a, b نابراين ) ،P(Aمجموعه توانی Aبرابر است با ‏P(A )  , a , b , a, b  نابر قضيه 20-1-1اگر مجموعه Aدارای nعضو باشد،تعدادعضوهای مجموعه ،P(Aب888را8بر 8وا8هد ب888ود. ‏nخ2 1-1-26تعريف: ‏A ‏B اگر دومجموعه Aو ،Bرامساوی (يا برابر)می ناميم اگروتنها دراين صورت می نويسيم ‏A B ‏ AوB . ه بيان ديگر ،دو مجموعه رامســاوی می ناميم،اگروتنها اگر دارای عضوهای کسانی باشند. 1-1تعريف: ض می کنيم aو bدوعددحقيقی باشند به طوری که .a<b )مجموعه تمام اعداد حقيقی xرا کهa x b ،بازه بسته aو bمی ناميم و د []a,bنشان می دهيم.پس ‏ a, b  x  R a x b شکل 1-1بخشی از خط حقيقی که پررنگ کشيده شده است [ ]a,bرانشان دهد. ‏b ‏a شکل1-1 ب)مجموعه تمام اعدادحقيقی xرا که، a<x<bبازه باز aو bمی ناميم وبانماد )a,يا ‏a, b نشان می دهيم.بنابراين ‏ a, b  x  R a  x  b شکل 2-1قسمت پررنگ خط حقيقی ،نشان دهنده ()a,bاست. ‏b شکل2-1 ‏a وجه كنيد که خود اعداد aو bبه بازه ()a,bتعلق ندارند،وبه همين علت درشک بادايره های توخالی نشان داده شده اند. هريک ازمجموعه های ‏ x  R a x  b ‏ x  R a  x b ک بازه نيمباز aو bمی ناميم وبه ترتيب بانمادهای [)a,bو(]a,bنشان می دهيم شکل های 3-1و 4-1نگاه کنيد. ‏b ‏b شکل3-1 شکل4-1 ‏a ‏a ) هنگام استفاده از عالمت های بايد مواظب باشيم که اين نمادها رابا اعد قيقی اشتباه نکنيم.زيرا آنها خواص اعدادحقيقی را ندارند.بنابراين بازه های ز داريم: ( , b]  x  R x b (a,)  x  R x  a [a,)  x  R x a ( , b)  x  R x  b ( ,) R شکل 5-1بازه )(a, وشکل 6-1بازه ] ( , bرانمايش می دهد.توجه کنيدکه ازه مجموعه تمام اعدادحقيقی را نمايش می دهد. ‏b ‏a شکل5-1 شکل6-1 ر هريک از بازه های( ، ]a,b) ،(a,b[،]a,b[ ، )a,bاعدادحقيـقی aو bرانقاط تهايی بازه می ناميم. 1-1-3مثال: جموعه جواب نا معادله 3x<5x+6+2راتعيين کنيدوآن راروی محور اعدا قيقی نمايش بدهيد. حل: گر xعددی باشدکه در نامساوی صدق می کند،بايدداشته باشيم ي88ا2x<4- ‏x>-2 چون تمام مرحله های باال برگشت پذير هستند ،نتيجه می گيريم که ‏x   2 2+3x<5x+6 ،بازه( 2, ) ابراين مجموعه جواب نا معادله مفروض شان داده شده است. شکل7-1 -2 است که در شکل-1 1-2مقدمه: بهی ميان نظريه مجموعه هاونظريه اعداد حقيقی وجوددارد.باچهار عمل اص ع،تفريق ،ضرب ،تقسيم روی مجموعه اعداد حقيقی آشـنا هشتيم.اعمال جبر ابهی را می توان برای مجموعه ها نيز تعريف کرد.دراين بخش به معرفی و سی اين اعمال می پردازيم . 1-2-تعريف: ض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند،مجموعه تمام عضوهايی را که حداقل ی ازاين دو مجموعه تعلق داشته باشند،اجتماع Aو Bمی ناميم A  B وبانماد ان می دهيم.به بيان ديگر ‏x  B يا A  B  x x  A 1-2-3مثال: الف)فرض می کنيم A  a, bو. B  a, c, d, eاجتماع دو مجموعه AوB بنابر تعريف2-2-1عبارتست ا ز ‏A  B  a, b, c, d, e )فرض می کنيم Aمجموعه تمام افرادی باشد که روزنامه کيهان را می خوا خوانندA. ‏B عبارت Bمجموعه تمام افرادی باشدکه روزنامه اطالعات را می ست از مجموعه تمام افرادی که حداقل يکی از روزنامه های کيهان يا اطالع می خوانند. 1-2-4تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند،مجموعه تمام عضوهايی را که به هر ‏A جموعه تعلق داشته باشند،اشتراك Aو Bمی ناميم  B وبانماد شان می دهيم.به بيان ديگر ‏A  B  x x  A, x  B 1-2-3مثال: الف)فرض می کنيم A 1,2,3,7و . B 0,2,4,7اشتراك دو مجموعه A و Bبنابر تعريف4-2-1عبارتست ا ز ب)مجموعه ‏A  B  2,7 ‏A B درمثال (3-2-1ب)عبارتست از مجموعه تمام افرادی که هردوروزنامه کيهان واطالعات را می خوانند. عمل های اجتماع واشتراک از قوانين خاصی پيروی می کنند.اين قوانين غالب هی اندوما ،به منظور سهولت کاربرد ،آنها رادر قالب سه قضيه زير می آور 1-2-7قضيه: رای هر سه مجموعه دلخواه Aو Bو Cومجموعه جهانی Uداريم ‏A  A ‏A  A A (1 (2 ‏B A A  B ‏A  B C  A  B C ‏A  A B ‏B  A B ‏A  U U (3 (4 (5 (6 :قضيه1-2-8 داريمU ومجموعه جهانیC وA ، B برای هرسه مجموعه دلخواه 1( A   2( A  A A 3( B A A  B 4( A  B C  A  B C 5( A B  B 6( A  U A A B  A 1-2-9نکته: بااستفاده از قسمت 4درقضيه های 7-2-1و، 8-2-1می توانيم پرانتزها را حذف کنيم واجتماع واشتراک سه مجموعه را به صورت های ‏A  B C ‏A  B C شودکهA  B  A ‏B بنويسيم.ازقسمت5قضيه های مذکورنتيجه می 1-2-10قضيه: دلخواه Aو Bو، Cداريم برای هرسه مجموعه 1( A  B C  A B  A C 2( A  B C  A B  A C 1-2-نمودارون: والبرای روشن تر شدن روابط بين مجموعه هااز نمودار ون استفاده می کن مثال هايی ازآن در شکل 8-1آمده است .درهريک از اين نمودارهاناحيه ساي ده نشان دهنده مجموعه ای است که درزير نمودارنوشته شده است. ‏A ‏B ‏B ‏A B ‏A B ‏B ‏A ‏A B ‏A ‏B ‏A B ‏B ‏A ‏A ‏A B ‏B ‏A ‏A B 1-2-13تعريف: ومجموعه Aو Bرا از هم جدا می ناميم درصــورتی که عضو مشترکی نداش شند.به بيان ديگر،هرگاه ‏A B آنگاه مجموعه Aو Bرا ازهم جدا می خوا 1-2-14مثال: الف) مجمـوعه اعـداد صحيح فرد و مجموعه اعدادصحيح زوج،دومجموعه ازهم جداهستند. ‏A  B  1-2-تعريف: جموعه Aو Bرادرنظر می گيريم.تفاضل مجموعه Bازمجموعه ،Aآن را بانم ‏Aن88شانم8ید8هيم،عبار8ت8ستاز ت888مام عضو هاي8یاز Aک88ه عضـو Bن88يــستند .ب888ه ديگر ‏A  B  x x  A, x  B کل 9-1ناحيه سايه خورده ،تفاضــل Bاز Aيعنی A-Bرابرای مجموعه های واه Aو Bنشان می دهد. 1-2-تعريف: ی هرمجموعه Aبامجموعه جهانی ،Uمجموعه U-Aرامکمل مجموعه Aمی نا ماد ‏A نشان می دهيم.پس ‏A   x x  U , x  A ه سايه خورده در شکل 10-1نشان دهنده مکمل مجموعه Aاست. ‏U شکل10-1 ‏A 1-2-1مثال: رض می کنيم Uمجموعه اعداد حقيقی Aمجموعه تمام اعدادگنگ(يااصم)، جموعه تمام اعدادگويا باشد.بنابر تعريف 18-2-1داريم ‏A U  A  x x  R , x  A B ابراين Aمجموعه اعداد گوياست.به همين ترتيب برابر ‏ ‏B U  B  x x  R , x  B A 1-2-21قضيه: گر Aو Bزيرمجموعه از مجموعه جهانی Uباشند،آنگاه الف) ‏ U ب) ‏U  پ) ت) ‏ A A , A  Bآنگاه B  Aوبرعکس  1-2-22قضيه قوانين دمورگان: اگر Aو Bزيرمجموعه هايی از مجموعه جهانی Uباشند،آنگاه الف) ‏ A B A B ب) ‏ A B A B 1-2-24قضيه تعميم قوانين دمورگان اگر مجموعه های باشند ،آنگاه A n ,...,A2, A1زيرمجموعه ای از مجموعه جهانیU الف) ‏ A1 A2 ...A n  A1 A2 ...An ب) ‏ A1 A2 ...A n  A1 A2 ...An 1-2-28تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند .مجموعه تمام عضو هايی راکه تنهاب ا تنها به Bتعلق دارند،تفاضل متقارن Aو Bمی ناميم AB وبانماد شان می دهِم .به بيان ديگر )AB (A  B)(B A برایA ساوی باال ،دليل انتخاب نام تفاضل متقارن B رانشان می دهد،زيرا ضل متقارن Aو Bبرابربا اجتماع دو تفاضل A-Bو B-Aاست. درشکل 12-1ناحيه سايه خورده ‏AB نشان داده شده است. يش ازاينکه به تعريف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه بپردازيم،مفهوم زوج های مرتب را يادآوری می کنيم. 1-3-تعريف: تايی ( )a,bراكه درآن ترتيب عناصرمطرح است،يک دوتايی مرتب يا زوج رتب يا جفت مرتب می ناميم.در زوج مرتب (a ، )a,bرامولفه اول و bرامول م می گوييم. 1-تعريف: ج مرتب ( )a,bو()c,dرامساوی يا برابر می گوييم،اگروتنها اگر داشته با ,b=d ‏a=c  1-3-5تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه ناتهی دلبخواه باشند.حاصل ضرب دکــار ‏Aو Bک88ه ب888ا ن88ماد AB ن88شانداد8ه م8یش88ود ،عبار8ت8ستاز م8جموعه ت888مام زو8 مرتبی به صورت ( )a,bکه درآن ‏a Aو bيعنی . B ‏A B   a,b a A,b B ‏توجه کنيد که هرعضو مجموعه A Bيک زوج مرتب است. 1-3-6مثال: فرض می کنيم }A={1, 2, 3و.)B={g, hبنابر 5-3-1حاصل ضرب دکارتی ‏A B عبارتست از ‏A B  (1, g),(1, h),(2, g),(2, h),(3, g),(3, h) حاصل ضرب دکارتی BAبرابراست با ‏BA  (g,1),(g,2),(g,3),(h,1),(h,2),(h,3) ‏A دکارتی ه طوری که مشاهده می کنيم ،حاصل ضرب های B زوما“برابرنيستند. ‏BAو 1-4-2قـــرارداد: تعدادعضو های مجموعه متناهی Aرابا نماد ) n(Aنشان می دهيم. ‏مجموعه تهی يک مجموعه متناهی محسوب می شود. 1-4-1تعريف: مجموعه ای که تعداد اعضای آن متناهی باشد ،مجموعه متناهی يابا پايان ناميده می شود .مجموعه ای که متناهـی نباشد،نامتناهی يا بی پايان 1-4-3مثال: الف) مجموعه {}9,11 ,7 ,3 ,1متناهی است زيرادارای 5عضو است. ب) مجموعه پ) مجموعه ‏ ‏ 10 ‏ x  R xمتناهي است . 2 ‏0,1  x0x 1 نامتناهی است. ت) هريک از مجموعه های اعداد طبيعی ،صحيح،گويا،گنگ،وحقيقی نامتناهی است. ث) بازه ( )a,bکه ،a<bمجموعه ای نامتناهی است. : قضيه1-4-5 همواره داريم،سه مجموعه دلخواه باشندC وB وA فرض می کنيم n A  B n A   n B  n A  B n A  B C n A   n B  n C  n A  B )الف )ب  n A C  n B C  n A  B C n AB n A  B  n B  A  )پ 1-4-6مثال: فرض کنيد مجموعه Aدارای 40عضو ومجموعه Bدارای 35عضو است مجموعهA  ‏B که 10عضو آنها در Aو Bمشترک هستند. چند عضو دارد؟ حل: چون ، n A B 10بنابر (5-4-1الف) داريم ‏n A  B n A   n B  n A  B ‏45 35 1065 1-4-10تعريف: ناتهیA n ,...,A2 مجموعه ناتهی Aرادرنظر می گيريم .مجموعه های , A1 رايک افراز مجموعه Aمی ناميم،درصورتی که: الف) مجموعه های A n ,...,A2, A1دو به دو ازهم جداباشند،به بيان ديگر به ازای هر iو jکه ، i  jداشته باشيم ‏A i  A j  ‏A n ,...,A2, A های ب)اجتماع مجموعه 1 يعنی ‏A1  A2  ...  An مساوی Aباشد ، درشکل 15-1افراز مجموعه Aبه شش مجموعهA6, A 5, A4,A 3, A2, ‏A1 نشان داده شده است. ‏A5 ‏A4 ‏A6 ‏A3 ‏A2 شکل15-1 ‏A1 فصل دوم دستگاههای مختصات دف کلی: دف کلی فصل اين است که بادستگاههای مختصات دکارتی وقطبی آشنا ش معادالت خطوط رابشناسيد ونمودار آنهارارسم کنيد. هدف های رفتاری: ازشما انتظار می رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: .1مختصات دکارتی هر نقطه رادر صفحه مختصات تعيين کنيد. .2باداشتن مختصات دکارتی يک نقطه ،موضع نقطه را در صفحه معين کنيد. .3فاصله دو نقطه رادر صفحه مختصات محاسبه کنيد. پيدا کنيد. مختصات وسط يک پاره خط را با داشتن مختصات ابتدا .4 وانتهای پاره خط .5مختصات محل تالقی سه ميانه مثلث رابا دانستن مختصات  .6مختصات نقطــه رادر دستگاهی که محور های آن به موازات خود انتقال يافته اند،تعيين کنيد. .7مــعادله خـط را با استفاده از داده های مسئله بنويسيد. .8شيب خط راتعريف کنيد،رابطه بين شيب های خطوط موازی ،متعامد،ومتقاطع شده است8،رسم کنيد. به داده معادلهآنها هايی را که نمودار کارببريد. درحل مسائل خطباشيد را بلد .1عــرض ازمبدا وطــول ازمبدا خــط هاراتعيين کنيد. .1فاصــله يک نقطـــه رااز يک خـــط محاسبه کنيد.  .12فاصله دو خط موازی راتعيين کنيد. .13مختصات نقطه تالقی دو خط رابيابيد. .14دستگاه مختصات قطبی را تعريف کنيدونحوه تعيين مختصات قطبی يک نقطه رابيان کنيد. .15رابطــه بين مختصات دکارتی و مختصات قطبی يک نقطه رابدانيد ودر حل مسائل به کاربريد. مقدمه ين فصل ابتدا به معرفی دستگاه مختصات دکارتی و دستگاه مختصات قطبی پردازيم وسپس رابطه بين اين دو دستگاه رابررسی می کنيم. 2-1تعريف: صفحه هندسی ،يک خط مستقيم افقی رسم می کنيم.درروی اين خط ،نقط واه Oرابه عنوان مبدا وطولی رابه عنوان واحد طول اختيار می کنيم.اکنون خط رابر حسب اين واحد طول به ترتيب اساليد بعدی مدرج می کنيم: الف) نقطه ، Oيعنی مبدا رابه عنوان نمايش عددصفر اختيار می کنيم. ب) اگر ،a>0نقطه ای رابه فاصله aبرابرواحد طول درسمت راست مبدا به عنوان نمايش aاختيار می کنيم . پ) اگر ،b<0نقطه ای رابه فاصله – bبرابرواحدطول درسمت چپ مبدا به نمايش اعداد مثبت هستند درسمت راست اختيارمیکه ازخط افقی ،نقاطی ن ترتيب کنيم. نمايش b عنوان طی که نمايش اعداد منفی هستند،درسمت چـــپ مبدا قراردارند.بنابراين،خط داری به دست می کنيم آوريم که نمايش اعداد حقيقی است.اين خط جهت ور طول ها يا محور xها می کنيم ناميم.به شکل 1-2نگاه کنيد. ‏a ‏b 0 ‏a>0 ‏b<0 شكل 1-2  2-1-2مختصات نقطه در صفحه: ض می کنيم Pنقطه دلخواهی در صفحه هندسه xoyباشد. شکل ،3-2خطوط PAو PBرابه ترتيب عمودبرمحور xها وعمود بر محور y م می کنيم .اندازه جبری oAروی محور xها را طول نقطه Pواندازه جبری ی محور yها را عرض نقطه Pمی ناميم. ‏y ‏P ‏B ‏b ‏x ‏A ‏a ‏O درنتيجه يک تناظر يک به يک بين نقاط صفحه وزوج هايی مانند(،)a,bکه در آن aو bاعدادحقيقی اند وجوددارد.بنابراين می توان صفحه xoyرابا مجموعه 2 ‏R R Rيکی گرفت.درشکل ،4-2يک دستگاه مختصات دکارتی وچند نقطه درآن نشان داده شده است. ()3 ,2 ( ,2 )0 ‏O ()o,-2 ()3- ,2 ()3 ,2- ()2,1- ()3-,2- 2-1-4مثال: مثلثی رسم كنيدکه مختصات راس های آن )A(2, 2)،B(-1, 1و)C(1, -3 باشد. ‏A ‏B ‏O ‏C 2-1-5فاصله دو نقطه : مختصات xB , y ‏B فرض می کنيم Aنقطه به مختصات  xA , yA و Bنقطه به اشد.فاصله دو نقطه ‏Aو Bرامساوی طول پاره خط ABتعريف می کنيم و ماد )d(A,Bنشان می دهيم .می توان ثابت کرد که فاصله ميان Aو Bاز رابطه زيربه دست می آيد. 2 2 ‏d(A, B)   xB  xA    yB  yA   2-1-7مختصات وسط پاره خط: و نقطه Aو Bرا به ترتيب با مختصات ‏ xA , yA و ‏ xB , yB  ،در صفحه ر نظر می گيريم .اگر Cنقطه وسط پاره خط ABباشد ،آنگاه مختصات نقط ‏Cب888را8برا8س8تب888ا 1 ‏xC   x A  x B  2 1 ‏yC   yA  yB  2 2-1-8مثال: مختصات نقطه وسط پاره خط BCدر مثال 4-1-2راتعيين کنيد. حل: رض می کنيم ،Dنقطه وسط پاره خط BCباشد،بنابر7-1-2داريم 1 ‏xD    11 0 2 1 ‏yD    3 1  1 2 بنابراين مختصات نقطه ) D ،(0, -1است. : انتقال محورهای مختصات2-1-12 y Y A Y X X ´o b x o a x X  a   y Y  b 2-2-1مقدمه: خط راست Lراکه،موازی محور yها نيست(خط غير قائم)،درنظر می گيريم. ‏Aو Bدو ن88قطه م8تمايز د8ل8خوا8ه رو8یخ8ط Lب888اش8ند،آ8ن8گاه ش88يبي88اضري8بزاو8ي8ه خ8ط ابا حرف mنشان می دهيم وبه صورت زير تعريف می کنيم. ‏L ‏y  yA ‏m B ‏xB  xA ‏y ‏B ‏yB  yA ‏A ‏x ‏xB  xA ‏O شکل 8-2 دقت کنيد که شيب خط بستگی به نقاطی که برای محاسبه آن انتخاب می ک رد،وبرای تمام نقاط روی هر خط مقداری ثابت است(.چرا؟) 2-2-3مثال: شيب خطی که ازدو نقطه )A(2,-3و )B(4, 1می گذرد برابراست با 1 ( 3) 4 ‏m ‏ 2 4 2 2 2-2نكته: ب خط Lرا می توان به تانژانت زاويه ای که اين خط با جهت مثبت محو ی سازد نيزتعبير کرد.به بيان ديگر ‏m tan L ‏y ‏B ‏A ‏x ‏ ‏O ‏دراين جا می سازد. ‏ 0 ‏ 180 ،زاويه ای است که خط Lباجهت مثبت محور xها به شکل های 10-2توجه کنيد. ‏y ‏m=0 ‏y ‏mو8جود8ندارد ‏O ‏y ‏y ‏m>0 ‏m<0 ‏x ‏O ‏x شکل های 10-2 ‏O ‏x ‏x ‏O  2-2-قضيه: ه نقطه Aو Bو Cبرروی يک خط واقع اند اگروتنها اگر شيب های خطوط AB ‏BCمساوی باشند،به عبارت ديگر داشته باشيم ‏mAB mBC 2-2-7مثال: دد aرا چنان تعيين کنيد که سه نقطه )،C(a,-2a) , B(0, 2), A(1,-1برروی ک خط راست واقع باشند. حل: بنابرقضيه 6-2-2بايدداشته باشيم درنتيجه .a=2 2 ( 1)  2a  2 ‏mAB mBC  ‏ ‏ 3a 2a  2 0 1 ‏a 0  2-2-9قضيه (شرط توازی وتعامد دوخط): فرض می کنيم ‏m2 m به ترتيب شيب های خط L1 های L2و 1و الف)دوخط L1و L2متوازی اند اگروتنها اگرm1 m2 ب) دوخط ‏L ‏m1m2  1 1و L2برهم عمودند اگر وتنها اگر باشند. . . 