موضوع نمودارهای چند متغیره فصل ۴ ریاضی و آمار ۱پایه دهم رشته انسانی

صفحه 1:
نمودارهای چندمتغیره تمونارهاى جندمتفيره نمودارهابى هستند كه مقادير دو يا جند متغير را به طور همزمان نشان می دهند. در درس یک فصل ۴ کتاب درسی ریاضی وآمار | .با نمودارهاى يك متغيره أشنا شديم و ديديم جامعه هلى آماری مورد بررسى تنها يك متغير داشتندبه عتوان مثال در فعاليت صفحه۱۰۰ کتاب درسی موضوع علل اسب دیده ی های منازل مطرح شد وذيديم تمودارهای بررسی شده این فعالیت در مورد مفیر سیب دیده گی هن تال خسن به عنوان متالى ديكر اكر قد دانش أموزان يك كلاس را بررسى كيم تنها متغير قد خواهد بود ار در همین كلاس وزن دانش أموزان به طور جداكانه مورد بررسى قرار كيرد تنها متفير اين بررسى فقط وزن دانش أموزان خواه بو :ال كز خواهيم در ین کل به نی از قیل ‎ls‏ دو متفر قد و زن با هم چگونه است! ‏ناي فزق بل فد ون پیشتری داد ‏و .- پاسخ دهیم با جامعه دومتفیری روبه رو خواهیم بود. ‏مى توان مسائلى را مطرح كرد كه تعداد متفيرها ده زد تا هم بشتر باشتد مثلً در مورد کشورهای ‏مختلف جهان می تون متفیرهابی مانند جمعیت. مساحت. درصد آب و - را در نظر گرفت(فعالیت صفحه۱۱۰) ‎ ‏ويامتلً در كشاورزى .ميزان محصول كشاورزى به ميزان أب. مبزان كود. نوعکود و تیش آقتاب و نوع خاک ‏نگی داد نمودارهای چند متفیره را به ۳ گروه اصلی تقسیم میکنیم ۱-نمودار پاکتش نگاشت ۰ ۲-نفودار حبایی ۰ ۳- تعودار رادار ‏هرکدام زاین نمودارها را به صورت جداگانهبررسی می کنیم. 

صفحه 2:
نمودار پراکنش نگاشت: یک تمودار ۲ تفبره در قالب تمودار ۲ مى توان به صورت (8, :)4 نما است و از تعدادى نقطه تشكيل شده است و هر فقطه مانند4 را ش دادکه مقدار متغير لول را روى محور 3 ها و 8 مقدار مثفير دوم را روی محور ها نشان ميدهد. تکته :زاين نمودار بای نمایش متفیرهای کمی استفاده می شود. مقال۱-تودرپرکنش نكاشت جدول زير را رسم كنيد 7 7777 1 ١ ‏جوع‎ es ee 9 Jy ۵ ۴ ۶ i ee ۵ ۴ ۲ ۳ خل:متفيراول را يرتقال و متفير دوم را سيب در نظر ميكيريم وبرلى رسم تمودار براكتش نكاشت نقاط را به صورت: ۲ 1و۵جنبه ول د (-او0۵)جنیه نیم ۰ (۱۲و۵)جنبه شوم در نظرفیگیرم هرهز جنبه موف رل مقدارپرتقل جعبهونوفه دوم مقدار سیب جعبه را نشانمیدهند گر ین تقاط را روی دستگاه محورهای مختصات روی محورطول مقادير مولفه اول وروى محورعرض مقادير مولفه دوم انشان دهيم خواهيم 

صفحه 3:
وبا رسم نموداراين جدول به كمك نرم افزار اكسل خواهيم داشت: مثال ۲- تمودا پراکنش نکاشت جدول زیر را رسم کند. ۲ 1۳ oa ۲ 5 ae ۲ ۲ ae 

صفحه 4:
© ]| عاق 0۵ 3 حل: درحل اين مثال متفيراول را مساحت و متفير هوم را جمعيت در نظر ميكيريم براى رسم تمودار يراكنش نگاشت نقاط را به صورت ‏ (جمعیت وسساحت)کشور در نظر ميكيريم به عنوان مثال (4 و3/١»ابران‏ نان داده ميشود كه درهرنقطه مولقه اول مقدار مساحث (برحسب ميليون كيلومترمربع) كشور ومولقه دوم مقدار چمعیت. ( برحسب ‎٠١‏ ميليون نفر ) را نشان ميدهند اكر ابن نقاط را روى دستكله محورهاى مختصات (روى محورطول مقادير مولقه اول و روى محورعرض مقادير مولفه دوم ) نشان دهيم خواهيم داشت و و 7 6 و ها 3 2 7 وبا رسم تموداراين جدول به كمك نرم اقزاراكسل خواهيم داشت 

صفحه 5:
داده شده است تمودار تموین(-داده های مربوط به قد و و أنها را رسم كنيد ‎ee‏ ا ا we |e [me ۱۶۵ |] ‏ع‎ we |e ‏قد‎ ‎oF a 02 ‏قت 2 هم | مض | به‎ 

