صفحه 1:
جزوه آموزشی حسابان ۰۲ فصل ۵. کربرد مشتق (#تمره).
درس : اکسترممهای یک تابع و توابع صعودی و نزولیِ
ما کزیمم و مینیمم نسبی و مطلق (اکسترمم):
ابه نمودار زير كه تغييرات دماى هواى يكك شهر در دو شباندروز متوالى را
wa we a te tm
قاط به طول ۱۵و ۳۹ بهگو‌ایهستد که مقدار تابع در آذها نيت به مقادير تاع در نقاط اطراف آنذها (چپ و راست) بیشتر
است. به إين دليل اصطلاحا كفته مىشود تابع در اين نقاط ماكزيمم نسبى داره.
انقاط به طول "و 30 به ككونداى هستند كه مقدار تابع در آنها نسيت به مقادير تابع در نقاط اطراف آنها (چپ و راست) کمتر است.
ابه اين دليل اصطلاحا مفته م شود تابع در ابن نقاط مينيمم نسبى دارد. بنابراين تعريف زير را دایم (شهریور ۱۴۰۱
تعريف
الريك تلع ور حل يك هسايكى از مزا سابل هد که
الف به ازاى هرج تعلق بهة داباهم )> درا صورت ( ایک دام ی
تلم ینم
ب] به زا هرع متلق هل داش شم 60 20 در ان صورت )را یک منم نسی تم
whet
در نمودار بالانقاط (18.58) و (74.500) نقاط ماكزريمم نسبى و نقاط 85.10 و (0016)نقاط مينيمم نسبى هستد.به بز كترين مقدار
تبع 5 ماكزيمم مطلق ويه كوجكدترين Jae مينيمم مطلق م ىكوييم. در نمودار بل نقط (۳.۳۷) ماكزيمم مطلق و نقطه
ll ae tN) یع است.
تذكر: ككوييم تابع 5 در تت اكسترمم نسبى دارذ هركاء در اين نفطه ماكزيمم نسبى يا مينيهم نسبى داشته باشد و گر در نقطه #س
مأكزيمم مطلق يا مينيمم مطلق داشته باشد مىكوييم در ST نقطه اكسترمم مطلق دارد.
تذكر: نقطه ماكزيمم نسبى ها مينيمم نسيى به ككونهاى است که تاع در یک همسایگی آن تعریف شده است انا نقطه ماكزيمم ممطلق
و مينيمم مطلق لازم نيست حتما در جنين شرطى صلدق كند.
صفحه 2:
جزوه آموزشی حسابان ۰۲ قصل ۵. ابر مشتق (۵نمه)
مال ۱۱۰ در هر یک از تمودارهاى زیر تقاط ln pacino SU ماکزیم نی و میم نسبی را مشخص AD
ال ۱۱۱ با توجه به تمودار داده شده به سوالات زير باخ دهيد: (خرهاد 015:1
الف) مقدار ماكزيمم مطلق را بتويسيد. ب) مقدار مينيمم مطلق رابتويسيد.
ب) طول نقطدى ماكزيمم نسبى رابتويسيد. ات) طول نقطهى مينيمم تسبى رابنويسيد.
صفحه 3:
جزوه آموزشی حسابان ۲:قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
تال ۱۱۲:طول تقاط اکسترممهاینسبی و ملاع مربوط به نود زیر را مشخص (VF Yaa) iS
ال ۱۱۳: کدا‌یک از جملات زیر درست و کدامیک غلط است؟ (خرداد ۰۱۴۰۱ خرداد ۱۴۰۲: خرداد ۱۴۰۳)
)گر 6۵ وجود تداشتة هگ -< بك نقطة اكسترمم تسبى نيست.
fe :=( گر ب يك تقطة اكسنرمم تنيى أست.
ب) ار << طول يك نقطة اكسترمم نسب باد و(4)/ موجود باشد. نك
نقطه بحرانی:
نقطداى gt els jC) Ch نقطه بحرانی رایع ینایم هرگه(6). رب صفر ادا موجودباشد
gS TEED le sl co تواند يكك نقطهى اكسترمم نسبى تابع 30 اشد. ام هر نقل‌ی اکسترم سبی؛ یک
انقطدى بحرائى است. جون در آن نقطه مقدار مشتق برابر صفر است.
