جزوه مکانیک سیالات -جلسه 6 (System & control volume-1)

صفحه 1:
System and Control Volume (1) 

صفحه 2:
(Basic and subsidiary laws) :.c¢)3 ‏قوانین اصلی و‎ در حیطه کارهای مهندسی برای هر محیط پیوسته چهار قانون اساسی ‎(BASIC LAW)‏ زیر وجود دار ۱- اصل بقای ماده (معادله پیوستگی) (60۵۵1070 لانناطامع) ۲علا۳2 ۵ 6008602100 ؟- قانون دوم نيوتن (معادله ‎Newton's second law (momentum equation) (25 > ojjail‏ ؟- اصل بقای انرژی (قانون اول ترمودینامیک) Conservation of energy (1* law of thermodynamics) ۴- قانون دوم ترمودینامیک ۱6۲۳۳۵۵۳۵۲۳66 0۲ ‎law‏ 24 علاوه بر قوانين عمومى فوق تعدادى قوانين فرعى نيز وجود دارد که گاهی روابط ساختاری (200005لا60 06 أأناأأ60181) ناميده مى شود و در مورد انواع ويزه ماده بكار مى رود. قانون هوک در جامدات الاستيك. معادله حالت در كازهاى كامل و قانون لزجت نيوتن در سيالات لزج نيوتنى نمونه هايى از قوانين فرعى (System and control volume) :J 335 ‏سيستم و حجم‎ دو حالت زیر در استفاده از قوانین اصلی و فرعی بکار می رود: ‎-١‏ قوانين فرعى و اصلی برای مقدار معینی جرم برقرار می گردد این مقدار معین ماده مجموعه یا سیستم ‎steals (SYStEM)‏ م ‎op.‏ ‏سیستم جرم معینی از ماده است كه أن جرم را از ساير مواد ديكر كه محيط (0/701011010905ا8) ناميده مى شود ‎ ‏ایز می سازد. سیستم ممکن است تفییر شکل. تفییر مکان یا تفییر دما بدهد ولی همواره حاوی ماده معینی است. 

صفحه 3:
قنون بقای جرم ثابت بودن جرم درون يك سیستم را نسبت به زمان (بدون توجه به اثرات نسبيت) نشان مى دهد: اقانون دوم نيوتن نيز براى يك سيستم بصورت زير بيان مى كردد: جرم امم ۳-2 vidm) ‏برآیند تمامی وهای خارجی‎ ‏اعمال شده بر سیستم (شامل‎ ‏نیروهای حجمی نظیر وزن)‎ سرعت مرکز چرم سیستم 

صفحه 4:
در حجم کنترل (۷۵/1196 [601010) قوانین اصلی و فرعی برای حجم معینی از فضا برقرار می گردد. حجم کنترل. حجم محدودی از فضا می باشد که در تحلیل وضعیتهایی که جریان جرم. اندازه حرکت و انرژی به داخل و خرج یک فضا روى می دهد استفاده می شود. به حجم کنترل سیستم باز (519117/ا5 00©11) نيز كفته مى شود. مرز حجم کنترل, سطح کنترل (510۴)208 60711701 نامیده می شود. در مکانیک جامدات, می توان جسم صلب یا بخشهایی از آن را مشخص کرد لذا همواره از روش سیستم (که به آن دياكرام ‎ze af free-body diagram — sl‏ شود استفاده می شود. ما در مکانیک سیالات که با تعداد نامحدودی ذره که حرکات نسبی پیچیده ای نسیت به یکدیگر دارند سروکار دارد معمولا استفاده از حجم كنترل ارجح ica حجم کنترل حجم محدودی از فضا است که اندزه و شکل آن اختیاری است. 

صفحه 5:
معادله انتقال رینولدز: (00۵/00ع )۲مجعصهت) حقام) ترمودینامیک دانش مطالعه گرم و انتقال انرژی است. در ترمودینامیک می توان دو دسته خواص زیر را مشخص نمود؛ ۱- خواص گسترده ‎(Extensive properties) .5 Jais b‏ خواصی از ماده است که اندازه نها به مقدار ماده موجود بستگی دارد. نظیر وزن.اندازه حرکت. حجم و انرژی, ۲- خواس متموکز یا 33 ‎ntensive properties)‏ خواصی که اندازه آنها مستقل از مقدار ماده موجود است. نظیر دما و فشارکه مستقل از جرم هستند. مى توان متفیرهای گسترده را در واحد جرم بیان کرده به خواص متمرکز تبدیل نمود. بهعنوان نمونه حجم واحد جرم (۷). انرژی بر واحد جرم () به مقدار ماده موجود بستگی نداشته کمیات متمرکزی محسوب می شوند. به این کمیتها وازه مخصوص (50©6106) اطلاق ميشود. سر = اا ده ‎t‏ سره ver u v= ‏"لصن - تا‎ 

صفحه 6:
برای مرتیط کردن خاصیتی از سیال در سیستم و خاصیت نظير آن در حجم كنترل. خاصیت گسترده دلخله ۸ از سيال را در نظر می گيريم. در ار وزیع ۸ در واحد جرم را با ۸ نشان دهیم =X w= [ffnvar A x حجم کنترل سیستم و حجم کنترل در لحظه ]1*۵ سیستم و حجم کنترل در لحظه 4 محل حجم کنترل در فضا ثایث است اما سیتم دارای حجم 1۸/1 در لحظه / و 17*111 در لحظه ‎lastly ge HAL‏ 

صفحه 7:
تغییر ۸۷ در فاصله زمانی ۸ برابر است با ‎BN‏ = لش ۳ ‏لل سمل ‎ae‏ ب( /#مرد | + الم ) ‎=i ‎im[— ۳ ‏0ج ۸ ‎ ‎J-lim[—‏ ا ا ‎it‏ ‏0ج ۸ ‎At>0 At>0‏ ‎(lInedv),‏ دیفم (4)- بری( رل ‎t‏ ‎0 ‏اولین حد مشتق جزنی حجم کنترل می باشد: ‎(fred ),.a, — (ned),‏ 7/00 ۳ جرک رز ‎At>0‏ 

صفحه 8:
حد دوم مقدارمتوسط خروج 4 از بخش ۸188 سطح کنترل و حد سوم نرخ ورود ۸ از بخش 48 سطلح کنترل را نشان مى دهد. بنابراين جملات دوم و سوم مجموعا رخ خروجی خالس از حجم کنترل را رنه می كنند. سطح کنترل در لحظه 1+0 حجم سیالی که در زمان 06 از 614 گذر کرده است: ‎eee‏ رو سم ‎dAdt‏ 

صفحه 9:
با جایگذاری نرخ خروج ۸۷ از بخش ۸4/9 سطح کنترل برابر است با 05772 ‎(pd) 20 3‏ 0<لفمدمءهمو ]| 44 تم[ ا سنا مودو 8 ‎aso anh‏ ‏و نرخ ورود ۸ از بخش 2۸۸ سطح كنترل (0<77/2): 0 > هدم دمر ]| - - قمر |[ نا ‎At>0 ae ae cosa <0 ‎(lnedV), = ‏مزا ‎ ‏بنایراین نرخ خروجی خالص ۸۷: ‎{ npi.dd—(— | npi.da) = [| nov dd + [[npi.dd = ffnpv.dd sis sis sis ius 5 ‏يا توجه يه أين كه اثرات غیر دائمی دارای مرتبه دوم اهمیت هستند. معادله فوق که در جریان دائمی بدست آمد ‎ ‏در جريان غير دائمى نيز برقرار است. با جايكذارى در معادله (1) اسلايد /: 5 6 درب ‎DN‏ ‏معادله انتقال رینولدز “مر ل +4 تم تس ‎OG‏ #4 ‎ ‏كه در آن ‎Mut N(X,t)‏ بردار یا تانسوری از هر مرتبه است. ‎ ‎ 

صفحه 10:
این معادله که امکان ارتباط روش سیستم به حجم کنترل را نشان می دهد. معادله انتقال ریتولدز ‎eel (Reynolds transport equation)‏ می شود.* این معادله را می توان مستقیما با استفاده از تلوری لایب 525 ‎Leibnitz)‏ که مشتق انتگرال حجمی را بهانتگرال سطحی تبدیل می کند نیز بدست آورد در معادله انتقال رینولدز 87 نسبت به دستگاه 212 (در واقع نسبت به حجم کنترل که در این دستگاه ثابت است سنجیده می شود). بنابراین نرخ تغییرات زمانی 2۷ (و [1) نیز که می توانند یک کمیت برداری باشند (مثلا اندازه حرکت) تسبت به حجم کنترل بیان می شوند. از آنجا که می توان دستگاه مختصات متحرک استفاده کرد. پس حجم کنترل نیز می توند هرگونه حرکتی داشته باشد. در این حالت کافیست کمیتهای وابسته به زمانی که مشتق آنها محاسبه می شود (نظیر سرعت. اندازه حرکت..) و سرعتها نسبت به حجم کنترل متحرک بیان شوند 