صفحه 6:
مثال ۳- با توجه به تمدار پرکتش نگاشت زیر به سوالات زیر پاسخ دهید؟ مساحت (میلیون کیلومتر مریع) 1۷ الف) جدول زیر وا کامل کنید. Cues ESS ب)مینگین جمعیت کشورها را يابید. ج)ميائه مساحث كشورها را بيابيد. (alae SS vol ۰ BA) ‏5ن | آمریکا‎ ۵ 14۵ اتكليس | برزیل انگلیس | برزبل 7:3 ee veep ate لق 

صفحه 7:
55 afi. nineteen ompR ‏يج‎ cole che oS bee ‏ج) برا‎ ورها ابه ترتيب از كوجكترين مقدار به بزركثرين مقدار مرتب مى كنيم oY oa FAY TA TS ABA پس: تعداد حاده ها ‎٠١‏ مى باشد لذا ميانكين ذو داده وسطى مقدار ميانه را مشخص مى كند يعنى ‎ave‏ میانه مساحت. ‎ ‏نمودارهای حبایی: ‏یک نمودار 7 متفيره در قالبنمودار ۲ بعدی است وبه ای نقط از دایرههایتوپر استفاده می شود هر دليرة. در نمودار حبیی در واقع یک سه تبی مرتب به صورت ‏ ( و و (۷) را مشخص میکندکه هر أن داريم: ‎Vy‏ موقعیت نقطه روى محور افقى ‏۷ اموقعبت نقطه روی محور عمودی ‏اندزهنقطه (مساحت دایره ها ‏فكته1 : نمودارهلى حبابى را ميتوان كونه خاصى از تمودارهلى يراكنش نكاشت دانست که برای نمابش همزمان ‏اسه متفیر عددی به کار ميروند و در أنها به جاى نقطه از دايره هاى توبر استفاده ميشود. ‏نکته۲:اگرر5 ورگ به ترتیب دو مساحت دلخواه(بهشعاع هاى يترتيب :7 و:7) از داده هاى متغير سوم يعنى ‎ ‎ ‏ج ةد ‎3 Yeas ‏بش‎ ‎ ‏نکته ۳ ؛متذیر سوم یعنی 1 (مساحت دایه ها) متناسب با وان دوم شعاعدایره ها است لذاتمی توندصفر با ‎ ‎whe das fem ‏قتي یا )مت سيم با‎ sigh ‏تكته؟: براى نشان ددن هر سه تابى مرقب به سوت[ و بل )وهی مختات ال ‏محورهای ,1 (مجور طول) و محور 1 (محورعرض ) رارسم می کنیم وسپس مکان نقطه ۷۱,۷ را 

صفحه 8:
روی صفحه مختصات مشخص میکتیم و در آخر به مرکزنقطه (:۷, ۷۱) ‎gla tag‏ ۷/۲ یا متفیر سوم| عازه أق ‎sox aj ap‏ نکته هد زاين نمودار بای تمايش متفیرهای کمی استفاده می شود. مثال ۴ -در سابقات در یک منطقه اعضای یک تیم به صورت جدول زیرامتیازاتی را کسب کرده اند تمودار حبابى جدول را رسم كنيد. على | حسين | وحيد | حميد | جواد | مهدى | مجيد 3 م | »ع |" ]اع | 5« | "د | وزنواح١٠‏ كبلوكرم | ۴۵ | ۸[ ۵ | ‎[ta |e fe‏ هع ‎je‏ 1 5 نا ‎weramaneslporaldsacclon‏ ]له وس سور و پرج یط لگرپ رال ریم سوت ‎ ‏حبابى نقاط را به صورت ( وزن وقد وسن) در نظر ميكيريم به عنوان مثال ( ‎١‏ و ۲۸۵ وه)على تشان داده ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 9:
میشود و با توجه 4 ‎pal TAS‏ داشت ‎Vine tr‏ می تون در رسم تمودر حببی نیز از نم فا اکسل کمک گرفت: نموا حيلى تيو كشت ‎Maine 55‏ ‎aay‏ 

صفحه 10:
مثال ۵-حر نمودرحببی زیر مساحت دايره ها را وزن افراد(به صورت فرضى )در تظر كرفته ايم با توجه به تمودار به سوالات زير جواب دهيد: الف) متفیرهایاول مدوم و سوم را مشخص کنید؟ ‏ ب) کدام فرد قد بيشترى دارد؟ ش) کدام فرد وزن پیشتری دارد؟ ج) مقدار ميائه متفير سوم را بيابيد حلل: الف) متفير اول سن و متغير دوم قد ومتفیر سوم وزن فرا است. ب) مهدی اب) حسين ات) با توجه به شعاع دايره ها ون حميد از همه بيشتر است. ث) وزن تك تك افراد را محاسبه ميكنيم - ۱ 7۳ > 1۳۳7 > وزن وحید. ‎ae gy Sar Sax tate‏ > ۱۶ < ۲ > 18۳7 وزن حميد ‎ ‏۳ > وزن مهدی ۲ > ‎٩‏ 6 1 > 15۳7 > وزن حسین ‏بر لفات رین نو 