روش تعيبن ماكزيمم يا مینیمم مطلق يك تابع در یک بازه: (مهم)
-١ مشتق تابع ا برابر صفر قرار داده و ريشههاى مشتق را حساب كرده و مقدار را به ازلى ريشههاى مشتق حساب مىكتيم.
؟- امقداررادر دو سر يزه يدام كتيم.
بزرككترين مقدارى كه در مرحلمهاى ١ و 7 بددست مىآيد را ماكزيمم مطلق و كوجكترين ين مقدارهاء مينيمم مطلق تابع ست
ال ۴ وهای تيآ( را یلید ال کلب
صفحه 4:
جزوه آموزشی حسابان ۲: قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
NNO Ste مقدار ماكزيمم مطلق تابع 15 "ند ح fle) در بازمی [۳-] رایهدست آورید. (خردد ۱۲۰۳
تمری: اکسترم‌های ملع جع ()را دزی[ ] هدست آورید. (شهریور ۱۴۰۲
= (») را رویبزمی [۲ :1 -] لی. (دی ۸۱۴۰۲
(AS SE كنيد. Lag [WAL sso fle) = fo" — | ضایط Uf sae eae» مثال 118: مقادير ماكزيمم مطلق
نكته: اكر تع؟ در باه بسته[۵,ه]پیوسته بش آنگاه تابع ذر اين بازه هم ماكزيمم مطلق و هم مينيمم مطلق فارد.
يهينه سازى:
دراين درس: مسائلى را با هدف ماكزيمم كردن مساحت» حجم؛ سود و يا مينيمم كردن فاصله زمان و هزیهبروسی خواهیم کرد
صفحه 5:
جزوه آموزشی حسابان ۲. قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
مال ۱۱۷: یکت مستطیل در یک نیم دیرهمحاط شده است. اگر شعاعدایرمه ۴ سانتى متو باشدء طول و عرض مستطيل را طورى
بهدست آورید که مساحت آن بش ترنمقدارممکن گردد. (دی 60۴۰۱
مثال 118: يكك سازنده جعيههاى حليى: با بريدن مريع هاى همنهشت از جهار ككوشه ورقهاى خلبى به ايعاد 4 اينج و 18 ابنج و بالا
يردن جهار طرف آنه جعيدهاى سر باز مى سازد اككر بخواهيم حجم جعبههاى ساخته شده بيشترين مقدار ممكن باشد: طول ضلع
مريع هالى كه بايد بريده شود مجقدر بايد باشد؟ (مثال (AS
مثال 114: در كرداى به شماع 14 يكك استوانه محاط كردهايم. شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را طورى بددست آوريد كه حجم استوائف
بيشترين مقدار ممكن را داشته باشد. (مثال (AS
تعیین یکنوایی تابع (صعودی با نزولی:
براى تعيين صعودى يا ثزولى بودن تايع ابندا مشتق تابع را محاسیهکرده و آن زا يرابر صفر قرار داده و جوابهاى مشتق را محاسبه
ع ىكنيم. سبس مشتق را تعيين علامت مى كنيم. بازءهابى كه در آذها مشتق منبت باشد؛ تابع در آن بازءها اكيدا صعودى و بازدهابى
كه در آنها مشتق منفى باشد, تابع در آن بازءها أكيدا نزولى است و بازءاى كه در آن مشتق صفر باشده تابع ثابت است.
3
صفحه 6:
جزوه آموزشی حسابان ۲: قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
مثال 17 با رسم جدو كنيد كه تابع 1+ "ندا+ "عدم = fle) در جه بازدهابى صعودى و در جه بازدهابى نزولى
وسم جدول ۰ 3
است؟ (خرداد 0۴۰۲
مال ۱۳۱ توایع زیر در چه باه‌ایی صعودی و در چه یاه‌ایی نزلی‌ان؟
Sz) = va" — ra" ۱۳۲ +۷ الف)
Sle)
مال Sle) = 2 - Yel — et ol le 9 el claps SUNNY را درز [۴,-]یددست آورید و مشخصی کید
تابع در جه بازدهابى صعودى و در جه بازدهايى نزولى است؟ (مثال كتاب).
