پاورپوینت فصل سوم ریاضی پایه نهم استدلال و اثبات در هندسه

صفحه 1:
أدعٌ إلئ سَبيلٍ رَيِكَ بالحكمة وَ المَوعِظة الحسَنَة وَ جاولهُم بالّتى هي آحسَنْ ... با حكمت و اندرز نيكو به راه يروردكارت دعوت نما و با آنها به نيكوترين روش استدلال و مناظره كن! (سورةٌ نحلء آيهُ 170) 

صفحه 2:
أ ‎ .«‏ = = بارش برف از آسمان؛ رحمت الهی را با خود به زمین می‌آورد و در ن حال نماد زیبایی زمستان است. اما شاید جالب باشد بدانید که این دانه‌های زیبای متقارن که اغلب شش شاخه هستند. علی‌رغم آنکه میلیاردها دانهاند. امّا هر کدام شکل منحصر به خود را دارند و به نظر می‌رسد هیچ دو تایی از آنها «هم‌نهشت» نیستندا! ‎~<a ۳ ka‏ و 

صفحه 3:
۳۳ متن‌های زیر را بخوانید و به سژال‌ها پاسخ دهید : ۱-امیر و محسن برای دیدن مسابقه فوتبال به ورزشگاه رفتند. محسن به امیر گفت :«من مطمتن هستم که تیم مورد علاقهٌ من امروز هم می‌بازد.» امیر پرسید : «چگونه با این اطمینان حرف می‌زنی؟» محسن دلیل آورد که : «جون هر بار که به ورزشگاه رفتهام؛ تيم مورد علاقهام باخته است.» ‎ui‏ دلیلی که محسن آورده است: درست است؟ حرا؟ .خیر.ورزشگاه رفتن محسن ارتباطی به نتیجه بازی ندارد 

صفحه 4:
۲-عباس یک بیسکویت مستطیل شکل با ابعاد ۴ و ۸ سانتی‌متر دارد. بیسکویت باقر از همان نوع, به همان ضخامت و مریع شکل به ضلع ۶ سانتی‌متر است. با استفاده از دانش ریاضی خود نشان دهيد که مقدار بیسکویت کدام یک بیشتر = مساحت بیسکویت ۴ ۳۲-۸۱ عباس ,پیسکویت باقر, تسیر نی رت راق بو ب<و وم ۳ دلیلی را که محسن در فعالیت ۱ برای ادعای خود آورده است. با دلیلی كه شما در فعالیت ۲ آوردید مقایسه کنید. به‌نظر شما کدام قابل اطمینان‌تر است؟ استدلال سوال ۲ 

صفحه 5:
«استدلال» یعنی دلیل ‎el‏ و استفاده از دانسته‌های قبلی» براى معلوم كردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است. همان گونه که در این موارد مشاهده کردید. حتی در بسیاری از کارهای روزمره نیز به استدلال نیاز پیدا می‌کنیم. راه‌های متفاوتی برای استدلال کردن هست که اعتبار و قابل اعتماد بودن آنها می‌تواند یکسان نباشد. به استدلالی که موضوع موردنظر را بهدرستی نتیجه بدهد. اثبات می‌گویيم. ۲۳ ute, ۱- مواردی را بازگو کنید که مانند فعالیت ۱ فردی با توجه به رویدادهای كذشته. نتيجهاى مى كيرد كه درست نيست. 

صفحه 6:
: ‏دو ارتفاع از هر یک از مثلث‌های زير» رسم كنيد‎ ١ آيا با اين مثالها مى توان نتيجه كرفت در هر مثلث. مط برخورد هر دو ارتفاع درون مثلث است؟ خير يك مثال بزنيد كه نتيجة بالا را نقض كند. 

صفحه 7:
اگر فردی با رسم ارتفاع‌های موردنظر در مثلث‌ها چنین نتیجه‌گیری کند که محل برخورد ارتفاع‌های هر مثلت, درون آن مثلث است. استدلال او مشابه کدام استدلال دو قسمت فعالیت قبل است؟ استدلال سوال ۱ ۱- کدام یک از دو قرصی که در مرکز قرار گرفته. بزرگ‌تر است؟ الف) با مشاهده تشخیص دهید. 0 . 

صفحه 8:
ب) یک کاغذ روی یکی از آنها قرار دهید. دایرة محیط آن قرص را بکشید وباكذاشتن تصويركشيده شده بر شكل ديكر اندازة آنها را با هم 6© ٠6. :: © ٠ © 

صفحه 9:
۲-اگر قطعه‌های ۸ و 13 قطعه‌هایی از شیرینی موردعلاقة شما باشد, كدام قطعه را انتخاب مى كنيد؟ (قطعة بزرگ‌تر کدام أست؟) بايك كاغذ شفاف اين دو قطعه را مقايسه كنيد؟ ايا حدس شما درست بود؟ 

صفحه 10:
۳یا مشاهده کردن يا په‌طورکلی استفاده از حس‌های پنج‌گانه برای اطمینان از درستی یک موضوع کافی است؟ حرا؟ .خیر.در مواردی حواس پنج گانه اشتباه میکنند هرچند به‌طور معمول در ریاضیات و به‌ویزه در هندسه استفاده از شکل, ترسیم و شهود به تشخیص راه‌حل‌ها و ارانةٌ حدس‌های درست کمک زیادی می‌کند. امّا به تشخیصی که براساس این روش‌ها حاصل می‌گردد. نمی‌توانیم به‌طور کامل اطمینان 

صفحه 11:
رركت د" مواردى از درس علوم (مثل آزمايش تشخيص كرما وسرماى آب) مثال بزنيد که حواس ما خطا می‌کند. در مورد نتایجی که از این مثأل‌ها می‌گیرید. با یکدیگر بحث کنید. وقتی دستمان خیلی سرد است و زیر اب سر میگیرم احساس میکنیم اب خیلی داغ است يا دیدن سراب 

صفحه 12:
V0 “ee : ‏در شكلهاى زير عمودمنصف هاى سه ضلع مثلثها را رسم كنيد‎ -١ ASR آیا فقط با توجه به این شکل‌هاء می‌توان نتیجه گرفت که محل برخورد عمودمنصف‌های هر مثلت همیشه درون مثلث قرار دارد؟ خیر جگونه می‌توانید درستی ادعای خود را نشان دهید؟ با مثال نقض 

صفحه 13:


صفحه 14:
۲- نیما و پژمان مشغول دیدن مسابقات وزنه‌برداری بودند. وزنه‌برداری می‌خواست وزنه‌ای ۱۰۰ کیلوبی را بلند کند.آنها هر دو عقیده داشتند که او نمی‌تواند وزنه را بلند کند؛ برای ادعای خود استدلال‌های متفاوتی می‌کردند. نیما : زیرا هفتة پیش این وزنه‌بردار تمرینات بهتری انجام داده بوده با این‌حال نتوانست وزنة ‎٩۰‏ کیلویی را بلند کند. پژمان : امروز دوشنبه است. من بارها مسابقات این وزنه بردار را دیده‌ام. او هيج كاه در روزهاى زوج موفق نبوده است. استدلال کدام یک قابل اعتمادتر است؟ دربارة استدلال‌ها بحث كنيد. استدلال نیما 

صفحه 15:
۳ چون من تا به‌حال هیج‌وقت تصادف نکرده‌ام, در سفر آینده نی تصادف نخواهم کرد. این استدلال مشابه کدام‌یک از استدلال‌های زیر است؟ چ الف) جون برخی منلث‌ها قائم الزاوي اند؛ يس مثلثهاى متساوى الاضلاع هم قائم الزاويهاند. ب) هم فیلم‌های جنگی که تاکنون دیده‌ام. جذاب بودهاند. فيلمى كه ديروز ديدم جذاب بود. پس فیلم جنگی بوده است. 6 چون تمام بجه‌های خاله‌های من دختر هستند. پس بح خالةُ كوجكم هم كه به زودى به دنيا مىايد دختر خواهد بود. د) جون همة قرص‌های مسکن خواب‌آور است. پس در اين قرص‌ها ماد‌ای هست که باعث خواب‌آلودگی می‌شود. 

صفحه 16:
‎Ff‏ حمید و وحید می‌دانستند که علی. حسن, حسین و باقر برادرند و : على از حسين بزرك ترو حسن از باقر كوجكتر است و باقر از على كوجكتر و حسن نيز از حسين ‏کوجک‌تر است. هر دو نفر اعتقاد داشتند که على از حسن بزرگ‌تر است؛ اما ‏استدلال‌های متفاوتی می‌کردند. ‏حمید : در تمام خانواده‌هایی که دو فرزند به نام‌های علی و حسن داشته‌انده على فرزند بزرگ‌تر بوده است. ‏وحيد : جون على از حسين بزرگ‌تر و حسن از حسین کوچک‌تر است. پس علی از ‎PS‏ استدلال وحید ‏استدلال کدام یک درست است؟ دربارة درستی استدلال‌ها بحث کنید. 

صفحه 17:
۴ حمید و وحید می‌دانستند که علی. حسن, حسین و باقر برادرند و : على از حسين بزرگ‌ترو حسن از بافر کوجک‌تر است و باقر از علی کوچک‌تر و حسن نیز از حسین کوجک‌تر است. هر دو نفر اعتقاد داشتند که على از حسن بزرگ‌تر است؛ اما استدلال‌های متفاوتی می کردند. على > حسين على > حسين باقر > على > حسين > حسن 

صفحه 18:
۳۷ ۰ ‏درس دوم: آشنایی با اثبات در هندسه‎ ١ در درس گذشته آموختید که دیدن و استفاده از حواس یا ار منال‌های متعدد و همجنين توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی‌کند و بايد از دليلهاى منطقى و قانع كننده کمک كرفت و با استدلال, درستى آن موضوع را ثابت کرد. در روند استدلالمان از اطلاعات مسئله مسئله (فرض یا داده‌ها) و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است» برای رسیدن به خواستة مسئله (حکم) استفاده می‌کنیم. 

صفحه 19:
mA ” ۳۷ ۱- به گفت‌وگوی زير توجه کنید : مهرداد : آیا در هر لوزی زاویه‌های روبه‌رو با هم پرابر است؟ سعید : بله. من در یک کتاب هندسه دیدم که اثبات کرده بود در متوازی‌الاضلاع زاویه‌های روبه‌رو, با هم مساوی است و لوزی هم نوعی متوازیالاضلاع است. در این مستله و اثبات آن. فرض, حکم و استدلال را در زیر کامل کنید : فرض : . شکل لوزی است. حکم : زاویه های روبه رو برابر است. 

صفحه 20:
استدلال: . ] لوزی نوعی‌متوازی الاضلاع است. > در متوازی‌الاضلاع زاویه های روبه رو برابر است. در لوزی زاویه‌های روبه‌رو با هم برابرند - اولین اقدامی که برای اثبات انجام می‌دهیم تشخیص فرض: حکم و واقعیت‌های مرتبط با آن مسئله است که از قبل آنها را می‌دانستيم. در مسئلاٌ زیر فرض, واقعیت‌های از قبل ثابت شده یا دانسته و حکم را به زبان ریاضی بنویسید و عبارت‌ها را کامل کنید : 

صفحه 21:
فرض: 4808 مستطيل است. حکم: قطرهای مستطیل, مساوی است. 6-9 ۰ AD=B AD|| Be 0 bx 9 - 8 9 و ۲ ۸9 0 8 0 

صفحه 22:
۲۸ pat 513) فرض و حکم را برای مسئله‌های زیر مشخص کنید : ۱- در دو مثلث داده شده زوایای برابر در شکل مشخص شده است. ثابت کنید زاویه‌های سوم از دو مثلث نیز با هم برابر است. ۸ os, B c L™., حکم : 6-۳ فرض : 5 ۱ ttt) ‏(و9‎ 

صفحه 23:
۲-اگر در يك مثلث دو زاويه نابرابر باشيد. ضلع روبه‌رو به زاویة بزرگ‌تره بزرگ‌تر است ازء ضلع روبهرو به زاوية كوجكتر. : فورض ‎B>‏ ‎c A‏ ‎B AC > pw:‏ A ان دی در هر لت ناژ زره خارجی با مجموح دو زاوبة داخلى غیرمجاور آن.برابر است: فرضی : )۸۲۵ مثلت است ۳ ۸ A A Ay =B+C ‏:حکم‎ 

صفحه 24:
وف 2 ۲ ۱- در مستلاً زیر فرض و حكم را بنويسيد و اشكال استدلال داده شده را بیایید. سپس استدلآل درستى براق أن بنويسيد: مسئله: در شکل مقابل پارخط 40 نيمساز زاوية .4 است و اضلاع 48 و ۸0 برابرند. ثابت كنيد مثلثهاى مثلث ‎ADC 4, ABC‏ هرنهشت‌اند. ‎nee =‏ ‎ES‏ : فرض i ee A A ‏:حکم‎ ۸۳6 = ADC 