2-2-10مثال: شان بدهيد که چهار نقطه ) ،D(-1,-2), C(-9,2) , B(-7,6) ,A(1,2راس ه ک مستطيل اند. ل: ی دانيم مستطيل يک چهار ضلعی است که درآن اضالع دو به دو برهم عمود ضالع روبه رو با هم مساوی ومتوازی اند،به شکل11-2دراساليد بعدی توجه د. mAD  B mAB A C D  2 2 2  1 1 2 6 1   1 7 2 mBC  2 6 2  9 7 mCD   2 2 1   1 9 2 ازآن جا که mAD .mAB  1و ،mCD.mBC  1خطوط ABوADو همچنين خطوط BCوCDدوبه دو برهم عمود ند. چونmAD m وmCD mAB ‏BC ‏ازطرفی ودوخطAB ،دوخط ADوBCباهم وCDباهم متوازی اند. مطالب باال نتيجه می شود که چهار ضلعی ،ABCDمستطيل است. 2-2-12زاويه بين دو خط : رض می کنيم 1و ‏m ن دو خط ، ‏m2به ترتيب شيب های دو L1 خط L2و باشند .زاويه ‏ ،ازرابطه زيربه دست می آيد. ‏m1  m2 ‏tan   1 m1m2  2-2-معادله خط راست: ض می کنيم ‏A x1, y1 و ‏B x2, y2 نقطه متمايزروی خط Lباشند .اگر دو 8سبي8نکه خ8ط Lق88ائ8م ب888اشد ي88 ا8 P(xن88قطه د8ل8خوا8هیاز خ8ط Lب888اشدآ8ن8گاه ب888رح له خط Lعبارت است از: الت اول)اگر خط Lقائم يا نباشد،يعنیx1 x2 ‏y2  y1 ‏ x  x1 ‏x2  x1 ،آنگاه معادله خط Lبرابراست ‏y  y1  ‏y  y1 m x  x1 لت دوم)اگر خط Lقائم ت از باشد،يعنیx1 x2 ،آ نگاه معادله خط قائم Lعبارت ‏x  x1 2-2-16مثال: معادله خطی رابنويسيد که ازدو نقطه ()4 ,3و()2 ,5-می گذرد. حل: شيب خط برابراست با معادله خط بنابر ( 15-2-2الف)عبارت است از 4 2 1 ‏m  ‏ 3 5 4 1 ‏ x  3  y 1 x  13 4 4 4 2-2-1نکته: ‏y  4 ‏x  4y 130 طور کلی هر معادله ای به صورت ،Ax+By+C=0که درآن اعدادحقيقی 8تا8ي8نم8ع8اد8ل8ه را8ک8ه 8تس . و Bهردو ب888اهم ص88فر ن88باش8ند ،ن88ماي8شگر ي88کخ8ط را8س ا8 امل توان های اول xو yاست،برحسب xو، yخطی می ناميم. بنابراين هر خط راست در صفحه به وسيله يک معادله خطی مشخص می ش ادله خطی معرف يک خط راست است. 2-2-19طول و عرض از مبدا خط: عادله خطی ،Ax+By+c=0راکه درآن اعدادحقيقی Aو Bهردو باهم صفر ستند،می توانيم به صورت زيربنويسيم: ‏y=ax+b ‏b ‏aرا طول ازمبدا خط می ناميم. ه درآن bرا عرض از مبدا خط و وجه كنيد که اعدادحقيقی bو ‏b ‏a به ترتيب به ازای x=0و y=0از معادله ،y=ax+ب888ه د8س8تم8یآ8ي8ند.ب888ه ش88کل 12-2ن88گاه ک88نيد. y ‏y=ax+b ‏x ‏ b  ,0 ‏ ‏ a  ()b,0 ‏o حقيقت (،)b,0نقطه ای است که درآ«خط مورد نظر با محور yها تالقی می ‏ b  ,0 نيز نقطه ‏a  است که درآن خط مورد نظر محور xها را قطع می ک ادله ،y =ax+bشيب خط برابر aاست .چون اين معادله برحسب ،aشيب از مبدا خط ،نوشته شده است،آن را معادله شيب و عـــرض از مبدا ميم. 2-2-23مثال: 2 نمودار خطی با معادله y  x  2 3 را رسم کنيد. ل: ن معادله خط به صورت شيب و عرض از مبدا داده شده است،لذا تعيـين ن قي خط با محور های مختصات ،يعنی عرض از مبدا از مبدا وطول از مبدا خ ده است .داريم: ‏y 2 ‏x 0  ‏x 3 ‏y 0  دو نقطه ()0,2و ( )3,0روی اين خط قراردارند،خطی که اين دو نقطه را وصل کند،نمودارخط داده شده است.اين نمودار درشکل 13-2نشان داده ش ت. y ()0,2 )3,0( x ‏o 2-2-26فاصله يک نقطه از يک خط: فاصله نقطه )P(a,bاز خط Lبا معادله Ax+By+c=0برابراست با: ‏Aa  Bb C ‏A2  B2 ‏d  2-2-27فاصله دو خط موازی: فاصله دو خط موازی با معادله های Ax+By+C=0و Ax+By+D=0برا است با: ‏C D ‏A2  B2 ‏h 2-2-مختصات نقطه تالقی دو خط: ه تالقی دو خط ،نقطه ای است که برهر دو خط واقع است.بنابراين اگر معا ط به صورت Ax+By+C=0و Ax  By  C 0باشند ،مختصات نقطه ی اين دو خط ،از حل دستگاه دو معادله دو مجهولی به دست می آيد: ‏Ax  By  C 0 ‏ ‏Ax  By  C 0 2-2-3مثال: ختصات نقطه تالقی دوخط با معادله های 3x-4y+6=0و x-2y-3=0را به د ريد. ل: بر 31-2-2بايد دستگاه دو معادله دو مجهولی زيررا حل کنيم. ‏3x  4y  6 0 ‏ ‏x  2y  3 0 ای اين کار ،معادله دوم دستگاه باال رادر ()-3ضرب ونتيجه را با معادله اول ستگاه جمع می کنيم،يعنی ‏3x  4y  6 0 ‏ ‏ 3x  6y  9 0 0 2y 150 نتيجه، 15 ‏y ‏ ‏ . 2با قرار دادن 15 ‏y ‏ ‏ در معادله دوم دستگاه به دست می آور 2 ‏x  12 بنا براين ‏ ‏  15 ‏x  2 ‏  3 0 ‏ 2  15 ‏ ‏  12, 2 نقطه تالقی دو خط است ‏ ‏ 3x-4y+6=0 ‏x-2y-3=0 ()3 ,0 ()2,0- 15 ‏ ‏  12,  2 ‏  2-3مقدمه: خش 1-2ديديم که مکان يک نقطــه از صفحه را می توانيم با طول وعرض قطه در دستگاه مختصات دکارتی مشخص کنيم.روش ديگری برای تعيين مح قطه در صفحه وجوددارد که به کمک دستگاه مختصات قطبی انجام می شو ن بخش ،دستگاه مختصات قطبــی را معرفــی می کنيم و سپس به بررسی صات قطبــی يک نقطه ورابطه آن با مختصات دکارتی آن نقطه می پردازيم  2-3-تعريف: ‏ نيست.اگر ض می کنيم Pنقطه ای ثابت باشد که بر ،oقطب،منطبق زا ت دار AoPباشدoA،را شعاع نخستين و oPرا شعاع نهايی  زاويه می ناميم ت مثبت دراندازه گيری زاويه ،برخالف عقربه های ساعت (پادساعتگرد) مرتب( نظر گرفته می شود.اگر rفاصله جهت دار oاز ،Pباشد ،زوج )r,  نويسيمP(r ),  ختصات قطبی نقطه Pدر صفحه می ناميم،ومی اه کنيد. )P(r,  شع ا ع 8 نه ايي ‏A ‏ ‏o شعاع نخستين ر 0به شکل 2 عموال“ زاويه ‏ برحسب درجه يا راديان اندازه گيریمی شود.بين درجه ورادي بطه زير برقراراست. ‏ راديان  180 1درجه عاع نهايی oPرا شعاع حامل نقطه Pنيز می نا مند. 2-3-مثال: اي تعيين مکان نقطه Pبه مختصات ‏ 3  قطبی 3,  ‏ 4 سم می کنيم به طوريکه زاويه AoPبرابر 3 4 ،ابتدا نيم خطی از o باشد .نقطه ای که روی شعاع ايی اين زاويه و در فاصله 3از oقراردارد همان نقطه Pاست.  3  P 3,   4 3 4  2-3-5نکته: در دستگاه مختصات قطبی ‏ 3  ‏ 3,  ،نقاط 4  3  ‏ ‏ 3 , ‏ ‏ ‏ ‏ 4، ‏ 3  ‏ 3 , 2 ‏ ‏ ‏ ‏ و4  ‏ 3  ‏ ‏k 3 ( ‏ 1 ) , ‏k ‏ ‏ ‏ حح ،kنقطه  کلی به ازلی هر عدد ص ِ 4 ‏ ‏ 3  ‏ ‏ 2   4 ‏ برهم منطبق هست ‏P ‏A 3  ‏ ‏  4 ‏ وبه طور 2-3-رابطه ميان دستگاه مختصات دکارتی و قطبی : ض می کنيم محور xها منطبق بر محور قطبی و ،oمبدا دستگاه مختصات دکار ‏ قطب واقع باشد.محور yها را منطبق بر شعاع   2 ض می کنيم مختصات قطبی نقطه Pنسبت به محور اخـتيار می کنيم. ‏oxوقطب ،oزوج مرت و r,  مختصات دکارتی اين نقطه نسبت به دستگاه مختصات دکارتـی ،xoy مرتب ()z,yباشد.در تعيين رابطه بين r, y, xو بسته به عالمت rدو حالت ص می دهيم: )1اگر ،r>0نقطه Pرویشعاع نهايی زاويه واقع لست.به طوری که درشکل های ‏ داريمx rcos: زير ديده می شود،در مثلث قائم ازاويه oPQ ‏ ‏ y rsin ‏y ‏y ‏P r,  ‏r ‏y ‏ ‏x ‏Q ‏ ‏P r,  ‏r ‏y ‏x ‏x ‏x ‏Q پس ‏x2  y2 r2 cos2   r2 sin2  ‏r2(cos2   sin2 ) r2 بنابراين ‏r  x2  y2 ‏ زاويه )2اگر ، r<0نقطه Pروی ادامه شعاع نهايی شکل اسال يد بعدی راببينيد. واقع است. y P  x, y r- y-  o Q x- Q x x )x,y( r P r,   الزاويهoPQ در مثلث قائم داريم: ‏ x x ‏cos  ‏ ‏r r ‏ y y ‏sin  ‏ ‏r r با توجه به حالت هاي ()1و( )2داريم: ‏x rcos ‏ ‏ y rsin که از آن نتيجه می شود. ‏r  x2  y2 2-3-1مثال: ‏ مرتب ( 3, ) رض کنيد مختصات قطبی نقطه ،Pزوج 6 باشد،مختصات دکارتی تعيين کنيد. حل: بنابر 11-3-2مختصات دکارتی Pعبارت است از ‏ 3 3 ‏x rcos  3cos  6 2 ‏ 3 ‏y rsin  3sin  6 2 3 ) مرتب بنابراين مختصات دكارتي ،Pزوج 2 ‏3 3 , 2 ( است. y  6 3 3 2  P( 3, ) 6  3 2 x  2-3-13مثال: رض کنيد مختصات دکارتی نقطه ،Pزوج مرتب)(1, 3 ل: باشد.بافرض r>0و 0 2 ،مختصات قطبی نقطه Pراتعيين کنيد. بر روابط بين دستگاه های مختصات دکارتی و قطبی در 11-3-2داريم ‏r  1 3 2 , ‏1rcos ‏ ‏ 3 rsin ‏ تعيين ازمعادله های از r>0نتيجه باشدکه .r=2برای ‏12cos ‏ ‏ 3 2sin به دست می آوريم 1 ‏ ‏cos ‏ ‏ ‏ ‏ 2 ‏  ‏ 3 ‏sin  3 ‏ 2 ‏ مرتب (2, ) بنابراين مختصات قطبی نقطه ،Pزوج 3 است. 2-3-16تعريف: فرض کنيم صورت )(r,  مختصات قطبی يک نقطه در صفحه باشد.معادله ای به )f (راr  معادله قطبی می ناميم. 2-3-1مثال: دله قطبی ‏r2 cos2   sin2 رادر نظر می گيريم .می خواهيم معادله دکارتی را تعيين کنيد. حل: باشرط r 0قرارمی دهيم ‏x ‏cos  ‏r ‏r2 x2  y2 , ‏y ‏sin  ‏r r2 cos2   sin2  2cos sin  cos2  y x x x  y 2( )( )  ( )2 r r r 2 2 پس 2xy  x2  2 x  y2 .در نتيجه بدست می آوريم (x2  y2)2 2xy  x2 فصل سوم هدف کلی رابطه وتابع هدف کلی فصل اين است که با مفاهيم رابطه و تابع ،انواع توابع ،توابع خاص ،اعمال جبری روی توابع ،و وارون تابع آشنا شويد. هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: )1مفهوم رابطه را توضيح دهيد. )2تابع را تعريف کنيد وتفاوت آن را با رابطه توضيح دهيد. )4نمودار توابع را با روش نقطه يابی رسم کنيد. )5اعمال جبری روی توابع را تعريف کنيد و در حل مسائل بکار ببريد. )6انواع توابع جبری معرفی شده در کتاب را بشناسيد ، ويژگيهای هر يک را بشناسيد و اين ويژگيها را در حل مسائل به کار ببريد. )7انواع توابع غير جبری معرفی شده در کتاب را بشناسيد ، ويژگيهای هر يک را بشناسيد و اين ويژگيها را در حل مسائل به کار ببريد. )8تعيين کنيد که هر تابع معلوم زوج است يا فرد ،يا .ت888عيينک88نيد ت888اب8ع 8پ888وشاس8تي88ا ن88ه )10 )11تعيين کنيد تابع يک به يک است يا نه. )12شرايط وارون پذيری تابع را توضيح دهيد و وارون آن هر تابع معلوم را ،در صورت وجود ،تعيين کنيد. )13نشان بدهيد که توابع نمايی و لگاريتمی وارون همديگرند. وارون توابع مثلثاتی را توضيح بدهيد. )14 مقدمه: در علوم گوناگون ،مجموعه هايی که عضوهای آنها زوج مرتب اند اهميت خاصی دارند .در اين فصل به معرفی و مطالعه اين گونه  3-1-1مقدمه: در بسياری از توابع با مجموعه هايی از زوجهای مرتب سروکار داريم . برای مثال ،هنگامی که متحرکی روی خط مستقيم حرکت می کند ،فاصله آن از 0 مبدا tرا در هر لحظه می توان بوسيله زوج مرتب (s , )tنشان داد که در آن ،و sفاصله متحرک از مبدا است . 3-1-2تعريف : هر مجموعه ای از زوج مرتب را يک رابطه دوتايی يا بطور  3-1-4تعريف : فرض می کنيم Rيک رابطه باشد و ، (x, y)  Rدر اين صورت می نويسيم xRyو می خوانيم « xرابطه Rدارد با » yيا «بين xو yرابطه R برقرار است » يا « رابطه R ، xرا به yنسبت می دهد(نظير می کند» :م8ثا8ل3-1-5 رابطه های مثال 3-1-3را در نظر می گيريم .بنابر 4-1-3داريم : يا (1,2)  S1 1S12 يا (2,4)  S2 2S24 2S35 ايران ‏S4 تهران يا (2,5)  S3 يا ( S4ايران،تهران)  :ت888ع8ري8ف3-1-6 مجموعه تمام مختص های اول زوج مرتب يک رابطه دامنه يا قلمرو يک رابطه و مجموعه تمام مختصهای دوم عضوهای رابطه را هم دامنهرابطه می ناميم 3-1-7مثال : رابطه های مثال 3-1-3را در نظر می گيريم. دامنه ‏S1 مجموعه {2و }1وهم دامنه آن مجموعه {8و3و }2است . دامنه وهم دامنه دامنه دامنه ‏S2 ، مجموعه تمام اعداد حقيقی است . ‏S3 {y y  1 } مجموعه مجموعه تمام اعدد حقيقی وهم دامنه آن است ‏S4 مجموعه {تهران8،کابل،اسالم آباد} و هم دامنه آن {ايران ،پاکستان فغانستان} است .  3-2-1مقدمه: در اين بخش دسته خاصی از رابطه ها را ،که تابع ناميده می شوند و اهميت ويژه ای دارند ،معرفی می کنيم. 3-2-2تعريف : فرض می کنيم دامنه رابطه fمجموعه Aوهم دامنه آن مجموعه Cباشد که )(C  B زير مجموعه ای از Bاست ‏B .رابطه fرا يک تابع از Aبه عضوx الف) برای هر A ‏y ،عضوی B مانند وجود داشته باشد به گونه (x, y)  f ای که از B نسبت دهد. (x, y)  f ب) اگر .به بيان ديگر fبايد هر عضـــو Aرا به عضوی (x, z)  f و آنگاه . y=zيعنـی fهر عضــو Aرا تنها به يک عضواز Bنسبت بدهد. به طور خالصه رابطــه fرا يک تابــع می گوييم در صورتی که fهر  3-2-3تعريف : اگر fتابعی از Aبه Bباشد ،می نويسيم: ‏f :A  B مجموعه Aرا دامنه تابع fمی ناميم Df وبا نماد دهيم ،و مجموعه نشان می ‏Rf ن88ماد Bرا ب888رد ت888اب8ع f 8و ب888ا ‏R ‏f B 8هيم .ب888نابرا8ي8ن: م8ی ‏د Df ن88شانA , 3-2-4تعريف : چون بنابر تعريف تابع ،به ازای هر xاز دامنه fتنها يک عضو از برد (x, y)  f ،معموال yرا مقدار f مانند yوجود دارد به گونه ای که (x, y)  f در x می ناميم وبجای می نويسيم: )y=f(x xرا م8تغير و) f(xرا تــصوير xتــوسـط fم8ین88ام8يم .م8ع8اد8ل8ه  3-2-6مثال : نشان بدهيد که رابطه})g={(2,1),(1,3),(3,5),(4,7 يک تابع است . حل:دامنه رابطه ، gمجموعه { }2,1,3,4و هم دامنه آن { }1,3,5,7است . 3 1 1 2 5 3 7 4 مشاهده می کنيم که هر عضـو از دامنه gفقط و فقط به يک عضــو از هم دامنــه gتوسط رابطــه gنسبت داده شده است . بنابراين g  3-2-7نکته: در مثال ، 6-2-3تابع بودن رابطه gرا با بررسی تمام زوج هایمرتب آن انجام داديم 8،در حالی در مثال 5-2-3که رابطه fبا ضابطه ای تعريف 3-2-8مثال : شده است ،برای تشخيص تابع بودن fاز تعريف تابع استفاده تحقيق کنيد کدام يک از رابطه های زير تابع است . کرديم. })R1 {(1,3),(1,4),(2,4 :حل })R2 {(1,3),(2,4 3 4 1 2 3 4 1 2  3-2-10تعيين دامنه تابع: هر تابع با ضابطه تعريف و مجموعه های دامنه وبرد مشخص می شود. معموال روش کلی برای مشخص کردن يک تابع اين است که نخست دامنه تابع را تعريف کنند ،به اين ترتيب با ضابطه تعريف تابع ، مقدار تابع به ازای هر عضو دامنه مشخص می شود. اگر دامنه تابعی مشخص نشده باشد ،آن را مجموعه تمام اعدادی در نظر می گيريم که به ازای آنها ضابطه تعريف تابع با معنی باشد. 1 ‏x مثال برای تابع ‏f (x)  چون تقسيم بر صفر مجاز نيست ،دامنه تابع مجموعه تمام يعنیD R  اعداد حقيقی ناصفر است{0} ، ‏f تابع )g(x به همين ترتيب ،دامنه x مجموعه تمام عدد حقيقی نامنفی است ،يعنی }Dg R  {0 زيرا ريشه دوم عدد حقيقی xفقط وقتی تعريف می شود که داشته باشيم: ‏x 0 : مثال3-2-14 f(1), f(-x), مقادير f (x)  2x , x  R  { 1کنيد } فرض x 1 f(x-1) .را تعيين کنيد :حل : داريم 2(1) f (1)  1 11 2( x)  2x 2x f ( x)     x  1  x 1 x  1 2(x  1) 2(x  1) f (x  1)   (x  1) 1 x  3-2-17مثال : ضابطهf (x)  ‏x3 نمودار تابع fبا را رسم کنيد. ‏y 25 20 15 10 ‏f (x) x3 ‏x 1 2 3 -54 -10 -15 -20 )f(x 2- 3- 4- 0 1 8 27 -1 -8 -27 ‏x 0 1 2 3 -1 -2 -3  3-2-18مثال : 1 ‏f (x)  ضابطه نمودار تابع fبا ‏x کنيد. را رسم )f(x ‏ 4 ‏ 2 ‏x 1 ‏ 4 1 ‏ 3 ‏ 1 ‏ 1 1 2 1 ‏ 3 1 ‏ 4 ‏ 2 ‏ ‏ 3 ‏ 4 4 2 1 1 2 1 3 1 4 ‏x )f(x 1 4 1 2 1 2 3 4  3-3-1مقدمه: بسياری از توابعی که در مسائل مطرح می شوند ممکن است ترکيبی از توابع ديگر باشند .برای مثال ،فرض کنيد ) P(xمقدار سودی باشد که يک شرکت از فروش xعدد از کاال يی بدست می آورد .اگر ) R(xاز فروش xواحد و) C(xهزينه توليد xواحد کاال باشد ،داريم : )P(x)=R(x)-C(x (هزينه)(-درآمد)=(سود) به اين ترتيب می توان رفتار تابع ) P(xرا با استفاده از ويژگيهای توابع )P(xو ) C(xپيش بينی کرد .در اين بخش به بررسی اعمال جبری روی توابع می پردازيم.  