صفحه 11:
ج) وزن افراد را لز کوچک بهبزرگ مرتب می کنیم ۰ ۶۷ و ۹0 وتو نوت چون تعداد داده ها فد است داده وسط میاه است پس ‎FE‏ مینهاست. نمودار زبباتر رسم شده با اکسل به صورت زیر است. ندز حابی من -وزن مثال ۶- جدول زیر اطلاعات مربوط به ساعات مطالعه. ساعات خواب و نموه ریاضی ۸ دانش آموز سال دهم را ان ميدهد. نمودار حبابى أن را رسيم كنيد. 7 15 1 ۷ 1 ؟ ۷ ۴ | ۲ | ۸ 0 1 9 1 ه ۷ ۶۳ ۷ ۶ ‎frp fw [or‏ | هد ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 12:
حل: ساعت مطالعه را به عنوان متغير اول وروى محور افقى در نظر ميكيريم . ساعت خواب را به عنوان متغير دوم وروى محور قائم در نظر ميكيريم وتمره رياضى را به عنوان متغير سوم ( مساحت دايره ها ) درنظر ميكيريم رد وزن راب ترتیب با شمره های ۱ و و ...و در نظر بگیریمنمدا حبابیبه صورت زیر خواهد ساعت خواب رح کم وچ چم مرس 

صفحه 13:
ونمودار زیاتر رسم شده به کمک اکسل به صورت زیر است: 4 1 ارعنكبوتى): نمودار رادار ى(ستاره اى. انمودارى دو بعدى است كه در أن سه متغير كمى يا بيشتر بر روى محورهابى نشان داده ميشوند كه نقطه شروع. همه آنها یکی است. فکته: قطه شروع محورها مرک ا مدا گفته می شود نمودار رأدارى از جند خط (به طور دقيقتر: فيمخط) به شکل پرههای چرخ دوچرخه تشکیل میشود که در نطه مرکز بهیکدیگر اتالدارند وب اوه های یکسانبین هم كرداكرد أن نقطه قرار رفه اد هر کدم از این خطوط در وفع یک محورو نشان دهنده یک متفیر ته يس ميتواند درجه بندى شود. به اين خطوط اصطلاحا شعاع هاى تمودار رأنارى ميكويند. محل قراركيرى و زاوية محورها تسبث به يكديكر. هيج اطلاغات خاصى را بيان تميكند. فككته! : رابطه بين زاويه بين محورها ( شماع ها) و تعداد متفيرها از رابطه زير دست می آیدد ‎etl‏ شماع ها ‎ ‎ ‎ 

صفحه 14:
مثال /!: اكريخواهيم تمودارحبابى دلخواهى رابه شكل يك تمودار رادارى تبديل كنيم زاويه بين هردو شماع 522211 taal ese le ‏مثال ۸ باتجهبه نکن درم‎ .تعداد مشفیرها ؟ |؟|ة|]*| ۱ 1 زاويه بين محورها شماع ها | ‎٠١١‏ | -* | ۳۲ ۶۰| ۵۱۳ | ۴۵ لهذا طبق جدول متغيرها * باشد درايتضورت زاوبه بين محورها يا شاع ها برا اكرتعداد متفیرها ۵ باشد درابتصورت زاویهبین محورها یا شعاع ها ری ۷۲ درجه و اکرتعداد ۶۰ درچه خواهد شد. همچنین اكر زاويه بين محورها یا شعاع ها بربر۳۶ درجه باشددرایتصورت تعداد متفیرها (شعاع ها رب ۱۰ خواهد شد. مشال 4: دريك نمودار رادلرى. اكربه تعدادمتفيرها يكى اضافه شودزاويه بين هردو شماع متوالى 18 هرجه كم می شود نمودار راداری اولیه چند متفیر را نمایش می دهد؟ حل: روش اول: باتوجه به مثال 1 تمودار راخارى لوليه شامل؟ متفيراست. روش دوم اكرتعداد متغيرهاى تمودار رادارى اوليه را 3 فرض كنيم در اينصورت زاويه بين هردو شعاع متوالى. ببس ‎flout‏ به تعدادمتفيرها يعنى + يك واحد اشافه تكتيم تعناد متفيرهلى تمودار راارى ثقويه اير شش ون ینوا بش خواهدشد لقااتوجة يه اللاغات مسئله دارم 1۸ خواهیم داشت 4 > ب روش رسم نمودار راداری: سباتوجه به تعداد متفيرهاى مشخص شده در مسئله «تعداد محورها و زاويه بين محورها را مشخص و محورها را درصفحه رسم می کنیم ۲- سپس محورها را برحسب درصددرجه بتدی می کنیم (گرمتفیرها برحسب نمرهباشند محورها را می توان بر حسب ۲۰ تمره درجه بندی کرد 

