درسنامه وجزوه فصل1 ریاضی ۱ ریاضی1 دهم تجربی دهم ریاضی

صفحه 1:
سل : اول درس اول : مجموعه های متناهی و نامتناهی مجموعه های اعداد انسان در طول تاريخ بر حسب نياز خود از مجموعه های مختلف اعداداستفده رده است. برخی زاين مجموعه ها که در سال هاى قبل با آنها آشنا شديد به شرح زیر است. ‎(1m‏ > 40 : مجموعه اعداد طبيعى امورو اسه سورد سار سين الأ ,»را رات ,...]) -2 : مجموعه اعداد صحيح > «بدع «به ال] - © : مجموعه اعداد ككويا مجموعه اعدادی كه تنوان آنه رابه صورت تسبث دو عدد صحيح تمايش داد > "0 : مجموعه اعداد كنك لا © < 8 : مجموعه اعداد حقيقى 

صفحه 2:
تكقه با توجه به شكل بالا داريم: مع مع مع اع از 8-0-0 ۸-0 جداقيم: اعداد ككويا به دو دسته سیم می شوند. دسته اول:اعداد ككوياى مختوم مانند اكر يكك كسر را تا جابى كه امكان دارد صورت و مخرج آن رابا هم ساده كنيم و مخرج كسر را به عاملهاى. اول تجزيه كنيم وبه غير از با ۵عامل دیگری نداشه باشد آن عدد یکت عدد گویای مختو است. دسته دوم: اعدا اعشاری متناوب :ماد spor ۲۳۵۱ ۳۵۱ ۳۵۱ > 

صفحه 3:
سل : ول اگر یک كسر رات جایی که امکانداردصورت و مخرج آن با هم سادهکنیم و مخرج کسر اه عملهای اول تجزيه كنيم مخرج هيج تكدام از عاملهاى ؟يا را نداشته باشد يا اك رعامل هلى یا ۵ داشت عملهایدیگری یز داشتهباشد در آن صورت آن عدد یک عدد گویای متاوب است. تکته :اعدا اعشاری که نه مختوم هستد و نه متناوب جزء اعداد گنگ (اصم) به حساب می آیند. همین .ندارند جز اعداد كتكك (اصم) بهحساب می آیند ل للد بازه إباؤه ( قاصله): به هر زیر مجموعه ی پوسته از اعدا حقيقئ بكك بازه مى گویم مان مجموعه شامل اعداد حقيقى بين ؟- و" يغلى ی رای تشن دادن مجموع 8 به زین ساده تر یه صورت باه با مد (۳, 2۲ تمایش می دهيم 

صفحه 4:
rey ey انواع بازهداگرع ره ‎<b,‏ آن اه دريم بازه های باز >> 60۰ < «م) a ‏سب‎ (۲ ۲۰ مب بمب ببتببسب. ‎(ee R|x <0)‏ = هرس ‎ 

صفحه 5:
درسمه : رياضى ‎١‏ ۳ بازه های نیم باز [a) = (ER|asx <p} 

صفحه 6:
‎(ee R| 2-1}‏ = )40( (- که - ‎[t= (ee R|‏ عثال: درستى يا نادرستى عبارت هاى زير را مشخص كنيد: ‎Crest‏ ۲ لب ‎Wn VEN) on‏ بدو جاع اورت ‎secu)‏ ‎ely) a‏ ‏دقت کیم در مجموعه دفقط اعداد داد شده عضو مجموعه هستند درقسمت ات ‎-١‏ عضو مجموعه نيست ( ‏مجموعه را بابازه اشته تكيريم) درس( )© ورج عرست ]ع اسارج ‎CFEC sant 2) 19) > ‏نادرست[۲:۵)‎ ‏مت ع ۴لزد رصع ۱۱۰ ‎۱,96], ‏رت‎ JW) SMe DENSE Ws ‏رست )عاض‎ ‏انكته اتهى زير مجموعه ى همه مجموعه هاست ‏اعمال روى بازه ها ‎ 