صفحه 7:
جزوه آموزشی حسابان ۲:قصل ۵. کابرد مشتق (۵نمره)
تمرين: نفاط اكسترمم نسبى و مطلق وی روا در یزه‌هایدادهشده در صورت (AS) tly apy
الف) ۲+۵ - ۲ - زعا
با ۲-۳
Je ۱۱۳: ضرایب 8 وا در تابع + عع + "ع ح ()لطورى بيدا كتيد كه در نقطه (7ا) مينيمم نسبى داشته باشدد (اتمرين
ws
غرايب 8 و لظ را ذر تابع aS Ug gb fle) =a" + ae 6 تقطدى (1ا) أكسترمم نسبى تابع باشد. (شهريور
ory
صفحه 8:
جزوهآموزشی حسابان ۰۲ فصل ۵. برد مشتق (۵نره)
درس دوم : جهت تعقر نمودار یک تابع و نقطه عطف آن
geal Gh igh $1 پذیربوده ود هر نقطه اه مماس بر شحنی وا سم كنيم وتمودار منحنى بالاى خط مماس قرار كيرف
می‌گوييم تقعر منحنی در باه آه سمت al است و اگر در هر نقط از آنمودار محنیپین ش مماس قرار یرد می‌گويم
آبهسمت پاین استء
را نقطه عطف منحتى تابع منامتد. مماس بر منحتى در نقطه عطف از تمودار تابع عبوز مى كند.
ys
عمود ماس خط مماس
طرز تعيين تقعر و فقطه عطف متحنى:
مش دوم معنبه خرده و زا مغر ماه و ریشه‌ای آ۵ را سنس من كي سين مشي موم را مين مانت مركي عن
ای که مش دوم میت پاش تفر متحنی ره الا و در بای که مشق دوم مفی انعر تحت وه این است.همچنن
كر مشتق دوم در اطراف تقطهاى تغير علات دهف آن نقطه؛ نقطه عطف منحنى تيع است. (خردد 1۴۰۱
بنابراين مىتوان به نكته زير اشاره كره:
* اككر مقدار “ل در يكك بازه منت (منفى) باشدء تابع “ل در آن بئزه صعودى (نزولى) است و لذا شيب خخطوط مماس بر
منحنى در آن بازه افزايش (كاهش) مىيابد و تقعر منحنى تابع كردر آن بئزه رو به ال لایین) است. (خردا ۱۳۰۱
صفحه 9:
جزوهآموزشی حسابان ۰۲ فصل ۰۵ کابردمشتق (۵نمره)
مثال 41۴ دوستی ی نادرستی جملات زیر را تعین کند. (کار در کلاس (AS
الف) در نقطه عطف علامت (ه)77/ تغيير مى كند.
ب) هر تقطه كه علامت “كدر آن تير كنده Aah Da a
ب) هر نقطماى كه در آن مقدار “ل برابر صفر شود یک نقطه عطلف است.
ت) تابع مى توائد بيش از يكك نقطه عطف داشته باشد.
ث) تیم صعودی كيد نقطه عطف تداره.
مثال 118 ايتدا تقعر تايع = els go ly f(z) آن بررسى نمابيد و سيس نقطه عطف آن را در صورت وجوده يددست
وريد. (شهريور 008:7
مثال 119: جهت تقعر و مختصات نقطدى عطف تابع 1+ (8 "ج] ين كنيد. لشهريور OF
تمرین: جهت تقعر نمودار توابع زير زا مشخص كنيد و تقاط عطف آنها را بعدست آوريد. (مثال و تمرين كتاب)
ها+ ام at
Yeu
صفحه 10:
جزوه آموزشی حسابان ۲: قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
Je 110: مقاديبرق وأو © رادر تيع © + + آجه > (ه)گزطوریبهدست آورید كه در شرايط زير صدق ند
(:)/و ؟- > (1)/و1 ع نه طول نقطدى عطف نمودار تابع باشد. (خرداد 015:5
تمرين: مقاديرة وأو را در ی + "تنا + a2" = ()/ طورى بهدست آوريد كه در شرايط زير صدق كتدة
(AS capi (1)1و 2 - نه طول نقطدى عطف تمودار تع 5 باشد. - FO
صفحه 11:
جزوه آموزشی حسابان ۲:قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
ال ۱۲۹ sabi عطف تایع :+ paz ”2 = (ع)گ نقطهی (۱0- ب) میباشد. مقدار 8 و ظ را یید. (دی ۱۴۰۲)
ال ۱۳۰ مقديرق وق و6 رادر نیع » + تا + آهعه + گنه = ey bla) بهدست آورید که در نقطمی (1-:۳) اکسترمم
نسبى داشته r= Vy طول نقطدى عطف آن باشد. (خرداد ۱۴۰۳
كر (»,')نقطه عطف تابع درجه سومى با ضابطه © + تدط + "نتم + عه = fle) باشد که نمودار آن در شکل زیر
رسم شدء است: 8 ول و 6 را پیداکنید. (تمرین (NS
صفحه 12:
جزوهآموزشی حسابان ۰۲ فصل ۵. برد مشتق (۵نره)
درس سوم: رسم نمودار توابع
براى وسم نمودار توابع مراحل زير را انجام م دهيم؛
ابتدا دامت تبع را مشخص مىكليم.