صفحه 15:
۳- بعد از درچه بتدی محورها پرحسب درصده مقدار متفیر را روی شعاع مربوطه به کمک رابطه زیرمحاسبه می كنيم در متفر مشاهده مود سح ‎oil = Te‏ برزروی شماع ‎ ‏۴عداز مشخص شدن مقدار هر متفیر روی شعاع مربوطه. نقاط بدست آمده را به هم وصل می کنیم تا تمودر ‏راداری کامل شود. ‏مقال ۰ درجدول زیر اطلاعات مربوط به يك بازيكن بك تيم فوتبال و ماكزيمم هر متفير در يك فصل داده ‏شده است تمودار رادارى مربوط به ابن بازيكن را رسم ‎eS‏ ‏[ متغيرها | تناد يازى | كل زده | بأس كل | دربيل موقق | توب رابى | نگل 1 ‏ازیکن مورد نظر 3 ۳ 3 1۶ 1 ‎Te ۴ ۳۸‏ ۳ 7 5 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏حل: مداد متفیرها در مستله ۶ تا ست لذا تعداد محوره ۶ و زاوبهبن محورها پر ۶۰ است پس ۶ محور ا زوبه ین ۶۰ درچه رسم می کنیم و آنها را برحسب درصد درجه بندی می کنیم ‎hist ‏حا > نسبت متفير‎ ny ‏15 حبك > نبت متغير باس كل ‎ ‏درصد نسبت متقيرها را روى محورها بيدا مى كنيم وأنهارا به هم وصل مى كنيم تموار رادارى رسم شده به ‏کمک اکسل به صورت زیر می باشد. ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 16:
كل ردم مثال :مات ۵ درس دنش آمزی درجدول زر ده ‎Sal oat‏ تمودار رادارى أن را رسم كنيد تیوه ۷ 1 1۶ ۸ 1 :۲ ۳ ۲۳ ۲۳ ۳ 

صفحه 17:
روش اول: تاد متفیرها در مسئله ۵ است لا تعدادمحورها ۵ و زاويه بين محورها ۷۲ درجه است پس المحور با زاويه بين 1 درجه رسم مى كتيم و أنها را رحسب درصد درجه بندى مى كنيم wooed Shoe eat ‎ga pangs‏ جاففه شتاسی ‏درصد نسبت متغيرها را روى محورها بيدا مى كنيم وآنها را به هم وصل مى كنيم نمودار رادارى به صورت زير ‏پدست می آید ‎ea ey dans ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏روش هوم: تعداد متغيرها در مسئله اتا است لذا تعداد محورها 3 و زاويه بين محورها برابر؟ درجه اسث بس همحور با زویه بین ۷۲ درجه رسم می کنیم چون بيشینه مقدر نمره در حالت کلی (در سطح دببرستان ) ۲۰ ‏می باشدلذا می توان درجه بندی محورها راز ۲۰ در نظر گرفت ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 18:
تست وه للها = = مثال ۱۲: نمزدهای تهابی دریافت جایزهنهابی توپ طلا در سال ۲۰۱۳ میلادی, سه بازيكن .8و 8و 6 بودند كه درنهایت. جايزه به بازيكن #تعلق كرفت ee ee ch ‏ريه هاى‎ ek St ‏تعساديازى‎ Eee یگ‌یلپ‎ ees AYN GAT OWA Rye ‏ا 2 ا ا‎ Boy KE OM XA ‏كيرا مه ها را‎ Coe YY ‏كرا عارك خا ترا كرفا رارف‎ MAX Tht A ‏و‎ ١ 1 ce 1 

صفحه 19:
توب رای ۳ خل: تعداد متغيرها در مسئله ‎٠١‏ تاست لذاتعدد محورها ۱۰و زاویهبین محورهابرابر۳۶ درجه است پس ۰ امحور با زویه بین ۲۶ درچه رسم می کنیم و آنها را برحسب درصد درچه بندی می کنیم همچنین درصد ape ey ‏پیب‎ eee eee ous ‏سمت‎ eb has ‏دویل‎ eh ee Ee Ee ‏الكل‎ ‎Rk WR ۷ a oN © ve ow ‏با و و و چا‎ ON Mw Ww re vw wo ‏لح‎ هریک از درصد تسبت های پدست أمده در جدول بالارا روى محور مربوطه مشخص مى كنيم و أنه راابه هم وصل مى كنيم لذ تمودار رادارى براى هريك از بازيكتها بدست مى أيفد تمواررادارى بازيكن 4 به صورت زير 

صفحه 20:
‎Sab obese‏ بهصورت زیر است: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1 ۱ a ‏لمت صمح‎ ‏تمرین ۲ تمودار رادار بازيكن © را رسم كنيد ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