صفحه 25:
استدلال : جون ۸6 نیمساز است. داریم ‎AG Sb yCraCry Ar Ar‏ نيز ضلع مشترک در هر دو مثلث است. لذا دو مثلث ‎elle & ADC 5 ABC‏ دو زاويه وضلع بين (زضز) هم‌نهشت‌اند. Pi ‏(زءضءز)‎ A SABE = ADC = aN ٠ 1 D 

صفحه 26:
AB= ‎A‏ كك (ضعءزءض) ‏ لم ل[ ‎ADA, == “SABC = ADC‏ ‎AC =‏ ‎AC ‎A i ‏ميس‎ Cc Ke 

صفحه 27:
‎-١‏ مثلث زیر متساوی‌الساقین و ۸ نیماز وارد بر قاعدة آن است. با استدلال زیر نشان داده‌ایم که نیمساز وارد بر قاعده, میانه نیز می‌باشد. (ساق‌های برابر) ۰ 40 - 418 (۸۳ نیمساز است) ‎Ay = Ay‏ (ضلع مشترک) ‎AD=AD‏ ‏(ض ز ض) ‎ABD = ACD > BD =CD‏ = لذا نقطة 1 وسط 130 است و ۸۳ میانه است. 

صفحه 28:
آيا در مثلث ۸10 می‌توان نتیجه گرفت که نیمساز زاویة 13 نیز ‎tle‏ ضلع مقابل آن است؟ به عبارتی, آیا می‌توان خاصیت اثبات شده برای نیمساز ۸ را به نیمساز دیگر تعمیم داد؟ خير ‎A‏ / 

صفحه 29:
۳- با استدلال زیر به سادگی می‌توان نتیجه گیری کرد که قطر ‎aut SIAC‏ 0 نیمساز زاویه‌های ۸ و ) است. جون دو مثلث ۸۵0 و ‎ADC‏ به حالت سه ضلع هم‌نهشت‌اند و زوایای متناظر با هم برابرند؛ بنابراین A OA A A ‎Cy =Cy » Ay=Ay‏ و لذا ۸۷ نیمساز است. ‎B‏ ۸ ‏آیا می‌توان با استدلالی مشابه, ان خاصیت را ‎ISL‏ ‏به قطر دیگر نیز تعمیم داد و گفت به‌طور کلی در ‏مربع هر قطر نيمساز زاويههاى دو سر آن قطر ‏است؟ بله ۳۴۳ 

صفحه 30:
۴- به‌نظر شما چرا در فعالیت ۲ خاصیت موردنظر قابل تعمیم به نیمسازهای دیگر نبود؛ اما در فعالیت ۳ خاصیت موردنظر به قطر دیگر تعمیم داده می‌شود؟ شرایط برای قطرهای مربع یکسان است وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم. اگر تمام ویژگی‌هایی که در استدلال خود به کر برده‌ایم» در سایر عضوهای آن مجموعه نیز باشد. می‌توان درستى نتيجه را به همه عضوهای آن مجموعه تعمیم داد. 

صفحه 31:
۵- نقطه‌ای مانند ۰ روی عمودمنصف پاره‌خط ۸۲ در نظر می‌گیریم و به دو سر باردخط وصل می‌کنیم. جون دو مثلث ۸۲1۳ و 1311۳ به حالت (ض ز ض) هم‌نهشت‌اند. نتیجه می‌گیریم پاره‌خط‌های ۳۸ و ۳13 با هم برابر ‎cal‏ بنابراين فاصلةٌ تقطة ‎iP‏ که روی عمودمتصف پاره‌خط 3تهر ۷ است. از دو سر پاره‌خط ۸5 یکسان‌اند. آيا اين اثبات براى اينكه نتيجه بكيريم نتيجة بالا براى «هر» نقطة روى عمودمنصف برقرار است, كافى است؟ 0 1 2 .بله. شرايط نقاط ديكر هم به همين صورت است 

صفحه 32:
fie به استدلال‌هایی دقت کنید که جهار دانش‌آموز برای مسئلة زیر آورده‌اند : مسئله : مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ است. استدلال حامد : حامد گفت یک مثلث متساوی‌الاضلاع را درنظر می‌گیریم؛ حون سه زاویه دارد و هر زاویه ۶۰ است: مجموع زاویه‌های مثلث ۳ است. 

صفحه 33:
استدلال حسین : حسین جند مثلث مختلف با حالت‌های گوناگون کشید و زوایای آنها را اندازه گرفت و دید که در همة آنها مجموع زوایای داخلی برابر ۰ است و نتیجه گرفت که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰ است. 

صفحه 34:
استدلال مهدی : مهدی شکل روبرو راء که از مثلت‌های هم‌نهشت تشکیل شده است کشید و با مشخص کردن زاویه‌های مثلث ۸190 مانند شکل ASS ۸ ۸ ۸ A ۸ ۸ Ay+ B+C=A\+ Ayt+ Ay =\Am 

صفحه 35:
استدلال رضا: رضا گنت مى دانيم که «هر خطی که دو خط موازی را قطع کند, با آنها هشت زاویه می‌سازد که مانند شکل جهار به چهار پا هم مساوی‌اند». 

صفحه 36:
حال مثلثی دلخواه ‎asl‏ ۸6 را درنظر می‌گیری؛ مانند شکل مقابل از رأس ۸ خط 4 را موازی 136 رسم می‌کنيم. سه زاوية تشکیل شده در رس ۸ را با شماره‌های ۰۱ ۲ و ۳ نشان داده‌ایم که زاو ,۸ همان زاویة ۸ در مثلث است و با درنظر گرفتن ‎AB‏ به‌عنوان مورّب داریم : ‎B=A\‏ وبا درنظر گرفتن ۸6 به‌عنوان مورب داریم : ‎C=Ar‏ پس با جای‌گذاری ‎Ar y Ay‏ 4 ترتیب به جای ‎yB‏ ۰ خواهیم داشت : ‎At BeCSAye Ait AVENA®‏ A ۱ ۳ d 

صفحه 37:
استدلال رضا را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی مرب و خلاصه کرد و بدین‌صورت d|| BC re : ‏نوشت‎ ‏چب و‎ ۲ < ۸۱ ‏مورب‎ ۶ A AA A A A 5 d|| BC pn ‏۸ج‎ +02۸۲ ۸۱۸۲ ۰ ‏او‎ => C=Ay ‏مورب‎ ‎۸ ‎d ‎\ ¥ 6 = دربارة معتبر بودن استدلالهاى اين دانش اموزان بحث كنيد. 