مجانبهاى منحنى را در صورت وجود بددست مىآوريم و حد تابع رادر بىنهايت حساب مى كنيم.
محل برخوره منحنى با محورهاى مختصات را بددست مى آوريم.
مشتق اول تابع رأ تعيين علامت كرده و نقاط الكسترمم تابع را مشخص مىكنيم.
تق دوم تابع را تعيين علامت كرده و جهت تقعر و نقطه عطف را مشخص م ىكتيم.
مجعم
pe SEs GK ast ad dex. pee ci a Sy y= SAB oe at
وف تیوه اوه پاش زر تخل تقو رش
۷- جدولتفیرات یع را رسم وا روی آث نمدار تابع را رسم مى كنيم.
۸- در صورت تا از تقاط کمکی هم استاده میک
مال ۱۳۲: جدول رفتار و نمودار Fle) = (B= (HEN) a رارسم كتيد. (مثال كتاب).
ATT J جدول رفتار و نمودار تابع Y= (BHM (EA را رسم كنيد.
صفحه 13:
جزوه آموزشی حسابان ۲: قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
1 i
05-1 كنيد. (دى pools Sle) = La — ral 1ح gi Jaye عثال ۱۳۲: جدول رفار و
تمرین: جدول رقار و نمودار تابع وس
ال ۱۳۵: جدول رفار و نمودا Fla) = SEE pe رارسم كنيد. (شهريور 05:1
صفحه 14:
جزوه آموزشی حسابان ۲:قصل ۵. کابرد مشتق (ald)
تعريز: دول فا مدع رگ لو OFT AS es
تمرین: جدول رفار و نمودر یع > ۷ رارسم کنید. (خرداه ۱۴۰۱
مجعم
تعرين: فرض كيد محل تقاطع مجابهاى تع 22
,نی (۲,۱) باشد. ار اي تابع از نقطدى iS (Ae)
ضابطدى تابع را بهدست آورید. (دی ۱۴۰۱ و تمرین کتاب)
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
درس :1اکسترممهای یک تابع و توابع صعودی و نزولی
ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق (اکسترمم):
به نمودار زیر که تغییرات دمای هوای یک شهر در دو شبانهروز متوالی را نشان میدهد توجه کنید:
نقاط به طول 15و 39به گونهای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها (چپ و راست) بیشتر
است .به این دلیل اصطالحا گفته میشود تابع در این نقاط ماکزیمم نسبی دارد.
نقاط به طول 3و 27به گونهای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها (چپ و راست) کمتر است.
به این دلیل اصطالحا گفته میشود تابع در این نقاط مینیمم نسبی دارد .بنابراین تعریف زیر را داریم (شهریور :)1401
در نمودار باال نقاط ( )15.25و ( )39.27نقاط ماکزیمم نسبی و نقاط ( )3.10و ( )27.13نقاط مینیمم نسبی هستند .به بزرگترین مقدار
تابع fماکزیمم مطلق و به کوچکترین مقدار تابع fمینیمم مطلق میگوییم .در نمودار باال نقطه ( )39.27ماکزیمم مطلق و نقطه
( )3.10مینیمم مطلق تابع است.
تذکر :گوییم تابع fدر x=cاکسترمم نسبی دارد هرگاه در این نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی داشته باشد و اگر در نقطه x=c
ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق داشته باشد میگوییم در آن نقطه اکسترمم مطلق دارد.
تذکر :نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی به گونهای است که تابع در یک همسایگی آن تعریف شده است اما نقطه ماکزیمم مطلق
و مینیمم مطلق الزم نیست حتما در چنین شرطی صدق کند.