3-3-2تعريف : دو تابع fو gرا برابر يا مساوی می ناميم ،در صورتی که يعنیDf (الف) دامنه های fو gمساوی باشندDg، (ب) به ازای هر xاز دامنه مشترک fو ، gتساوی ) f(x)=g(xبرقرار باشد. 3-3-3مثال : 2x2  5x ‏f (x)  تعريف, g(x) 2x الف) دو تابع با ضابطه های  5 ‏x هایDg R , Df R برابر نيستند ،زيرا مجموعه } {0 مساوی نيستند. )(2x  5)(x2 1 تعريف ‏f (x)  , g(x) 2x ب) دو تابع با ضابطه های  5 2 ‏x 1 ‏Df Dg R , x2 10 برابرند ،زيرا همواره عالوه ،به ،به ‏f (x) g(x) 2x  5 ازای هر عدد حقيقی داريم :  3-3-5تعريف : ‏D های دامنه فرض می کنيم fو gتوابعی با ‏f ,D ‏g باشند. توابع جديد ‏f ‏g , f+g , f-g , fg را ب888ه ص88ور8تز8ير ت888ع8ري8فم8یک88نيم: ‏Df  Dg الف)تابع حاصل جمع f+gروی با ضابطه (f  g)(x)f(x) g(x) ; x  Df  Dg ‏Df  Dg ب) تابع تفاضل f-gروی با ضابطه (f  g)(x)f(x) g(x) ; x  Df  Dg رویDf  D پ) تابع حاصل ضرب fg ‏g با ضابطه (fg)(x)f(x)g(x) ; x  Df  Dg ‏f ت) تابع خارج قسمت ‏g با ضابطه ازDf  D روی نقاطی g آن)g(x که در0 ‏f )f(x ( )(x) ; x  Df  Dg ; g(x) 0 ‏g )g(x ،  3-3-6مثال : فرض می x کنيم . f (x)  x  2 , g(x)  4دامنه های f وg عبارتند از )Df {x  R x  20}[2, ]Dg {x  R 4 x 0}( ,4 بنابراين دامنه توابع fg , f+g , f-gعبارتند از ]Df  Dg [2,)  ( ,4] [2,4 ‏f .دامنه تابع چون x=4ريشه معادله g(x)=0است ‏g برابر با بازه (f  g)(x)  x  2  4 x , x  [2,4] (f  g)(x)  x  2  , x  [2,4] 4 x (fg)(x)  x  2 4 x f x 2 ( )(x)  g 4 x , , x  [2,4] x  [2,4) f g  3-4-1مقدمه: در اين بخش به معرفی توابعی می پردازيم که در مباحث مربوط به حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش مهمی دارند. 3-4-2تعريف : اگر دامنه و برد تابع fزير مجموعه هايی از اعداد حقيقی ‏f : R  R باشند f ،را 2 ‏f ( ‏x ) ‏ ‏x يک  ‏x تابع حقيقی می ناميم.برای مثال تعريـف ،با ضابطه  3-4-3تعريف : اگر برد تابع حقيقی ، fمجموعه ای يکانی باشد آنگاه fرا يک تابع ثابت }f : R  {3 با ضابطه تعريف می ناميم .برای مثال تابع f(x)=3يک تابع ثابت است و داريم . f(-5)= , f(1)==3 , f(0)=3 نمودار ‏y ‏f(x)=3 ‏f(x)=3در ش88کلز8ير ر8س8م ش88ده ا3 8 8ت س . 2 1 0 ‏x  3-4-4تعريف : اگر دامنه وبرد تابع fمجموعه عدد حقيقی و برای هر عدد حــقيقی x داشته باشيم ، f(x)=xآنگاه fرا تابع همانی می ناميم. بعضی مقادير اين تابع عبارت اند از: ‏f(0)=0 , f(-3)=-3 , f(2)=2 ‏y 2شده است . شکل زير رسم نمودار تابع همانی در ‏f(x)=x 1 ‏x 2 1 -1 -2 0 1- 2- 3-  3-4-5تعريف : مانندf : N تابعی {0} ‏N تابع فاکتوريل !f(n)=nاست. با ضابطه تعريف چند تايی از مقادير تابع فاکتوريل عبارت اند از: ‏f(0)1 ‏f(1)1 ‏f(2)2!122 ‏f(3)3!123 6 ‏f(4)4!1234 24 ‏f(5)5!12345 120  3-4-6تعريف : تابع } f : R  R {0با ضابطه تعريفf (x)  x قدر مطلق را تابع ‏x می ناميم.يادآوری می کنيم که قدر مطلق عدد حقيقی xرا با نماد نشان ‏x 0 ‏x ‏x  می دهيم و به صورت زير تعريف می کنيم: ‏x 0 ‏ x باالx  از تعريف 0 نتيجه می شود که قدر مطلق هر عدد حقيقی xعددی نامنفی است .يعنی :بعضی مقاديراين تابع عبارت اند از ‏f (0) 0 0 ‏f ( 2)   2  ( 2) 2 ‏f ( 2)  2  2 نمودار تابع قدر مطلق در شکل زير رسم شده است : ‏y ‏f (x)  x ‏x 0  3-4-8تعريف : حقيقیf : R  ‏Z تابع جزء صحيح می ناميم. توجه کنيد که برای هر عدد حقيقی ، xجزء صحيح xرا با نماد []x با ضابطه تعريف ] f(x)=[xرا تابع حقيقی][x عدد[x  ‏x] 1 نشان می دهيم وبرابر است با بزرگترين صحيح نابيشتر از ‏f (0) [0] 0 (کوچکتر يا مساوی) xتعريف می کنيم. بنابراين 3 3 ‏f ( ) [ ] 1 2 2 3 چند تا از مقادير اين تابع عبارت اند از3 : ‏f ( ) [ ]  2 2 2 ‏f ( 5) [ 5]  5 دقت کنيد که جزء صحيح هر عدد حقيقی ،عددی صحيح است وجزء صحيح هر عدد صحيح با خود آن برابر است .برای رسم نمودارتابع ] ، f(x)=[xاز مقادير زير استفاده می کنيم: اگر  4 x  3آنگاه ‏ f(x)=[x]=-4 3 x   2 اگر  2x   1آنگاهf(x)=[x]=- ‏ 1x  0 3 اگر x  1 آنگاهf(x)=[x]=-2 0 آنگاهf(x)=[x]=-11 اگر x  2 آنگاه f(x)=[x]=0 اگر 2x  3 آنگاهf(x)=[x]=1 3 اگر x  4 آنگاه f(x)=[x]=2 اگر آنگاه f(x)=[x]=3 اگر y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x  3-4تعريف : ع خطی fتابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعداد حقيقی است ،و ی هر عدد حقيقی xبا ضابطه : ‏f (x) ax b يف می شود ،که در آن aو bعدد حقيقی ثابتی هستند . دار هر تابع خطی ،يک خط راست است . دار تابع خطی f(x)=2x-1در شکل زير رسم شده است y . ‏f(x)=2x-1 ‏x 1 2  3-4-10تعريف : تابع چند جمله ای pتابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعدد حقيقی است و برای عدد حقيقی xبا ضابطه ‏P(x) a0xn  a1xn 1  ... an 1x  an ‏a0 استaو تعريف می شود .در اينجا nيک عدد صحيح نا منفیn ,...,a1, ‏0و a0 عدد حقيقی اند ) P(xرا يک n .را درجه چند جمله ای ) P(xو چند جمله ای از nمی ناميم. ‏P(x)  3x2  2x  7 تابع 2 تابعq(x)  2x4  3x ‏1 يک تابع چند جمله ای درجـــه دوم و يک تابع چند جمله ای از درجه چهار است .  3-5-1مقدمه : در بخش 4-3با توابع جبری آشنا شديم .اما توابع ديگری نيز در رياضيات مطرح می شودکه جبری نيستند .اين دسته توابع را توابع غير جبری يا متعالی مي ناميم .از جمله توابع غير جبری می توان از توابع نمايی ، توابع لگاريتمی ، و توابع مثلثاتی نام برد که در اين بخش به معرفی آنها می  3-5-2تعريف : ثابتa 1, a برای هر عدد حقيقی 0 ضابطه تعريف ‏x با ،تابعf : R  ‏R ‏f (x) a را يک تابع نمايی می ناميم. ‏ax 0 بنا بر تعريف باال روشن است که برای هر عدد حقيقی xداريم يادآوری می کنيم که بنا بر خواص توان اعداد ،برای هر دو عدد 1 ‏x y ‏a x  x زيرaبرقرارند : روابط a حقيقی xو ax yy ‏x الف) پ) ‏ax  y ‏a ‏a ‏ay ب) ت) ‏xy ‏y ‏x (a ) a 1 هر يک از توابع g(x) ( )x 2 ‏f (x) 2،x توابعی نمايی اند ،که نمودارهای آنها درشکلهای زير رسم شده است: ‏y ‏f (x) 2x ‏x ‏o ‏f (x) 2x 1 2 4 8 ‏x 0 1 2 3 1 2 ‏1 1 4 ‏2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 x x   g x ( ) 2 2 1 1 2 1 4 1 8 y 1 g(x) ( )x 2 x 2 4 8 x نمايی: e 3-5-3تابع در تعريف تابعf (x) ax ‏a ، اگر کنيم که را برابر عدد گنگ eانتـخاب ‏f (x) ex مقدار تقريبی آن تا نه رقم برابر 2/ 718281828است ،تابع نمايی )ex exp(x بدست می آيد ،اين تابع را با نماد ‏f (x) ex نيز نشان می دهند .نمودار تابع شده است. ‏f (x) ex ‏x yدر شکل زير رسم 1 0  3-5-4تعريف: فرض می کنيم aعددی مثبت 1 باشدaو با ‏x ‏f (x) loga ضابطه تعريف نا ميم . حقيقی تابع f : R  ‏R . را تابع لگاريتم در مبنای aمی ‏y ‏a يادآوری می کنيم که x منظور از لگاريتم عدد مثبت xدر مبنای ، aعدد ی ‏x ‏loga ‏x لگاريتم xدر مبنای a است مانند yبه طوری که .  ay x ‏loga y را با نماد نشان می دهيم .بنابر اين همواره داريم : مثال3-5-5 25 5 2 5 25 log 4 2 داريم 2 1 1   log216  4 16 1 1 10   log10100  3 1000 3 1 30 1 log3 0 7 71 7  log7 1  3-5-12نمودار تابع لگاريتمی: اگر مبنای لگاريتم را عدد 10اختيار کنيم ،لگاريتم را لگاريتم معمولی يا اعشاری می ناميم.در لگاريتم معمولی ،عدد مبنا را معموال ‏x نمی نويسند، ‏log logx 10 به عبارت ديگر: ‏y ‏F(x)=lo نمودار تابع لگاريتم معمولی در شکل ‏gx زير رسم شده است . ‏x 1 x نمودار تابعf (x) log2 در شکل زير رسم شده است . ‏y 1 ‏x ‏x ‏f (x) log2  3-5-13تابع لگاريتم طبيعی: در محاسبات لگاريتمی اگر مبنا را عدد گنگ eاختيار کنيم، لگاريتم را لگاريتم طبيعی يا لگاريتم نپری می ناميم .معموال لگاريتم طبيعی را با نماد lnنمايش می دهند .به عبارت ديگر: ‏x ‏e ‏log lnx در اين بخش برخی از ويژگی های توابع را بررسی می کنيم. 3-6-2مثال : الف)اگر f (x) 5x4  3x2 1 اعداد ‏f ( x) 5( x)4  3( x)2 1 حقيقی است ،داريم ،چون دامنه fمجموعه تمام )f (x ‏5x4  3x2 1 بنابراين ، fيک تابع زوج است کنيمg(x)  2x5  3x3  7 ب)فرض می x تابع g مجموعه تمام اعداد حقيقی است ،داريم .چون دامنه g( x)  2( x)5  3( x)3  7( x) 2x5  3x3  7x  g(x) .يک تابع فرد استg بنا براين ، را در نظر می گيريم 4 h(x) 3x4  2x3  x2  1 پ) تابع 3 2 h( x) 3( x)  2( x)  ( x)  1 داريم 3x4  2x3  x2  1 h( x)  h(x),h( x) h(x) نه ذوج استh تابع، چون نه فرد  3-6-5تعريف : الف) اگر عددی مانند Mوجود داشته باشد به طوری که برای هر x ‏f (x) M از دامنه fداشته باشيم. آنگاه fرا از باال کراندار می ناميم . ب) اگر عددی مانند Nوجود داشته باشد به گونه ای که برای هر xاز ‏f (x) N دامنه fداشته باشيم : آنگاه fرا از پايين کراندار می ناميم. پ)اگر عددی مانند M >0وجود داشته باشد بطوری که برای هر xدامنه f داشته باشيم ‏ M f (x) M يا ‏f (x) M آنگاه fرا کراندار می ناميم . ت) اگر تابع fکراندار باشد ،آن را بی کران می ناميم . y =M ‏y =N الف)تابع از باال کراندار پ) تابع کراندار ب) تابع از پايين کراندار ت) تابع بی کران  3-6-7مثال : الف)اتوابع سينوس و کسينوس کراندار است ،زيرا به ازای هر عدد حقيقی x داريم ‏ 1cosx 1 ‏ 1sinx 1 و کراندار است ،زيرا برای هر عدد ب) تابع f (x) 2x2 1از پايين حقيقی x داريم ‏f (x) 2x2 11 پ) تابع g(x) 1 x2از باال کراندار است ،زيرا برای هر عدد حقيقی x داريم ‏g(x) 1 x2 1 ت) تابعh(x) x3  2 که نه از باال کراندار است نه از پاين بی کران است زيرا هر دو خط افقی y=Mو y=-Mرا که در نظر بگيــريم ، 3 ( تابع1, hM نقطه روی نمودار) 3 ‏Mدارد که در خارج ناحيه بين وجود اين دو خط ‏y M واقع است .مثال نقطه قرار دارد روی نمودار تابع h ولی بيرون از ناحيه بين دو خط است .  3-6-9تعريف : ازای xهر و الف) تابع fرا صعودی می ناميم اگر به2 x1 که داشته باشيم از دامنه f )f (x1)  f (x2 ب) تابع fرا نزولی می ناميم اگر به x1 ازایx2هر که داشته باشيم و دامنهfx از 1  x2 )f (x1)  f (x2 پ) در صورتی که تابع fدر هيچ يک از ويُژگيهای (الف) و (ب) صدق نکند ،می گوييم fنه صعودی است نه نزولی .  3-6-12تعريف : xهر x2و ازای تابع f : A  Bرا يک به يک می ناميم اگر به 1 از ‏x1 x2 )f (x1) f (x2 . ايجاب کند که دامنه fتساوی 3-6-13مثال : الف) تابعf : R  R ،زيرا ‏x2 x1 به ازای هر و تعريف f (x) 2x3 ‏5 با ضابطه )f (x1) f (x2 داشته باشيم از ، Rاگر 3 3 2x1  5 2x2  5 آنگاه بدست می آوريم x13 x23  x1 x2 يک به يک است ،يا R R تابع ب) نيست ، تعريفg(x) x2 با ضابطه  7 يک به يک )g(x1) g(x2 2 به دست2 می آوريمx ‏ 7 ‏ ‏x 1 2 7 زيرا از تساوی 2 2 ‏x1 x2 x1 x2 يا که از ان نتيجه می شود با هم 2 ‏g( 2) ( 2)  7  3 مساوی نيستند ،مثال ‏x2 x1 .بنابر اين و ‏g(2) 22  7  3 2  2 می بينيم که ) g(-2)=g(2در حالی که وبنابر اين gيک  3-6-14تعريف : تعريف 12-6-3را می توانيم به صورت زير بيان کنيم : تابع f : A  Bرا يک به يک می ناميم اگر به x1 ازایx2هر و از دامنه ‏x1 x2 تابع fکه داشته باشيم )f (x1) f (x2 3-6-15مثال : تابعf (x)  x ،زيرا 1 يک به يک نيست 1 ) يعنی. f (1) f ( 1 ، که1  در حالی 1  3-6-16تعبيرهندسی يک به يک بودن : ‏y ‏y )y=f(x ‏x )y=g(x ‏x  3-6-18قضيه : اگر تابع fصعودی يا نزولی باشد ،آنگاه fيک به يک خواهد بود. 3-6-20نکته: عکس قضيه 18-6-3برقرار نيست ،به بيان ديگر 8،اگر تابعی يک به 2 نزولیxنيست .برای مثال تابع: يا صعودی0 يک باشد ،الزاما x  1 ‏y ‏ ‏f (x) 0 ‏x 1 ‏x3 ‏x 1 ‏ يک به يک است در حالی که نه صعودی است نه 1 نزولی . 0 ‏x  3-6-21تعريف : تابع f : A  Bراپوشا می ناميم اگر به ازای هر bاز برد تابع ، fعضوی مانند aاز دامنه fوجود داشته باشد به طوری که داشته باشيم : : مثال 3-6-22 )b=f(a ‏f :R  R الف) تابع تعريفf (x) 2x3 ‏5 با ضابطه پوشاست. زيرا برای ) b=f(aيا هر bاز برد تابع fيعنی ، Rمعادله ‏b 2a3  5 ‏b 5 2 دارای يک ريشه حقيقی ‏a 3 است و داريم: ‏b 5 3 ‏b 5 3 (f (a) 2 ()  5 2 )  5 b 2 2 چون برای هر عضو برد fمانند ، bعضوی از دامنه fمانند a وجود دارد به گونه ای که ) b=f(aپس fتابعی پوشاست. تعريف g(x) 2x2، 1 ب) تابع g: R  Rبا ضابطه نيست 8،زيرا پوشا ‏b 2a2  1 اگر عضو دلبخواهی از برد gباشد از ) b=g(aيا ‏b 1 ‏a  نتيجــه 2 می گيريم که : از اينجا مثال به ازای b=-5جوابی برای aبدست نمی آيد، پس gپوشا نيست .به عبارت ديگر -5عضوی از برد gاست که تصوير هيچ عضوی در اين بخش وارون تابع را تعريف می کنيم و به بررســـی خواص آن می پردازيم. 3-7-1وارون تابع: تابع f : R  Rرا در نظر می گيريم و آن را به صورت مجموعه ای })f {(x , y) y f (x از زوجهای مرتب می نويسيم: رابطه gرا به صورت زير تعريف می کنيم: })g {(y , x) y f (x روشن است که اعضای رابطه gاز تعويـــض مو لفه های اول و دوم اکنون می خواهيم ببينيم تحت چه شرايطی gتابعی از Bبه Aخواهد بود . ‏b B الف) برای هر به(b, a باشد)  ‏g طوری بايد عضوی مانند aدر Aوجود داشته که در اين صورت خواهيم داشت ) . b=f(aپس که ب) بايد ‏f باشيمx باشدg .و (y , x2)  پوشا)(y , x1 اگر  g ،به بايد داشته 1 x2 عبارت ديگر ‏x1 x2 )f (x1) f (x2 .پس f نتيجه گرفت که بايد بتوان از تساوی بايد يک به يک باشد ،پس برای آنکه gتابعی از Bبه Aباشد ،بايد f تابعی يک به يک و پوشا باشد .بر عکس ،به آسانی می توان نشان داد که  3-7-2تعريف : اگر f : R  Rتابعی يک به يک و پوشا باشد رابطه: } g {(y , x) (x , y)  f ‏1 را که تابعی از Bبه Aاست وارون تابع fمی ناميم fو با نماد نشان می دهيم.پس ‏f 1:B A ‏f1 دقت کنيد که دامنه fاست . ‏f  1 {(y , x) (x , y)  f } , ‏f1 برابر با برد fو برد برابر با دامنه در شکل زير وارون تابع توضيح داده شده است . f x 1 x f (y) f1 y f (x)  x f  1(y) A y=f(x) B  3-7-4مثال : 3 ‏f (x)  ‏x تعريف تابع f : R  Rبا ضابطه ،يک به يک و پوشاست(چرا؟) ‏y x3 پس دارای وارون است .برای محاسبه وارون اين تابع ، معادله ‏x 3 y را بر حسب xحل می کنيم و به دست می آوريم: ‏y 3 x در تساوی اخير ،جای xو yرا عوض می کنيم ،خواهيم داشت: ‏f  1(x) 3 x , f  1 : R  R پس وارون fعبارت است از: نمودار های توابع  1fوf در شکل زير رسم شده است . ‏1 ‏f توجه کنيد که نمودارهای fو نسبت به خط y=x قرينه اند. ‏y ‏x 0 ‏y=x x ‏a نمايی 3-7-6وارون تابع ‏ ‏f :R  R فرض می کنيم : ضابطه)f (x با ax ، و تعريف می شود . ‏a>0 که در آنa 1 )f (x1) f (x2 الف) تابع fيک به يک است ،زيرا تساوی نتيجه می شود ‏ax1 ax2 يا پوشاست 8،زيرا اگر bbعضو دلبخواهی از برد f ب) تابع f ‏x باشد ،از ba ‏x loga ) b=f(xي88ا ‏logab 8ود f (x) aو دار8ي8م: ‏bش8 ن88تيجه م8ی از (الف) و(ب) نتيجه می شود که تابع fدارای وارون است . معادلهy برای محاسبه وارون ، fاز ax برحسب yتعيين می کنيم : ‏y مقدار xرا ‏y ax  )x loga f  1(y اکنون در تساوی اخير جای xو yرا عوض می کنيم، خواهيم داشت: ‏x ‏x ‏y log ‏ ‏f  1(x) log ‏a ‏ax بنابراين ،وارون تابع نمايی بر عکس. ‏a ‏x ‏loga تابع لگاريتمی است و 3-7-7نتيجه : ‏x ‏y e )1دو تابع y=ln xو بنابر 6-7-3وارون يکديگرند. ‏x 10وy  ‏y=log )2دو تابع x بنابر 6-7-3وارون يکديگرند. فصل چهارم حد و پيوستگی توابع هدف کلی هدف کلی فصل اين است که با مفهوم حد تابع ،قضيه های حدی ،حدهای چپ وراست تابع ،حد در بينهايت ،و پيوستگی تابع در بينهايت وپيوستگی تابع در يک نقطه حقيقی ودر يک بازه آشنا شويد :هدفهای رفتاری :از شما انتظار می رود پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد .م8فه8وم ح8د را ت888وض8يح ب888دهيد)1 .ح8د ت888اب8ع 8را در ن88قطه م8تناهی ي88ادر ت888ع8ري8فک88نيد )2 .ح8د ت888اب8ع 8را در ن88قطه م8تناهی در ي88ا م8حاس8به ک88نيد )3 ق88ضايایح8د را ب888يانک88نيد وآ8ن8ه8ا را در م8حاس8به ح8د ب888ه ک88ار)4 .ب888بريد ص88ور8ت8ه8ایم8بهم ي88ا ن88ام8عينح8دیرا ت888شخيصب888دهيد و8م8قدار )5 وا8ق8عیح8د داد8ه .شده را محاسبه کنيد  )6حدهای راست و چپ را تعريف کنيد ورابطه ميان حدهای يک طرفه و حد تابع را توضيح دهيد وآن را در حل مسائل به کار ببريد )7مفهوم پيوستگی تابع را در يک نقطه توضيح بدهيد. )8رابطه بين پيوستگی تابع در يک نقطه وحد تابع در آن نقطه را بيان کنيد. )9نقاط پيوستگی و نا پيوستگی توابع داده شده را تعيين کنيد. )10پيوستگی از راست واز چپ را توضيح بدهيد. )11پيوستگی تابع را در بازه های باز و بسته تعريف کنيد. )12قضيه های پيوستگی را تعريف کنيد و آنها را در حل مسائل :مقدمه مفهوم حد يکی از مفاهيم اساسی در حساب ديفرانسيل و انتگرال است .در اين فصل ابتدا با مفهوم حد به طور شهودی آشنا می شويم و سپس پيوستگی تابع را بررسی می کنيم :م8قدم8ه 4-1-1 گاهی الزم است رفتار تابعی را در نزديکی نقطه ای بررسی کنيم تا معلوم شود که وقتی متغير مستقل به آن نقطه نزديک می شود مقادير تابع به عدد ثابتــی نزديک می شوند يا نه.ابتدا با يک مثال مفهوم شهودی حد را توضيح می دهيم. م8ثا8ل4-1-2 ابع ‏f(x)=2x-3را در نظر می گيريم. باf : ‏R R ضابطه تعريف می خواهيم رفتار اين تابع را هنگامی که xبه عدد 2نزديک می شود بررسی کنيم. حل: به اين منظور جدولی از مقادير fرا به ازای xهايي که به اندازه دلبخواه به عدد 2نزديک باشند تشکيل می دهيم: 1 0/9998 1/99 1/999 2 0/998 2/01 2/1 1/02 2/001 1/002 ‏x 1/9 0/8 1/9999 0/98 )F(x ‏x 2/0001 1/0002 1/2 ‏F(x جدول باال نشان می دهد هر قدر xبه عدد 2نزديکتر باشد مقدار )f(x به عدد يک نزديکتر می شود .به عبارت ديگر می توانيم مقادير )f(x را تا هر اندازه که بخواهيم به عدد 1نزديک کنيم به شرطی که xرابه ‏f (x)  1 اندازه کافی نزديک به عدد 2نه لزوما برابر با 2انتخاب ‏ 2 کنيمx.به بيان رياضی مشروط براينکه را می توانيم به دلخواه کوچک کنيم را به اندازه کافی کوچک انتخاب کنيم. :ت888ع8ري8ف4-1-3 عدد Lرا حد تابع fدر aمي ناميم اگر برای هر   0عدد مثبتی  مانند (معموال وابسته به )وجود داشته باشد به طوری که 0 x  a    f (x)  L   در اين صورت می نويسيم: ‏limf(x) L ‏x a و می خوانيم حد ) f(xوقتی xبه سمت aميل می کند برابر Lاست . ‏توجه کنيد که ‏ x a   به0معنای ‏aوx ‏x  a  است . y )Y=f(x ‏L ‏L ‏L  ‏a  ‏x ‏a ‏a  بنابر شکل 1-4اگر حد تابع fوقتی که xبه aميل ميکند برابر Lباشد آنگاه وقتی xبر محور افقی قائم بين ‏L  و بينa   وa   قرار خواهد داشت. ‏L  واقع باشد ) f(xبر محور  4-1-5مثال ‏3x 1 f (x) در x=0حد ندارد. ‏3x  1 ‏x 0 نشان بدهيد که تابع ‏x 0 :حل فرض می کنيم حد تابع fدر x=0برابر Lباشد (فرض خلف) .پس بنابر 1 ‏ 0 ‏ 2 تعري8ف ح8د برای ه8ر دارد به گونه ای که: 0 x   اما آنگاه از جمل8ه ‏ 0 عددی مانن8د وجــود 1 0 x  0    f (x)  L    2 ‏x 0 معادل با 1 2 ‏   x 0 ‏   x  و است .اکنون اگر ‏f (x)  L  3x  1 L  ‏f(x)=3x-1در نتيجه بنابر ( )1داريم : واگر 0 X   آنگاه f(x)=3x+1و در نتيجه بنابر ( )1داريم: 1 2 ‏f (x)  L  3x 1 L  از روابط باال به دست می آوريم: )211 11 (3x  L)  (3x  L ) (3x 1 L)  ( 3x 1 L ‏ 3x 1 L   3x 1 L ‏ 3x 1 L  3x  1 L 1 1 ‏  1 2 2 که اين يک تناقض است .بنابر اين فرض خلف باطل است و fدر x=0 حد ندارد .به شکل اساليد بعدی نگاه کنيد: y 4 1 -1 x -1 F(x)=3x-1 -4 limf (x) limg(x) limh(x) 4 x 1 x 1 x :م8قدم8ه 4-2-1 محاسبه مقدار حد تابع با استفاده از تعريف حد و به کمک غالبا طوالنی و و پيچيده است .در اين بخش قضيه هايی را در مورد حد بيان می کنيم و با روشهای محاسبه حدهای توابع آشنا می شويم .از اثبات اين قضيه ها صرف نظر کرده ايم.  4-2-2قضيه : فرض می کنيم )limg(xو )f (x limهر دو موجود باشند .در اين صورت: ‏x a ‏x a الف) اگر cعدد ثابتی باشد آنگاه )limCf(x) C limf (x ‏x a ‏x a ب) اگر rعدد حقيقی مثبت باشد آنگاه ‏lim [f(x)]r [limf (x)]r ‏x a پ) ‏x a ‏lim )[f(x) g(x)]limf (x) limg(x ‏x a ‏x a ‏x a lim [f (x) g(x)]limf (x) limg(x) )ت lim [f (x)g(x)](limf (x))( limg(x)) )ث x a x a x a x a limf (x) f (x) lim  x a x a g(x) limg(x) x a x a g(x) اگر 0 ) ج: آنگاهlim x a x a limf (x)  limf (x) x a x a )چ ح) اگر nعدد صحيح مثبتی باشد ،آنگاه : )limn f (x) n limf (x ‏x a ‏در اين رابطه اگر nزوج باشدlimf (x) ، ‏x a ‏x a بايد مثبت باشد. 4-2-3قضيه : اگر n , mو aسه عدد دلبخواه باشند ، آنگاه : ‏lim(mx  n) ma  n ‏x a :ن88کته 4-2-8 بنابر نتيجه 7-2-4برای تعيين حد يک تابع چند جمله ای يا تابع گويا، کافی است مقدار تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنيم .البته مشروط بر اينکه تابع در آن نقطه تعريف شده باَشد .برای مثال داريم: ‏lim(2x4  3x3  x2  5x  2) 2( 1)4  3( 1)3  ( 1)2  5( 1)  2 ‏x  1 ‏13 همچنين چون ‏x2  3x  4 ‏r(x)  3 تابعی گوياست ،داريم : 4x  3x  7 ‏x2  3x  4 (1)2  3(1)  4 ‏lim 3 ‏ ‏x 1 4x  3x  7 4(1)3  3(1)  7 2 1 ‏  8 4 :ت888ذکر 4-2-9 در اکثر موارد ،قبل از اينکه بتوانيم قضيه های حد را به کار ببريم ،الزم است که ضابطه تعريف تابع داده شده را ساده کنيم به مثال زير توجه کنيد :م8ثا8ل4-2-10 حدهای زير را محاسبه کنيد. ‏x2  9 ‏lim )الف ‏x 3 x  3 :حل الف) تابع ‏x 9 3 )ب ‏x ‏lim ‏x 0 2 (3)2  9 0 ‏x ‏9 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ x  3در x=3تعريف نشده است .زيرا 3  3 0 نامعين است .اين امر مشکلی به وجود نمی آورد .زيرا حد اين تابع وقتی x به 3ميل می کند تنها به مقادير xدر نزديکی 3بستگی دارد و مقدار x=3 را شامل نمی شود .از طرفی می دانيم : )x2  9 (x  3)(x  3 پس به ازای x 0داريم : )x2  9 (x  3)(x  3 ‏ ‏x  3 ‏x 3 ‏x 3 در نتيجه خواهيم داشت: ‏x2  9 ‏lim ‏lim(x  3) 3  3 6 ‏x 3 x  3 ‏x 3 ب) چون به ازای x=0مخرج کسر به صفر ميل می کند نمی توانيم قضيه ( 4-2-2ج) را مستقيما به کار ببريم ،ولی با اســتفاده از يک فن جبری می توانيم اين حد را قابل محاسبه کنيم .به اين منظور ،صورت و مخرج کس ا در مزدوج صورت يعنی ‏x  9  3ضرب می کنيم وبه دست می آوريم:    x 9 3 . x   x 9 3 x  9 9  x  9  3 x( x  9  3) x  x( x  9  3) 1  x 9 3 1  x 9 3 : داريمx 0 که به ازای x 9 3 1 lim lim x 0 x 0 x x 9 3 بنابراين: : (ج) خواهيم داشت2-2-4 اکنون بنابر قضيه lim1  x 0 lim( x  9  3) x 0  1 lim(x  9)  lim3 x 0 1  9 3 1  6 x 0 م8قدم8ه4-3-1 تابع fرا با ضابطه زير را در نظر می گيريمx 0: ‏x 0 در 5-1-4نشان داديم که اين تابع در x=0حد ندارد. ‏F(x)=3x+1 ‏3x 1 ‏f (x)  ‏3x  1 ‏y 1 ‏x -1 ‏F(x)=3x-1 چنان که در شکل ديده می شود 8،وقتی که xاز سمت راست به صفر نزدي می شود f(x) ،به عدد 1نزديک می شود ،و هنگامی که xاز سمت چپ (از طرف اعداد منفــی) به صفر نزديک می شود f(x) ،به عدد ( )-1نزديک می شود .در اين صورت می گوييم حد راست تابع fدر نقطه 0برابر با 1 حد چپ تابع fدر نقطه 0برابر با ( )-1است . اکنون به تعريف حدهای راست و چپ تابع که حدهای يک طرفه ناميـــده می شوند می پردازيم.  :ت888ع8ري8ف4-3-2 فرض می کنيم تابع fدر بازه ( )a , bتعريف شده باشد ، اگر برای هر ‏ 0 ‏ 0 عدد حقيقی طوری که: داشته 0باشد به مثبتی وجود x  a مانند    f (x)  L عدد   ‏lim f(x) L آنگاه عدد Lرا حد راست تابع در نقطه x a x=aمی ناميم.ومی نويسيمx  a : ‏x  a نماد به معنای x>aو ‏x ‏y است . ‏C ‏L ‏a 0  4-3-3تعريف : فرض می کنيم تابع fدر بازه ( )a , bتعريف شده باشد .اگر 0 برای هر عدد مثبتی مانند ‏ وجود داشته باشد به طوری که: ‏   x  a 0 f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد چپ تابع در نقطه x=aمی ناميم.ومی نويسيم: ‏lim f (x) L ‏x a نماد ‏y بهx  ‏a معنای x>aو x  aاست . ‏L ‏x ‏a ‏b 0  4-3-4نکته: تمام قضيه هايي که در بخش 2-4بيان کرديم يا دادنx  قرار a باx  a ‏x a به جای همچنان معتبرند. 4-3-5مثال : تابع fبا ضابطه تعريف زير را در نظر بگيريد. ‏x 1 ‏x 1 ‏3x  2 ‏f (x)  ‏5x  2 حد چپ و حد راست تابع fرا در صورت وجود در x=1 تعيين کنيد. حل: ‏lim ‏f (xx=1 برای محاسبه حد راست تابع fدر ) يعنی ‏ ‏x 1 چون ‏x  1 ‏x 1 پس وبنابراين: و . x>1در اين حالت داريم f(x)=3x+2 ‏lim ‏f (x)  lim (3x  2) 3(1)  25 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 ‏lim )f (x ‏ ‏x 1 ‏x  1 ‏x 1 برای محاسبه حد چپ تابع fدر x=1يعنی پس چون ‏limf (x) lim (5x  2) 5(1)  23 ‏ ‏x ‏ 1 و . x<1در اين حالت داريم f(x)=5x-2و بنابراين : ‏x 1  4-3-8مثال : بنابر نتيجه ( 7-3-4الف) تابع fدر مثال 5-3-4در نقطه x=1 حد ندارد. روشن است که اين تابع در هر نقطه حقيقی به استثنایx=1 دارایحد است. 4-3-9نکته: تابع جزء صحيحf (x)  x، x  R را در نظر می گيريم .می خواهيم حد چپ و حد راست fرا در نقطه x=2تعيين کنيم. يادآوری می کنيم که منظور از جزء صحــــيح ،xبزرگترين عدد صحيح نابزرگتر از xاست . y 3 2 1 ( 0 1 2-h ) 2 3 2+h 4 x به طوری که در شکل ديده می شود 8،تابع fهنگامی که x به سمت 2ميل می کند دارای حد نيست زيرا وقتی که xبرابر 2يا کمی بزرگتر از 2 به  اختيار شود مقادير تابع fبسيار نزديک 1 ‏ x2خواهند بود .اما هنگامی که xا8ندک8یک88وچ8کتر از ، 2م8ثال 999/1ب888اشد دار8ي8م عبار8تد8ي8گر اگر hعددی مثبت و کوچکتر از يک باشد 8،يعنی ، h<1<0آنگاه : [1=]x به ازای هر xکه h<x<2-2داريم : .ب888ه در نتيجه بنابر تعريف های 3-3-4و ،2-3-4حد چپ و حد راست f در x=2برابرند با: ‏limf (x)  lim [x] 1 ‏ ‏x 2 ‏x 2 ‏lim ‏f (x)  lim [x] 2 ‏ ‏ ‏x 2 ‏x 2 چون حد چپ و حد راست تابع جزء صحيح در x=2برابر نيستند ،اين تابع بنابر نتيجه ( 7-3-4الف) در x=2حد ندارد. به همين ترتيب به ازای هر عدد صحيح nمی توان نشان داد که تابع [ ]xدر x=nحد ندارد و داريم : ‏n Z ‏lim [x] n  1 ‏ ‏n Z ‏lim [x] n ‏ ‏x n ‏x n روشن است که تابع جزء صحيح در هر عدد حقيقی غير صحيح دارای حد است .برای مثال : ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5 , ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5 در نتيجه ،بنابر قضيه 6-3-4داريم : ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5  4-4-1مثال: 1 ‏f (x)  تابع fبا ضابطه (x  1)2 اين تابع در شکل زير رسم شده است . را در نظر می گيريم .نمودار اکنون مقادير fرا هنگامی که xنزديک به يک باشد بررسی می کنيم. به جدول زير توجه کنيد: 1/001 108 1/01 106 1/1 100 104 1/5 1/3 1/0001 9 100 4 2 ‏F(x) 1 به طوری که در جدول باال می بينيم ،هر قدر xاز سمت راست به 1 نزديکتر شود ،مقدار ) f(xبزرگتر می شود .به اين ترتيب می توان ) f(xرا ب888یا8نداز8ه ب888زر8گک88رد م8شرو8ط ب888ر آ8ن8که xب888ی 1 ا8نداز8ه از س88مت ‏lim ‏ (x  1)2 ‏X ‏x 1 راست به يک نزديک شود .اين خاصيت را با نماد زير نشان اکنون مقادير ) f(xرا هنگامی که xاز سمت چپ نزديک به يک باشد بررسی می کنيم .به جدول زير توجه کنيد: 0/999 108 0/9 0/99 106 100 104 0/5 0/7 0/9999 9 4 100 0 ‏X ‏F(x) 1 به طوری که درجدول باالمی بينيم هر قدر xاز سمت چپ به 1نزديکتر شود ،مقدار ) f(xبزرگتر می شود.اين خاصيت را با نماد زير نشــان می دهيم : 1 ‏ 2 )(x  1 ‏lim ‏ ‏x 1  4-4-3مثال : ‏1 ‏g(x)  تابع با روشی مشابه مثال 1-4-4می توان رفتار (x  1)2 را در نزديکی نقطه يک بررسی کرد. تابع gکه نمودار آن در شکل زير رسم شده yاست . 1 ‏x ‏1 (x  1)2 ‏g(x)  -1 g(x)  1 (x  1)2 مشاهده می کنيم هنگامی که xنزديک به عدد يک شود مـــقدار )g(x بی اندازه کوچک می شود .اين خاصييت را به صورت زير ‏1 نشــــان ‏lim ‏ ‏ ‏x 1 (x  1)2 می دهيم: 4-4-4تعريف : وجود داشته اگر برای هر ، M<0عدد مثبتی  0 مانند باشد .به طوری که0 x  a    f (x)  :M آنگاه حد تابع fرا هنگامی که xبه سمت aميل می کند ،بينهايت منفی می ناميم و می نويسيم: ‏limf (x)    ‏x a  4-4-5تذکر: باشيمlimf (x)  وقتی که داشته  ‏x a ‏ ندارد،زيرا  يا می گوييم fدر aحد نيستند . 4-4-6مثال : 1 تابع ‏f (x)  xرا در نظر می گيريم . نمودار اين تابع در شکل زير رسم شده است . ‏limf (x)  يا ‏x a اعدادی حقيقی چنان که در شکل ديده می شود ،هنگامی که xاز سمت راست به صفر نزديک می شود ،مقادير تابع بزرگ و بزرگتر می شوند ،يعنی 1 داريم : ‏lim  ‏x ‏x 0 اگر xاز سمت چپ به صفر نزديک شود ،مقادير تابع منفی اند و کوچک وکوچکتر می شوند ،يعنی داريم 1 ‏lim ‏ ‏ ‏x 0 x  4-4-8قضيه : اگر nعدد صحيح و مثبتی باشد ،آنگاه 1 داريم: ‏ الف) ب) ‏n ‏x ‏lim ‏x 0 اگر nفرد باشد   1 ‏lim n  ‏x 0 x اگر nزوج باشد   قضيه باال را می توان به صورت زير تعميم داد. 4-4-9قضيه : الف) اگر تابع fدر حالی که همواره مثبت است ،به سمت 1 صفر ميل کند آنگاه : ‏lim ‏ )f (x ‏x a ب) اگر تابع fدر حالی که همواره منفی است ،به سمت 1 صفر ميل کند آنگاه : ‏lim ‏ )f (x ‏x a : مثال4-4-13 4 x2 . را محاسبه کنيدxlim حد  2 x 2 2 lim 4 x   x 2  2 lim 4 x  x 2  0 0 lim (x  2) 0 حل: : داريم و x 2 و 4 xيا2 0 x2نتيجه  4 و در xو  2x<2 پسx  2چون 4  x2 4  x2 4  x2  . x 2 x 2 4  x2 4  x2  (x  2) 4 x2  : داريم   (2 x)(2 x)  (2 x) 4 x2  (2 x) 4  x2 در حالی که هميشه مثبت است 4 xو2 lim 4 x2 0 چون x 2 به سمت : (الف) داريم9-4-4 بنابر قضيه، صفر ميل می کند 1 :در نتيجه به دست می آوريم lim  x 2 4 x2 4 x2  (x  2) lim  lim x 2 x 2 x 2 4 x2  lim  (2 x)   x 2   1   lim   4()   x 2 2  4 x    4-5-1مقدمه: در اين بخش به بررسی رفتار تابعی مانند fهنگامی که x به اندازه کافی بزرگ شود ،می پردازيم .وقتی می گوييم xمقادير بزرگ را به دلخواه ‏x مثبت مقدار اختيار می کند ،منظور اين است که xاز هر  دلـبخواه مانند Mب888زر8گ8تر ب888اشد 8،و در ا8ي8نص88ور8تم8ین88وي8سيم: ‏x   هر گاه xهر مقدار دلبخواه كوچکتر از هر عدد منفی مانند  4-5-2مثال : 3x2 ‏f (x)  2 تابع x 1 رادر نظر می گيريم .نمودار اين تابع در شکل زير رسم شده است . در جدول زير مقادير ) ، f(xبرای بعضی مقادير بزرگ x محاسبه شده است . 1000 300000000 100000001 3000000 1000001 100 10000 30000 100001 10 300 101 به طوری که در جدول باال می بينيم ،به تدريج که مقادير مثبت xبزرگتر می شوند ،مقادير ) f(xبه عدد 3نزديکتر می شوند .