صفحه 38:
رقت " مسئله : حميد. سعيد و بهرام هر كدام مقدارى بول دارند. مجموع بولهاى حميد و بهرام برابر ‎0٠٠٠‏ تومان و مجموع بولهاى سعيد و بهرام نيز برابر ‎0٠٠‏ تومان است. بهنظر شما بول حميد بيشتر است يا بول سعيد؟ دليل خود را توضيح دهيد. يول حميد + يول بهرام - ‎8.٠٠٠١‏ بول سعيد ح بول بهرام 1 بول سعيد + پول بهرام < ۵۰۰۰ 

صفحه 39:
بین استدلالی که براای مسئلة قبل و مسئلة بعدی هست, جه شباهتى مى بينيد؟ .مثل هم هستند مسئله : + نشان دهید زاويدهاى متقابل به رأ س پا هم برایرند. فرض کنیم :0 و 0۲ مانند شکل زیر متقال به رس باشد» داریم : ۸ ۸ 0+0 - 18 A ۸ Pi Oy+ Oy =\A& => O\+ Oy = Oy + Oy - 60 =Or 

صفحه 40:
عبت ۴۲ ۱- آیا اتبات مسئله زیر معتبر است؟ برای پاسیخ خود دلیل بیاورید. مسئله : در هر مثلث, اندازة زاوية خارجى با مجموع اندازه‌های دو زاویة داخلی غیرمجاور با آن برابر است. 

صفحه 41:
اثبات : مثلث متساوی‌الاضلاع ۸136 را درنظر می‌گیریم. می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۰ است و زوایای بث 8 و هر کدام ۶۰ است؛ بنابراین ۸ ۸ 2۰ ۸۲ +۸۱ ۸ ۸ ۱۸۰-۰ ۱۸۰-۸۱ بذج ‎A‏ ۸ 0-۶۰۰ +13 A ۸ => Ay =B+C 

صفحه 42:
عبت ۴۲ ‎١‏ آيا اثبات مسئله زير معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل پیاورید. ‏.اين اثبات فقط براى مثلث هاى متساوى الضلاع معتبر است مسئله : در هر ‎wells‏ اندازة زاوية خارجى با مجموع اندازههاى دو زاوهُ داخلی غیرمجاور با آن برابر است. 

صفحه 43:
۲- در سال گذشته با تعریف جند ضلعی‌های محدب آشنا شدید. تعریف چندضلعی محدب را می‌توان بدین صورت هم آورد : «یک جندضلعی محدب است؛ اگر هر پاره‌خطی كه دو نقطهُ دلخواهٍ درون آن جندضلعی را به‌هم وصل می‌کند. به‌طور کامل درون أن جند ضلعی قرار بگیرد.» هر ضلعی که محدب نباشد. مقعر است. آیا تشخیص‌های سه دانش‌آموز در مورد محدب و مقعر بودن چندضلعی‌های زير و دلایلی که ارائه کرده‌اند. با توجه به تعریف بالا درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید . 

صفحه 44:
ثرگس : جند ضلعی مقاپل محدب نیست؛ زیرا نقاط ۳ و ۵ درون آن قرار دارد اما پارهخطی که آنها را به‌هم وصل می‌کند. به‌طور کامل در آن قرار نمی‌گیرد. .دوست است 

صفحه 45:
مهدیه : جندضاعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط 1 و 8 درون آن قرار دارد و پارهخطی که آنها را به‌هم وصل می‌کند. نیز به‌طور کامل در آن قرار دارد. .غلط است 

صفحه 46:
مریم : جندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط 3 و ل درون أن قرار دارد و پار‌خطی كه آنها را بدهم وصل مى كند, نیز ه‌طور کامل در آن قرار دارد. .درست است 

صفحه 47:
۳- آیا استدلال‌های زیر درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید. الف) ۷ هر متوازی الاضلاعی مستطیل نیست مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است. هر مستطیل يك متوازى الاضلاع ۸130 مستطیل است. حهارضلعی ‎ABCD‏ متوازىالاضلاع است. ‎X (VL‏ در لوزی همه ضلع ها باهم برابرند در هر مربع؛ ضاع‌ها با هم برابرند. ‎aw ABCD‏ نیست. ج) / یکی از شرایط مربع بودن برابری ضلع هاست در هر مربع, ضلع ها با هم برأبرند. > 4801 مربع نيست. در جهارضلعى ‎sted gly lage ABCD‏ ‎des =‏ ضلع هاى (8801, با هم برابر نيستند. 

صفحه 48:
۴ ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد. از دو ضلع آن زاويه بويك فاصله است.یادآوری : فاصلة یک نقطه از یک خط برابر است با طول پارهخطی که از آن نقطه بر خط عمود می‌شود. راهنمایی : يك زاوية دلخواه بکشید و نیسساز آن را رسم. و یک نقطه روی اين نيمساز مشخص كنيد. ثابت كنيد فاصلةً اين نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سبس دليل آنرا كه اين نتيجه براى همه نقاطٍ روى نيمساز درست است::بیان کنید. 

صفحه 49:
A O 0 AO=A ‏وتر و یک زاویه تند‎ A A A=A, ee ABO = ACO ‏تساوی اجزا متناظر‎ 08-0 

صفحه 50:
یادآوری ۴۴ با مفهوم هم‌نهشتی مثلت‌ها از سال گذشته آشنایی دارید. اکنون می‌خواهیم اين حالت‌ها را با استفاده از نمادهای ریاضی خلاصه نویسی کنیم؛ مثلاً حالت هم‌نهشتی ۸ (ض ز ض) را این‌گونه نمایش می‌دهيم : ‎Cc‏ 4 ‎AB=A’B’‏ 9 Gr WwW A 4 7 AC=A'C? ‏ج‎ ۸۳80۶ 0 A ۸ A=A’ 

صفحه 51:
برای یادآوری» دو حالت دیگر همنهشتی مثلث‌ها و دو حالت هم نهشتی وی مثلث‌های قائمالزاویه را به همین صورت بیان کنید. ‎A‏ ‏: حالت سه ضلع ‎C‏ ری (ض ض رض) , ‎B‏ ‎C‏ ‎AB=A’‏ ‎A‏ 0 7 ‎A Ro=a’ } =e aBC = ABC‏ ‎BC=B’‏ ‏م 