1
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :110در هر یک از نمودارهای زیر نقاط ماکزیمم مطلق ،مینیمم مطلق ،ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی را مشخص کنید.
مثال :111با توجه به نمودار داده شده به سواالت زیر پاسخ دهید( :خرداد )1401
الف) مقدار ماکزیمم مطلق را بنویسید.
ب) مقدار مینیمم مطلق را بنویسید.
پ) طول نقطهی ماکزیمم نسبی را بنویسید.
ت) طول نقطهی مینیمم نسبی را بنویسید.
2
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :112طول نقاط اکسترممهای نسبی و مطلق تابع مربوط به نمودار زیر را مشخص کنید( .خرداد)1402
مثال :113کدامیک از جمالت زیر درست و کدامیک غلط است؟ (خرداد ،1401خرداد ،1402خرداد )1403
نقطه بحرانی:
نقطهای به طول (x=c) cاز دامنهی تابع fرا یک نقطه بحرانی برای تابع fمینامیم هرگاه ) f⸍(cبرابر صفر باشد یا موجود نباشد.
بنابراین هر نقطهی بحرانی تابع ) f(xالزاما نمیتواند یک نقطهی اکسترمم نسبی تابع ) f(xباشد .اما هر نقطهی اکسترمم نسبی ،یک
نقطهی بحرانی است .چون در آن نقطه مقدار مشتق برابر صفر است.
روش تعیین ماکزیمم یا مینیمم مطلق یک تابع در یک بازه( :مهم)
-1مشتق تابع را برابر صفر قرار داده و ریشههای مشتق را حساب کرده و مقدار fرا به ازای ریشههای مشتق حساب میکنیم.
-2مقدار fرا در دو سر بازه پیدا میکنیم.
بزرگترین مقداری که در مرحلههای 1و 2بهدست میآید را ماکزیمم مطلق و کوچکترین این مقدارها ،مینیمم مطلق تابع است.
مثال :114اکسترممهای مطلق تابع x
1 3
x
3
) f (xرا در بازه ] [ 2, 2بیابید( .مثال کتاب)
3
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :115مقدار ماکزیمم مطلق تابع 12x
تمرین :اکسترممهای مطلق تابع 5x
x5
x3
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
) f (xدر بازهی ] [ 1, 3را بهدست آورید( .خرداد )1403
) f (xرا در بازهی ] [0, 2بهدست آورید( .شهریور )1402
تمرین :مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع 6x 2
x3
) f (xرا روی بازهی ] [ 2, 3بیابید( .دی )1402
مثال :116مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع fبا ضابطه 1
x2
) f (xرا روی بازه ] [ 2, 2پیدا کنید( .مثال کتاب)
نکته :اگر تابع fدر بازه بسته ] [a, bپیوسته باشد ،آنگاه تابع در این بازه هم ماکزیمم مطلق و هم مینیمم مطلق دارد.
بهینهسازی:
در این درس ،مسائلی را با هدف ماکزیمم کردن مساحت ،حجم ،سود و یا مینیمم کردن فاصله ،زمان و هزینه بررسی خواهیم کرد.
4
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :117یک مستطیل در یک نیم دایره محاط شده است .اگر شعاع دایره 4 ،سانتیمتر باشد ،طول و عرض مستطیل را طوری
بهدست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن گردد( .دی )1401
مثال :118یک سازنده جعبههای حلبی ،با بریدن مربعهای همنهشت از چهار گوشه ورقهای حلبی به ابعاد 8اینچ و 15اینچ و باال
بردن چهار طرف آن ،جعبههای سر باز میسازد .اگر بخواهیم حجم جعبههای ساخته شده بیشترین مقدار ممکن باشد ،طول ضلع
مربعهایی که باید بریده شود چقدر باید باشد؟ (مثال کتاب)
مثال :119در کرهای به شعاع Rیک استوانه محاط کردهایم .شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را طوری بهدست آورید که حجم استوانه،
بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد( .مثال کتاب)
تعیین یکنوایی تابع (صعودی یا نزولی):
برای تعیین صعودی یا نزولی بودن تابع ،ابتدا مشتق تابع را محاسبه کرده و آن را برابر صفر قرار داده و جوابهای مشتق را محاسبه
میکنیم .سپس مشتق را تعیین عالمت میکنیم .بازههایی که در آنها مشتق مثبت باشد ،تابع در آن بازهها اکیدا صعودی و بازههایی
که در آنها مشتق منفی باشد ،تابع در آن بازهها اکیدا نزولی است و بازهای که در آن مشتق صفر باشد ،تابع ثابت است.