صفحه 11:
قوانین اصلی سیستم ها و حجم کنترلهای محدود: (Basic laws for finite systems and finite control volumes) در این بخش تعدادی از معادلات اساسی که مبنای اکثر تحلیلهای سیالات را تشکیل می دهد بررسی می شوند. قانون بقای جرم-معادله پیوستگی: (00ذاهوه ‎(Conservation of mass-Continuity‏ در یک سیستم بدلیل ثابت بودن جرم اصل بقای جرم "مستقیماً بر قرار است: در حجم کتترل یا استفاده از ممادلا تال رینولدز داريم: 4 4 5 لقي دوز هب هزد ‎dm‏ 17 ‎Dm_‏ ‎Dt oe‏ اما جرم سیستم (طرف چپ معادله ثابت ‎Dm‏ “ماج -- همزل ‎ls‏ 9= سم ی ‎Dt‏ 

صفحه 12:
أين رابطه در هر لحظه / براى هر حجم کنترل معتبر است. در صورت متحرک بودن حجم کنترل 1 و مشتق زمانی 2 پایدنسبت یه حجم کنترل متحرک محاسبه شوند ‎at‏ اكر جريان نسبت يِه دستكاه مختضاتى كه به حجم كنترل متصل شده است دائمى باشده با خواص سيال نسبت به زمان و نيز شكل حجم كنترل برلى يك يا جند نوع سيال داريم: با ثابت بودن تمام 6 2 دوعو _ ملس = جرم كل داخل حجم در صورت وجود تنها یک نوع سیال می توان ۵ را از رابطه فوق حذف کرد. کتترل که ثایت اب 7 موقعیت مرز مشترک دو سیال در جریان دائمی ثابت است. 

صفحه 13:
اگر در داخل حجم كنترل. جريان غير قابل تراكمى از فقط يك نوع سیال وجود داشته باشد. جرم مخصوص سيال حتى در ميدان سرعت غير دائمى همواره و در تمام نقاط حجم كنترل 8 از ثابت است. بنایراین: - تم ] cS 2 [[fow= ويا 2-0 نس 5 بتابراين در هر جريان تراكم نابذير از یک نوع سیال. اصل بقای جرم به اصل بقای حجم ‎ge bas (Conservation of mass)‏ گردد. واضح است که این مطلب در جريان تراكم بذير غير دائمى ‏صحیح نیست زیرا جمله مربوط یه نرخ تغیبیر جرم داغل حجم کنترل که به افزایش جرم داخل آن منجر می شود؛ ‏حجم کنترل ‎ ‏جريان قابل تراكم ‏حذف نمی شود. مثلا ورود هوا به یک محفظه ‎ ‎ ‎ ‏جربان غير قابل تراكم (1)ر© >(1) ,© ‎ ‎ 

صفحه 14:
(Differential form of mass consery: فرم دیفرانسیلی قانون بقای جرم: ‎lon)‏ هرگ ‎oe)‏ را ع4 ضماة ‎Shae‏ 2 سم 7 ‎AM) bY dae‏ ‎a 2‏ مدرگ ‎es)‏ با فرض بردار سرعت (0,«,۷) 17 در مركز المان: دبى جرمى ورودى - دبى جرمى خروجى - نرخ كاهش جرم داخل جزء حجم میا مگ + مهن( + مره و اک 2 ae 0 

صفحه 15:
2 O(pw) ‏لاک‎ Ae), 2 ‏قانون بقای جرم‎ ‏و فصاقی ظصاق, ۵ما2‎ sues a hy alien x ‏در جریان تراکم ناپذیر (دائمی و غیر دائمی)‎ معادلات مشابهی را در سیستم مختصات استونه ای و کروی می توان بدست آورد.برای رهایی از سیستم مختصات می توان از عملگر دیورجانس استفاده کرد divi pi) = Bp) =P ‏قانون بقای جرم‎ و در جریان تراکم ناپذیر (معادله پیوستگی) 

صفحه 16:
قانون اندازه حرکت 45.: ‎(Linear momentum)‏ در تحلیل سیستم می توان مستقیما قانون دوم نيوتن را یکار برد ‎d‏ ۳/7 - “ا سك اك« لإا د که در آن اندازه حركت خطى و ,”هه برآيند كليه نيروهاى خارجى وارد ير سيستم بوده و 17 و مشتق زمالی بت به يك دستكاه مختصات اينرسيال (818068 |10©]]18) بيان مى شوند. با توجه به اينكه نيروهاى وارده به سيستم از دو بخش نيروى سطحى (0768] 6۸0۲1366 (/,2:/( :)7و نیروی حجمی (0166] /000) ‎B(x, y, 2,1)‏ _ تشکیل می شوند: F, = ffTa4- ||] ‏مخ‎ ‏كم‎ Ne 100+ ‏م]]]‎ PE Gy omnes sini ‏هن‎ 

صفحه 17:
در تحلیل حجم کنترل ثابت در فضای ‎control volume fixed in inertial space) Ji yu!‏ اندازه حرکت ‏ بعنوان خاصیت گسترده در معادله انتقال ريتولدز در نظر گرفته می شود: PE ‏و‎ Dt DP ‏اکر حجم کنترل در فضای ایترسال ثبت در نظرگرفتهشود. سر" نی نسبت به دستگاهایترسیل بوده وب‎ استفاده از معادله (11) اسلاید قبل:* {prea «0 ‏سم‎ 2 تغییر لدزه حرکت در شار اندزه حرکت (ندازه حرکت در واحد داخل حجم کنترل زمان) ورودی و خروجی از حجم کنترل ين رابطه بدين معنى است كه برآيند نيروهاى سطحى و حجمى اعمال شده بر يك حجم كنترل برابر با مجموع نرخ .زمانى افزايش اندازه حركت خطى درون حجم کنترل و خالص شار ندزه حرکت خروجی از سعلح کنترل می باشد. 

صفحه 18:
با در نظر گرفتن مولفه های کمیتهای برداری اندازه حرکت. سرعت. نیروی سطحی و نیروی حجمی در سه راستای متعامد زو دیمح ۳*۰ سمال[ ‎forays‏ = ۷[ 6 {faa fa.nav = fords 2 ۵ 

صفحه 19:
فرم دیفرانسیلی قانون نیوتن. معادله اولر: (640۵/00 6۲۲5اظ) در المنیبه جرم 0 ندازه حرکت با کمیت برداری 6/01 تعريف مى شود. قانون نيوتن در يك سیستم مختصات ايترسيال: = (dns) = a =dma Dt 25 ov Ov Ov =dm(v, —+v, —+v,—+ Ox dy “a ot اگر تنش برشی وجود نداشته و تنها نيروى حجمى نيروى ثقل باشد: dF = dfaV =(-VP—jk)dV bs (VP-yk)dV =dm(v, ۷ ‏توب‎ ‎ox vP 3 dm=pdV ‏حت‎ Sasa. Fry Ss 

صفحه 20:
و یا معادله اور 2 ‎a OF OF‏ ظ۷ ) ‏جك بت (2 ۷ - سس‎ + a ‘ ‏م‎ ox ay 62 ot Dt (Euler's equation) BS Dye Diye Dy os ‏كه در آن: ری ای‎ i Jt k=aitajt+ak Dt Dt ۲ Dt wees ‎NE cea‏ 1 تمایش دا تو 3 ‎ray ae‏ 2 ,۷ می‌توان اولر را به فرم زیر نیز نمایش ‎(oe pix) =. + ‎ot‏ م ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 21:
حجم کنترل غیر اینرسیال: (۲0۱۳6 متام ‎(Non-inertial‏ معادله اصلی اندازه حرکت خطی که از قانون نیوتن بدست می آید در حالتی صحیح است که شتاب نسبت به یک دستگاه مرجع اينرسيال سنجيده شود.* با توجه به اینکه حرکت سیال نسبت به حجم کنترل سنجیده می شود. معادله اندازه حرکت خطی صرفا برای حجم کنترلهایی معتبر است که نسبت به یک دستگاه اینرسیال ثابت بوده و یا با سرعت ثابت جركت كنند. 5 دستگاه ایترسیال 127 و دستگاه 102 را که نسبت به آن حرکت اختیاری درد در نظر مى كيريم: “oriolis 2s Gi... +R+2xOxV,, +Ox7 + Ox (Ox?) NX 4, ria )ox 2۴1/2 ‏ترتیب سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای سیستم دوار 02 در سیستم مختضات ثابت‎ aD, D 

صفحه 22:
قالون نیوتن برای ذره ای بسیار کوچک بر حسب حرکت نسبی آن در دستگاه ۷2 dF = dma yy, =dnla +R+2xOxi,, +OxF + Ox(Ox?)] ‎dF -dn[R+2x0x¥,, + OxF +Ox(Sx7)]= dma,‏ حب ‎= pple) ‎D ‏ست معرف مشتق زمانی است که از دیدگاه دستگاه 2[ انجام می شود. این معادله قانون نیوتن را در حالتی که‎ ‏بلط ‏جملات سمت چپ به شکل نیروهایی فرضی در نظر گرفته شده اند نشان می دهد. با نتگرالگیری بر روی تمام المانهای داخل سیستم, برای سیستم محدود: ‏۵+۵۵ + ییقه + ]| - سم 7 7 1 ‎>, (lf..et= FP) ® 

صفحه 23:
با استفاده از معادله انتقال ریتولدز: با تركيب دو معادله () و (01 fftaa [[[Boav - [[fik+2x x0, +x +dx(@xF)\pdV a & 2 = ‏رتیت‎ ase ‏رم[‎ ‎rey 2 از آنجایی که حجم کنترل در دستگاه 2[ ثابت است. معمولا مناسبتر است که از حجم کنترل بعتوان محل ستجش سرعتها و مشتقات زمانی استفاده شود. 