صفحه 52:
:حالت دو ضلع و زاويه بين ‎A‏ (ض زوض) ‎Pi‏ زیر 6 8 5 ۱ AB=A A Bi A A A=A f= ABC = AB AC=AN’ 

صفحه 53:
:حالت دو زاويه و ضلع بين )3 35.095( 

صفحه 54:


صفحه 55:
‎B 5‏ : حالت وتر و يك زاويه تند (و رز) 0 ۸ 

صفحه 56:
۴۴ ‎-١‏ در شكلهاى زيرء دو مثلِ داخل هر کادر با یکدیگر هم نهشت‌اند. اندازة پارهخط‌ها و زاویه‌های مجهول را روی شکل مشخص کنید : 

صفحه 57:


صفحه 58:


صفحه 59:
۲- در شکل زیر چهارمثلث رسم شده که دو به دو با یکدیگر هم‌نهشت‌اند. ابتدا مثلث‌های هم‌نهشت را مشخص کنید و سپس اندازه‌های مجهول را که با «؟» مشخص شده, تعیین نمایید (زاویه‌هایی که با یک حرف مشخص شده با هم ساوی است): 

صفحه 60:


صفحه 61:


صفحه 62:
مثال : با رحل‌های قرآنی. حتماً آشنایی دارید. در نمونهاى از آنها دو لاي جوبی آن از وسط یکدیگر گذشته است. می‌خواهیم نشان دهیم که این تکیه‌گاه در هر وضعیتی که باشد, مطابق شکل, همواره فاصلهة دو لبة کناری آن در دو طرف با هم برابر است. به زبان ریاضی, یعنی در شکل زیره فرض مسئله اين است : 0۸-013 و 00-010 (جرا؟) و حکم اين است : ‎-ADS=BC‏ زرایای :۵ و ۵۷ برابرند (حراگ)» بس مثلثهاى 0 و 0136 هم‌نهشت هستند و از آنجا درستی حکم به‌دست : ‏يعلى‎ tale 

صفحه 63:
۱ 0۸ 28 | OC=OD 3 OBC = OAD 6-6 = AD=BC woe Ss SS ‏#الورجحت‎ 

صفحه 64:
۴۵ ea > در نزدیکی منزل ترنه‌وشهرزاد. بوستانی هست که در آن یک پل فلزی به شکل نيم دايره وجود دارد بحه‌ها برای بازی از پلههای آن ‎Ve‏ می‌روند. می‌دانیم فاصله ابتدای پل (نقطة ‎(A‏ 51 انتهای آن (نقطة ) ۱۰متر است. ترانه روی پل ) نشسته است که از انتهای پل ۶ متر فاصله دارد (130-۶) و شهرزاد روی پلة ‏ نشسته است که از ابتدای پل همین مقدار فاصله دارد. آنها حدس می‌زنند که باید فاصله‌شان از پایه‌های مقابل برابر باشد؛ يعنى ۸6-3. درستی حدس آنها را به دو روش ثابت کنید. 

صفحه 65:
۱- نشان دهید زاویه‌های 0 و ‎D‏ در شکل, قائمه است. طول‌های »۸ و ‎BD‏ ‏را به کمک قضیة فیثاغورس محاسبه کنید و نشان دهید : ‎AC=BD‏ ۲ ۳ ۱. - +۶ ۱۰۰ - ۳ +۶ عم ‎٠.‏ - كير / \om B ۳ - ۶۴ ‏دعر‎ ۶۴-۸ AC=BD-A ۲-به کمک هم‌نهشتی مثلث‌های ۸63 و ۸۳213 شان دهید ‎-AC=BD‏ 

صفحه 66:


صفحه 67:
۰۶ Selle در شکل مقابل ۸010 لوزی است و نقطه‌های ۷ و لا وسطهاى اضلاع ‎CB ,CD‏ ‎A A‏ هستند. می‌خواهیم نشان دهيم 48177 410112 ۸ ا با توجه به ویژگی‌های لوزی؛ تساوی‌های زیر را کامل کنید : 8 (AD=AB=BC=DC , BN=CN ‏فرص‎ A A=C_,p=-D , DM= MC A A 5 Se: ADM = ABN 

صفحه 68:
"با توجه به نتيجة قسمت ‎)١(‏ و تساوی‌های قسمت اوّل, ثابت کنید متلث‌های 7 ‏و ۸۵۳1۷ هم‌نهنت‌اند.‎ ۸۷ __(AD=AB=BC=DC , BN=CN ‏بن 4 فرض‎ ۸ ۲ ۸ 0 ‏و‎ 0 , DM= MC A A 8 » مکح:‎ ۸۳۱ 2۸۲ 2 D=B +=» ADM = ABN DM=B 

صفحه 69:
۳- حال با توجه به همنهشتی دو مثلث ۸13۱ و ۰۸1۸ اجزای متناظرآنها را بلويسيل. AD=AB A ۸ 4 D=B ‏الم سا‎ = ABN An\®\DM=B ۱ AM=AN D B A=Ay 1 ۳ ‏لحان‎ ‎۷ / 

صفحه 70:
(ودرکاس ۴۶ می خواهیم ثابت کنیم که در هر متوازی‌الاضلاع: مانند شکل روب‌رو, ضلع‌های مقابل, همواره با هم برابرند. مفروضات و داده‌های مسئله جیست؟ تمام آنها رابنویسید؛ حکم مستله چیست؟ نظر دو دانش‌آموز را دربارة این مسثله ببينيد و به سؤالهاى مطرح 52 پاسخ دهید. ‎B‏ ۸ 

صفحه 71:
شهرزاد : معلوم است که ضلع‌های روبه‌رو با هم مساوی است؛ با جشم هم می‌توان دیدا تيلم : مى دانيم كه در تعريف متوازی‌الاضلاع, برابری ضلع‌های روبه‌رو آورده شده است. علاوه بر آن با اندازه‌گیری هم می‌توانیم اين موضوع را نشان دهیم. 