5
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :120با رسم جدول تغییرات ،تعیین کنید که تابع 1
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
x2
1 4
x
2
) f (xدر چه بازههایی صعودی و در چه بازههایی نزولی
است؟ (خرداد )1402
مثال :121توابع زیر در چه بازههایی صعودی و در چه بازههایی نزولیاند؟
الف) 7
ب)
12x
x
2
x
3x 2
2x 3
) f (x
) f (x
مثال :122اکسترممهای نسبی و مطلق تابع 6
4x
2x 2
x3
) f (xرا در بازه ] [ 3, 4بهدست آورید و مشخص کنید این
تابع در چه بازههایی صعودی و در چه بازههایی نزولی است؟ (مثال کتاب)
6
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
تمرین :نقاط اکسترمم نسبی و مطلق توابع زیر را در بازههای داده شده در صورت وجود بیابید( .تمرین کتاب)
الف) 5
2x
3x 2
ب) 3x
x3
) f (x
پ)
x
2
2
x
0
x
) f (x
x
4
) f (x
مثال :123ضرایب aو bرا در تابع b
ax
x3
) f (xطوری پیدا کنید که در نقطه ) (1, 2مینیمم نسبی داشته باشد( .تمرین
کتاب)
تمرین :ضرایب aو bرا در تابع b
ax
x3
) f (xطوری پیدا کنید که نقطهی ) (1, 2اکسترمم نسبی تابع باشد( .شهریور
)1401
7
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
درس دوم :جهت تعقر نمودار یک تابع و نقطه عطف آن
اگر تابع fدر بازه Iمشتق پذیر بوده و در هر نقطه بازه ، Iمماس بر منحنی را رسم کنیم و نمودار منحنی باالی خط مماس قرار گیرد،
میگوییم تقعر منحنی در بازه Iبه سمت پایین باال است و اگر در هر نقطه بازه Iنمودار منحنی پایین خط مماس قرار گیرد میگوییم
تقعر منحنی در بازه Iبه سمت پایین است.
هرگاه خط مماس بر منحنی در نقطهای مانند Mواقع بر منحنی موجود باشد و جهت تقعر منحنی در نقطه Mعوض شود ،نقطه M
را نقطه عطف منحنی تابع مینامند .مماس بر منحنی در نقطه عطف از نمودار تابع عبور میکند.
طرز تعیین تقعر و نقطه عطف منحنی:
مشتق دوم را محاسبه کرده و برابر صفر قرار داده و ریشههای آن را محاسبه میکنیم .سپس مشتق دوم را تعیین عالمت میکنیم .در
بازهای که مشتق دوم مثبت باشد ،تقعر منحنی رو به باال و در بازهای که مشتق دوم منفی باشد تقعر منحنی رو به پایین است .همچنین
اگر مشتق دوم در اطراف نقطهای تغییر عالمت دهد ،آن نقطه ،نقطه عطف منحنی تابع است( .خرداد )1401
بنابراین میتوان به نکته زیر اشاره کرد:
اگر مقدار fدر یک بازه مثبت (منفی) باشد ،تابع fدر آن بازه صعودی (نزولی) است و لذا شیب خطوط مماس بر
منحنی در آن بازه افزایش (کاهش) مییابد و تقعر منحنی تابع fدر آن بازه رو به باال (پایین) است( .خرداد )1401
8
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :124درستی یا نادرستی جمالت زیر را تعیین کنید( .کار در کالس کتاب)
الف) در نقطه عطف عالمت ) f (xتغییر میکند.
ب) هر نقطه که عالمت fدر آن تغییر کند ،نقطه عطف است.
پ) هر نقطهای که در آن مقدار fبرابر صفر شود یک نقطه عطف است.
ت) تابع میتواند بیش از یک نقطه عطف داشته باشد.
ث) تابع صعودی اکید ،نقطه عطف ندارد.