صفحه 24:
ینابر این قانون اندازه حرکت به این معنی است که کل نیروهای سطحی و حجمی وارده به سیال داخل سطح کنترل منهای کل توزیع نیروهای حجمی فرضى كه ناشى از غير اينرسيال بودن حجم كنترل اند برابر است با مجموع گذر داخل حجم كنترل از ديد ناظرى وافع بر حجم كنتول. ‎sla‏ حرکت از سطح کنترل و نرخ تغيير اندازه حر ‎ 

صفحه 25:
(Moment of momentum) :25 > «jl! 5) سیستم محدودی از سیال را مطابق شکل در نظر می گیریم. بر مبنای قانون نیوتن: ‎a)‏ ‎dF =—(dmis‏ ‎pan)‏ . با ضرب خارجی طرفین رابطه در بردار مکان ‎F‏ اما ‎xcimp) =P" xdmo +7? (dmv)‏ > ‎Dt Dt Dt‏ 0 ‎(dnt)‏ مهب و ‎Dt‏ =? 2 (ami سدع الكت ويج وت ‎Dt‏ 

صفحه 26:
یعنی لنگر کل نیروهای وارد بر المان 6107 نسبت به مبدا مختصات اینرسیال با میزان تغییر زمانی لتگر اندازه حرکت که از دستگاه مختصات اینرسیال ستجیده می شود برابر است* با انتگرال گیری روی سیستم: ‎JixaF = 12 7‏ 062 بیع ظ با توجه به ثابت بودن جرم سیستم (حدود انتگرال گیری) ۰ 6/1( >ر بو ۳ ‎DH‏ _ ‎Dt‏ ‏که ‎(angular momentum — gl aig; cS,> ojlas) Ag) jo‏ لنگر اندازه حرکت سیستم در فضای اینر یال را ‏نشان می دهد. لتگر سمت چپ معرف کل لتگر نیروهای خارجی وارده به سیستم نسبت به یک نقطه بت ااست که میتواند بر حسب نیروهای سطحی و حجمی نوشته شود: ‏م8« ]] +سگحل- ۳ ‎DH‏ 1 3 ‎— Efrain [ffP pay = ‎ ‎ ‏که معادلهاندازه حرکت_برای یک سیستم را نشان می دهد. ‎ ‎ 

صفحه 27:
روش حجم کنترل برای لنگر اندازه حرکت ‎(Control volume approach for the moment of momentum equation)‏ (Inertial control volume) : Jos ys! J 25 92> اندازه حرکت زاویه ای أّ بعنوان خاصیت گسترده در معادله انتقال رینولدز در نظر گرفته می شود: = dH _(Fxt)dm_ N=H ‏ال گر مه‎ 4 dm DH ee a, Opps = ‏رم( 1*74 بو‎ با توجه به انطباق حجم کنترل و سیستم در لحظه ‏ ۱ ‎tes‏ 5 2 ۳ تغییر نگرادازه حرکت شار لنكر اندازه حركت (اندازه حركت در واحد در داخل حجم کنترل زمان) ورودی و خروجی از حجم کنترل 

صفحه 28:
در بسیاری از مسائل عملى با نوشتن لنكر نيروها و اندازه حركت نسبت به يك محور فقط يك مولفه اسكالر بكار می رود: ی سم ۳ cs که در آن 2 فاصله شعاعی هر ذره تا محور 4-4 بوده و ول سرعت ذره در راستای عمود بر شعاع است. 

صفحه 29:
حجم کنترل غیر اینرسیال: (۲۵1۲06 ‎(Non-inertial control‏ ty cal aly 70 ‏نيوتن برای جزء جرم‎ ost ml R+2xOxi.,, + OxF + x(x?) D =——(dmvy, Bin ‏دستگاه ایترسیال‎ 7 ‏با ضرب خارچی طرفین رابطه در بردر مکان‎ D Pad dmx 2xdxi,, +x? +x Gx?) Px ‏ع‎ (dmv) 

صفحه 30:
‎an.) “>. (Fxdmi,.)‏ _ رت ری ‎PxdP—dnfxth+2xdx%,, + Ox? +Ox(Ox7)] ‎ ‎(Fxi,jdm ‏نتگرال گیری بر روی سیستم: ‎peep od Js‏ ‎"٩‏ نسبت به مرکز سیستم غیر اینرسیال ‎DH,,.‏ و سس رز مس أ ع ‎we‏ - ری هعقب یه سمل ]]] ول + 1 ‎Dt, ‏لنگر یروهای سطحی نسبت‎ ‏به مركز سيستم ابترسيال ‏لذكر تيروهاى حجمى نسبت كا ‎ ‏و با در نظر كرفتن خاصيت گسترده بر در معادله انتقال ريتولدز: ‎(Fx¥,.)dm ‏بر‎ ‏اد‎ ‎dm ‏6 درز و ‏دو اح قدر ‎ ‎ 

صفحه 31:
ویا توجه به انطباق حجم کنترل و سیستم در لحظه /: M,+M, - ۳ ‏)مدق + دق + همق‎ ۳ Jl (Fx¥,.)(pdV) در اين معادله بجز (6. (6 و #/ ساير كميتها و مشتق هاى زمانى نسبت به حجم كنترل متحرك ستجيده مى شوند. در حالتی که 6 و 6 دارای امتداد ثبتی در فضای اینرسیال هستند. می توان رابطه راب استفاده از مختصات استوانه ای ساده کرد < ۳۵ + 26 Vays = Vp) €r + Wane lo + (Ve) yes 

صفحه 32:
- Jf Roar = [ff Rr pav = Rx fffFdm - ‏,اعد - عم‎ a 9 x © ‏ممان اول جرم حول نقطه‎ كه در آن ب بردار نظير مركز جرم است. در صورت تقارن محوری 0 است يعنى توزيع جرم در حجم کنترل نسیت به مرکز سیستم متحرک( نفطه ۵ اسلاید ۲۸) صفر است: M fzdm M با جایگزین کردن معادلات فوق در معادله اصلی حجم کنترل غیر اینرسیال (اسلاید قبل. 

صفحه 33:
My +M, + ‏هل‎ - [[f(ré, +28.)x {(208.)x [Op ) ne & + Mo )anz ‏وة‎ + (Vays @ 1+ 08, x (FE, + 28.) + 8. x[w8. x (Fé, + 2é,)]}odV = FFE +28) 8 +o) eo + W)ye8- OPA os 7 ۳ ‌ ۳ ۳ 0 *النص[ يقي 0 + ویر (0) + بقیر(:)]«(یقع + ۳ 00 با توجه به اينكه: > 

صفحه 34:
‎72)é, +‏ + ]| - + رجا < ۵120۷( ۵۳2 + «20۳) + رق(عه + رجه2) مقر + رقر- به) + ‎Ff lend,‏ ‏۷2 + و8( - )+ بق( سا + ‎ ‏این معادله را می توان در سه راستای 2,00 ,"1 تفکیک نمود. ‎ ‎ ‎ 