اين خاصيت را به 3x2 ‏lim ‏3 ‏x  x2 1 صورت زير نشان می دهيم: ‏x ‏F(x ) در جدول زير مقادير ) f(xبرای بعضی مقادير کوچک ومنفی xمحاسبه کرده ايم: -10000 300000000 100000001 -1000 3000000 1000001 -100 30000 100001 -10 300 101 ‏x )F(x توجه کنيد که برای هر عدد حقيقی xداريم )، f(-x)=f(xيعنی f تابعی زوج است .بنابراين به تدريج که مقادير منفی xکوچکتر می شوند، مقادير )f(x 3x2 خاصيت را به صورت زير نشان به عدد 3نزديک می شوند.3اين ‏lim ‏x  x2 1 می دهيم:  4-5-4تعريف : اگر برای 0 هر  عدد مثبتی مانند ( Mمعموال  وابسته به ) وجود داشته باشد به طوری که: ‏x  M  f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد تابع ، fهنگامی که xبه سمت بينهايت مثبت نويسيمlim: ميل می کند ،می ناميم و میf(x) L ‏x   4-5-4تعريف : هر،  عدد مانند ( N<0معموال  وابسته به ) وجود اگر برای 0 داشته باشد به طوری که: ‏x  N  f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد تابع ، fهنگامی که xبه سمت بينهايت منفی نويسيم: ‏lim میf(x)  ميل می کند ،می ناميم و L ‏x    4-5-5قضيه : اگر nعدد صحيح مثبتی باشد ،آنگاه داريم : الف) 1 ‏0 ‏n ‏x  x ب) 1 ‏lim n 0 ‏x  x ‏lim تعميم قضيه باال به صورت زير است . 4-5-6قضيه : فرض می کنيم aعددی حقيقی يا يکی از    نمادهای يا ‏limf (x)  ‏x a باشد .در اين صورت اگر 1 ‏lim ‏0 )x a f (x آنگاه : ‏limf (x)  يا ‏x a : تذکر4-5-7 4-4 و2-4 تمام قضيه هايی که درباره حد در بخشهای ديديم در x   نيز صدق يا x   مورد حدهايی که در آنها .می کند : مثال4-5-8 را محاسبهxlim   3x  4 2x  1 .کنيد 4 3x  4 x lim  lim حل: x  2x  1 x  1 2 x 4 1 lim[3  ] lim 3  4 lim x  3  4(0) 3 x  x  x x     1 1 2 0 2 lim[2 ] lim 2  lim x  x  x  x x 3  4-5-10مثال : 5x2  3x xlimرا محاسبه کنيد. حد   2x 1 حل 2 رای محاسبه حد داده شده ،صورت و مخرج کسر را xبر تقسيم می کنيم. 3 5x2  3x ‏x ‏lim ‏ lim ‏x  2x 1 ‏x  2 1 ‏ ‏x x2 3 ‏ ‏lim 5  ‏x  ‏x ‏ ‏ ‏2 1 ‏lim  2  ‏x  x ‏x  ‏ 5 اکنون حد صورت ومخرج را جداگانه در نظر می گيريم: 3 1 ‏ ‏lim 5   lim5 3 lim ‏x  ‏x  x ‏x  x  ‏ ‏5 3(0) 5 1 1 ‏2 1 ‏lim  2  2 lim  lim 2 ‏x  x ‏x  x ‏x  x ‏x  ‏ ‏2(0) 00 حد صورت عدد مثبت 5است و مخرج در حالی که همواره مثبت است به صفر ميل می کند ،در نتيجه بنا 2بر قضيه ( 9-4-4الف) 5x  3x ‏lim ‏ داريم : ‏x  2x 1 نتايج حاصل از سه مثال اخير را می توان به صورت زير خالصه کرد. : مثال4-5-12 .را محاسبه کنيد lim x  2x 2 x 3  lim x  lim x  2x 3 x (1 2 ) x 2 2x x2  3 حل: x2  x يعنی x x>0 نتيجه می شودx   از  lim x   lim x  :و بنابراين داريم 2x x 1 3 x2 2 3 1 2 x  2 2 10  4-5-18حد تابع لگاريتمی: با توجه به نمودار تابع لگاريتم طبيعی x>0 ، f(x)= lnxحد های زير را داريم : الف) ب) ‏lim lnx  ‏x  ‏limlnx  ‏y ‏x 0 ‏f(x)= lnx ‏x 1 0  4-5-19حد تابع نمايی: نمايی)f (x با توجه با نمودار تابع ex الف) حدهای زير را داريم : ‏lim ex  ‏x  ب) ‏lim ex 0 ‏x  پ) ‏limex 1 ‏y ‏x 0 ‏f (x) ex ‏x 1 0  4-6-1مقدمه: در اين بخش به معرفی مفهوم پيوستگی تابع ،که شرط قويتری از حد داشتن تابع است ،می پردازيم. 2 -4-6تعريف : تابع fرا در x=aپيوسته می ناميم در صورتی که سه شرط زير برقرار باشد: الف) fدر aتعريف شده )x f(a) limوجود داشته باشدf (،يعنی ‏x a باشد . پ) حد تابع fدر x=aبرابر مقدار تابع در اين نقطه باشد ،يعنی )limf (x) f (a ‏x a هرگاه يکی از شرايط باال در x=aبرقرار نباشند f ،را در a ناپيوسته می ناميم .اگر fدر aپيوسته نباشد f ،را يک نقطه ناپيوستگی fمی ناميم.  4-6-4مثال : ‏x 1 پيوستگی تابع ‏x 1 کنيد. ‏2x  3 ‏f (x)  ‏4x  2 را در x=1بررسی حل: ‏lim ‏f (x)  lim (2x  3)  1 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 ‏limf (x)  lim (4x  2) 2 ‏ ‏x 1 ‏x 1 ون حد چپ و حد راست تابع در x=1برابر نيستند ،حد تابع fدر x=1 جود ندارد .بنابراين شرط (ب) تعريف پيوستگی برقرار نيست.در نتيجه 8ت 8ت ن88مودار ت888اب8ع f 8در ش88کلز8ير ر8س8م ش88ده ا8س . Fدر x=1ن88اپ8يوس8ته ا8س . 2 F(x)=4x-2 -2 F(x)=2x -3 x  4-6-5مثال : ‏x2 1 x 0 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ پيوستگی تابعx 0 2را در x=0بررسی کنيد. ‏3x 1 x 0 ‏ حل: چون f(0)=2پس شرط (الف) تعريف 2-6-4برقرار است ،از طرفی داريم : 2 ‏lim ‏f ( ‏x ) ‏ ‏lim ( ‏x ‏1) 1 ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 ‏lim ‏f (x) lim (3x 1) 1 ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 پسf (x) 1 ، limيعنی شرط (ب) 2-6-4نيز برقرار ‏x 0 است ،اما )limf (x) f (0 ‏x 0 پس شرط (پ) تعريف پيوستگی برقرار نيست .در نتيجه fدر x=0 زير رسم شده ناپيوسته است .نمودار اين تابع در شکل ‏y است . 2 ‏f (x) x2 1 ‏x ‏o ‏f(x)=3x+1  4-6-8تعريف : الف) می گوييم تابع fدر aپيوستگی راست دارد، هرگاه: ‏lim )f (x) f (a ‏ ‏x a ب) می گوييم تابع fدر aپيوستگی چپ دارد، هرگاه: ‏lim )f (x) f (a ‏ ‏x a  4-6-11قضيه : هرگاه توابع fو gدر x=aپيوسته باشند ،آنگاه : الف) تابع)f (x) g(x در x=aپيوسته است . ب) تابع ) kf(xدر x=aپيوسته است k (.عددی ثابت است ). )f(x)g(xدر x=aپيوسته است . پ) تابع )f (x )g(x ت) تابع ث) تابع )f (x ‏g(a) 0 در x=aپيوسته است (. در x=aپيوسته است . )  4-6-12نکته: در نتيجه ( 7-2-4الف) ديديم که هر تابع چند جمله ای درهرنقطه حقيقی حد دارد واين حد برابر با مقدار چند جمله ای در آن نقطه ‏p(x) a0xn  a1xn 1  ... an 1x  an است .بنابراين هر تابع چند جمله ای در هر نقطه حقيقی پيوسته است . )p(x )q(x ‏f (x)  گويای q(a) 0 همچنين بنابر نتيجه ( 7-2-4ب) ،هر تابع a R )p(x) p(a ‏f (x اشپيوستهاست lim، در همه دامنه)f (a limهر ازای ) به زيرا ‏x a )x a q(x )q(a که داريم :  4-6-13مثال : 5x3  3x2  4x 1 f (x) در همه نقاط نشان بدهيد که تابع 2 ‏x 9 دامنه اش پيوسته است . حل: دامنه fمجموعه تمام اعداد حقيقی که به ازای آنها مخرج صفر نمی شود ‏x 3 می شود ،دامنه f مخرج کسر صفر چون به ازای 2 }Df {x x  90}R  {3, 3 عبارت است از: ‏a Df فرض می کنيم داريم : 5x  3x2  4x 1 limf (x) lim x a x a x2  9 lim5x3  3x2  4x 1  x a lim x2  9 x a 5a3  3a2  4a 1  a2  9 f (a) . در هر نقطه از دامنه اش پيوسته استf در نتيجه : قضيه4-6-4 : آنگاه، limg(x) b پيوسته باشد وx=b درf اگر تابع x a lim(fog)(x) f (b) x a lim(fog)(x) f x a به بيان ديگر:  limg(x) x a  4-6-20تعريف : تابع fرا بر بازه باز ( )a , bپيوسته می ناميم هر گاه fدر هر نقطه از اين بازه پيوسته باشد .در صورتی که fدست کم در يک نقطه از بازه ( )a , bپيوسته نباشد f ،را در بازه ()a ,b مثال: 4-6-21 ناميم . ناپيوسته می تابع 5x3  1 )x)  (x  1)(x  3را( fدر نظر می گيريم .اين تابع در هر نقطه حقيِقی به استثنای 1و -3پيوسته است و در نتيجه ،بنابر تعــريف ،4-6-20در هر بازه بازی که شامل 1و -3نباشد ،پيوسته خواهد بود.  4-6-22تعريف : تابع fرا در بازه بسته [ ]a , bپيوسته می ناميم هر گاه شرايط زير برقرار باشند: الف) fرا در بازه باز ( )a , bپيوسته باشد. )lim f (x) f (a ب) fدر aپيوستگی راست داشته باشد ،يعنی ‏x a يعنیlim f (x باشد) f (،b ) پ) fدر bپيوستگی چپ داشته ‏x b در صورتی که دست کم يکی از شرايط باال برقرار نباشد f،را در بازه بسته [ ]a , bناپيوسته می ناميم.  4-6-23مثال : پيوستگی تابع fبا ضابطه تعريف زير را در بازه بسته []2 , 2- بررسی ‏3x  2  2x  1 کنيد . حل: چون f(1)=1+4=5 1x 2 ‏f (x)  ‏x  4 ‏lim f (x) lim (x  4) 5 ‏x 1 ‏x 1 ‏lim f (x) lim (3x  2) 5 ‏x 1 ‏x 1 در limf پس)(x) 5 f (1 ،x=1يعنی fدر x=1پيوسته است . ‏x 1 بنابراين fدر بازه ( )2 , 2-پيوسته است .از طرفی داريم : lim f (x)  lim (3x  2)  4 x  2 x  2 lim f (x)  lim (x  4) 6 x 2 x 2 ]پيوسته2 , 2-[ در بازهf ، 22-6-4 در نتيجه بنابر . است فصل پنجم هدفهای کلی : مشتق هدف کلی فصل این است که با مفهوم بنیادی مشتق تابع ،قضيه های مشتق گیری، مشتق توابع جبری و غیر جبری ،مشتـق گیری از توابع ضمنی ،و با مفهوم دیفرانسیل آشنا شوید. هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید: )1مفهوم مشتق را توضیح بدهید. )2قضيـــه های مشتق را بیان کنید و آنها را در حل مسائل به کار ببرید. )3مشتق های چپ و راست تابع را در یک نقطه تعريف کنید.و برای توابع داده شده ،وجود مشتق های یک طـــــرفه را که در نقاط خواسته شده تحقیق کنید.  )4رابطه بین مشتقهای یک طرفه و مشتق تابع در یک نقطه را بیان کنید و آن را در حل مسائل به کار ببرید. )5قاعده زنجیری در مشتق گیری را توضیح بدهید و مشتق توابع مرکب را به کمک این قاعده محاسبه کنید . )6روش مشتق گیری از توابع ضمنی را بیان کنید و مشتق توابعی را که به صورت غیر صریح بیان شده اند محاسبه کنید . )7مشتق توابع مثلثاتی و توابع وارون مثلثاتی داده شده را به دست آورید )8رابطه بین مشتق تابع و مشتق وارون تابع را بیان کنید و به کمک این رابطه ، مشتق تابع داده شده را با استفاده از مشتق وار.ن آن ،و بر عکس ،تعیین کنید . )9مشتق توابع نمایی و لگاریتمی داده شده را محاسبه کنید .  )10روش مشتق گیری لگاریتمی را توضیح بدهید و مشتق توابع داده شده را با استفاده از این روش محاسبه کنید. ) (x ‏u(x توضیح بدهید و از آن در حل )را )11روش محاسبه مشتق توابعی به صورت مسائل استفاده کنید . )12مفهوم دیفرانسیل تابع و دیفرانسیل متغییر را توضیح بدهید و برای تابع داده شده ،مقدار دیفرانسیل تابع را محاسبه کنید . )13روش محاسبه مشتق های مرتبه های باالتر از یک را بیان کنید و در حل مسائل به کار ببرید. )14با استفاده از مفهوم دیفرانسیل ،مقدار تقریبی اعداد رادیکالی را محاسبه کنید. )15با استفاده از مفهوم دیفرانسیل ،خطای مطلق ،خطای نسبی و درصـــد خطای محاسبه را تعیین کنید. )16دیفرانسیل کـــل تابع nمتغیره را تعريف کنید و آن را برای توابع داده شده ، محاسبه کنید . )17روش محاسبه مشتق توابعی را به صورت پارامتری بیان می شوند توضیح بدهید و آن را در محاسبه مشتق توابع داده شده بکار ببرید. مقدمه ر فصل چهارم با مفهوم حد آشنا شديم .در اين فصل با استفاده از اين هوم اساسی ،به معرفی مفهوم مهم مشتق می پردازيم .مشتق يک ابزار ضی برای اندازه گيریتغييرات متغيرها نسبت به هم است .با مطالعه شتق می توانيم آهنگ تغييراتی راکه در مسائل مختلف پيش می آيد تعيين م .عالوه براين ،به کمک مشتق می توانيم ماکسيمم ومينيمم توابع را نيز رسی کنيم . 8ثا8ل5-1-1 زن کودک با گذشت زمان تغيير می کند ،پس می توانيم آن را به عنوان تابع زمان در نظر بگيريم .اگر اين تابع را) w(tبناميم ،آنگاه تغيير وزن کودک ‏ t1, t2 برابر است با ر بازۀ زمانی )w(t2)  w(t1 نگ متوسط تغيير وزن کودک در اين بازۀ زمانی ،از تقسيم تغيير وزن بر طول اين بازۀ به دست می آيد .بنا براين )w(t2)  w(t1 ‏ آهنگ متوسط تغيير ) w(tدر بازۀ زمانی ‏t2  t1  5-1-تعريف : رض کنيم تابع fدر بازۀ [ ]a,bتعريف شده باشد .برای ه ( )a,bکه د برابر هردوعددx1 ‏x0 از1 xتاx ‏a ،x0  x1  b تغيير مقدار ) f(xهنگامی که 0 x در و تغييـر )f (x1)  f (x0 است و آهنگ تغيير fدر بازه  x0, x1برابر ) f (x1)  f (x0است . ‏x1  x0 5-1-مثال : رض کنيد ) f(rمساحت دايره ای به شعاع rباشد ،پس 2 ‏f (r) r گ متوسط تغيير مساحت اين دايره ،هنگامی که شعاع r1 آن 2 از rبه بر است با تغيير ک f (r2)  f (r1)  r22   r12 ‏ ‏r2  r1 ‏r2  r1 ) (r2  r1 ‏r2 4 به دايرهr1  2 از بنابراين ،اگر شعاع متوسط تغيير مساحت آن برابر است با ‏(4 2) 6 تغيير کند ،اهنگ اکنون با استفاده از آهنگ متوسط تغيير يک تابع به تعريف مشتق تابع در يک نقطه می پردازيم .  5-1تعريف : ) y=f(xونقطه aدر دامنه fرا در نظر می گيريم .اگر )f (x)  f (a ‏lim ‏x a ‏x a )x ناميم(و fبا د داشته باشد ،آن را مشتق تابع fدر نقطه aمی دهيم . نشان ابع fدر نقطه aمشتق داشته باشد f ،را در x=aمشتق پذير می گوييم . ابع fدر همه نقاط دامنه اش مشتق داشته باشد f ،را مشتق پذير می نام 5-1-5ل8ثا8م x) 3x2  4x . بااستفاده از تعريف به دست آوريدx=2 در نقطهf (را تق تابع حل: 2 f (x)  f (2) (3x  4x)  (12 8) f (2) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 3x2  4x  4 (3x  2)(x  2) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 lim(3x  2) 8 x 2 : داريم ن88کته 5-1-7 ر تعريف 4-1-5ديديم که مشتق تابع fدر نقطه x=aبرابر است با )1 )f (x)  f (a ‏ ‏f (a) lim ‏x a ‏x a ر قرار بدهيم ، h=x-aبه دست آوريم ، x=a+hپس) . f(x)=f(a+hاز طرفی اگرx  ‏a وتنها اگر ) ‏h ،0 در نتيجه ( )1را می توان به صورت )f (a  h)  f (a ‏f (a) lim ‏h 0 ‏h شت .بنابراين ،مشتق تابع fدر نقطه aرا می توان از رابطه ( )2نيز به ست آورد . عبير ه8ندس8یم8شتق5-1-8 م مشتق يک تابع در يک نقطه را می توان به شيب خط مماس در آن نقطه کرد .برای روشن شدن مطلب ،تابع ) y=f(xو دو نقطه))P(a , f(a و Q(a+h , f(aرا رو8ین88مودار fدر ن88ظر م8یگ88يري8م .ب888ه ش88کلز8يرتوج8ه ک88نيد. y=f(x) ماس8ط م8خ f(a+h) Q P f(a) M h  O  a a+h يجه 5-1-9 ب خط مماس بر نمودار fدر نقطه x=aکه آن را با ) m(aنشان می دهيم ست با مشتق تابع fدر نقطه ، x=aبه عبارت ديگر )m(a) f (a ط عمود بر نمودار fدر نقطه x=aخطی است که بر خط مماس بر نمودار نقطه عمود است .پس اگر ،داريم )m(a شيب خط عمود بر نمودار در اين نقطه 1 )m(a ‏m(a)   5-1-11تعريف:8 بنابر ، 7-1-5مشتق تاب8ع fدر نقطه xبرابر است با )f (x  h)  f (x ‏f (x) lim ‏h 0 ‏h در اين رابطه h ،را ،که ممکن است مثبت يا منفی باشد ،نموّ متغير می ناميم و آن را با نماد نشان می دهيم.تفاضل ) f(x+h)-f(xرا نمو تابع fبه ازای می ناميم و با xيا ‏y ‏h نشان می دهيم .بناب8راين می ن8ويسيم ‏f 5-1-12نماد گذاری : ‏y ‏x 0 x ‏f (x) lim مشتق تابع ) y= f(xدر نقطه xرا با نمادهای ديگری نيز نشان می دهند ،مانند y=f(x) Q(x+h,f(x+h)) y P(x,f(x)) x h 0 x dy y , dx x+h , df dx y x D , وجه کنيد که نمادهای ‏dy و ‏dx ‏df کسر ‏dx نيستند .اين نمادها ‏y وDxنماد به معنای مش ) y=f(xنسبت به متغير xاند . :ت888ع8ري8ف5-1-13 فرض می کنيم معادله حرکت جسم Pدر روی محور ، OSبه صورت )S=S(t بيان شده است . ‏O ‏S ‏P سرعت متحرک pلحظه t =aبرابر است با )s(t)  s(a ‏V(a) S(a) lim ‏t a ‏t a ثا8ل5-1-14 ض کنيد ‏S(t) t3  2t2 معادله حرکت جسمی روی خط مستقيمی باشد .سرعت متحرک را در لحظه t =1به دست آوريد . 3 2 (t  2t )  3 ‏V(1) S(1) lim ‏t 1 ‏t 1 )(t2  3t  3)(t  1 ‏lim ‏t 1 ‏t 1 2 )lim (t  3t  3 ‏t 1 ‏7 ضيه زير رابطه مشتق پذيری تابع و پيوستگی آن را در يک نقطه بيان می کند ق88ضيه 5-1-15 ر تابع fدر نقطه x =aمشتق پذير باشد ،آنگاه در اين نقطه پيوسته است . ن88کته 5-1-17 وجه کنيد که عکس قضيه 15-1-5درست نيست .