نمودارهای چندمتغیره تالیف :اصغربداقلی (سرگروه ریاضی دوره دوم متوسطه منطقه جلفا) نمودارهای چندمتغیره نمودارهایی هستند که مقادیر دو یا چند متغیر را به طور همزمان نشان می دهند. در درس یک فصل 4کتاب درسی ریاضی وآمار ، 1با نمودارهای یک متغیره آشنا شدیم و دیدیم جامعه های آماری مورد بررسی تنها یک متغیر داشتندبه عنوان مثال در فعالیت صفحه 100کتاب درسی موضوع علل آسیب دیده گی های منازل مطرح شد ودیدیم نمودارهای بررسی شده این فعالیت در مورد متغیر آسیب دیده گی های منازل هستند. به عنوان مثالی دیگر اگر قد دانش آموزان یک کالس را بررسی کنیم تنها متغیر قد خواهد بود .اگر در همین کالس وزن دانش آموزان به طور جداگانه مورد بررسی قرار گیرد تنها متغیر این بررسی فقط وزن دانش آموزان خواهد بود .حال اگر بخواهیم در این کالس به سؤاالتی از قبیل -1تغییرات دو متغیر قد و وزن با هم چگونه است؟ -2آیا افراد بلند قد وزن بیشتری دارند؟ و ...پاسخ دهیم با جامعه دومتغیری روبه رو خواهیم بود. می توان مسائلی را مطرح کرد که تعداد متغیرها در آنها از دو تا هم بیشتر باشند مثالً در مورد کشورهای مختلف جهان می توان متغیرهایی مانند جمعیت ،مساحت ،درصد آب و ...را در نظر گرفت(فعالیت صفحه)110 ویامثالً در کشاورزی ،میزان محصول کشاورزی به میزان آب ،میزان کود ،نوع کود و تابش آفتاب و نوع خاک بستگی دارد. نمودارهای چند متغیره را به ۳گروه اصلی تقسیم میکنیم -1نمودار پراکنش نگاشت -2نمودار حبابی -۳نمودار راداری هرکدام از این نمودارها را به صورت جداگانه بررسی می کنیم. نمودار پراکنش نگاشت: یک نمودار 2متغیره در قالب نمودار 2بعدی است و از تعدادی نقطه تشکیل شده است و هر نقطه مانند𝐴 را می توان به صورت )𝑏 𝐴(𝑎 ,نمایش دادکه 𝑎 مقدار متغیر اول را روی محور 𝑥 ها و 𝑏 مقدار متغیر دوم را روی محور 𝑦 ها نشان میدهد. نکته :از این نمودار برای نمایش متغیرهای کمی استفاده می شود. مثال-1نمودار پراکنش نگاشت جدول زیر را رسم کنید. جعبه میوه جعبه چهارم جعبه سوم جعبه دوم جعبه اول 4 6 ۳ 5 پرتقال (کیلو) ۳ 2 4 5 سیب(کیلو) حل:متغیراول را پرتقال و متغیر دوم را سیب در نظر میگیریم وبرای رسم نمودار پراکنش نگاشت نقاط را به صورت (12و)5جعبه اول 10( ،و)15جعبه دوم 12( ،و)5جعبه سوم در نظر میگیریم در هر جعبه مولفه اول مقدار پرتقال جعبه ومولفه دوم مقدار سیب جعبه را نشان میدهند اگر این نقاط را روی دستگاه محورهای مختصات (روی محورطول مقادیر مولفه اول وروی محورعرض مقادیر مولفه دوم )نشان دهیم خواهیم داشت: وبا رسم نموداراین جدول به کمک نرم افزار اکسل خواهیم داشت: مثال -2نمودار پراکنش نگاشت جدول زیر را رسم کنید. 1 ایران 1/5 7 2 ترکیه 0/75 7 ۳ عربستان 2 ۳ 4 کشور نامکانادا مساحت (میلیون 9کیلومترمربع) جمعیت (۳10میلیون نفر) 5 عراق 0/5 4/5 حل :درحل این مثال متغیراول را مساحت و متغیر دوم را جمعیت در نظر میگیریم برای رسم نمودار پراکنش نگاشت نقاط را به صورت (جمعیت ومساحت)کشور در نظر میگیریم به عنوان مثال ( 8و)1/5ایران نشان داده میشود که درهرنقطه مولفه اول مقدار مساحت (برحسب میلیون کیلومترمربع) کشور ومولفه دوم مقدار جمعیت ( برحسب 10میلیون نفر ) را نشان میدهند اگر این نقاط را روی دستگاه محورهای مختصات (روی محورطول مقادیر مولفه اول و روی محورعرض مقادیر مولفه دوم ) نشان دهیم خواهیم داشت: وبا رسم نموداراین جدول به کمک نرم افزار اکسل خواهیم داشت تمرین-1داده های مربوط به قد و وزن چند دانش آموز در جدول زیر داده شده است نمودار پراکنش نگاشت آنها را رسم کنید. علی مجید وحید حمید جواد مهدی حسین قد 150 170 160 165 180 165 175 وزن 62 65 55 58 60 59 54 مثال -3با توجه به نمودار پراکنش نگاشت زیر به سواالت زیر پاسخ دهید؟ الف) جدول زیر را کامل کنید. نام کشور ایران ترکیه کانادا آمریکا انگلیس برزیل روسیه چین هند عمان جمعیت (میلیون نفر) مساحت (میلیون کیلومترمربع) ب)میانگین جمعیت کشورها را بیابید. ج)میانه مساحت کشورها را بیابید. حل :الف) نام کشور ایران ترکیه کانادا آمریکا انگلیس جمعیت (میلیون نفر) 80 75 10 مساحت (میلیون کیلومترمربع) 1.7 0.4 10 10.5 250 برزیل روسیه چین 70 200 120 ۳0 1۳00 1400 0.2 8.5 17 10 هند ۳ عمان 2.1 ب) = ۳5۳.5 ۳5۳5 10 80+75+10+250+70+200+120+1400+1۳00+۳0 = 10 = میانگین جمعیت کشورها ج) برای پیدا کردن میانه مساحت کشورها را به ترتیب از کوچکترین مقدار به بزرگترین مقدار مرتب می کنیم 0.2 ، 0.4 ، 1.7 ، 2.1 ،۳ ، 8.5،10 ، 10، 10.5 ،17 پس: چون تعداد داده ها 10می باشد لذا میانگین دو داده وسطی مقدار میانه را مشخص می کند یعنی = 5.75 ۳+8.5 2 = میانه مساحت نمودارهای حبابی: یک نمودار ۳متغیره در قالب نمودار 2بعدی است وبه جای نقاط از دایره های توپر استفاده می شود هر دایره در نمودار حبابی ،در واقع یک سه تایی مرتب به صورت ) 𝑉۳و 𝑉2و (𝑉1را مشخص میکندکه در آن داریم: : 𝑉1موقعیت نقطه روی محور افقی : 𝑉2موقعیت نقطه روی محور عمودی :𝑉۳اندازه نقطه (مساحت دایره ها) نکته : 1نمودارهای حبابی را میتوان گونه خاصی از نمودارهای پراکنش نگاشت دانست که برای نمایش همزمان سه متغیر عددی به کار میروند و در آنها به جای نقطه از دایره های توپر استفاده میشود. نکته : 2اگر 𝑆1و 𝑆2به ترتیب دو مساحت دلخواه (به شعاع های بترتیب 𝑟1و ) 𝑟2از داده های متغیر سوم یعنی 𝑉۳باشند در اینصورت 2 ‏𝑟 )= ( 1 ‏𝑟 2 ‏𝜋(𝑟1 )2 ‏𝜋(𝑟2 )2 = ‏𝑆1 ‏𝑆2 نکته: 3متغیر سوم یعنی ( 𝑉۳مساحت دایره ها) متناسب با توان دوم شعاع دایره ها است لذا نمی تواندصفر یا منفی باشد 2 )شعاع حبابها ( ~ متغیر سوم ویا متغیر سوم√~ شعاع حبابها نکته : 4برای نشان دادن هر سه تایی مرتب به صورت ) 𝑉۳و 𝑉2و (𝑉1ابتدا محورهای مختصات شامل محورهای ( 𝑉1محور طول) و محور ( 𝑉2محورعرض ) را رسم می کنیم وسپس مکان نقطه ) (𝑉1 , 𝑉2را روی صفحه مختصات مشخص میکنیم و در آخر به مرکزنقطه ) (𝑉1 , 𝑉2وبه شعاع √𝑉۳یا متغیر سوم√ دایره ای توپر رسم میکنیم. نکته :5از این نمودار برای نمایش متغیرهای کمی استفاده می شود. مثال-4در مسابقات کشتی در یک منطقه اعضای یک تیم به صورت جدول زیرامتیازاتی را کسب کرده اند نمودار حبابی جدول را رسم کنید. علی حسین وحید حمید جواد مهدی مجید سن 8 18 14 16 11 17 1۳ وزن(واحد 10کیلوگرم) 4.5 8 5 6 5 4.5 6.5 امتیاز 1 16 9 18 4 9 12 حل :متغیراول( )𝑉1را سن و متغیر دوم ()𝑉2را قد و متغیر سوم( )𝑉۳را وزن در نظر میگیریم برای رسم نمودار حبابی نقاط را به صورت ( وزن وقد وسن) در نظر میگیریم به عنوان مثال ( 1و 4/5و)8علی نشان داده میشود و با توجه به نکته ۳خواهیم داشت √18 = 4.2 می توان در رسم نمودار حبابی نیز از نرم افزار اکسل کمک گرفت: √12 = ۳.4 مثال-5در نمودار حبابی زیر مساحت دایره ها را وزن افراد(به صورت فرضی )در نظر گرفته ایم با توجه به نمودار به سواالت زیر جواب دهید: الف) متغیرهای اول ،دوم و سوم را مشخص کنید؟ ب) کدام فرد قد بیشتری دارد؟ پ) کدام فرد سن بیشتری دارد؟ ت) کدام فرد وزن بیشتری دارد؟ ث) مقدار میانگین متغیر سوم را بیابید. ج) مقدار میانه متغیر سوم را بیابید. حل :الف) متغیر اول سن و متغیر دوم قد ومتغیر سوم وزن افراد است. ب) مهدی پ) حسین ت) با توجه به شعاع دایره ها وزن حمید از همه بیشتر است. ‏𝜋 = = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 × 1وزن وحید ث) وزن تک تک افراد را محاسبه میکنیم ‏𝜋 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 × 4 = 4وزن مجید ‏𝜋 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 × 16 = 16وزن حمید ‏𝜋 = = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 × 1وزن مهدی ‏𝜋 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 × 9 = 9وزن حسین ‏𝜋= 6.2 ‏𝜋𝜋+𝜋+4𝜋+9𝜋+16 5 = میانگین متغیر سوم 𝜋 16و 𝜋 9و𝜋4و 𝜋 و𝜋 ج) وزن افراد را از کوچک به بزرگ مرتب می کنیم چون تعداد داده ها فرد است داده وسط میانه است پس 𝜋 4میانه است. نمودار زیباتر رسم شده با اکسل به صورت زیر است. مثال -6جدول زیر اطالعات مربوط به ساعات مطالعه ،ساعات خواب و نمره ریاضی 8دانش آموز سال دهم را نشان میدهد .نمودار حبابی آن را رسم کنید. شماره دانش آموز 1 2 ۳ 4 5 6 7 8 ساعات مطالعه 5 ۳ 7 2 2 8 6 10 ساعات خواب 7 9 8 5 7 6 7 6 نمره ریاضی 17 1۳ 19 11 1۳ 18 15 20 حل :ساعت مطالعه را به عنوان متغیر اول وروی محور افقی در نظر میگیریم ،ساعت خواب را به عنوان متغیر دوم وروی محور قائم در نظر میگیریم ونمره ریاضی را به عنوان متغیر سوم ( مساحت دایره ها ) درنظر میگیریم اگر دانش آموزان را به ترتیب با شماره های 1و 2و . . .و 8در نظر بگیریم نمودار حبابی به صورت زیر خواهد بود: ونمودار زیباتر رسم شده به کمک اکسل به صورت زیر است: نمودار راداری(ستاره ای ،تارعنکبوتی): نموداری دو بعدی است که در آن سه متغیر کمی یا بیشتر بر روی محورهایی نشان داده میشوند که نقطه شروع همه آنها یکی است. نکته : 1نقطه شروع محورها مرکز یا مبدا گفته می شود نمودار راداری از چند خط (به طور دقیقتر :نیمخط) به شکل پره های چرخ دوچرخه تشکیل میشود که در نقطه مرکز به یکدیگر اتصال دارند و با زاویه های یکسان بین هم ،گرداگرد آن نقطه قرار گرفته اند .هر کدام از این خطوط در واقع یک محور و نشان دهنده یک متغیر است؛ پس میتواند درجه بندی شود .به این خطوط اصطالحا شعاع های نمودار راداری میگویند .محل قرارگیری و زاویه محورها نسبت به یکدیگر ،هیچ اطالعات خاصی را بیان نمیکند. نکته : 2رابطه بین زاویه بین محورها ( شعاع ها) و تعداد متغیرها از رابطه زیر بدست می آید: ۳600 تعداد متغیر ها) شعاع ها( = زاویه بین شعاع ها مثال :7اگربخواهیم نمودارحبابی دلخواهی رابه شکل یک نمودار راداری تبدیل کنیم زاویه بین هردو شعاع = 1200 متوالی چند درجه خواهدبود؟ ۳600 ۳ = زاویه بین شعاع ها مثال :8باتوجه به نکته 2داریم: تعداد متغیرها ۳ 11 4 5 6 7 8 9 10 زاویه بین محورها ( شعاع ها) 90 120 72 60 51.4 45 40 ۳2.7 ۳6 طبق جدول اگرتعداد متغیرها 5باشد دراینصورت زاویه بین محورها یا شعاع ها برابر 72درجه و اگرتعداد متغیرها 6باشد دراینصورت زاویه بین محورها یا شعاع ها برابر 60درجه خواهد شد .همچنین اگر زاویه بین محورها یا شعاع ها برابر ۳6درجه باشددراینصورت تعداد متغیرها ( شعاع ها) برابر 10خواهد شد. مثال :9دریک نمودار راداری ،اگربه تعدادمتغیرها یکی اضافه شودزاویه بین هردو شعاع متوالی 18درجه کم می شود نمودار راداری اولیه چند متغیر را نمایش می دهد؟ حل: روش اول :باتوجه به مثال 1نمودار راداری اولیه شامل 4متغیراست. روش دوم:اگرتعداد متغیرهای نمودار راداری اولیه را 𝑥 فرض کنیم در اینصورت زاویه بین هردو شعاع متوالی برابر ۳600 ۳600 ‏𝑥+1 ‏𝑥 است اگر به تعدادمتغیرها یعنی 𝑥 یک واحد اضافه کنیم تعداد متغیرهای نمودار راداری ثانویه برابر خواهدشد لذا باتوجه به اطالعات مسئله داریم = 18 ۳600 ‏𝑥+1 − ۳600 ‏𝑥 و با حل این معادله گویا خواهیم داشت 𝑥 = 4 روش رسم نمودار راداری: -1باتوجه به تعداد متغیرهای مشخص شده در مسئله ،تعداد محورها و زاویه بین محورها را مشخص و محورها را درصفحه رسم می کنیم -2سپس محورها را برحسب درصددرجه بندی می کنیم (اگرمتغیرها برحسب نمره باشند محورها را می توان بر حسب 20نمره درجه بندی کرد)  -۳بعد از درجه