System and Control Volume (1) ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﺻﻠﻲ ﻭ ﻓﺮﻋﻲ(Basic and subsidiary laws) : ﺩﺭ ﺣﻴﻄﻪ ﻛﺎﺭﻫﺎﻱ ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮﺍﻱ ﻫﺮ ﻣﺤﻴﻂ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﭼﻬﺎﺭ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﺳﺎﺳﻲ ) (basic lawﺯﻳﺮ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺭﺩ: -1ﺍﺻﻞ ﺑﻘﺎﻱ ﻣﺎﺩﻩ )ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ( )Conservation of matter (continuity equation -2ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﻧﻴﻮﺗﻦ )ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ( )Newton's second law (momentum equation -3ﺍﺻﻞ ﺑﻘﺎﻱ ﺍﻧﺮژﻱ )ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻭﻝ ﺗﺮﻣﻮﺩﻳﻨﺎﻣﻴﻚ( )Conservation of energy (1st law of thermodynamics -4ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﺗﺮﻣﻮﺩﻳﻨﺎﻣﻴﻚ 2nd law of thermodynamics ﻋﻼﻭﻩ ﺑﺮ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻓﻮﻕ ﺗﻌﺪﺍﺩﻱ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﻓﺮﻋﻲ ﻧﻴﺰ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺭﺩ ﻛﻪ ﮔﺎﻫﻲ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﺳﺎﺧﺘﺎﺭﻱ ) (constitutive equationsﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﻭ ﺩﺭ ﻣﻮﺭﺩ ﺍﻧﻮﺍﻉ ﻭﻳﮋﻩ ﻣﺎﺩﻩ ﺑﻜﺎﺭ ﻣﻲ ﺭﻭﺩ .ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻫﻮﻙ ﺩﺭ ﺟﺎﻣﺪﺍﺕ ﺍﻻﺳﺘﻴﻚ ،ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺩﺭ ﮔﺎﺯﻫﺎﻱ ﻛﺎﻣﻞ ﻭ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻟﺰﺟﺖ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺩﺭ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﻟﺰﺝ ﻧﻴﻮﺗﻨﻲ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﻳﻲ ﺍﺯ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﻓﺮﻋﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ(System and control volume) : ﺩﻭ ﺣﺎﻟﺖ ﺯﻳﺮ ﺩﺭ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﺻﻠﻲ ﻭ ﻓﺮﻋﻲ ﺑﻜﺎﺭ ﻣﻲ ﺭﻭﺩ: -1ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﻓﺮﻋﻲ ﻭ ﺍﺻﻠﻲ ﺑﺮﺍﻱ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺟﺮﻡ ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ .ﺍﻳﻦ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺎﺩﻩ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻳﺎ ﺳﻴﺴﺘﻢ ) (systemﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺟﺮﻡ ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺍﺯ ﻣﺎﺩﻩ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺁﻥ ﺟﺮﻡ ﺭﺍ ﺍﺯ ﺳﺎﻳﺮ ﻣﻮﺍﺩ ﺩﻳﮕﺮ ﻛﻪ ﻣﺤﻴﻂ ) (surroundingsﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﻣﻲ ﺳﺎﺯﺩ. ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻤﻜﻦ ﺍﺳﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺷﻜﻞ ،ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﻳﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺩﻣﺎ ﺑﺪﻫﺪ ﻭﻟﻲ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﺣﺎﻭﻱ ﻣﺎﺩﻩ ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺍﺳﺖ. ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻥ ﺟﺮﻡ ﺩﺭﻭﻥ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺭﺍ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺯﻣﺎﻥ )ﺑﺪﻭﻥ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﺛﺮﺍﺕ ﻧﺴﺒﻴﺖ( ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ: mﺟﺮﻡ ﻛﻠﻲ ‏dm =0 ‏dt ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﻧﻴﺰ ﺑﺮﺍﻱ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺼﻮﺭﺕ ﺯﻳﺮ ﺑﻴﺎﻥ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ: ﺟﺮﻡ ﺛﺎﺑﺖ ﺳﻴﺴﺘﻢ ‏ d ‏ ‏d  )∑ F = dt (mv ) = dt (∫mv dm ﺳﺮﻋﺖ ﻣﺮﻛﺰ ﺟﺮﻡ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﺪﻩ ﺑﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ )ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺣﺠﻤﻲ ﻧﻈﻴﺮ ﻭﺯﻥ( ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺨﺎﺭ ﺩﺍﺧﻞ ﺳﻴﻠﻨﺪﺭ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺣﺮﻛﺖ ﭘﻴﺴﺘﻮﻥ ﺣﺠﻢ ﺁﻥ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻭﻟﻲ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻭ ﻛﻤﻴﺖ ﺟﺮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺁﻥ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ. ﺩﺭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ) (control volumeﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﺻﻠﻲ ﻭ ﻓﺮﻋﻲ ﺑﺮﺍﻱ ﺣﺠﻢ ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺍﺯ ﻓﻀﺎ ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ .ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ، ﺣﺠﻢ ﻣﺤﺪﻭﺩﻱ ﺍﺯ ﻓﻀﺎ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻭﺿﻌﻴﺘﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺟﺮﻡ ،ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﻭ ﺍﻧﺮژﻱ ﺑﻪ ﺩﺍﺧﻞ ﻭ ﺧﺮﺝ ﻳﻚ ﻓﻀﺎ ﺭﻭﻱ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎﺯ ) (open systemﻧﻴﺰ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﻣﺮﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ،ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ) (control surfaceﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ. ﺩﺭ ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﺟﺎﻣﺪﺍﺕ ،ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺟﺴﻢ ﺻﻠﺐ ﻳﺎ ﺑﺨﺸﻬﺎﻳﻲ ﺍﺯ ﺁﻥ ﺭﺍ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮﺩ ﻟﺬﺍ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﺍﺯ ﺭﻭﺵ ﺳﻴﺴﺘﻢ )ﻛﻪ ﺑﻪ ﺁﻥ ﺩﻳﺎﮔﺮﺍﻡ ﺁﺯﺍﺩ – free-body diagramﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ( ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﺍﻣﺎ ﺩﺭ ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﻧﺎﻣﺤﺪﻭﺩﻱ ﺫﺭﻩ ﻛﻪ ﺣﺮﻛﺎﺕ ﻧﺴﺒﻲ ﭘﻴﭽﻴﺪﻩ ﺍﻱ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺩﺍﺭﻧﺪ ﺳﺮﻭﻛﺎﺭ ﺩﺍﺭﺩ ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺍﺭﺟﺢ ﺍﺳﺖ. ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ‏Q ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺣﺠﻢ ﻣﺤﺪﻭﺩﻱ ﺍﺯ ﻓﻀﺎ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﻭ ﺷﻜﻞ ﺁﻥ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻱ ﺍﺳﺖ. ‏Q ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ(Reynolds transport equation) : ﺗﺮﻣﻮﺩﻳﻨﺎﻣﻴﻚ ﺩﺍﻧﺶ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﮔﺮﻣﺎ ﻭ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺍﻧﺮژﻱ ﺍﺳﺖ .ﺩﺭ ﺗﺮﻣﻮﺩﻳﻨﺎﻣﻴﻚ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺩﻭ ﺩﺳﺘﻪ ﺧﻮﺍﺹ ﺯﻳﺮ ﺭﺍ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮﺩ: -1ﺧﻮﺍﺹ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﻳﺎ ﻣﻘﺪﺍﺭﻱ ):(Extensive properties ﺧﻮﺍﺻﻲ ﺍﺯ ﻣﺎﺩﻩ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺁﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎﺩﻩ ﻣﻮﺟﻮﺩ ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺩﺍﺭﺩ .ﻧﻈﻴﺮ ﻭﺯﻥ ،ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ،ﺣﺠﻢ ﻭ ﺍﻧﺮژﻱ. -2ﺧﻮﺍﺹ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻳﺎ ﺷﺪﺗﻲ ):(Intensive properties ﺧﻮﺍﺻﻲ ﻛﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺁﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺍﺯ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎﺩﻩ ﻣﻮﺟﻮﺩ ﺍﺳﺖ .ﻧﻈﻴﺮ ﺩﻣﺎ ﻭ ﻓﺸﺎﺭﻛﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺍﺯ ﺟﺮﻡ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎﻱ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺮﻡ ﺑﻴﺎﻥ ﻛﺮﺩﻩ ﺑﻪ ﺧﻮﺍﺹ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻧﻤﻮﺩ .ﺑﻪ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺣﺠﻢ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺮﻡ ) ،(vﺍﻧﺮژﻱ ﺑﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺮﻡ ) (eﺑﻪ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺎﺩﻩ ﻣﻮﺟﻮﺩ ﺑﺴﺘﮕﻲ ﻧﺪﺍﺷﺘﻪ ﻛﻤﻴﺎﺕ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰﻱ ﻣﺤﺴﻮﺏ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ .ﺑﻪ ﺍﻳﻦ ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ ﻭﺍژﻩ ﻣﺨﺼﻮﺹ ) (specificﺍﻃﻼﻕ ﻣﻴﺸﻮﺩ: ‏E = ∫∫∫ edm = ∫∫∫ eρdV ‏V ‏m ∫∫∫ vdm = ∫∫∫ vρdV ‏V ‏m ﻳﺎ dE =e ‏dm = Vﻳﺎ ‏dV =v ‏dm ﺑﺮﺍﻱ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻛﺮﺩﻥ ﺧﺎﺻﻴﺘﻲ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺩﺭ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻭ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﺁﻥ ﺩﺭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ،ﺧﺎﺻﻴﺖ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﺩﻟﺨﻮﺍﻩ Nﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﺍ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ .ﺩﺭ ﺍﮔﺮ ﺗﻮﺯﻳﻊ Nﺩﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺮﻡ ﺭﺍ ﺑﺎ ηﻧﺸﺎﻥ ﺩﻫﻴﻢ: ‏dN ﻳﺎ =η ‏dm ‏N = ∫∫∫ηρdV ‏V ‏z ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ‏A ‏III ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ‏y ‏A ‏R ‏II ‏I ‏L ‏B ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ t+∆t ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ‏B ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ t ﻣﺤﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻓﻀﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ ﺍﻣﺎ ﺳﻴﺘﻢ ﺩﺍﺭﺍﻱ ﺣﺠﻢ I+IIﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ tﻭ II+IIIﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ t+∆tﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ‏x :∆ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎt ﺩﺭ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺯﻣﺎﻧﻲN ﻣﻴﺰﺍﻥ ﺗﻐﻴﻴﺮ dN DN ( ) system = dt Dt ( ∫∫∫ηρdV + ∫∫∫ηρdV ) t + ∆t − ( ∫∫∫ηρdV + ∫∫∫ηρdV ) t III I II ] = lim[ II ∆t ∆t → 0 = lim[ ( ∫∫∫ηρdV )t + ∆t − ( ∫∫∫ηρdV ) t II ∆t → 0 II ∆t ] + lim[ II ∆t → 0 II ∆t III ∆t → 0 ( ∫∫∫ηρdV ) t + ∆t − ( ∫∫∫ηρdV ) t lim[ ( ∫∫∫ηρdV ) t + ∆t ∆t ] − lim[ ( ∫∫∫ηρdV ) t I ∆t → 0 ∆t ] (I) :ﺍﻭﻟﻴﻦ ﺣﺪ ﻣﺸﺘﻖ ﺟﺰﺋﻲ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ]= ∂ ηρdV ∫∫∫ ∂t CV ﺣﺪ ﺩﻭﻡ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺧﺮﻭﺝ Nﺍﺯ ﺑﺨﺶ ARBﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻭ ﺣﺪ ﺳﻮﻡ ﻧﺮﺥ ﻭﺭﻭﺩ Nﺍﺯ ﺑﺨﺶ ALBﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺭﺍ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺟﻤﻼﺕ ﺩﻭﻡ ﻭ ﺳﻮﻡ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎ ﻧﺮﺥ ﺧﺮﻭﺟﻲ ﺧﺎﻟﺺ Nﺍﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺭﺍ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ. ‏ ‏n ‏dA cos α ‏vdt ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ t+dt ﺣﺠﻢ ﺳﻴﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺯﻣﺎﻥ dtﺍﺯ dAﮔﺬﺭ ﻛﺮﺩﻩ ﺍﺳﺖ: ‏ ‏v ‏α ‏ ‏dA ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ t ‏dV = (vdt )dA cos α ‏  = v .dAdt ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬﺍﺭﻱ ﻧﺮﺥ ﺧﺮﻭﺝ Nﺍﺯ ﺑﺨﺶ ARBﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ ):(α<π/2 ∫∫ηρv cos αdA > 0 ‏cosα > 0 ‏ARB ‏  = ] = ∫∫ηρv .dA ( ∫∫∫ηρdV ) t + ∆t ‏ARB ﻭ ﻧﺮﺥ ﻭﺭﻭﺩ Nﺍﺯ ﺑﺨﺶ ALBﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ):(α>π/2 ‏  ] = − ∫∫ηρv .dA = − ∫∫ηρv cos αdA > 0 * ‏ALB ‏cosα < 0 ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻧﺮﺥ ﺧﺮﻭﺟﻲ ﺧﺎﻟﺺ :N ‏  ‏  ∫∫ηρv.dA = ∫∫ηρv.dA ‏CS ‏ALB ‏ALB ‏  ∫∫ηρv.dA + ‏ARB ‏III [lim ∆t ∆t → 0 ( ∫∫∫ηρdV ) t ‏I ∆t [lim ∆t → 0 ‏  ‏  = )∫∫ηρv.dA − (− ∫∫ηρv.dA ‏ALB ‏ARB ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻳﻦ ﻛﻪ ﺍﺛﺮﺍﺕ ﻏﻴﺮ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﺩﺍﺭﺍﻱ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺩﻭﻡ ﺍﻫﻤﻴﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﻓﻮﻕ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﻧﻴﺰ ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ ﺍﺳﺖ .ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬﺍﺭﻱ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ) (Iﺍﺳﻼﻳﺪ :7 ** ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ ) N ( x , tﺍﺳﻜﺎﻟﺮ ،ﺑﺮﺩﺍﺭ ﻳﺎ ﺗﺎﻧﺴﻮﺭﻱ ﺍﺯ ﻫﺮ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺍﺳﺖ. ∂   ‏DN = ∫∫ηρv .dA + ∫∫∫ηρdV ‏Dt CS ∂t CV ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﻛﻪ ﺍﻣﻜﺎﻥ ﺍﺭﺗﺒﺎﻁ ﺭﻭﺵ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺭﺍ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ،ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ ) (Reynolds transport equationﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ *.ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺭﺍ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﺗﺌﻮﺭﻱ ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ ) (Leibnitzﻛﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﺣﺠﻤﻲ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﺳﻄﺤﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻧﻴﺰ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩ. ‏ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ vﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ) xyzﺩﺭ ﻭﺍﻗﻊ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ ﺳﻨﺠﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ( .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﻧﺮﺥ ﺗﻐﻴﻴﺮﺍﺕ ﺯﻣﺎﻧﻲ ) Nﻭ (ηﻧﻴﺰ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﻨﺪ ﻳﻚ ﻛﻤﻴﺖ ﺑﺮﺩﺍﺭﻱ ﺑﺎﺷﻨﺪ )ﻣﺜﻼ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ( ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﻴﺎﻥ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ﺍﺯ ﺁﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻛﺮﺩ ،ﭘﺲ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻧﺪ ﻫﺮﮔﻮﻧﻪ ﺣﺮﻛﺘﻲ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻛﺎﻓﻴﺴﺖ ﻛﻤﻴﺘﻬﺎﻱ ﻭﺍﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﻛﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﺁﻧﻬﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ )ﻧﻈﻴﺮ ﺳﺮﻋﺖ ،ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ (..،ﻭ ﺳﺮﻋﺘﻬﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﺑﻴﺎﻥ ﺷﻮﻧﺪ. ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﺻﻠﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎ ﻭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻟﻬﺎﻱ ﻣﺤﺪﻭﺩ: )(Basic laws for finite systems and finite control volumes ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﺗﻌﺪﺍﺩﻱ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﺳﺎﺳﻲ ﻛﻪ ﻣﺒﻨﺎﻱ ﺍﻛﺜﺮ ﺗﺤﻠﻴﻠﻬﺎﻱ ﺳﻴﺎﻻﺕ ﺭﺍ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ-ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ(Conservation of mass-Continuity equation) : ﺩﺭ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺪﻟﻴﻞ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻥ ﺟﺮﻡ ﺍﺻﻞ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﺑﺮ ﻗﺮﺍﺭ ﺍﺳﺖ .ﺩﺭ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ ﺩﺍﺭﻳﻢ: ‏dN dm = =1 ‏dm dm ∂   ‏Dm = ∫∫ ρv .dA + ∫∫∫ ρdV ‏Dt CS ∂t CV =η ﺍﻣﺎ ﺟﺮﻡ ﺳﻴﺴﺘﻢ )ﻃﺮﻑ ﭼﭗ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ( ،ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ: ‏  ∂ ‏ρv .dA = − ∫∫∫ ρdV ∫∫ ∂t CV ‏CS ﻭ ﻳﺎ ∂   ‏ρv .dA + ∫∫∫ ρdV = 0 ∫∫ ∂t CV ‏CS ‏N =m ‏Dm =0 ‏Dt  ﺍﻳﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺩﺭ ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ tﺑﺮﺍﻱ ﻫﺮ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺍﺳﺖ .ﺩﺭ ﺻﻮﺭﺕ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﺑﻮﺩﻥ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ vﻭ ﻣﺸﺘﻖ ﺯﻣﺎﻧﻲ ∂ ∂t ﺑﺎﻳﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﻮﻧﺪ. ﺍﮔﺮ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻣﺨﺘﺼﺎﺗﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﺘﺼﻞ ﺷﺪﻩ ﺍﺳﺖ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻥ ﺗﻤﺎﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺯﻣﺎﻥ ﻭ ﻧﻴﺰ ﺷﻜﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﺮﺍﻱ ﻳﻚ ﻳﺎ ﭼﻨﺪ ﻧﻮﻉ ﺳﻴﺎﻝ ﺩﺍﺭﻳﻢ: ‏  ∫∫ ρv.dA = 0 ∂ ∂ρ ‏ρdV = ∫∫∫ dV = 0 ∫∫∫ ∂t CV ∂t ‏CV ‏CS ﺟﺮﻡ ﻛﻞ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻛﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ ﺩﺭ ﺻﻮﺭﺕ ﻭﺟﻮﺩ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﻧﻮﻉ ﺳﻴﺎﻝ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ρﺭﺍ ﺍﺯ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﻓﻮﻕ ﺣﺬﻑ ﻛﺮﺩ. ‏Q1 ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻣﺮﺯ ﻣﺸﺘﺮﻙ ﺩﻭ ﺳﻴﺎﻝ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ. ‏Q2 ﺳﻴﺎﻝ 1 ﺳﻴﺎﻝ 2 ‏Q1 ‏Q2 ﺍﮔﺮ ﺩﺭ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ،ﺟﺮﻳﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻤﻲ ﺍﺯ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻧﻮﻉ ﺳﻴﺎﻝ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺟﺮﻡ ﻣﺨﺼﻮﺹ ﺳﻴﺎﻝ ﺣﺘﻲ ﺩﺭ ﻣﻴﺪﺍﻥ ﺳﺮﻋﺖ ﻏﻴﺮ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﻫﻤﻮﺍﺭﻩ ﻭ ﺩﺭ ﺗﻤﺎﻡ ﻧﻘﺎﻁ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ: ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ )ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ( ‏  ∂ ∂ ∂ ∂V ‏ρ ‏ρ ‏ρ ‏ρ ‏ρ . = − = − ( ) = − ( ) = − =0 ‏v ‏d ‏A ‏dV ‏dV ‏V ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∂t CV ∂t CV ∂t ∂t ‏CS ‏  ‏  ∫∫ v.dA = 0ﻭ ﻳﺎ ∫∫ ρv.dA = 0 ‏CS ‏CS ﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ ﺩﺭ ﻫﺮ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺍﺯ ﻳﻚ ﻧﻮﻉ ﺳﻴﺎﻝ ،ﺍﺻﻞ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﺑﻪ ﺍﺻﻞ ﺑﻘﺎﻱ ﺣﺠﻢ ) (conservation of massﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲ ﮔﺮﺩﺩ .ﻭﺍﺿﺢ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺍﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﭘﺬﻳﺮ ﻏﻴﺮ ﺩﺍﺋﻤﻲ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴﺴﺖ ﺯﻳﺮﺍ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺮﺑﻮﻁ ﺑﻪ ﻧﺮﺥ ﺗﻐﻴﻴﻴﺮ ﺟﺮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺣﺬﻑ ﻧﻤﻲ ﺷﻮﺩ .ﻣﺜﻼ ﻭﺭﻭﺩ ﻫﻮﺍ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﺤﻔﻈﻪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺍﻓﺰﺍﻳﺶ ﺟﺮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺁﻥ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ: ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ‏Q )Q1(t ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ )Q2(t ﺟﺮﻳﺎﻥ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺮﺍﻛﻢ )Q1(t)=Q2(t (Differential form of mass conservation) :ﻓﺮﻡ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻠﻲ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ z y {ρw + x ∂ ( ρv) dy {ρv − . }dzdx ∂y 2 ∂ ( ρw) dz . }dxdy ∂z 2 ∂ ( ρu ) dx   u − ⋅ dydz ρ  2 ∂x  dz dx dy {ρv + ∂ ( ρv) dy . }dzdx ∂y 2 ∂ ( ρu ) dx   ⋅ dydz ∂ ( ρw) dz  ρu + ρ { w − . }dxdy x 2 ∂   ∂z 2  : ﺩﺭ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻤﺎﻥv = (u, v, w) ﺑﺎ ﻓﺮﺽ ﺑﺮﺩﺍﺭ ﺳﺮﻋﺖ ﺩﺑﻲ ﺟﺮﻣﻲ ﻭﺭﻭﺩﻱ – ﺩﺑﻲ ﺟﺮﻣﻲ ﺧﺮﻭﺟﻲ = ﻧﺮﺥ ﻛﺎﻫﺶ ﺟﺮﻡ ﺩﺍﺧﻞ ﺟﺰء ﺣﺠﻢ ∂ ( ρv) ∂ ( ρw) ∂ ( ρdxdydz ) ∂ ( ρu ) dxdydz + dydxdz + dzdxdy = ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw) ∂ρ dxdydz + dydxdz + dzdxdy − dxdydz = ∂x ∂y ∂z ∂t − )∂ρ ∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw = + + ∂t ∂x ∂y ∂z ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺩﺍﺋﻤﻲ − )∂ ( ρu ) ∂ ( ρv) ∂ ( ρw + + =0 ∂x ∂y ∂z ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ )ﺩﺍﺋﻤﻲ ﻭ ﻏﻴﺮ ﺩﺍﺋﻤﻲ( ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻣﺸﺎﺑﻬﻲ ﺭﺍ ﺩﺭ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪ ﺍﻱ ﻭ ﻛﺮﻭﻱ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻭﺭﺩ .ﺑﺮﺍﻱ ﺭﻫﺎﻳﻲ ﺍﺯ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺍﺯ ﻋﻤﻠﮕﺮ ﺩﻳﻮﺭﺟﺎﻧﺲ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﻛﺮﺩ: ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺑﻘﺎﻱ ﺟﺮﻡ ﻭ ﺩﺭ ﺟﺮﻳﺎﻥ ﺗﺮﺍﻛﻢ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ )ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ(: ‏  ‏ ∂ρ ‏div( ρv ) = ∇.( ρv ) = − ∂t ‏ ‏ ‏div(v ) = ∇.v = 0 ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻄﻲ(Linear momentum) : ﺩﺭ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺩﻭﻡ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺭﺍ ﺑﻜﺎﺭ ﺑﺮﺩ:: )(I ‏ ‏ ‏ ‏d ‏dP = )( ∫∫∫ vdm = FR ‏dt system m ‏dt system ﻳﺎ ‏ ‏ ‏ ‏D ‏DP = )( ∫∫∫ vdm = FR ‏Dt system m ‏Dt system ‏ ‏ ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ Pﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻄﻲ ﻭ FRﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻛﻠﻴﻪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ vﻭ ﻣﺸﺘﻖ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ) (inertial refrenceﺑﻴﺎﻥ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻳﻨﻜﻪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﻪ ﺑﺨﺶ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺳﻄﺤﻲ ) T ( x, y, z , t ) (surface forceﻭ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺣﺠﻤﻲ )(body force ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺍﺯ ﺩﻭ  ) B ( x, y, z , tﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ: ‏ ‏ ‏ ‏FR = ∫∫ TdA + ∫∫∫ BρdV ‏V ﺣﺠﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ‏ ‏ ‏ ‏DP + = ‏ρ ‏T ‏dA ‏B ‏dV ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺩﺭ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺤﺪﻭﺩ )(II ∫∫S ∫∫∫ ‏Dt ‏V ﻭ )(I ‏S ﺳﻄﺢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺩﺭ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﺩﺭ ﻓﻀﺎﻱ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ) ،(control volume fixed in inertial spaceﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ Pﺑﻌﻨﻮﺍﻥ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ: ‏  ‏ ‏dP v dm  =η = =v ‏N=P ‏dm dm ‏ ‏   ‏ ‏DP ∂ ) = ∫∫ v ( ρv .dA) + ∫∫∫ v ( ρdV ‏Dt CS ∂t CV ‏ ‏DP ﻧﻴﺰ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﺑﺎ ﺍﮔﺮ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﻓﻀﺎﻱ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﺩ، ‏Dt ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ) (IIﺍﺳﻼﻳﺪ ﻗﺒﻞ*: ‏ ‏ ‏   ‏ ∂ ) TdA + ∫∫∫ BρdV = ∫∫ v ( ρv .dA) + ∫∫∫ v ( ρdV ∫∫ ∂t CV ‏CS ‏CV ‏CS ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺭ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺷﺎﺭ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ )ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﺯﻣﺎﻥ( ﻭﺭﻭﺩﻱ ﻭ ﺧﺮﻭﺟﻲ ﺍﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺍﻳﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮﺁﻳﻨﺪ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺳﻄﺤﻲ ﻭ ﺣﺠﻤﻲ ﺍﻋﻤﺎﻝ ﺷﺪﻩ ﺑﺮ ﻳﻚ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻧﺮﺥ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﺍﻓﺰﺍﻳﺶ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻄﻲ ﺩﺭﻭﻥ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻭ ﺧﺎﻟﺺ ﺷﺎﺭ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﺮﻭﺟﻲ ﺍﺯ ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.  ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺳﻄﺤﻲ ﻭ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺣﺠﻤﻲ ﺩﺭ ﺳﻪ ﺭﺍﺳﺘﺎﻱ، ﺳﺮﻋﺖ،ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎﻱ ﻛﻤﻴﺘﻬﺎﻱ ﺑﺮﺩﺍﺭﻱ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ :z ﻭy ،x ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ   ∂ Tx dA + ∫∫∫ Bx ρdV = ∫∫ v x ( ρv .dA) + ∫∫∫ v x ( ρdV ) ∫∫ ∂t CV CS CV CS   ∂ Ty dA + ∫∫∫ B y ρdV = ∫∫ v y ( ρv .dA) + ∫∫∫ v y ( ρdV ) ∫∫ ∂t CV CS CV CS   ∂ T dA B dV v ( v . d A ) v z ( ρdV ) ρ ρ + = + z z z ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∂t CV CS CV CS ﻓﺮﻡ ﺩﻳﻔﺮﺍﻧﺴﻴﻠﻲ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ،ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻭﻟﺮ(Euler’s equation) : ‏ ﺩﺭ ﺍﻟﻤﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺟﺮﻡ ، dmﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺑﺎ ﻛﻤﻴﺖ ﺑﺮﺩﺍﺭﻱ dmvﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺩﺭ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ: ‏ D ‏ = dF ) (dmv ‏Dt  ‏ ‏Dv = dm = dma ‏Dt  ‏ ‏ ‏ ∂v ∂v ∂v ∂v = dm(v x + vy + vz ) + ∂x ∂y ∂z ∂t ﺍﮔﺮ ﺗﻨﺶ ﺑﺮﺷﻲ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺷﺘﻪ ﻭ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺣﺠﻤﻲ ﻧﻴﺮﻭﻱ ﺛﻘﻞ ﺑﺎﺷﺪ: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏dF = dfdV = (−∇P − γk )dV ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ∂v ∂v ∂v ∂v ( −∇P − γk ) dV = dm(vﻭ ﻳﺎ + vy + vz ) + ‏x ∂x ∂y ∂z ∂t ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ∇P ∂v ∂v ∂v ∂v Dv dm = ρdVﻭ (− − gk ) = v x + vy + vz + = ∂x ∂y ∂z ∂t Dt ‏ρ  ∇P       ∂v ∂v ∂v ∂v Dv (− − g∇ z ) = v x + vy + vz + = ∂x ∂y ∂z ∂t Dt ρ      Dv Dv x  Dv y  Dv z  a= i+ j+ k = axi + a y j + az k = Dt Dt Dt Dt :ﻭ ﻳﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻭﻟﺮ (Euler’s equation) :ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ      ∂v ∂v ∂v : ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻭﻟﺮ ﺭﺍ ﺑﻪ ﻓﺮﻡ ﺯﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺩﺍﺩv x + vy + vz = (v .∇)v ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ∂x ∂y ∂z       ∂v ∇P (− − g∇z ) = (v .∇)v + ∂t ρ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ(Non-inertial control volume) : ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﺻﻠﻲ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻄﻲ ﻛﻪ ﺍﺯ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ ﺁﻳﺪ ﺩﺭ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﺻﺤﻴﺢ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﺘﺎﺏ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻣﺮﺟﻊ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺳﻨﺠﻴﺪﻩ ﺷﻮﺩ *.ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻳﻨﻜﻪ ﺣﺮﻛﺖ ﺳﻴﺎﻝ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺳﻨﺠﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ،ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺧﻄﻲ ﺻﺮﻓﺎ ﺑﺮﺍﻱ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻟﻬﺎﻳﻲ ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻩ ﻭ ﻳﺎ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﺣﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪ . ‏ ‏R ﺫﺭﻩ P ‏ ‏r ‏y ‏ ‏R ‏x ﺷﺘﺎﺏ Coriolis ‏ ‏     ‏  ‏ ‏ ‏ ) = a xyz + R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r ** ‏ (vP / o ) xyz ‏z ‏o ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ XYZﻭ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ xyzﺭﺍ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺁﻥ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﺧﺘﻴﺎﺭﻱ ﺩﺍﺭﺩ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ: ‏ ‏ao ‏ ‏ω ‏ ‏a XYZ ‏Z ‏Y ‏ (aP / o ) xyz ‏  : ω , ωﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺳﺮﻋﺖ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ ﻭ ﺷﺘﺎﺏ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺩﻭﺍﺭ xyzﺩﺭ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺛﺎﺑﺖ XYZ ‏X ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺑﺮﺍﻱ ﺫﺭﻩ ﺍﻱ ﺑﺴﻴﺎﺭ ﻛﻮﭼﻚ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺣﺮﻛﺖ ﻧﺴﺒﻲ ﺁﻥ ﺩﺭ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ : xyz ‏ ‏ ‏dF = dma XYZ  ‏     ‏  ‏ ‏ ‏ ]) = dm[a xyz + R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r ‏ ‏     ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏dF − dm[ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r )] = dma xyz ‏ ‏D ) (dmv xyz = ‏Dt xyz ‏D ﻣﻌﺮﻑ ﻣﺸﺘﻖ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺍﺯ ﺩﻳﺪﮔﺎﻩ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ xyzﺍﻧﺠﺎﻡ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ .ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺭﺍ ﺩﺭ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ‏Dt xyz ﺟﻤﻼﺕ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻳﻲ ﻓﺮﺿﻲ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﺍﻧﺪ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ .ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻟﮕﻴﺮﻱ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﻤﺎﻧﻬﺎﻱ ﺩﺍﺧﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ ،ﺑﺮﺍﻱ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺤﺪﻭﺩ: ‏ ‏     ‏ ‏ ‏  ‏ ‏ ∫∫ TdA + ∫∫∫ BρdV − ∫∫∫[ R + 2 × ω × vxyz + ω × r + ω × (ω × r )]ρdV ‏V )(I ‏V ‏ ‏ ‏D ‏D = ) ( ∫∫∫ v xyz ρdV ) ( Pxyz = ‏Dt xyz V ‏Dt xyz ‏S  dPxyz  N = Pxyz  v xyz dm :ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ  = v xyz = η= dm dm   DPxyz    ∂ v = ∫∫ v xyz ( ρv xyz .dA) + xyz ( ρdV ) ∫∫∫ Dt xyz CS ∂t xyz CV (II) :(II) ( ﻭI) ﺑﺎ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺩﻭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ             ∫∫ TdA + ∫∫∫ BρdV − ∫∫∫[ R + 2 × ω × vxyz + ω × r + ω × (ω × r )]ρdV CS CV CV     ∂ v xyz ( ρdV ) = ∫∫ v xyz ( ρv xyz .dA) + ∫∫∫ ∂t xyz CV CS ﻣﻌﻤﻮﻻ ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﺍﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﻌﻨﻮﺍﻥ ﻣﺤﻞ ﺳﻨﺠﺶ، ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖxyz ﺍﺯ ﺁﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ .ﺳﺮﻋﺘﻬﺎ ﻭ ﻣﺸﺘﻘﺎﺕ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺷﻮﺩ ﺑﻨﺎﺑﺮ ﺍﻳﻦ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺍﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﻞ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺳﻄﺤﻲ ﻭ ﺣﺠﻤﻲ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﻪ ﺳﻴﺎﻝ ﺩﺍﺧﻞ ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﻨﻬﺎﻱ ﻛﻞ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺣﺠﻤﻲ ﻓﺮﺿﻲ ﻛﻪ ﻧﺎﺷﻲ ﺍﺯ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺑﻮﺩﻥ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺍﻧﺪ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﮔﺬﺭ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﺯ ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻭ ﻧﺮﺥ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺍﺯ ﺩﻳﺪ ﻧﺎﻇﺮﻱ ﻭﺍﻓﻊ ﺑﺮ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ. ‏ ‏R ﺳﻄﺢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ‏dV ‏ ‏ω ‏y ‏z ‏o ‏ ‏R ‏x ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ‏Y ‏Z ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ‏X ﺳﻴﺴﺘﻢ  dF dm  r y x ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺤﺪﻭﺩﻱ ﺍﺯ ﺳﻴﺎﻝ ﺭﺍ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ ﺩﺭ : ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎﻱ ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ.ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ  D  dF = (dmv ) Dt  v z (Moment of momentum) :ﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ  : r ﺑﺎ ﺿﺮﺏ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﻃﺮﻓﻴﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺩﺭ ﺑﺮﺩﺍﺭ ﻣﻜﺎﻥ   D   (dmv ) r × dF = r × Dt     D  D  Dr (r × dmv ) = (dmv ) × dmv + r × Dt Dt Dt 0    D  = v × dmv + r × (dmv ) Dt  D  =r× (dmv ) Dt  D    r × dF = (r × dmv ) Dt ﺍﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ ﻟﻨﮕﺮ ﻛﻞ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﻭﺍﺭﺩ ﺑﺮ ﺍﻟﻤﺎﻥ dmﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺒﺪﺍ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺑﺎ ﻣﻴﺰﺍﻥ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﻛﻪ ﺍﺯ ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﺳﻨﺠﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ* .ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺭﻭﻱ ﺳﻴﺴﺘﻢ: ‏ ‏ ‏D   × = (r × v )dm ‏r ‏d ‏F ∫ ∫∫∫ ‏Dt ‏M ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮﺩﻥ ﺟﺮﻡ ﺳﻴﺴﺘﻢ )ﺣﺪﻭﺩ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ( ‏  ‏D ( ‏r × v )dm ∫∫∫ ‏Dt M ‏ ‏DH = ‏Dt = ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ ) Hﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ – (angular momentumﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺩﺭ ﻓﻀﺎﻱ ﺍﻳﻨﺮ ﻳﺎﻝ ﺭﺍ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ .ﻟﻨﮕﺮ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﻣﻌﺮﻑ ﻛﻞ ﻟﻨﮕﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﻭﺍﺭﺩﻩ ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺍﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻴﺘﻮﺍﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺳﻄﺤﻲ ﻭ ﺣﺠﻤﻲ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮﺩ: ‏ ‏  ‏  ‏DH = r × BρdV ∫∫∫ ∫∫S r × TdA + ‏Dt ‏V ‏ ‏ ‏  ‏  ∫ r × dF = ∫∫ r × TdA + ∫∫∫ r × BρdV ﻛﻪ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺑﺮﺍﻱ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺭﺍ ﻧﺸﺎﻥ ﻣﻲ ﺩﻫﺪ. ‏V ‏S ﺭﻭﺵ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺑﺮﺍﻱ ﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ )(Control volume approach for the moment of momentum equation ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ(Inertial control volume) : ‏ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺯﺍﻭﻳﻪ ﺍﻱ Hﺑﻌﻨﻮﺍﻥ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﺩ: ‏ ‏  ‏dH (r × v )dm   =η = = r ×v ‏dm ‏dm ‏ ‏N=H ‏ ‏    ‏  ∂ ‏DH ) = ∫∫ (r × v )( ρv .dA) + ∫∫∫ (r × v )( ρdV ∂t CV ‏Dt CS ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻧﻄﺒﺎﻕ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻭ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ :t ‏  ‏  ‏    ‏  ∂ ‏ρ ‏ρ ‏r ‏T ‏dA ‏r ‏B ‏dV ( ‏r ‏v () ‏v . ‏d ‏A ) ( ‏r × + × = × + ) × v )( ρdV ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∂t CV ‏CS ‏CV ‏CS ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺭ ﺩﺍﺧﻞ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺷﺎﺭ ﻟﻨﮕﺮ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ )ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺩﺭ ﻭﺍﺣﺪ ﺯﻣﺎﻥ( ﻭﺭﻭﺩﻱ ﻭ ﺧﺮﻭﺟﻲ ﺍﺯ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﺩﺭ ﺑﺴﻴﺎﺭﻱ ﺍﺯ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻤﻠﻲ ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻟﻨﮕﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎ ﻭ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﺤﻮﺭ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﺍﺳﻜﺎﻟﺮ ﺑﻜﺎﺭ ﻣﻲ ﺭﻭﺩ: ‏  ∂ ) r Tθ dA + ∫∫∫ r Bθ ρdV = ∫∫ (r vθ )( ρv .dA) + ∫∫∫ (r vθ )( ρdV ∫∫ ∂t CV ‏CS ‏CV ‏CS ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ rﻓﺎﺻﻠﻪ ﺷﻌﺎﻋﻲ ﻫﺮ ﺫﺭﻩ ﺗﺎ ﻣﺤﻮﺭ A − Aﺑﻮﺩﻩ ﻭ ‏vθ ﺳﺮﻋﺖ ﺫﺭﻩ ﺩﺭ ﺭﺍﺳﺘﺎﻱ ﻋﻤﻮﺩ ﺑﺮ ﺷﻌﺎﻉ ﺍﺳﺖ. ‏A ‏ ‏v ‏CV ‏ ‏vθ ‏r ‏A (Non-inertial control volume) :ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ P ﺫﺭﻩ  r  ω Z : ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﺎdm ﻗﺎﻧﻮﻥ ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺑﺮﺍﻱ ﺟﺰء ﺟﺮﻡ y z  R o x Y X ﺩﺳﺘﮕﺎﻩ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ { dm            dF − dm[ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r )]  D (dmv xyz ) = Dt xyz  : r ﺑﺎ ﺿﺮﺏ ﺧﺎﺭﺟﻲ ﻃﺮﻓﻴﻦ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺩﺭ ﺑﺮﺩﺍﺭ ﻣﻜﺎﻥ }              D r × dF − dm r × [ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r )] = r × (dmv xyz ) Dt xyz  ‏ ‏ ‏D ‏D = ) (dmv xyz ﺍﻣﺎ ) (r × dmv xyz ‏Dt xyz ‏Dt xyz ‏ × rﺑﻨﺎﺑﺮﺍﻳﻦ: { } ‏     ‏ ‏  ‏ ‏  ‏D   = ]) r × dF − dm r × [ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r (r × v xyz )dm ‏Dt xyz ﺑﺎ ﺍﻧﺘﮕﺮﺍﻝ ﮔﻴﺮﻱ ﺑﺮ ﺭﻭﻱ ﺳﻴﺴﺘﻢ: ﻟﻨﮕﺮ ﻛﻞ ﺍﻧﺪﺍﺯﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﻟﻨﮕﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺣﺠﻤﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ‏ ‏ ‏     ‏ ‏ ‏DH xyz ‏  ‏  = M S + M B − ∫∫∫ r × [ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r )] ρdV ‏Dt xyz ‏V ] [ ‏ ﻭ ﺑﺎ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﮔﺴﺘﺮﺩﻩ H xyzﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﻧﺘﻘﺎﻝ ﺭﻳﻨﻮﻟﺪﺯ: ‏ ‏  ‏dH xyz (r × v xyz )dm   = = r × v xyz =η ‏dm ‏dm ‏ ‏  ‏ ‏  ∂ = ∫∫ (r × v xyz )( ρv xyz .dA) + ) (r × v xyz )( ρdV ∫∫∫ ∂t xyz CV ‏CS ‏ ‏DH xyz ‏Dt ﻟﻨﮕﺮ ﻧﻴﺮﻭﻫﺎﻱ ﺳﻄﺤﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ‏ ‏N = H xyz ﻭ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻧﻄﺒﺎﻕ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻭ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺩﺭ ﻟﺤﻈﻪ :t [ ] ‏     ‏ ‏ ‏  ‏  ‏M S + M B − ∫∫∫ r × [ R + 2 × ω × v xyz + ω × r + ω × (ω × r )] ρdV ‏ ‏  ‏ ‏  ∂ = ∫∫ (r × v xyz )( ρv xyz .dA) + ) (r × v xyz )( ρdV ∫∫∫ ∂t xyz CV ‏CS ‏CV ‏   ﺩﺭ ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺑﺠﺰ ω ،ωﻭ  Rﺳﺎﻳﺮ ﻛﻤﻴﺘﻬﺎ ﻭ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺎﻱ ﺯﻣﺎﻧﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻣﺘﺤﺮﻙ ﺳﻨﺠﻴﺪﻩ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ‏ ﺩﺭ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ωﻭ ωﺩﺍﺭﺍﻱ ﺍﻣﺘﺪﺍﺩ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺩﺭ ﻓﻀﺎﻱ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺭﺍ ﺑﺎ ﺍﺳﺘﻔﺎﺩﻩ ﺍﺯ ﻣﺨﺘﺼﺎﺕ ﺍﺳﺘﻮﺍﻧﻪ ﺍﻱ ﺳﺎﺩﻩ ﻛﺮﺩ: ‏z ‏r ‏ ‏er ‏ ‏ez ‏θ ‏ ‏eθ ‏ ‏ ‏ ‏r = r er + zez ‏ ‏ ‏ ‏ ‏v xyz = (vr ) xyz er + (vθ ) xyz eθ + (v z ) xyz ez ‏ ‏ ‏ω = ωe z ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ω = ωe z   ‏ ‏ ‏  ‏  ‏ ‏ ‏ × r ) ρdV = R ‏ × r dm = R ‏ × Mr = R ‏ × M − ∫∫∫ (r × R ) ρdV = ∫∫∫ ( R ‏c ‏r ∫∫∫ ‏M ‏CV ‏CV ﻣﻤﺎﻥ ﺍﻭﻝ ﺟﺮﻡ ﺣﻮﻝ ﻧﻔﻄﻪ o ‏ ﻛﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ rcﺑﺮﺩﺍﺭ ﻧﻈﻴﺮ ﻣﺮﻛﺰ ﺟﺮﻡ ﺍﺳﺖ .ﺩﺭ ﺻﻮﺭﺕ ﺗﻘﺎﺭﻥ ﻣﺤﻮﺭﻱ = 0 ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺘﺤﺮﻙ) ﻧﻔﻄﻪ oﺍﺳﻼﻳﺪ (28ﺻﻔﺮ ﺍﺳﺖ: ‏ rcﺍﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺟﺮﻡ ﺩﺭ ﺣﺠﻢ ‏rdm ∫ = ‏rc ‏zdm ∫ = ‏zc ‏M ‏M ‏ ‏ ‏ ‏rc = rc er + zc ez ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﺮﺩﻥ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﻮﻕ ﺩﺭ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺍﺻﻠﻲ ﺣﺠﻢ ﻛﻨﺘﺮﻝ ﻏﻴﺮ ﺍﻳﻨﺮﺳﻴﺎﻝ )ﺍﺳﻼﻳﺪ ﻗﺒﻞ(:          M S + M B + R × Mrc − ∫∫∫ (r er + zez ) × {(2ωez ) × CV       [(vr ) xyz er + (vθ ) xyz eθ + (v z ) xyz ez ] + ω ez × (r er + zez ) +     ωez × [ωez × (r er + zez )]}ρdV =       ∫∫ (r er + zez ) × [(vr ) xyz er + (vθ ) xyz eθ + (vz ) xyz ez ]ρv.dA CS +    er × eθ = ez    ez × er = eθ    eθ × ez = er      ∂ + × + + [( r e z e ) [( v ) e ( v ) e ( v ) e r z r xyz r z xyz z ]ρdV θ xyz θ ∫∫∫ ∂t CV :ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺍﻳﻨﻜﻪ         M S + M B + R × Mrc − ∫∫∫[(2ωzvr + ωr z )er + CV  2  (2ωzvθ + ω r z )eθ + (2ωr vr + ω r )ez ]ρdV = 2     ) ] ( .dA) ( zv e ( zv r v e rv e v + − + ρ r z θ θ z ∫∫ θ r CS    ∂ + ∫∫∫[(− zvθ )er + ( zvr − r v z )eθ + rvθ ez ]ρdV ∂t CV .ﺗﻔﻜﻴﻚ ﻧﻤﻮﺩ r , z , θ ﺍﻳﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﻪ ﺭﺍ ﻣﻲ ﺗﻮﺍﻥ ﺩﺭ ﺳﻪ ﺭﺍﺳﺘﺎﻱ