يعنی ممکن است تابعی ر نقطه ای پيوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذير نباشد .برای مثال ‏x 0 ‏x 0 ا در نظر بگيريد . ‏x ‏ ‏f (x)  x  ‏ x )limf (x) 0f (0 نتيجه می شود که تابع fدر x =0 ‏x 0 وسته است ،اما اين تابع در x =0مشتق پذير نيست ،زيرا داريم x 0 )f (x)  f (0 ‏lim ‏lim ‏x 0 ‏x 0 x  0 ‏x 0 ‏x ‏x ‏lim ‏x 0 ‏x 0 ‏1 ‏ ‏ ‏ 1 x 0 نون به تعريف مشتقهای يک طرفه يعنی ،مشتقهای چپ و راست تابع دريک قطه ،می پردازيم 8ع8ري8ف5-1-18 ض می کنيم ) y=f(xو aمتعلق به دامنه تابع fباشد .مشتقهای راست وچ ع fدر x =aرا به ترتيب با نمادهای )f (aو )f(aنشان می دهيم و به صورت تعريف می کنيم . )f (a  h)  f (a ‏f  (a) lim ‏h 0 ‏h )f (a  h)  f (a ‏f  (a) lim ‏h 0 ‏h روط بر اينکه اين حدها وجود داشته باشند .مشتقهای چپ وراســت را تقهای يک طرفه می ناميم . :ق88ضيه 5-1-19 )f (a موجود است اگر وتنها اگر) f (aو) f (aموجود ومساوی باشند . م8ثا8ل5-1-20 شان بدهيد که تابع ‏x 1 ‏x 1 ‏3x 1 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ ‏ در x =1پيوسته است ولی در ‏2x2  2 ين نقطه مشتق پذير نيست . حل داريم ‏lim ‏f (x)  lim (3x 1) 4 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 2 ‏lim ‏f ( ‏x ) ‏ ‏lim ( 2 ‏x ‏ 2) 4 ‏ ‏ ‏x 1 ز ‏x 1 )limf (x) 4 f (1 نتيجه می شود که fدر x =1پيوسته است .اکنون ‏x 1 مشتقهای راست و چپ fدر x =1را محاسبه می کنيم . f  (1) lim  h 0 f (1 h)  f (1) 3(1 h) 1 4 lim h 0 h h 3h lim lim 3 3   h 0 3 h 0 2 f (1 h)  f (1) 2(1 h)  2 4 f  (1) lim  lim   h 0 h 0 h h 2 2h  4h lim lim (2h  4) 4   h 0 h  0 1 f تابع19-1-5 پس بنابر قضيه، برابر نيستندx =1 درf تقهای راست و چپ . مشتق پذير نيستx =1 ت888ع8ري8ف5-1-22 بع fرا در بازۀ بسته [ ]a,bمشتق پذير می ناميم اگر ) fدر ب888ازۀ ب888از ( )a,bم8شتقپ888ذير ب888اشد . ) مشتقهای يک طرفه و )f (a )a وجو( fداشته باشند .  5-2-1قضيه : مشتق تابع ثابت f(x) =cکه درآن cعدد حقيقی ثابتی است ، برابر صفراست ، ‏f (x) 0 يعنی ق88ضيه 5-2-2 ع خطی f(x) =ax+bدرهر عدد حقيقی مشتق پذير است و داريم ‏f (x) a 88ضيه 5-2-4 ‏r ريم کهf (x ) x درآن rعددی حقيقی است 8،روی دامنه تابع fمشتق پذير است ‏f (x) rxr 1 :م8ثا8ل5-2-5 فرض کنيد f (x) ، f (x)  xرا به دست آوريد . حل چون داريم 1 2 f،(x)  2قضيه 4-2-5را به ازای 1 به  کار rمی بريم برای هرx>0 1 1 2 1 1  2 ‏f (x)  x  x 2 2 1 ‏ 2 x 1 1 2 ‏ 2x 88ضيه 5-2-7 توابع ) f(xو) g(xمشتق پذير باشند آنگاه ف) مجموع ) f(x)+g(xمشتق پذير است وداريم ) f (x)  g(x)  f (x)  g(x تفاضل ) f(x)-g(xمشتق پذير است وداريم ) f (x)  g(x)  f (x)  g(x ) برای هر عدد حقيقی ،kتابع) kf(kمشتق پذير است و داريم ) kf(x)  kf (x ت) حاصل ضرب ) f(x)g(xمشتق پذير است و داريم ) f (x)g(x)  f (x)g(x)  f (x)g(x ث) خارج قسمت )f (x ، )g(x )(g(x) 0مشتق پذير است و داريم ‏ ‏ f (x)  )f (x)g(x)  f (x)g(x ‏ g(x)   ‏ g(x) 2 ‏ ‏ ‏n ‏f ج) برای هر عدد طبيعی ، nتابع ) (xمشتق پذير است وداريم ‏n 1 )(x)f (x ‏ ‏f (x) nf ‏n ق88ضيه ت888اب8ع 8چ8ند ج8مله ا8ی5-2-8 ‏   an 1x  an ‏n 1 ‏n ‏p(x) a0x  a2x در تمام اعداد حقيقی مشتق پذير است و داريم ‏p(x) na0xn 1  (n  1)a1xn 2   an 1 8جيری 5-2-11 ) :ق88ضيه (ق88اعدۀ ز8ن اگر توابع ) y=f(uو ) u=g(xمشتق پذير باشند ، آنگاه تابع مرکب )y=(fog)(x)=f(g(x))=f(u مشتق پذير است و داريم ‏dy d ‏df du ‏ (fog)(x)   ‏dx dx ‏du dx ر رابطه باال ، ‏df duمعنای مشتق تابع fنسبت به به ‏du ‏dxو متغير u به معنای شتق uنسبت به xاست .اين رابطه را می توان به صورت زير نوشت ‏Dx y Duy Dx u  بهx را نسبت بهf مشتق تابع 3 ،u 2x  x  5 5-2-12ل8ثا8م f(وu) 2u4  3u2  7 رض کنيد . ست آوريد حل: بنابر قاعدۀ زنجيری داريم df df du   dx du dx از طرفی df d  (2u4  3u2  7) 8u3  6u dx du 3 3 3 8(2x  x  5)  6(2x  x  5) du d  (2x3  x  5) 6x2  1 dx dx در نتيجه به دست می آوريم ‏df ) 8(2x3  x  5)3  6(2x3  x  5) (6x2  1 ‏dx ‏ م8ثا8ل5-2-13 2 استفاده از قاعدۀ زنجيری مشتق تابع :حل قرار می دهيم ‏ ‏x 1 5 )(x) ( x3 1را fبه دست آوريد 2 ‏x 1 ‏ 3وu ‏x 1 5 ‏f (u) u .بنابر قاعدۀ زنجيری داريم df(x) df(u) du   dx du dx df(u) df(u5 ) x2 1 4 4  5u 5( 3 ) du du x 1 du 2x(x3 1)  3x2(x2 1)  x4  3x2  2x   3 dx (x 1) (x3 1)2 در نتيجه به دست می آوريم 2 4 2 df(x) x 1  x  3x  2x 5( 3 )4 ( ) 3 2 dx x 1 (x 1) 2 4 4 2 5(x 1) ( x  3x  2x)  3 6 (x 1) ن88تيجه 5-2-15 ‏r )u u=f(xوy  ابر قضيه 4-2-5وقاعدۀ زنجيری و با فرض ويای rخواهيم داشت )[f r (x)] rfr 1(x) f (x ،برای هر عدد م8شتقگ88يریض88منی5-2-17 ‏(x, y) y 4x  3x  5 تابع ff را ‏y آنگاه معادله ، 4x  3x  5 ر ه طور صريح تعريف می کند .ولی همه توابع به طور صريح به صورت ( y=fب888يانن88میش88وند .م8ثال ً م8ع8اد8ل8ه 2 )1 3 2 3 ‏F(x, y) x7  3x4y6  5y3x  4e2x y 0 نمی توان بر حسب yيا بر حسب xحل کرد . F(x,y)=0 ور ضمنی تعريف شده است اگر بخواهيم مشتق yنسبت به xرا بيابيم ،از ور ‏Fx ‏Fy ‏y f (x)  ‏Fy ‏FX بودن ، y مشتق تابع Fنسبت به xبا فرض ثابت اده می کنيم که در آن ق تابع Fنسبت به yبا فرض ثابت بودن xاست ؛ اين روش محاسبه مشتق ق گيری ضمنی می ناميم .به مثال زير توجه کنيد م8ثا8ل5-2-18 4 2 3 معادلهF(x, y) 2x  xy  y  3 ‏0 ابع ) y=f(xبه طور ضمنی توسط شده است f، (x) ،را محاسبه کنيد . بيان حل ‏FX مشتق Fنسبت به xبا فرض ثابت بودن yبرابر است با ‏FX 6x2  y2 006x2  y2 ‏Fy ، مشتق Fنسبت به yبا فرض ثابت بودن xبرابر است با ‏Fy 0 2xy  4y3 02xy  4y3 براين ،طبق 17-2-5داريم 6x2  y2 ‏f (x)  2xy  4y3 تق اين تابع را می توان به روش ديگری نيز محاسبه کرد .در اين روش از د ف تساوی 4 2 3 2x  xy  y  3 0 ت به xمشتق می گيريم ،و البته بايد توجه کنيم که مشتق yنسبت به x yبرابر .نتيجه می شود 6x2  y2  2xyy  4y3y 0 ه اخير را نسبت به حل می کنيم .به دست می آوريم 2 2 6x  y ‏y  2xy  4y3 هده می کنيم که نتيجه حاصل از دو روش يکسان است . م8شتقت888اب8ع 8س88ينوس5-3-1 ض می کنيم ، f(x)=sinxدر اين صورت مشتق تابع sinxبرابر cosxاست، ی ‏d (sin . x) cosx ‏dx 8عميم 5-3-2 ض می کنيم ) u=g(xتابع مشتق پذيری از xباشد و f(u)=sin u.با استفاده از دۀ زنجيری و 1-3-5به دست می آوريم ‏df(g(x)) df(u) du ‏ ‏ ‏dx ‏du dx ‏d(sinu) d(sinu) du ‏du ‏ ‏ cosu ‏dx ‏du dx ‏dx 3 f (x)، sin(5x  2x  1) . محاسبه کنيدx را نسبت بهf مشتق 5-3-3ل8ثا ض کنيد حل: 3 داريم2-3-5 بنابر. u 5x  2x  1قرار می دهيم df(x) d(sinu) du   dx du dx d cosu (5x3  2x  1) dx 3 2 cos(5x  2x  1) (15x  2)  :م8شتقت888اب8ع 8ک88سينوس5-3-4 فرض می کنيم (. cosx=)x در اين صورت ‏d (cosx)  sinx ‏dx عميم 5-3-5 u=g(xتابع مشتق پذيری از xو f(u)=cosuباشد با استفاده از قاعدۀ زنجير 4-3نتيجه می گيريم ‏d ‏du (cosu)  sinu ‏dx ‏dx 5-3-6ت8ن8انژا888 ت8ع8اب888شتقت tanx  می توان مشتق تابع تانژانت را به، sinx ستفاده از اتحاد مثلثاتی cosx ست آورد d d sinx (tanx)  ( ) dx dx cosx cosx cosx  ( sinx) sinx  2 cos x 2 2 cos x  sin x 1   2 2 cos x cos x sec2 x 1 tan2 x در نتيجه داريم d (tanx) 1 tan2 x sec2 x dx 88عميم 5-3-7 ) u=g(xتابع مشتق پذيری از xو f(u)=tanuباشد ،آنگاه با استفاده از -3-5 اعدۀ زنجيری به دست می آوريم ‏d ‏du )(tanu) (1 tan2 u ‏dx ‏dx ‏du 2 ‏sec u ‏dx  :ق88ضيه 5-5-1 الف) مشتق تابع f(x)=ln xکه ، x>0برابر است با ‏d 1 (lnx)  ‏dx ‏x ب) اگر u(x)>0تابع مشتق پذيری از xباشد آنگاه ‏d 1 du (lnu)   ‏dx ‏u dx م8شتقت888اب8ع 8ن88ماي8ی5-5-2 هرگاهy ‏ex ‏x ‏ ‏y ‏ ‏e آنگاه ‏به عبارت ديگر مشتق تابع ex برابربا خودش است. 88تيجه 5-5-4 ر ) u(xتابع مشتق پذيری از xباشد ،آنگاه بنابر 2-5-5و قاعدۀ زنجيری داريم )d u(x) du(x ‏e  ‏dx ‏dx 5-5-5ل8ثا8 م: 2 (ب)داريم1-5-5 آنگاه بنابر، y ln(3x  4x) الف)اگر 1 y  2 (6x  4) 3x  4x آنگاه، 1 y  (2sinx cosx) 2x 1 sin 2 y ln(1 sinاگر x) )ب sin2x  2 1 sin x آنگاه، y e3 tanx 3 tanx e d (3  tanx) dx 2 (1 tan x) 3 tanx y e پ) اگر x ق ت888اب8عa 5-5-7 8 م8شت : ض می کنيم ‏x ‏x ‏a ‏ 1 ‏a ‏y ‏ ‏a .برای محاسبه مشتق کهa>0 , ‏x از روش مشتق گيری ‏y ‏a طرف ريتمی استفاده می کنيم .به اين منظور از دو گيريم : لگاريتم طبيعی ‏x ‏lny lna x lna س از دو طرف رابطه اخير نسبت به xمشتق می گيريم .توجه کنيد که lna اری ثابت است .به دست می آوريم ‏y ‏lna ‏y يجه داريم ‏y y lna ax lna ‏d x (a ) ax lna ‏dx 88تيجه 5-5-8 7-5و قاعدۀ زنجيری نتيجه می شود که اگر ) u(xتابع مشتق پذيری از xباشه )d u(x ‏du ) u( x ‏a a lna ‏dx ‏dx 5-5-9مثال : 2 3x 5x الف) مشتق تابع y 2بنابر 8-5-5برابر است با ‏d 2 )ln2 (3x  5x ‏dx )ln2(6x  5 2 3x 5x 2 ‏y 2 3x 5x ‏2 cosx sinx برابر است با8-5-5 بنابرy 3 cosx sinx y 3 ln3 ب) مشتق تابع d (cosx  sinx) dx 3cosxsinx ln3( sinx  cosx)  (x) log 5-5-10 8ع8اب888شتقت8م a  (x)  ( x ) u ( x )  log تابع مشتق پذيری اختيار شود که در آنa اگر8-5-5 ر دستور به دست می آوريم، استx d loga( x ) d a lna (loga(x) ) dx dx ز طرفی با توجه به )(x ) loga ( x ‏aرابطه باال به صورت زير به دست می آيد ‏d ‏d ) )(x) (x) lna (loga(x ‏dx ‏dx ه از آن به دست می آوريم ‏d 1 )1 d(x (loga(x) )  ‏  ‏dx ‏(x) lna dx ن رابطه را می توانيم به صورت زير خالصه کنيم ‏d ‏(x) 1 ) (x (loga )  ‏ ‏dx ‏(x) lna  برابر است با10-5-5 بنابر 3 2 y log2 (x3  5x2  4) 5-5-11ل8ثا8م الف) مشتق تابع 2 (x  5x  4) 1 3x 10x 1 y  3    2 3 2 x  5x  4 ln2 x  5x  4 ln2 برابر است با10-5-5 بنابرy log3 (2 3cos2 x) (2 3cos2 x) 1  6sinx cosx 1 y     2 2 2 3cos x ln3 2 3cos x ln3 ب) مشتق تابع  :م8ثا8ل5-5-13 .مشتق 3 2 5x 2x ) y (4 x را محاسبه کنيد حل ز دو طرف معادله ،لگاريتم طبيعی می گيريم )lny (5x3  2x) ln(4 x2 دو طرف رابطه اخير نسبت به xمشتق می گيريم ‏y 2x 2 2 3 ‏(15x  2) ln(4 x )  ( 5 ‏x ) 2x 2 ‏y 4 x نتيجه ،مشتق تابع عبارت است از 2x 3 [(15x  2) ln(4 x )  ( 5 ‏x ]) 2x 2 4 x 2 2 3 2 5x 2x ) y (4 x  :ت888ع8ري8ف5-6-1 را فرض می کنيم تابع) y=f(xدر نقطه aمشتق )f (a پذير باشد . }) f (xوجوددارد A {x مــــشتق اول تابع f  f ‏f ‏a A در نقطه aمی ناميم .فرض می )(2 ‏f رویf (a) A تابعیf (a ) است .در ايــن صورت کنيم صـحبت کنيم .مشتق و می توانيم درمورد مشتق در نقطه )(4 )(3 )(n ‏f ( ‏a ) ‏f درنقطه aرا مشتق )(a ‏f ( ‏a ) يا دوم fدر نقطه aمی ناميم وبا نشان می دهيم .به همين ترتيب مشتقهای مرتبه های باالتر در )(n 1 ‏f )(x نقطه aرا درصورتی نشان می ... ، f (n) (a)،و که وجود داشته باشند با دهيم و آنها را بـه ترتيب مشتق های مرتبه سوم ،چهارم ... ،و n ام تابع در نقطه aمی گوييم .بنابراين برای هر عدد طبيعی ،nاگر وجود داشته باشد آن رامشتق nام تابع f مشتق اول تابع نشان می دهيم . می ناميم و با نماد 5-6-2 8ی ر گ88ذا 88ماد )(1 ف) گاهی راf با و ffرا با ) همان طور که را باf نماد )(0 ‏f نشان می دهند . ‏df ‏dx ‏ داديم ، fرا که نشان می 2 ‏dnf ‏d ‏f )(n ‏f نماد را با نشان می دهيم .به همين ترتيب ‏n 2 ‏dx ‏dx ) همچنان که يب با نمادهای ‏ را fبا ‏d df برابر ( ) ‏dx dx زير می توان نشان د ‏Dxf نشان می داديم ،f (3)،f (2)،و)f (n ‏n 3 2 ‏D وf ‏ ، ‏D ‏f،، ‏x ‏xf ‏xنشان داد . است را می تـوان به را محاسبه کنيد 2 5x 3 f (x) e 5x23 f (x) 10xe 5x23 f (x) (f (x)) 10e  sin(2x 1) مشتق های اول تا سوم تابع حل:  2cos(2x 1) 5x23 10x(10x)e 5x23 100e 5-6-3ل8ثا8م 2 5x23 100 xe  2(2) sin(2x 1)  4sin(2x 1) (3) f (x) (f (x)) 2 5x 3 10(10x)e 5x23 10xe 2 5x 3 100 (2x)e 2 2 100x (10x)e (3 10x )  8cos(2x 1) 2 5x 3  4(2) cos(2x 1)  :م8قدم8ه 5-7-1 فرض می کنيم ) y=f(xتابعی مشتق پذير باشد بنابر تعريف مشتق داريم )f (x  x)  f (x ‏y ‏lim ‏x 0 ‏x 0 x ‏x ‏f (x) lim بنابر تعريف حد به ازای هر  0عدد مثبتی مانند وجود دارد به طوری که ‏y ‏ f (x)   ‏x 0 x  0    يا ‏y  f (x)x 0 x    ‏ ‏x درy  ‏f (x)x مقايسه با ی کوچک باشد ، کوچک است .به عبارت ديگر x ‏x اگر به اندازۀ ‏f (x)x تقريب مناسبی برای yاست ،يعنی می توانيم بنويس ‏y f (x)x ‏f (x  x)  f (x) f (x)x اين ‏f (x  x) f (x)  f (x)x ‏f (x  x)  f (x) f (x)x  5-7تعريف : گاه تابع ) y=f(xمشتق پذير باشد ،ديفرانسيل yرابا dyنشان می دهيم وبارا ر تعريف می کنيم ‏dyf (x)x ي8فرا8ن8سيلم8تغير 5-7-3 ‏1و )f (x f(x)=xباشد ،آنگاه خواهيم داشت رابطه 2-7-5به صورت سادۀ درx میdxآيد .يعنی اگر xمتغير مستقل باشد ديفرانسيل xبا نمو xبرابــر هد بود .در نتيجه تعريف 2-7-5به صورت زير بيان می شود : ‏dy f (x)dx راين ،ديفرانسيل هرتابع مشتق پذير برابربا حاصل ضرب مشتق آن درديفران ر مستقل است . 5-7-4ل8ثا8م برابر است باy=ln (3x+4) ديفرانسيل تابع dy ydx  3 dx 3x  4 2 f (x) 3x  4x  7 x dx 0/1 با فرضx=0 نقطهyدر y f (x  x)  f (x) [3(x  x)2  4(x  x) 7 ]  [3x2  4x  7] 3(x)2  6xx  4x 5-7-5ل8ثا8 برای تابعراy dyو . اسبه کنيد حل : داريم ی هر x=0و ‏x 0 دست می آوريم به ‏y 3(0/1)2 0 4(0/1) 0/ 43 ن داريم ‏dy f (x)dx (6x  4)dx ی x=0و dx=0/1به دست می آوريم ‏y (6(0)  4)(0/1) 0/ 4 برای محاسبات تقريبی از مفهوم ديفرانسيل استفاده می شود .به مثالهای نيد .  5-7-6مثال : 4 ا استفاده از مفهوم ديفرانسيل مقدار 18 تقريبی :حل تابع را محاسبه کنيد (x) 4 xرا fدر نظر می گيريم .بنابر 1-7-5داريم )(1 ‏f (x  x) f (x)  f (x)x از طرفی داريم 1 4 3 1 4 1 ‏ ‏ ‏f (x) (x )  x  3 4 44 x .بنابراين ،رابطه ( )1به صورت زير در می آيد )(2 ‏x 3 44 x 4 ‏x  x  x  4 اکنون فرض می کنيم x=16و x 2از رابطه ( )2نتيجه می شود . 1 44 212 ‏2 2 44 163 18 4 16 4 1 ‏2 20/0625 16 ‏2/0625 م8ثا8ل5-7-7 با استفاده از مفهوم ديفرانسيل مقدار ‏sin 46 تقريبی را حساب کنيد  :حل فرض کنيد ،f(x)=sinxبنابر 1-7-5داريم ‏f (x  x) f (x)  f (x)x .پس ‏f (x) cosxو رابطه باال به صورت زير در می آيد ‏sin(x  x) sinx  cosx x ‏ 3/14 ‏ ‏x  کنيم1 x 45و x يعنی  .اکنون فرض می 180 180 به دست می آوريم 3/14 ‏sin(451) sin45  cos45  180 2 2 3/14 ‏  ‏ 2 2 180 ‏0/ 7071 ‏0/0123 ‏0/ 7194 راديان باشد فه8وم خ8طا 5-7-10 دازه گيريها معموال ً مقدار اندازه گيری شده با مقدار واقعي متفاوت است . ت را با ‏x نشان داده می شود ،اعم ز اينکه مثبت باشد يا منفی ،خطای مط ه گيری xمی ناميم .با معياری بانام خطای نسبی ،می توان دقت اندازه گ ر سنجيد .اين خطا که بيشتر به صورت در صد بيان می شود ،خطای درص صد خطا ناميده می شود .به تعريف زير توجه کنيد . 