صفحه 72:
© آيا مىتوانيم در حل مسائل هندسه فقط به جشم‌هایمان اعتماد کنیم؟ خير جرا؟ خطاى ديد © به تعریف متوازی‌الاضلاع در کتاب سال گذشته مراجعه کنید. آیا برابری اضلاع مقابل دراين تعريف وجود دانت؟ خير آیا اگر با اندازه‌گیری اضلاع مقابل, برابری آنها را ببينيم؛ درستی حکم را ثابت کرده‌ایم؟ حرا؟ .خير.درستى حكم براى فقط يك متوازى الاضلاع ثابت شده است 

صفحه 73:
ترائه :بدنظرمن بإيددومتك هوتهننت و ‎A‏ ‏بيابيم و با اثبات همنهشتى آنها به برابرى اضلاع دو مثلث نداریم» پس با اضافه کردن یک خط, ‎c‏ ۳ هن یکی از قطرها دو ‎pS syle‏ اثبات را ب‌صورت زیر کامل کنید : AB||CD, w»BD=> By = Dy A A ICD, ‏مورب‎ 80 =B = D, 0 AB- = D A ‏(ز ض ز) -0ظ‎ ‏(ضلع شترک‎ 90 - BD D 

صفحه 74:
ترانه : به نظر من بايد دو مثلث هم نهشت 8 ٍِ بيابيم وبا اثبات هونهشتى آنها به برابرى اضلاع مقابل در متوازیالاضلاع برسیم؛ اما در شکل - دو مثلث نداریم؛ بس با اضافه كردن يك ‎D Cc dad‏ شك ۳ با توجه به هم‌نهشتی دو مثلث ۸1310 و ‎(CBD‏ تساوی‌های زیر را کامل کنید. ديديم كه 21 12 است؛ بنابراین داریم : ‎AD=BC‏ و :12 - 137 است؛ بابراینداریم : 6 - ۸ 

صفحه 75:
جرا برای اثبات هم‌نهشتی مثلث‌های ایجاد شده. نمی‌توانیم از حالت‌های (ض ز ض) واض ض ض) استفاده کنیم؟ .دلیلی برای تساوی دوضلع یا سه ضلح نداریم ۵ با توجه به مباحث درس قبل (هندسه و استدلال) بگویید آیا می‌توانستیم همین نتيجه را بارسم قطر ۸6 به‌دست آوریم؟ بله از هم‌نهشتی مثلث‌های ایجاد شده در متوازی‌الاضلاع. به‌جز برابری ضلع‌های مقابل, نتیجة دیگری هم دربارة زاوه‌های متوازیالاضلاع به‌دست می‌آید؛ اين نتيجه را بنويسيد. ه در هر متوازی‌الاضلاع ‏ زاویه های ‏ روبهروء مساوىاند. 

صفحه 76:
و ۱- ثابت کنید قطرهای هر متوازی‌الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند. یعنی در شکل مقابل نشان دهید : 0۸-06 و 01 2 013. ‎A A OC=OA‏ بارش ‎DC=AB}™O0AB=ODCG‏ ‏1" 

صفحه 77:
۲ ثابت كنيد در هر مستطیل, قطرها با یکدیگر برابرند. (مستطیل نوعی متوازی‌الاضلاع است!) ‎D‏ ۸ 9 C=B-4- A A DC=AB+MABC=BCD—>BD=AC BC=BC B 

صفحه 78:
۳- در مثلث متساوی‌الساقین ۸130 میانة ‎AM‏ ,1 رسم کرده‌ایم. مثلت‌های ۸/1 و ۸۷۲6 به جه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ جرا ۸۱۷ نیمساز زاوية ۸ است؟ حرا ۸۷ بر 3 عمود است؟ AC AM= oc ACM Pe M= ۳۹۰ B 

صفحه 79:
‎J,‏ از نقطة 0 خارج از دایره, دو مماس ‎MA‏ و ۷18 را بر دایره رسم كتيده آیا اندازة این دو مماس يأ هم ‎fag: eal gy‏ تی ادعای خود را نشان دهید. (راهنمایی : از مرکز دایره به نقطه‌های ۰۷ ۸ و 13 وصل کنید.) 

صفحه 80:
B=A-4 A A OM=OM>+-AMO=BMO=BM=AM OB=OA 

صفحه 81:
درس چهارم: حل مسئله در هندسه ۴۹ برای حل مسائل هندسی, راه حل کلی وجود ندارد؛ امّا می‌توان مراحلی را مشخص کرد که برای حل مستئلةٌ هندسه, توصیه می‌شود. اين مراحل را در حل یک مثال کاربردی معرفی می‌کنیم. مثال : دو روستای ۸ و 13 با یک جاده خاکی مستقیم به هم وصل هستند. در آن منطقه یک جادة اسفالتة مستقیم ساخته شد كه دو روستا در دو طرف آن واقع شد و جادة آسفالته درست از وسط جادَة خاکی عبور می‌کرد. ادارة راه‌سازی تصمیم گرفته است که از هر روستاء یک جاد؛ آسفالته با کوتاه‌ترین فاصلهٌ ممکن تا جادَة اصلی بسازد. بنابراین از روستای ۸ یک جادة مستقیم, 

صفحه 82:
عمود بر این جاد؛ اصلی و به طول چهار کیلومتر ساخته شد. برای برآورد هزینه‌های ‎col.‏ جادة دیگر از روستای ظ. مهندسان پیش‌بینی کرده‌اند که فاصلةٌ روستای 8 از جاده نیز همین مقدار است؛ یعنی ۰۸۲12۳۳7 

صفحه 83:


صفحه 84:
قدم‌های حل مسئله ‎۴٩‏ ‏۱- صورت مسئله را به‌دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل‌دهند؛ آن را بشناسید. در اين مسئله با مفاهیمی همجون خط. پاره خط و فاصله نقطه تا خط سرو کار داریم. یا با آنها آشنایی دارید؟ ۲-اگر مسثله فاقد شبکل است. با توجه بفصورت مسئله یک شبکل مناسسب برای آن رسم كنيد .در اینجا شکل این مسئله را با توجه به طرح بالا رسم کنید. ۳- داده‌های مستله (فرض) و خواسته‌های آن (حكم) را تشخيص دهيد و در یک جدول پنویسید. دراینجا فرض‌های اصلی این است که ۱۸ وسط ۸9 است؛ يعنى ۷۲۸-۷1 است و ۸11 و 1311 بر 4 عمودند و حکم این است : 

صفحه 85:


صفحه 86:
؟- برای رسیدن از فرض به حکم, راه حلی پیدا کنید. روش‌های مختلفی براى اين کار هست که آنها را به مرور می‌آموزید. یکی از راه‌های اثبات برابری دو پاره‌خط. استفاده از مثلث‌های هم‌نهشت است. در این شکل. کدام دو مثلث, برای اين منظور مناسب است؟ با توجه به فرض و حکم مسئله» اثبات را پا نمادهای ریاضی کامل کنید : 