1
مثال :125ابتدا تقعر تابع
1
2x
x
) f (xرا در دامنه آن بررسی نمایید و سپس نقطه عطف آن را در صورت وجود ،بهدست
آورید( .شهریور )1402
مثال :126جهت تقعر و مختصات نقطهی عطف تابع 1
)3
x(x 2
) f (xرا تعیین کنید( .شهریور )1401
تمرین :جهت تقعر نمودار توابع زیر را مشخص کنید و نقاط عطف آنها را بهدست آورید( .مثال و تمرین کتاب)
15
9
6x 2
x3
) f (x
1
3
) f (x
x
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :127مقادیر aو bو cرا در تابع c
1
) f (0و 3
) f (2و 1
1
) f (0و 2
) f (xطوری بهدست آورید که در شرایط زیر صدق کند:
xطول نقطهی عطف نمودار تابع fباشد( .خرداد )1402
تمرین :مقادیر aو bو cرا در تابع c
1
) f (1و
2
bx 2
ax 3
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
bx 2
ax 3
) f (xطوری بهدست آورید که در شرایط زیر صدق کند:
xطول نقطهی عطف نمودار تابع fباشد( .تمرین کتاب)
10
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
مثال :129نقطهی عطف تابع bx
ax 2
مثال :130مقادیر aو bو cرا در تابع c
نسبی داشته باشد و 1
x3
bx
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
) ، f (xنقطهی ) (1, 11میباشد .مقدار aو bرا بیابید( .دی )1402
ax 2
x3
) f (xطوری بهدست آورید که در نقطهی ) (3, 1اکسترمم
xطول نقطهی عطف آن باشد( .خرداد )1403
مثال :131اگر ) (0, 0نقطه عطف تابع درجه سومی با ضابطه c
bx
رسم شده است a ،و bو cرا پیدا کنید( .تمرین کتاب)
11
ax 2
x3
) f (xباشد که نمودار آن در شکل زیر
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
درس سوم :رسم نمودار توابع
برای رسم نمودار توابع مراحل زیر را انجام میدهیم:
-1ابتدا دامنه تابع را مشخص میکنیم.
-2مجانبهای منحنی را در صورت وجود بهدست میآوریم و حد تابع را در بینهایت حساب میکنیم.
-3محل برخورد منحنی با محورهای مختصات را بهدست میآوریم.
-4مشتق اول تابع را تعیین عالمت کرده و نقاط اکسترمم تابع را مشخص میکنیم.
-5مشتق دوم تابع را تعیین عالمت کرده و جهت تقعر و نقطه عطف را مشخص میکنیم.
b
-6هر تابع به صورت
d
ax
cx
yرا که در آن 0
نمودار آن به یکی از دو صورت
cو 0
bc
adباشد را یک تابع هموگرافیک مینامند و
است .این تابع نقطه عطف ندارد و نیازی به محاسبه fنیست.
یا
-7جدول تغییرات تابع را رسم و از روی آن نمودار تابع را رسم میکنیم.
-8در صورت نیاز از نقاط کمکی هم استفاده میکنیم.
مثال :132جدول رفتار و نمودار تابع )3
1)2(x
(x
) f (xرا رسم کنید( .مثال کتاب)
مثال :133جدول رفتار و نمودار تابع 4)2
2)(x
(x
yرا رسم کنید.
12
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
2x 2
مثال :134جدول رفتار و نمودار تابع 3x
تمرین :جدول رفتار و نمودار تابع x 2
3
مثال :135جدول رفتار و نمودار تابع
x
2 3
x
3
x
1
1 3
x
3
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
) f (xرا رسم کنید( .دی )1401
yرا رسم کنید.
) f (xرا رسم کنید( .شهریور )1401
13
جزوه آموزشی حسابان ، 2فصل ، 5کاربرد مشتق (5نمره)
تمرین :جدول رفتار و نمودار تابع
x
1
x
2x 1
تمرین :جدول رفتار و نمودار تابع
x 2
گردآورنده :نقیب زاده ،کرمانشاه ،ناحیه 1
yرا رسم کنید( .خرداد )1402
yرا رسم کنید( .خرداد )1401
b
تمرین :فرض کنید محل تقاطع مجانبهای تابع
d
ax
cx
) ، f (xنقطهی ) (2, 1باشد .اگر این تابع از نقطهی ) ( 1, 0بگذرد،
ضابطهی تابع را بهدست آورید( .دی 1401و تمرین کتاب)
14