5-7-1تعريف : ‏du ‏u duمقدار خطايی باشد که در محاسبه uمر تکب شده ايم ،مقدار ای نسبی و ‏du ‏u 100خطای درصد يا درصد خطا می ناميم . را را ثا8ل5-7-12 ل ضلع مربعی با حداکثر خطای 0/05سانتی متر برابر 1/5سانتی متر زه گيری شده است .خطای نسبی و خطای درصد در محاسبه مساحت اين ع را محاسبه کنيد . :حل 2 فرض می کنيم xطول ضلع مربع و sمساحت مربعs x باشد .پس و.ds=2xdx بنابر فرض مسئله داريم dx=0/05و. x=5/1بنابراين ،خطای نسبی در محاسبه  ds 2xdx 2dx 2(0/05) 0/0196خطای نسبی است5با مساحت اين مربع برابر ‏s ‏x2 ‏x /1 ‏ds ) 1/96 100 100(0/0196خطای درصد ‏s ن با معرفی توابع چند متغيره به تعريف مشتقهای جزئی و ديفرانسيل کل تا پردازيم ت888ع8ري8ف5-7-16 کنون با توابعی سر وکار داشتيم که تنها به يک متغير وابسته بودند ،اين دس وابع را توابع يک متغيره می ناميم .در صورتی که تابعی به بيش از يک متغير ستگی داشته باشد ،آن ا تابع چند متغيره می گوييم برای مثال ،می دانيم که حجم يک مکعب مستطيل بستگی به ،طول ،عــرض و ارتفاع آن دارد .به عبارت ديگر ، Vحجم مکعب مستطيل ، تابعی از طول x .پسV f (x, y عرض yوارتفاع zآن است ), z از طرفی حجم مکعب مستطيل برابر حاصل ضرب طول ،عرض ، و ارتفاع آن است ،پس داريم ‏f(x,y,z)=xyz بنابراين ) ، f(x,y,zتابع حجم مکعب مستطيل ،يک تابع سه متغيره است . م8ثا8ل5-7-17 ض کنيد در زمان معينی تعداد توليدات کارخانه ای با xواحد نيروی کارو y حد سرمايه ،برابر 1 3 2 3 ‏f (x, y) 70x yباشد . ف ) با به کارگيری 27واحد نيروی کارو 8واحد سرمايه ،چند واحد محصول ليد می شود؟ ب ) نشان دهيد که اگر مقادير نيروی کار وسرمايه دو برابر شود ، تعداد توليدات .کارخانه نيز دو برابر خواهد شد حل ف) تعداد توليدات کارخانه به ازای 27واحد نيروی کار و 8واحد سرمايه بر ست با 2 1 ‏f (27,8) 70(27)3 (8)3 70(9)(2) 1260 ) مقدار توليد حاصل از به کار گيری aواحد نيروی کار و bواحد سرمايه برا 1 3 2 3 ‏f (a, b) 70 ‏a b قدار توليد حاصل از به کارگيری 2aواحد نيروی کار و 2bواحد سرمايه برابر f(2a,2ا8س8تو دار8ي8م 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 ‏f (2a,2b) 70(2a) (2b) 70(2) a (2) b 1 3 2 3 ‏ab 2 1 ‏ 3 3 )70(2 )2f (a, b ا8ل5-7-18 شنده يک نوع ماشين حسابگر الکترونيکی در می يابد که تحت شرايط خاصی د ماشينهای حسابگری که می تواند بفروشد از معادله ‏f(p,t)=-p+60t-0/02pt ست می آيد که در آن pقيمت يک ماشين حسابگر و tمبلغی به تومان است ف تبليغات می شود .اگر قيمت هر دستگاه ماشين حسابگر 1000تومان و تبليغات 250تومان باشد 8،فروشنده چند ماشين حسابگر می تواند بفروش حل داد ماشين حسابهايی که می تواند بفروشد برابر است با )=-)250()1000(0/02-)250(60+1000وf(1000250 م8شتقه8ایج8زئ8یت888اب8ع 8دو م8تغيره5-7-19 8 ض می کنيم )f(x,yيک تابع دو متغيره از متغيرهای xو yباشد،مشتق جزئی ع) f(x,yنسبت به متغير xبا نماد يا f x ‏f ‏x نشان می دهيم و برابر مشتق ) f(x,yن88سبتب888ه xت888ع8ري8فم8یک88نيم .ه8نگام8یک88ه yث888اب8تو )f(x,yت888نه8ا ت888اب8عیاز xدر ن88ظر گ88رف8ـــته ‏f ‏fy ‏x نشان می دهيم يا شود.مشتق جزئی تابع ) f(x,yنسبت به yرا با که بنابر تعريف برابر است با مشتق تابع ) f(x,yنسبت به yهنگامی که xثابت و)f(x,y تنها تابــعی از yفرض شود . م8ثا8ل5-7-20 فرض کنيد 2 3 ‏f ( ‏x , ‏y ) ‏ 3 ‏x ‏ 2 ‏xy ‏ 5 ‏y .مشتقهای جزئی fرا محاسبه کنيد . :حل مشتق جزئی fنسبت به xبرابر است با ‏f x 6x  2y 06x  2y مشتق جزئی fنسبت به yبرابر است با ‏f y 0 2x 15y2 2x 15y2  :م8ثا8ل5-7-22 ‏z ‏y ‏x .مشتق های جزئیf (x, y, z) ye  ze  xe را محاسبه کنيد :حل مشتق جزئی fنسبت متغير xبرابر است با ‏f y ex  zey 0ex  zey مشتق جزئی fنسبت به متغير zبرابراست با ‏fz 0 ey  xez ey  xez فصـل شـشم: دف کلی: کاربـردهای مشتـق دف کلی فصل اين است که با بعضی از کاربردهای مشتـق از جمله تعيـين وابع صعودی يانزولی،ماکسيموم ومينيموم نسبی و مطلق تابع،رسم نمودارتا عـرومحدب ونقطه عطف نمودار تابع ،وروش رفع ابهام از صورتهای مبهم ـدی آشـنا شويد. فهای رفتاری: شما انتظار مي رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: )1برای تابـع داده شده ،بازه هايي را که تابع در آنها صعـودی يا نـزولی است تعييـن کنيـد. )2نقـاط بحـرانی توابـع داده شده را تعييـن کنيـد. )3ماکسيـموم ومينيمـوم نسبی توابع داده شده را با استفاده از مشتق اول ودوم به دست آوريـد. آزمون های )4ماکسيـموم و مينيـموم مطلـق توابـع داده شـده را در بـازه های مورد نظـرتعييــن کنيـد. )5تقعر وتحدب ونقطه عطف احتمالی نمودارتابع داده شده را مشخص کنيد.  )7مجانبـهای مايل نمودار تابـع داده شده را در صورت وجود تعييـن کنيـد. ) 8محـور های تقـارن ومرکز تقـارن نمودار تابـع داده شده را،در صورت وجود ،تعييـن کنيـد. )9نمـودار توابـع داده شـده را رسم کنيـد. )10از صورتــهای مبهم حــدی داده شده رفـع ابهام کنيـد. )11قضيه هوپيتال را در حالت های مختلف توضيح بدهيد ودر مسائل مربوط به کار ببريد. دمه: فصل پنجم با برخی از کاربرد های مشتق آشنا شديم.در اين فصل کاربردهای ری از مشتق را در تعيين بازه های صعودی ونزولی،نقاط ماکسيموم ومينيمو ر وتحدب نمودار تابع8،ودر رفع ابهام از صورتهای مبهم بيان مي کنيم. 6-1-1قضيـه(آزمـون يکنوايي): فرض مي کنيم تابع fدربازه [4]a¸bپيوسته و در بازه ( )a,bمشتق پذير باشند. )1اگر برای هر داشته باشيم ،f (x)  0آنگاه fصعودی است. )2اگر برای هر ) x (a,bداشته باشيم ،f (x)  0آنگاه ،fنزولی است. 6-1-2مثال: تابع f (x) 3x2  5را روی Rدر نظر بگيريد.تعيين کنيد fروی چه بازه هايی صعودی وروی چه بازه هايی نزولی است. حل: ‏(x)  0 روشن است که برای هرx> 0 ،داريم f چون f (x) 6x وبرای ‏R ‏f (x) 0 .پس fروی هر x<0داريم ‏f (x) 0 است.توجه کنيد که به ازای x=0داريم جدول زير خالصه کنيم: + صعودي ‏0 ‏R صعودی وروی ‏ نزولی .مطالب باال را می توانيم در )(x ‏f ‏ 0 نزولي ‏  )f(x مثال: نقاط بحرانی توابع الف) f (x) 2x3  4 حل: 2 2 ‏ 6 ‏x ‏0 x 0 ‏ ‏f (x) 6x 0 الف) ب) ب) f (x) x3  3x2  2را تعييـن کنيـد. ‏x 0 , x  2 ‏f (x) 3x2  6x 0 6-1-نتيجه: وجه به قضيه -1-1-6وتعریف 4-1-6برای تعيين بازه هايي که تابع وی آنها صعودی و يا نزولی است ،بايد نقاط بحرانی تابع )f(xرا به دست ردو عالمت )f (x راتعيين کرد.  6-2تعريف:می گوييم تابع fدر x=cيک ماکسيموم نسبی ياماکسيموم موضع د.اگربرای هر xازبازه بازی که شامل cباشد داشته باشيم )f (c) f (x شکلهای 1-6و 2-6نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در c ماکسيموم نسبی ‏ ‏ دارند. ‏ ‏ ‏C ‏ ‏ ‏ ‏ ‏C  6-2-2تعريف: می گوييـم تابع fدر x=cيک مينيمـوم نسبـی يا مينيموم موضعی دارد.اگر برای هر xاز بازه بازی که شامل cباشد داشته باشيم )f (c) f (x شکلهای 3-6و 4-6نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در cمينيموم نسبی ‏ ‏ دارند ‏ ‏C ‏ شکل 3-6 ‏ ‏C ‏ شکل 4-6 ‏  6-2-6تعبيـر هند ســی نقاط اکسترمـوم: ير هندسی قضيه 4-2-6اين است که اگر تابع fدر cمشتق پذير باشد و اين نقطه اکسترموم نسبی داشته باشد ،آنگاه مماس بر) y=f(xدر نقطه )c,f(cافقی است .به شکل 5-6توجه کنيد. (y= f ) c,f(c خط مماس ‏c شکل 5-6 6-2 تذکر:عکس قضيه 4-2-6درست نيست 8،يعنی تابعی مانند fوجود د به طوری که )(x بهf ازای مقاديری از xصفراست ولی اين تابع دراين نقا کنيد f (x) (x کسيموم يا مينيموم نسبی ندارد.برای مثال فرض  1)3 .داريم ‏f (x) 3(x  1)2 معادله ‏f (x) 0 نتيجه می شود ، x=1پس. f (1) 0اما به ازای ، x<1 م f(x)<0وبه ازای x>1داريم . f(x)>0درنتيجه fدر x=1نه ماکسيموم نس د و نه مينيموم نسبی .  6-2نکته:ممکن است تابعی در نقطه ای اکسترموم نسبی داشته باشد ا ن نقطه مشتق پذير نباشد .برای مثال فرض کنيد ‏x 2 ‏x 2 ‏3x  2 ‏f (x)  ‏ 6 x داراين تابع درشکل 6-6رسم شده است. ‏fدر x=2ماکسيموم نسبی دارد 8،اما چون f  (2) 3و f  (2)  1 نتيجه ‏ )f (2 وجود ندارد. ‏ 6 ‏ 2 ‏ 0 است،  6-2-نتيجه: ض می کنيم تابع fدر نقطه cتعريف شده باشد،شرط الزم برای اينکه تابع در نقطه cاکسترموم نسبی داشته باشد اين است که cيک نقطه بحرانی ع fباشد،به عبارت ديگر يا(f  ‏c) 0 )f (cموجود نباشد. 6-2-10قضيه (آزمون مشتق اول برای اکسترموم های نسبی): فرض می کنيم تابع fدر بازه بازی از نقطه بحرانی cمانند ( )a,bپيوسته باشد و در )(x تمام fنقاط آن جز احتماال ً در cمشتق پذير باشد. )1اگر در بازه باز( )a,cمثبـت ودربازه باز( )a,bمنفـی باشد  )2اگر) f (xدربازه باز( )a,cمنفـی و دربازه باز( )c,bمثبـت باشد آنگــاه ‏F در x=cي88کم8ينيمـوم ن88سبـیدارد. )3اگر هيـچ کدام از( )1و( )2برقـرار نباشـد،آنگــاه fدرx=c ماکسيمـوم يا مينيمــوم نسبـی ندارد. 6-2-1مثال: ستفاده ازآزمون مشتق اول،ماکسيموم و مينيموم نسبی تابع 1 3 5 2 ‏f ( ‏x ) ‏ x  x  6x  12را بدست آوريد. 3 2 حل: ‏ 6باf (x)  x2  5x مشتق اين تابع برابراست ‏f (x)  0 معادله ريشه های عبارت اند از x=2و. x=3بنابراين 2و3 نقاط بحرانی تابع fاند. نقاط بحرانی تابع را درجدول قرارمی دهيم وآزمون مشتق اول را به کارمی بريم. 33 50 ‏f (3 تابعوبه )  نسبیf (2 ) ترتيب نتيجه می گيريم مقاديرماکسيموم ومينيموم 2 3 عبارتند از: ‏x ‏ 0 + صعودي ‏ 0 نزولي مينيموم نسبي ‏ + ) (x ‏f صعودي ‏ )f (x ماکسيموم نسبي 6-2-1قضيه(آزمون مشتق دوم برای اکسترموم های نسبی): رض می کنيـم cيک نقطه بحـرانی تابـع fباشد و .f (0) 0همچـنين ـرض می کنيــم ‏f درو f  بـازه بـازی شامـل cوجـود شـته باشـند. ) اگر ) اگر ‏f (c)  0 ،آنگــاه fدر cماکسيــموم نسبـی دارد. ‏f (c)  0 ،آنگــاه fدر cمينيــموم نسبـی دارد.  6-2-18مثال: 3 2 ‏f ( ‏x ) ‏ ‏x ‏ 6 ‏x کنيد 9x  فرض 3 .با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکسيـموم ل: و مينيـموم نسبی تابـع fرا به دست آوريـد. شتق اول تابع fبرابر است با: ‏f (x) 3x2  12x  9 شه های معادله f (x) 0عبارت اند از x=1و. x=3بنابراين 1و 3نقـاط حـرانی تابع fاند.مشتـق دوم اين تابـع برابر است باf (x) 6x  12: قادير تابع ‏ در1fو 3عبارت اند از: ‏f (x) 6  12 6  0 ‏f (x) 6(3)  126  0 يجه بنابر آزمون مشتق دوم ،اين تابع در x=1ماکسيـموم نسبی ودرx=3 موم نسبی دارد .مقادير ماکسيمـوم ومينيمـوم نسبی عبارت اند از: ‏f(3 ‏f(1)=7 , 6-2-19نکته: باشيمf (c) f  اگر در مورد تابع fداشته (c) 0 ،آزمون مشتق دوم اطالعاتی از ماکسيموم نسبی يا مينيموم نسبی بودن cبه دست نمی دهد. در چنين مواردی بايد از آزمون مشتق اول استفاده کرد. .مشتق های اول ودوم کنيمf (x) (x  2 برای مثال ،فرض می)4  1 fعبارت اند ازf (x) 4(x  2)3 : ‏f (x) 12(x  2)2 از f (x) 0نتيجه مـی شود .x=2پس 2نقطه بحرانی تابع f است.ازطرفـی داريـم . f (2) f (2) 0برای تعيين ماکسيموم يا مينيموم نسبی تابع بـايد ازآزمون مشتق اول استفاده کرد. ‏x )f(x 0 صعودي مينيموم نسبي نزولي ) f (x تابع fدر x=2مينيموم نسبی دارد.مقدار اين مينيموم برابر است با: ‏f(2)=1 نمودار تابع fدر شکل 10-6رسم شده است. ‏ ‏f (x) (x  2)4  1 ‏ ‏      ‏1 ‏x ‏ 1 2 ‏  6-2-2تعريف: ع fواعداد cو dرا دردامنه تابع fدرنظر می گيريم. ف)) f(cرا ماکسيموم مطلق تابع fروی دامنه اش می ناميم،اگر برای هر x دامنه تابع fداشته باشيم: )f (c) f(x ) ) f(dرا مينيموم مطلق تابع fروی دامنه اش می ناميم،در صورتی که برای ر xاز دامنه تابع fداشته باشيم: )f (d)  f (x کسيموم مطلق يا مينيموم مطلق تابع را اکسترموم مطلق تابع نيز می گويي جه کنيد که می توان تابعی مانند fبا دامنه Iيافت که fروی Iاکسترموم ق نداشته باشد.ولی اگر fو Iدارای شرايط خاصی باشند،آنگاه تابع fروی I ی اکسترموم مطلق خواهد بود. يه زير اين شرايط را معرفی می کند.ازاثبات اين قضيه صرف نظر می کنيم 6-2-2قضيه: تابع fدر بازه بسته []a¸bپيوسته باشد،آنگاه fروی اينبازه دارای ماکسيموم يموم مطلق است. ش تعيين اکسترموم های مطلق تابع: عيين ماکسيموم ومينيموممطلق تابع fروی بازه بسته [، 4]a¸bدرصورتی که ز8ه ب888از( )a,bم8شتقپ888ذير ب888اشد،ا8ب8تدا ب888ه ک88مکآز8مونم8شتقاو8لي88ا آز8مونم اکسيموم و مينيموم هاینسبـی اين تابع را دربازه داده شده به دست می آور مقادير) f(aو) f(bرا محاسبه وآنها را با ماکسيموم ومينيموم های نسبی تاب ه می کنيم. رين اين مقادير،مينيموم مطلق و بزرگترين آنها ماکسيموم مطلق تابع fخو مثال زير در اين مورد توجه کنيد. 6-2-2مثال: 3 2 کسيموم ومينيموم مطلق تابع f (x) 2x  9x  12xرا دربازه بسته [ 4]3¸0به ست آوريد. ل: شتق تابع fبرابر است با: ‏f (x) 6x2  18x  12 ‏f (x) 0عبارت اند از x=1و، x=2وبنابراين 1و 2نقاط شه های معادله حرانی تابع اند. نون آزمون مشتق اول را به کار می بريم وجدول زيررا تشکيل می دهيم. ‏x ‏ 0 0 + صعودي 0 نزولي مينيموم نسبي + صعودي ماکسيموم نسبي ) (x ‏f )f ( x ‏ دول ديده می شود که fدر x=1ماکسيموم نسبی و در x=2مينيموم نسبی ديراين ماکسيموم ومينيموم نسبی به ترتيب برابرند با: )f(1 )f(2 دير تابع درنقاط 0و 3برابرند با: ‏f(0)=0 , )f(3 راين داريم: )f(0)=0 , f(1)=5 , f(2)=4 , f(3 ر نتيجه f(0)=0مينيموم مطلق و f(3)=9ماکسيموم مطلق تابع fاست.  6تعريف:نمودارتابع ) y=f(xرا درنقطه () )a,f(aمقعرمی ناميم هرگاهموجود(f  )a باشد. مودار تابع fدربازه بازی شامل x=aدرباالی خط مماس برنمودار دراين ه قرارگيرد. ل 11-6بخشی از نمودار يک تابع را که در نقطه Mمقعـراست نشـان دهد. ())a,f(a ‏M ‏a اگرنمـودار تابع fدر هرنقطـه ازبازه Iمقعـرباشد،می گوييـم نمـودارf روی بازه Iمقعـر است.  6-3تعريف: دارتابع ) y=f(xرا در نقطه () )a,f(aمحدب می ناميم اگر: )(a موجودf باشد. نمودارتابع fدربازه بازی شامل x=aدرپايين خط مماس بر مودار در اين نقطـه واقـع شود. ‏y ())a,f(a ‏N شکل 12-6بخشی از نمودار )f(a يک تابع را نشان مـي دهد، که درنقطه Nمحـدب است. ‏x ‏a شکل 12-6 ‏o گرنمودارتابع fدرهرنقطه ازبازه Iمحدب باشد،می گوييم نمـودار fروی ازه Iمحدب است. ضيه زيرآزمونی برای تعيين تقعـرو تحدب يک منحنی به دست می دهد. ز اثبات اين قضيـه صرف نظر می شـود. 6-3-قضيه: رض می کنيم تابع fروی بازه بازی شامل x=cدارای مشتقهای اول و م باشد. ‏f (c)  0 )1اگر )2اگرf (c)  0 است. ،آنگاه نمودار fدرنقطه () )c,f(cمقعــر است. ،آنگاه نمودار fدر نقطه () )c,f(cمحـدب  6-3-4مثال: درچه بازه ای محـدب و ‏f (x)  x4  2x3  نمودارتابع ‏x2 تعيين کنيد درچه بازه ای مقعــر است. حل: مشتقهای اول ودوم تابع برابر است با ‏f (x) 4x3  6x2  2x ‏f (x) 12x2  12x  2 3 3 ريشه های f (x) 0عبارت اند از 6 3 3 6 ‏ ‏ ‏o مقعر و 3 3 6 3 . 3 ‏  6 ‏ محدب ‏o ‏x ‏ )f (x مقعر )f (x ) بنابراين،نمـودار fدربـازه دربازه 3 3 3 3 6 , 6 6-3تعريف: 3 3 3 3 ( ,و ),   ) های 6 6 ( مقعـر و ( محـدب است. ه () )a,f(aرا نقطه عطف نمودارتابع fمی ناميم اگر موجود(f  )a باشد. ازه بازی شامل aوجود داشته باشد به گونه ای که به ازای هر xازاين بازه ) اگر x>aآنگــاه واگر(f  ‏x)  0 x<aآنگــاه ‏f (x.)  0 اگر x>aآنگــاه واگر(f  ‏x)  0 x<aآنگــاه ‏f (x).  