صفحه 87:
۲ - ۸۲۲ ۸۱۷]۴۲20(/۲ج۱ 1-۲۲-۰۰ 

صفحه 88:
۵۰ ۱- در شکل مقابل وترهای ۸3 و (1) با هم مساوی‌اند. نشان دهید کمان‌های ۸3 و 6 مساوی‌اند. ‎a‏ ‏۸0-6 :رن امس که رصم ‎psa: AB=CD‏ 0 60-0 ۱ ‎A "a ۲‏ ۸ (ضض‌ض) | 28-0 08-0190 08-60 OA=OD AB=CD 

صفحه 89:
۲- در شکل مقابل کمان‌های ۸13 و 00 مساوی‌اند. نشان دهید وترهای ۸ و () با هم برابرند. cs ‏يي‎ ‎3: AB=CD9O,= O, psa: AB=CD AB=ODO>>AB=CD B 0 D (3a) A A ‏د‎ حم اح 08-00 ‎OA=OD‏ 

صفحه 90:
در یک دایره اگر دو کمان برایرباشمند. وترهای نظیر آنها با هم برابرند و اگر دو وتر برابر باشندء کمان‌های نظیر آنها نیز با هم براپرند. 

صفحه 91:
A D ۵۱ SDD ۰۸۵-0 ‏در شکل مقابل می‌دانیم‎ 1۸8 - 61 ‏جرا‎ -۱ ‏.وترهای نظیرشان باهم برابر است‎ 6 ۲- جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پرکنید : سس _ر ‎cp SAC=BD |» _¥‏ ۲ 7 .كمانهاى نظير شان باهم برابر ‎BC=BC ca‏ طق عفد وو بو 6م هر 

صفحه 92:
22 اه ‎١‏ در شكل مقابل 48607 متوازی‌الاضلاع است و ۷ و ۲ و 5 و 0 وسط‌های اضلاع متوازی‌الاضلاع‌اند, ثابت کنید : ۷۲۱۲-۳۵ ‎A M B‏ ‎6 AB=DC->BM=DP AD=BC-—>QD=BN ‎D 9 0 ‎BM=DP ‏(ض'زءض)‎ a & ‎B=D +0 >PQD=BMN-— >MN=PQ ‎QD=BN ‎ ‎ 

صفحه 93:
۲ در شکل مقابل 0 مرکز دایره است و 86 و (41 بر دايره مماس‌اند, نشان دهید که 41 و 80 برابرند. ‏ © ZS LBS -——pAD=OBO—>AD=BC PN 7 O=,0, ‏(زاض»ز)‎ ‎OA=OB ‎A=B=% 

صفحه 94:
۳- در شکل مقابل, مثلث ۸136 متساویالساقین است و ]۷و ۷( روی قاعد ‎BC‏ طوری قرار دارند که 13۸1-6. نشان دهید مثلت ۸۱۷6 هم متساوی‌الساقین است. حم بحص (ض زءض) 811-110 ‎B=C +1 —ABM=ANC‏ AB=AC I AM=AN ‏متساموٍاءلقییاست‎ ۸۱۷۱ B M ۲ " ‏ع‎ 

صفحه 95:
۴- در مستطیل (۸1961, پاره‌خط‌های 131 و "۸۳ طوری رسم شده که دو زاویة ,۸ و 3 برابرند. ثابت کنید 19۳0 و ۸ مساوی‌اند. BAS DS nN LK 71 ۳ A=,B, > A=,By A (5698°3) ZS a ‏م‎ | pF=BEC—>AF=BE 

صفحه 96:
۵- شان دهید در هر مثلث متساوی‌السافین. فاصلاٌ هر ‎Abs‏ دلغواه ووی تیساز راویة راش ازدو سیر قاعده بزایر اینت: ۶ -MB=MC a AB =AC) ya a A=,A, ——ABM=ACM—MB=MC M= AM=AM 

صفحه 97:
درس پنجم: شکل‌های متشابه ۵۳ - در تصویرهای زیر دو گل شبیه هم را می‌بینید. آیا هر دو گل به‌طور کامل مثل هم اند؟ خير 

صفحه 98:
- در تصویرهای زیر دو عکس از یک کودک را می‌بینید . تفاوت این دو تصوير در جیست؟ اندازه 

صفحه 99:
- تصویرهای زیر, عکس‌هایی از میدان آزادی تهران است. کدام‌یک به برج آزادی شبیه‌تر است؟ سمت چپ 

صفحه 100:
رجچه » : ‏مربع هاى صفحة شطرنجی زیر به ضاع یک سانتی‌متر است‎ ١ ili شكل (9) 

صفحه 101:
اندازة ضلع‌ها و زاویه‌های هر دو شکل را بنویسید : | "الالح ل( +1 mt ‏سای‎ ‏ی‎ rt es vate ۱۳۵ ۱۳۵ fee (Y) ‏شکل‎ 

صفحه 102:
جه رابطه‌ای ‎ye‏ ضلع‌های متناظر دو شکل وجود دارد؟ .اندازه ضلع های شکل ۱ دوبرابر اندازه ضلع های شکل ۲ است چه رابطه‌ای بین زاویه‌های متناظر دو شکل وجود دارد؟ برابرند اندازةضلع‌های شکل ‎)١(‏ جند برابر اندازة ضلعهاى شکل (۲) است؟ پرابر ۲ ۱ ۲/۲ rt yo شکل () 

صفحه 103:
در صفحة شطرنجى مقابل يك جند ضلعى رسم كنيد و جند ضلعى ديكرى مانند آن بكشيد؛ بدطورى كه اندازة ضاع‌هایش ۲ برایر شکل ‎Ath Jol‏ 

صفحه 104:


صفحه 105:
۲- در تصوير زیر نقشه قسمتی از شهر تهران را می‌بینید. مقیاس نقشه ۱به ۱۰۰,۰۰۰ است؛ یعنی هر یک سانتی‌متر روی نقشه با ۱۰۰,۰۰۰ سانتی‌متر مقدار واقعی برابر است. فاصلهٌ دو میدان انقلاب و آزادی را 

صفحه 106:
M ۰ -۷ ۰۰/۵۹۵5 - km ¥ leo CM =Veoeooes ee a 1 ‏ری‎ ate Se me ne Sana wie 3 ie Ve ota oe aie 7 iat ‏اند اد‎ mae 7 a Se --- ler, 9 ‏ها‎ ie Su = اس 4 ان( ‎ait‏ ‏ای و ‎ar‏ 

صفحه 107:
۳ شکل زیر را با دستگاه کپی کوچک کرده‌ايم. عدد روی دستگاه ۵۰ را نشان می‌داد. تصویر خروجی را شما رسم کنید. هرگاه در دو جندضلعی همةٌ ضلع‌ها به یک نسبت تغییر کرده باشد (کوجک یا بزرگ شنده» با بدون تغییر باشند) و اندازة زاویه‌ها تغییر نکرده باشند؛ آن دو جند ضلعی با هم متشابه‌اند. 