بندی محورها برحسب درصد ،مقدار متغیر را روی شعاع مربوطه به کمک رابطه زیرمحاسبه می کنیم × 100 مقدار متغیر در مشاهده مورد نظر بزرگترین مقدار متغیر در کلیه مشاهدات = اندازه متغیر بر روی شعاع -4بعداز مشخص شدن مقدار هر متغیر روی شعاع مربوطه ،نقاط بدست آمده را به هم وصل می کنیم تا نمودار راداری کامل شود. مثال :10درجدول زیر اطالعات مربوط به یک بازیکن یک تیم فوتبال و ماکزیمم هر متغیر در یک فصل داده شده است نمودار راداری مربوط به این بازیکن را رسم کنید. متغیرها تعداد بازی گل زده پاس گل دریبل موفق توپ ربایی تکل بازیکن مورد نظر ۳6 ۳۳ 8۳ 200 16 26 مقدار ماکزیمم 38 40 100 200 20 50 حل :تعداد متغیرها در مسئله 6تا است لذا تعداد محورها 6و زاویه بین محورها برابر 60است پس 6محور با زاویه بین 60درجه رسم می کنیم و آنها را برحسب درصد درجه بندی می کنیم = 0.82 =1 200 200 = 0.52 ۳۳ = نسبت متغیر گل زده = 0.94 = نسبت متغیر دریبل موفق = 0.8۳ 26 50 40 = نسبت متغیر تکل = 0.8 16 20 ۳6 ۳8 = نسبت متغیر تعداد بازی 8۳ 100 = نسبت متغیر پاس گل = نسبت متغیر توپ ربایی درصد نسبت متغیرها را روی محورها پیدا می کنیم وآنها را به هم وصل می کنیم نمودار راداری رسم شده به کمک اکسل به صورت زیر می باشد. مثال :11نمرات 5درس دانش آموزی درجدول زیر داده شده است .نمودار راداری آن را رسم کنید. حل: درس فارسی ریاضی عربی منطق جامعه شناسی نمره 17 14 16 8 10 بیشینه 20 20 20 20 20 روش اول :تعداد متغیرها در مسئله 5تا است لذا تعداد محورها 5و زاویه بین محورها برابر 72درجه است پس 5محور با زاویه بین 72درجه رسم می کنیم و آنها را برحسب درصد درجه بندی می کنیم = 0.80 =1 8 20 16 20 = نسبت متغیر درس عربی = نسبت متغیر درس منطق = 0.85 = 0.70 = 0.50 17 20 = نسبت متغیر درس فارسی 14 = نسبت متغیر درس ریاضی 10 = نسبت متغیر درس جامعه شناسی 20 20 درصد نسبت متغیرها را روی محورها پیدا می کنیم وآنها را به هم وصل می کنیم نمودار راداری به صورت زیر بدست می آید. روش دوم :تعداد متغیرها در مسئله 5تا است لذا تعداد محورها 5و زاویه بین محورها برابر 72درجه است پس 5محور با زاویه بین 72درجه رسم می کنیم چون بیشینه مقدار نمره در حالت کلی (در سطح دبیرستان ) 20 می باشد لذا می توان درجه بندی محورها را از 20در نظر گرفت مثال :12نامزدهای نهایی دریافت جایزه نهایی توپ طال در سال 201۳میالدی ،سه بازیکن Aو Bو Cبودند که درنهایت ،جایزه به بازیکن Aتعلق گرفت توپ ربای 0/3 0/34 0/89 6 تکل 0/46 0/65 1/15 6 پاسهای موفق 76/8 85 87/8 95 پاس طالی 2/05 1/58 3/66 5 دریبل موفق 1/89 4/19 5/2 7 پاس گل 0/33 0/41 0/6 1 رضبه های دقت رضبه گل شده 44/6 14/5 49/1 28 47/7 15/3 75 40 رضبه سمت دروازه 7/78 5/6 2/77 8 به گل زده 0/93 1/44 0/43 1/6 تعداد بازی 30/1 29/1 23/5 38 ‏A ‏B ‏C ‏MAX حل :تعداد متغیرها در مسئله 10تاست لذا تعداد محورها 10و زاویه بین محورها برابر ۳6درجه است پس 10محور با زاویه بین ۳6درجه رسم می کنیم و آنها را برحسب درصد درجه بندی می کنیم همچنین درصد نسبت متغیرها را پیدا وبه صورت جدول زیر می نویسیم توپ ربای 5 5 14 تکل 7 10 19 پاسهای موفق 80 89 92 پاس طالی 41 31 73 دریبل موفق 27 59 74 پاس گل 33 41 60 رضبه های گل شده 36 70 38 دقت رضبه 59 65 63 رضبه به سمت دروازه 97 70 34 گل زده 58 90 26 تعداد بازی 79 76 61 هریک از درصد نسبت های بدست آمده در جدول باال را روی محور مربوطه مشخص می کنیم و آنها را به هم وصل می کنیم لذا نمودار راداری برای هریک از بازیکنها بدست می آید. نمودارراداری بازیکن 𝐴 به صورت زیر است : ‏A1 ‏B1 ‏C1 نمودارراداری بازیکن 𝐵 به صورت زیر است: تمرین :2نمودار راداری بازیکن 𝐶 را رسم کنید.