0 شکلهای 13-6و 14-6بخشی ازنمودارتابـعی را نشان می دهند که Aيک نقطه عطف آن است. ‏y ‏y ‏A ‏x ‏a شکل 14-6 )f(a ‏o )f(a ‏x ‏a شکل 13-6 ‏o  6-3-8مثال: بازه هـايی را که نمودارتابـع ‏f (x) 2x3  3x2  7x  1 در آنها مقعر يا محـدب است تعيين کنيد.نقاط عطف نمـودارتابع را نيزبه دست آوريد. حل: ‏f (x) 6x2  6x  7 مشتقهای اول ودوم تابع برابراست با: ‏f (x) 12x  6 1 ريشه معادله f (x) 0عبارت است ازx  2 ‏ ‏ مقعر . 1 2 ‏ ‏o ‏ ‏ محدب نقطه عطف ‏x )f (x )f (x 1 1 ودربازه( ,   ) بنابراين ،نمودارتابع دربازه ) ( ,  2محـدب 2 نقطه مقعراست. 1 ( ) , 5نقطـه عطـف نمودارتـابع است. 2 6-3-1قضيه: ض می کنيم تابع fدربازه بازی شامل aمشتق پذيرو() )a,f(aنقطه عطف ودار تابع fباشد.اگر )f (a موجود باشد آنگاه f (a) 0 6-3-13روش تعيين نقاط عطف نمودار تابع: رای تعيين نقاط عطف احتمالی نمودارتابع ، fبايد xهايی ازدامنه تابـع را ررسی کنيم که به ازای آنها لف) ب) ‏f .(x) 0 )f (x وجود نداشته باشد.  6-4-1مقدمه: راين بخش ابتدا خالصه ای ازمفاهيم مجانب ومحورتقارن ومرکزتقارن را ادآوری می کنيم وسپس روش رسم نمـودارتوابع را توضيـح می دهيم. 6-4-2تعريف: تابع ) y=f(xرا درنظرمی گيريم .اگرتابع fهنگامیaکهx  ‏ aبهx يا نمودار fمی ناميم. ‏درتابع )p(x )g(x ‏يا  ‏ ‏x ‏a يا ‏  ميل کند،آنگاه خط x=aرا مجانب قائـم ‏f (x)  ،اگرصورت ومخرج عامل مشترکی نداشته باشند،مجانب ائم نمودار fازحل معادله q(x)=0به دست می آيد.  6-4-3مثال: ‏x 3 ‏f (x)  2 مجانبهای قائم تابع )(x  1)(x  2 را تعيين کنيد. حل: 2 ريشه های معـادله (x  1)(x  2) 0عبارت اند از.-2، -1 ،1درنتيجـه بنابـر تعريـف 2-4-6مجانبـهای قائم نمودار fعبارت اند ازخـط های ‏x 1, x  1, x 2 6-4-5تعريف: که x هنگامی  ‏ تابع ) y=f(xرا درنظرمی گيريم.اگرحــد تابع f يا ‏x   مسـاوی عـدد حـقيقی bباشد ،آنگـاه ،خط y=bرا مجانب افقی را 4x2  3x  1 f (x)  2 مجانب افقی نمودارتابع:مثال 2x  5x  7 6-4-6 .تعيين کنيد 4x2  3x  1 lim f (x)  lim 2 x  x  2x  5x  7 :حل داريم 3 1  2 4 x x  lim  2 x  5 7 2 2  2 x x 4 4x2  3x  1 lim f (x)  lim 2 2 x  x  2x  5x  7 . استf مجانب افقی نمودارy=2 خط، 5-4-6 بنابرتعريف، درنتيجه  6-4-8تعريف: تابع ) y=f(xرا در نظر مي گيريم.اگر حد تابع fوقتیکهx  به ‏ يا ‏ياx  ‏  ميل کند،ممـکن است نمــودارتابع fدارای خط مجانـب مايلی با معادله y=ax+bباشد. برای تعييـن اين خط مجانـب مايل به يکی از دو روش زير عمل می کنيـم. )f (x ‏lim را محاسبه می کنيم وآن را aمی )(f (x)  ax ناميم.سپس )1ابتدا ‏x  x ‏x  ‏lim را محاسبه می کنيم وآن را bمی ناميم.معادله y=ax+b معادله خط مجانـب مايـل نمودار fاست. حالت نيزکامال ً مشابه حالتx   ‏x   است. )p(x )2درمورد تابع گويای f (x)  )q(x بيشتراز ،اگردرجه تابع صورت يک واحد ِ درجه تابـع مخرج باشد ،از تقسيـم کردن صورت بر مخرج به دست مي آوريم. )r(x )q(x ‏y ax b  که درآن درجه ) r(xاز درجه ) q(xکمتـر است.دراين صورت معادلـه y=ax+bم8ع8اد8ل8ه خ8ط م8جان8بم8اي8لن88مودار fخ8وا8هد ب888ود.  6-4-12تعريف: معادله f(x,y)=0را درنظرمی گيريم. )1اگربا تبديل yبه ( )y -معادله تغييرنکند ،محور xها محورتقـارن نمودارمعاد 8ت f(x,y)=0ا8س . )2اگربا تبديل xبه – ))xمعادله تغيير نکند ،محور yها محورتقارن نمودارمعاد 8ت f(x,y)=0ا8س . )3اگربا تبديل xبه yو yبه xمعادله تغييرنکند ،خط y=xمحورتقارن نمـودا معادله f(x,y)=0است.  )4اگربا تبديل xبه ( )x -و yبه ( )y -معادله تغييرنکند ،مبدأ مختصات مرکزتق مودار معادله ) f(x,yاست. )5خط x=aمحورتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (2a  x, y) f (x, y )6خط y=bمحورتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (x,2b  y) f (x, y )7نقطه ( )a,bمرکزتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (2a  x , 2b  y) f (x, y  6-4-13مثال: 2 معادله2x  y الف) با تبديل yبه (1 )y - تغييرنمی کند 8،زيرا: 2x  ( y)2 2x  y2 1 پس محـور xهامحـورتقارن نمـودارمعادله است. معادلهy 2x2 ب) با تبديـل xبه ( 5 )x - تغييـرنمی کند ،زيرا: 2( x)2  5 2x2  5  y درنتيجه محـور yها محور تقارن نمــودار معادله است. معادلهxy پ) با تبديل xبه yو yبه 3 x زيـرا ‏yx  xy 3 تغييـرنمی کند بنابراين ،خط y  xمحورتقــارن نمـودار معادله است. ت) با تبديل xبه ( )x -و yبه(y  x3 )y - معادله زيرا از تغيير نمی کند ‏ y ( x)3  x3 ‏y x3 نتيجه می شود نمودارمعادله است. ،درنتيجه مبدأ مختصات مرکزتقارن  b است زيراf (x) ax  bx cمحـورتقارن نمـودارx  2a b b b f (  x) a(  x)2  b(  x)  c a a a 2 ث) خـط b2 b b2 2 a( 2  2 x  x )   bx  c a a a ax2  bx  c يعنی نقطـه، y f (x)  ax b ج) محل تالقی مجانبهای قائم وافقی نمودار cx  d d a ( , ) : است زيراf مرکزتقارن نمودار، c c  2d  x)  b  2d c f(  x)   2d c c(  x)  d c a(   2ad acx bc  2cd c2x  cd 2ad acx bc  c(cx d) 2ad 2acx acx bc  c(cx d) 2a(cx d)  c(ax b)  c(cx d) 2a ax b   c cx d 2a   f (x) c 2a   y c  6-4-15رسم نمودار توابع (معادله))f (x, y ‏0 برای رسم نمودار تابع صريح ) y f (xيا تابع ضمنی ، به ترتيب زيرعمـل می کنيم. )1دامنه تابع را تعيين می کنيـم. محورهای تقارن ومرکزتقارن نمودارتابع را درصورت وجود به دست می آو )3مجانبهای نمودار تابع را درصورت وجود تعييـن می کنيـم. ) بازه هايی را که نمودارتابع درآنها صعودی يا نزولی است تعيين می کنيم. نقاط اکسترموم ماکسيموم ومينيموم نسبی ومطلق تابع را به دست می آور )6نقاط عطف نمودارتابع را درصورت وجود پيدا می کنيم. ) بازه هايی را که نمودارتابع درآنها مقعريا محدب است تعييـن می کنيم. )8اطالعات حاصل را دريک جدول می نويسيم. )9با اختيـارکردن چند نقطه دلبخـواه (کمکی) از تابـع ،منحـنی همـواری از نقـاط به دست آمده رسـم می کنيـم.  6-4-14مثال: نمودار تابعf (x)  x3  5x2  3x  4 را رسم کنيد. حل: مشتقهای اول ودوم تابع fبرابرند با ‏f (x) 3x2  10x  3 ‏f (x) 6x  10 1 از f (x) 0نتيجه می شود x و x  3 3 5 از f (x) 0نتيجه می شود x  3 . . 1 3 ‏ 5 3 ‏ ‏ ‏ ‏ صعودی مقع8ر نزولی مقع8ر مينيموم نسبی ‏ 121 27 ‏ ‏o ‏ ‏ ‏o ‏3 ‏ ‏o ‏ ‏ )f (x ‏ )f (x نزولی محدب صعودی محدب نقطه عطف 7 27 ماکسيموم نسبی 5 ‏x )f (x y 5 o x 5515-6 شکل  6-4-17مثال: 1 نمودار تابع f (x) 9x  ‏x را رسم کنيد. حل: 1 9x2  1 ‏f (x) 9 2  ‏x ‏x2 2 ‏f (x)  3 ‏x مشتقهای اول و دوم تابع fبرابرند با: 1 3 ‏ ‏ ‏ ‏o 1 3 ‏o ‏ وجود ندارد ‏ وجود ندارد ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏o ‏ ‏x )f (x )f (x صعودی ومقعر نزولی و محدبنزولی و محدبصعودی ومحدب )f (x مينيموم نسبی ماکسيموم نسبی 1 روشن است که خط y 9xمجانب مايل نمودارy 9x  ‏x ازطرفی داريم 1 )  ‏x ‏lim ‏f (x)  lim (9x  ‏ ‏ 1 )  ‏x ‏lim ‏f (x)  lim (9x  ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 ‏x 0 ‏x 0 پس x=0يعنی محور yها مجانب قائم نمودار fاست. است. y y 9x 1 ( , 6) 3 o 1 ( ,  6) 3 16-6 شکل x  6-4-18مثال: ‏3(x  2)2 x 2 ‏f (x)  نمودار تابع 3 ( 2 ‏ ‏x ) ‏x ‏ 2 ‏ را رسم کنيد. حل: مشتقهای اول و دوم fبرابرند با ‏ 6(x  2) x  2 ‏f (x)  2 ‏ 3 ( 2 ‏ ‏x ) ‏x 2 ‏ ‏x 2 ‏ 6 ‏f (x)  ‏6(2 x) x  2 ز بهf (x ) 0 دست می آوريم . x=2مشتقهای چپ وراست fدر 2برابرند با ‏f  (2) ،0 دارد ولی ‏f  (2) 0 بنابـراين )(x در 2f وجود ندارد زيرا ‏f (2) 0 ،يعنی تابـع ‏f در 2وجـود f (2) 0و .f (2) 6 2 ‏ ‏x ‏  ‏ وجود ندارد ‏ )f (x ‏ ‏o ‏ )f (x مقع8ر و نزولی )f (x محدب و نزولی نقطه عطف برای رسم دقيق نمودارتابع، 120 3 از چـند نقطـه دلبـخواه ((3,-1(، (3,1(، (0,12 کمک گرفتيم. 3 شکل 17-6 1 2 ‏o  6-5-1مقدمه: ممـکن است هنـگام محاسـبه حد بعضـی ازتوابـع با صـورتهـايی ‏ 0 ‏ 0 0 1 و ‏ ، 0 ، ‏ ‏ ‏ ، 0 ‏ ‏ ، ، مواجـه شويم.اين صورتـهارا مانند ‏ 0 صورتهای مبهـم يا نامعيـن می ناميم.دراين بخش باروش رفع ابهام از اين صورتهای مبهـم آشنا می شويـم. 6-5-2تعريف: باشيم limf (x) و limg(x) 0 0 اگردرمورد توابع fو gداشته ‏x a ‏x a 0 )f (x درمی آيد.برای رفع ابهام ازاين صورت ‏limصورت مبهـم به )x a g(x 0 ،آنـگاه مبهـم ،قضيه زيررا به کارمی بريم.  6-5-3قضيه (قاعده هوپيتال):فرض می کنيم توابع fو gدربازه بازی شامـل نقطه aمانند ، Iجزاحتماال ً درخود ، aمشتـق پذيـر باشنـد. همچنين فرض می کنيم به ازای هرx a دراين صورت ،اگر باشيمg(x در Iداشته ) 0 limf (x) 0وlimg(x) 0 ،اگر ‏x a ‏x a داشته باشد آنگاه: )f (x )f (x ‏lim ‏lim )x a g(x )x a g(x )f (x ‏lim وجـود )x a g(x .  6-5-4مثال: ‏x2  2x  3 limرا محاسبه کنيد. حـد ‏x 1 2x2  3x  5 حل: چون ‏lim(2x2  3x  5) 0 ‏x 1 ‏lim(x2  2x  3) 0 , ‏x 1 وشرايط قضيه 2-5-6نيز برقراراست،می توانيم قاعده هوپيتـال را به کار ببريم: ‏x2  2x  3 2x  2 4 ‏lim 2 ‏lim ‏ ‏x 1 2x  3x  5 ‏x 1 4x  3 7  6-5-9قضيه (قاعده هوپيتـال): فرض می کنيـم دو تابع fو gبه ازای هر، x>Nکه Nعدد ثابت مثبتی است، مشتـق پـذيرباشند .کنيم برای هر x>Nداشتـهg(x) 0 عالوه فرض می به .درايـن بـاشيم lim f (x) 0و lim g(x) 0 صورت اگر آنگاه: ‏x  ‏x  )f (x ‏lim )x  g(x واگر )f (x )f (x ‏lim ‏ lim )x  g(x )x  g(x قضيه در حالتی که x   نيز برقـرار است. موجود باشد : مثال6-5-10 3 محاسبه8،را درصورت وجود   sin  x  lim حـد x  2 .کنيد x :حل  2  3 0 وlim sin  0 چون : داريم9-5-6 بنابرقضيه، xlim   x  x     x  3 3 3 3 3 cos  2 cos sin  x  3 x x x lim  lim  lim  x  x  x  2 2 2 2  2 x x  6-5-12صورت ‏ مبهم ‏ : ‏ اگردرمورد توابع fو gداشته باشيـم ‏ limf (x) و ، limg(x) آنگاه )f (x ‏lim ‏x a ‏x a )x a g(x به صورت مبهم درمی آيد.برای رفع ابهام ازاينگونه صورتهاي مبهم از قضيـه زير استفاده مي کنيم.  6-5-13قضيه(قاعده هوپيتال): فرض می کنيم توابع fو gدربازه بازی شامل نقطه aمانند ، Iجزاحتماال ً در باشيمg(x)  0 مشتـق پذيرباشند وبه ازای هر x aدر Iداشـته صورت اگر: limf (x) وlimg(x)  واگر ‏x a ‏x a باشد ،آنگاه: )f (x )f (x ‏lim ‏lim )x a g(x )x a g(x .درايـن )f (x ‏lim وجود داشته )x a g(x ضيه درحالتی که همه حدها ،حدهای راست يا حدهای چپ باشند نيزبرقراراس  6-5-16قضيه(قاعده هوپيتال): فرض می کنيم توابع fو gبه ازای هر x>Nکه Nعدد ثابت مثبتی است، باشيم )g(x ‏0 مشتق پذيرباشند وبه ازای هر x>Nداشته گر lim f (x) وlim g(x)  واگر ‏x  ‏x  .دراين صورت )f (x ‏xlimموجود باشد آنگاه: )  g(x )f (x )f (x ‏ lim )x  g(x )x  g(x ‏lim قضيه درحالتی که x  نيز برقرار است. : مثال6-5-17 2x2  3x  4 را درصورت وجودxlim   ex  5x حـد .بيابيد :حل (ex  5x)  وlim(2x2  3x  4)  چون با استفاده ازxlim   x  .قاعده هوپيتال به دست می آوريم 2x2  3x  4 4x  3 lim x  lim x x  x  e  5 e  5x اما چون lim 4x  3 و ، lim(ex  5x) يک بارديگرازقاعده ‏x  ‏x  هوپيتال استفاده می کنيم،خواهيم داشت: 4x  3 4 ‏ ‏lim ‏0 ‏x ‏x ‏x  e  5 ‏x  e ‏lim درنتيجـه خواهيم داشت: 2x2  3x  4 ‏lim x ‏0 ‏x  ‏e  5x  6-5-19صورت مـبهم: 0 اگردرمورد تـوابع fو gداشته باشيم )limf (x)g(x ‏x a limf (x) 0وlimg(x)  ‏x a ،آنگاه حد 0 به صـورت مبهم درمی آيد.برای رفع ابهـام ،تابـع ازدو( fصورت : ) f(x).g(xرا به يکی )x حاصلضرب )g(x f (x).g(x) يا ‏f (x).g(x)  1 )f (x می نويسيم. 1 )g(x ‏x a 0 ه اين ترتيب حد مورد نظربه يکی ازصورتهای مبهم 0 ‏ يا ‏ تبديل می شود که درهردو حالت می توانيم قاعده هوپيتال را به کارببريم. ‏ درصورتی که به جای عدد حقيقی aيکی   ازنمادهای يا را داشـته باشيم نيزمی توانيم همين روش را برای رفع ابهام به کارببريم. 6-5-20مثال: 1 ‏ ‏ ‏x ‏x 1 e  xlimرا محاسبه کنيد. ‏ ‏0 ‏ ‏ :حل 1   x x 0 چون :می نويسيم،xlim 1 e   وxlim  0  0   1 x 1 x   1 e lim1 e   lim x 0 x 0 1   x  د سمت راست به صورت مبهم  پس قاعده هوپيتال را به کارمی بري،است 1 1 x e 1 2   1 e x x lim  lim  lim   e   x 0 x 0 x 0 1 1    2 x x 1 x : درنتيجه خواهيم داشت 1   x lim1 e   x 0   مبهم   6-5-22صورت  : اگردرمورد توابع fو gداشته باشيم ‏limf (x) limg(x)  ‏ ،آنگاه)lim f (x)  g(x ‏x a ‏x a ‏x a مبهم  به صورت  درمی آيد.برای رفع ابهام ازاين صورت مبهم،آن را به يکی ازدو مبهم صورت 0 0 يا ‏ تبديل می کنيم. ‏   درصورتی که به جای عدد حقيقي ، aيکی ازنمادهـای را داشـته يا باشيم ،نيز به همين ترتيب عمل می کنيم.در دو مثال زيرروش رفع ابهام از اين  6-5-23مثال: 1  ‏1 ‏ x  xlimرا محاسبه کنيد. ‏ 0  x ‏e  1 حل: اين حد به صورت مبهم  ‏ است.ابتدا مخرج مشترک می گيريم. 1  ‏ex  1 x ‏1 ‏lim ‏ x   lim ‏ ‏x 0  x ‏e  1 x0 x ex  1 ‏ 0 حد اخير به صورت مبهم 0 ‏ است.بنابر قاعده هوپيتال داريم: ‏ex  1 x ‏ex  1 ‏lim ‏ lim ‏x ‏x ‏x ‏x 0 x e  1 ‏x 0 e  xe  1 ‏ ‏ 0 است ،پس يکبارديگرقـاعده هوپيتـال را اين حد نيزبه صورت مبهم 0 به کارمی بريم. ‏ex  1 ‏ex ‏lim x ‏lim x ‏x ‏x ‏x 0 e  xe  1 x 0 2e  xe 1 1 ‏lim ‏ ‏x 0 2 x 2 درنتيجـه به دست می آوريم: 1  1 ‏1 ‏lim ‏ ‏ ‏x ‏ ‏ ‏x 0  x ‏e  1 2 : مثال6-5-24 1   را محاسبهlim  cotx حـد x 0  x  .کنيد  :حل :می نويسيم.است   اين حد به صورت مبهم 1  tanx  x 1  1 lim  cot x  lim   lim  x0  x tanx  x0 x tanx x0  x .ازقاعده هوپيتال استفاده می کنيم.است 0 0 سمت راست به صورت مبهم tanx  x sec2 x  1 lim lim 2 x0 x tanx x0 tanx  x sec x 0 :بنابر قاعده هوپيتال داريم.است اين حد نيز به صورت مبهم 0 sec2 x  1 2sec2 x tanx lim  lim 2 x 0 tanx  x sec x x0 2sec2 x  2x sec2 x tanx tanx  lim 0 x 0 1 x tanx :در نتيجه به دست می آوريم 1  lim  cot x 0   x 0  x   6-5-26صورتهای مبهم توانی: )x کنيم(y f (x)g فرض يا نمادهای  و aعددی حقيقی يا يکی از   باشد،در اين صورت الف) اگر limf (x) 0و ، limg(x) 0آنگاه )f (x)g(x limبه صورت مبهم ‏x a ‏x a ‏x a در می آيد. 00 ب) اگر ) g( x ‏lim ‏f ( ‏x ) limf (x) و g(x) 0 x aبه صورت مبهم limآنگاه ‏x a ‏x a در می آيد. ‏0 پ) اگر ) g( x ‏lim ‏f ( ‏x ) limf (x) 1و g(x)  x aبه صورت مبهم limآنگاه ‏x a ‏x a ‏ 1 در می آيد. صورتهای مبهم باال را صورتهای مبهم توانی می ناميم. تساویy f (x رای رفع ابهام از اين گونه صورتهای مبهم،از دو طرف ))g(x گاريتم طبيعی می گيريم،به دست می آوريم )lny lnf (x)g(x) g(x) lnf (x که x  سپس از دو طرف تساوی اخير هنگامی a حد می گيريم. )limlny g(x) lnf (x ‏x a د سمت راست تساوی اخير به صورتی است که می توان قاعده هوپيتال را رای رفع ابهام آن به کار برد.در مثالهای زير روش رفع ابهام از صورتهای بهم توانی توضيح داده شده است.