صفحه 108:
: شروط تشابه .زاویه ها تغبیر نکنند (1 .ضلع ها به یک نسبت تغیبر کرده باشند (۲ وروت .. ‎١‏ آيا دو مربع زير متشابهاند؟ اندازة ضلعها و زاويههاى هر كدام را بنویسید. حه رابطهاى بين ضلعها و زاویه‌های دو شکل وجود دارد؟ ‏یا می‌توان گفت هر دو مربع دلخواه با هم متشاهاند؟ چرا؟ 

صفحه 109:


صفحه 110:
(رحرکلتس ده ‎١‏ آيا دو مربع زير متشابهاند؟ اندازة ضلعها و زاويههاى هر كدام رأ بنويسيد. جه رابطهاى بين ضلعها و زاویه‌های دو شکل وجود دارد؟ زاويه ها برابرند و ضلع های مربع کوچکتر نصف اندازه ضلع های مربع بزرگ تر می باشد. ‎Ul‏ می‌توان گفت هر دو مربع دلخواه با هم متشاهاند؟ چرا؟ بله.در هر مربع دلخواه همه زاویه ها برابر ‎٩۰‏ درجه است و چون همه چهار ضلع مربع ها باهم برابر هستند پس نسبت بین اضلاع ثابت است. 

صفحه 111:
۲- از مستطیل‌های زیر کدام با هم متشابه‌اند؟ جرا؟ مستطیل او ۳ .زاویه ها برابر و اضلاع متناسب می باشند آیا هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه‌اند؟ خير 0) 2 

صفحه 112:
oy ‏«ققه‎ دو مثلث زير با هم متشابهاند. ضاع‌های متناظر و زاوی‌های متناظر را همرنگ کنید. نسبت ضلع‌های متناظر را پنویسید. آیااسته کسر برایر نه‌دست امد؟ ۸ D 5 E A rw F B 7 Cc 

صفحه 113:
ll ll +|< -|> Il ll 86 8 3 ۵ 

صفحه 114:
دو مثلث زير با هم متشابهاند. ضاع‌های متناظر و زاوی‌های متناظر را همرنگ کنید. نسبت ضلع‌های متناظر را پنویسید. آیا سه کسر برابر به‌دست آمد؟ يله ۸ 0 2 3 4 B ۳ c به نسبت دو ضاع متناظر در دو شکل متشابه, نسبت تشابه می‌گویند. 

صفحه 115:
(كددر كلس عد ال با توجه به مربع صفحة بعد مربع ديكرى رسم كنيد؛ بهكونهداى كه نسبت تشابه دو ‎ter‏ بائد. این سوال چند پاسخ دارد؟ چرا؟ دو پاسخ ‎19 ‏.کوچی يا بزرگی مربع دوم مشخص نیست 

صفحه 116:
۲ در صفحهة مختصات. نقاط زیر را پیدا کنید : لت ۸86 |[ ده ||-۸ مش فک | ۷ معا ات سم[ ا طول ضلعهاى دو مثلث را بنويسيد و تشابه آنها را بررسى كنيد. در صورت متشابه بودن نسبت تشابه را پیدا کنید. ‎١‏ ال ۲ ۲ 

صفحه 117:
— ۵۷ ees _— ‎١‏ أيا هر دو شكل هم نهشت با هم؛ متشابه نيز هستند؟ بله در صورت متشابه بودن نسبت تشابه جند است؟ ‎١‏ ‎"١‏ أآيا هر دو لوزى متشابهاند؟ جرا؟ خير.زاويه ها برابر نيستند ‏ددا — 

صفحه 118:
۳-در یک نقشه» مقیاس ۲۰۰ :۱ است. فاصلهٌ دو نقطه روی نقشه ۳/۵ سانتی‌متر است. فاصلهٌ این دو نقطه در اندازة واقعی حقدر است؟ 2۷ ۷۰۰۷۰۰۱ ۲۰۰۱۳/۵0۲ ‎yo 2 LIF‏ مثلت متساوی الاضلاع متشابهاند؟ جرا؟ بله .زاویه ها برابر ۶۰ درجه و اضلاع متناسب می باشند 

صفحه 119:
۵- آیا هر دو مثلث متساوی‌الساقین متشابه‌اند؟ جرا؟ خير .ممکن است زاویه راس متفاوت باشد اس کم 

صفحه 120:
۶-متلث ۸130 به ضلع‌های ۴ و ۵ و ۸ با مثلث 91:1 به ضلع او ۱۰و 1+۷ با هم متشابه اند (اندازة ضلع هاى مثلثهاء از کوچک به بزرگ نوشته شده است) مقدار ۲ را پیدا کنید. ۴ ۵ _ ۷ ۵0-۱۰ 1-۱ ۷ +۷ 5۵-۵-۴۰ 21۵-۵ +۰ 2۵-۴۵ 4 ۵ ۵ 

صفحه 121:
۷- کدام مثلث با مثلث ۸16 متشابه است؟ مثلت بنفش 

صفحه 122:
۸- در شکل زیر الف) مقادیر « و ۷ را بیابید (به کمک قضية فیناغورس) ب) اندازة زاویه‌های ۸ و ۸ جند درجه است؟ 5 آیا دو مثلث ۸190 و ۸190 متشابه‌اند؟ جرا؟ 

صفحه 123:
۸ ۷-۱۳۲ ۲۶۱۶۹ ۲۳-۲۵ ۲ {ro -8 ۲22-۶۲۲ ۲2۳۶۴ 11-1٠٠ x= feat 

صفحه 124:
۸- در شکل زیر الف) مقادير :: و لرا بيابيد (به كمك قضية فيئاغورس) ب) اندازة زاویه‌های ۸ و ۸ جند درجه است؟ ج) آیا دو مثلت ۸10 و ۸۱120 متشایهاند؟ چرا؟ 

جهت مطالعه ادامه متن، فایل را دریافت نمایید.