صفحه 7:
سل : ول يا توجه به مفهوم اجتماع: اشتراكك و تفاضل در مجموعه ها می تون اجتماع اشتراكك و تفاضل يازه ها رابه دست آورد كه يهتر است از نمایش هندسی ( محور اعداد) استفاده كنيم به إين صورت که نمایش هندسی هر دو بازه را روى يكك محور سم مى كتيم وبا توجه به شكل جواب وا دست مى آوريم. مثال: JU (1,400) = (=1,400) دقت كنيم جون (06+ ,05 © 7 يس در اشتراک قرر نداد اقكته؛ براي بدست آوردن اقفاضل دو بازه مراحل زير را انجام مى دهيم مرحله ‎)١‏ اشتراكك دو بازه را به دست مى آوريم. مرحله ۲)اشترکد و باه ای که منفی پشت آن قرار دارد را حذف مى كنيم مرحله ۳) هر چه از بقی مانده است را بهعنون تفاضل در نظر می گیریم. مثال: مرحله ۱ اشتراک رایدست می آوریم. 

صفحه 8:
۱ د (هجری ور مرحله ۲)اشتراک و باه ای که متفی پشت آن قرار دارد را حذذف مى كنيم مرحله ۳ هر چه از بقیمانده ست رابه عنوان تفاضل دز نظر مى ككبريم. جواب نهایی: ‎COW‏ مثال: حاصل عبارت هاى زير وا يدست آوريد. 

صفحه 9:


صفحه 10:
تكته: كاهى اجتماع دو يا جند بازه رأ به صورت تفاضلى مى تون نشان داد( > ۵) حالت اول عثال: مجموعه ى (7) - #را روى محور تمايش دهيد و سيس ‎oT‏ را به صورت اجتماع دوز سید ۲-0 - ‏فرصت‎ U(r +00) قست: (5,؟) لا (1,5-] برابراست 0 دزت 2-0 لسرت ‎ras‏ 

صفحه 11:
(يه] -م - إه ع عياء > 7 موه دقت کنم برایتوشتن مجموعه(م+,] لا( ,-)_به صورت تفاضل کافی است مجموعه اى را بيدا كتيم كه اجتماع آن مجموعه با( ]نا (۵ )بر شود و آن مجموعه با مجموعه ی + ر] نا (»,:»-) اشتراكى نداشته باشد. (طيم]- مد وجرمان م دم ما نا وجمان هع از كل اعداد حقيقى بايستى (4,8] را برداريم كه همون (4,8] - 8 ميشود. اقست: اجتماع بازه هاى (0ه+ ,”)لا (4 *-) را به كدام صورت زير می توا و R-GAL ۶-1 > 2-6 R= ‏م0‎ تست: کدام مجموعه ی زیر یانگر [۷,۱-) - ‎AR‏ ‎er 0‏ دوهع إمععا ‎|e‏ ع عوك زم عن ع[ < دیا > امع ع اتكته: كلمه دو؛ در مجموعه ها معادل اشتراكك (0) و كلم ى ‎٠‏ يا؛ معادل (لا) مى باشد. كزين * صحح است. 

صفحه 12:
قست: مجموعه [ > نب - |60 ]> ریاس با me 2-۳ Ro uno ‏وقتی کلمه ی؛ ی وجود دارد يعنى اجتماع بكيريم.‎ (eeR|x>-Tux st} = ‏[؟ ,)نا (ممه رات‎ ‏كر اهتراك مى حواست یه یکف جواب فرنست بو‎ ‏تمرین:اگر (۱< 6۸۷ 68۱-۱۲۸ - ۵ ۱1۲5 ع) دیاز‎ هایی را که با مجموعه های زیر تعریف شده اند مشخص ‎AS‏ wane ‏8ب ۸ رب‎ (6-8 ‏6ن 87م م رت‎ 2) )۸۵۵( ۱۵0 

صفحه 13:
مجموعه های متناهی و امتناهی فرض کنید ۸ مجموعه ی اعدا طلیعی کمتر از ۴و 13 مجموعه ی اعداد صحيح کمتر از ‎ALE‏ الف) اين دو مجموعه رايا نمايش اعضاى آنها مشخص كنيد. ‎soe‏ ب) ۵ چند عضو دارد؟ عضو ب) درباره ى تعداد اعضاى 13 چه میتوان گفت؟ تمدد اعضا مشخصی ثیست( یشمار عضو داره) مجموعه ‎gla‏ را که تاد عضای آنه یک عدد حسایی است؛ مجموعه های متناهی می نایم با توجه بهمطلب قوقی 13 یک مجموعه ی متاهیتیست؛ زیر (نمی توا تعداد اعضاى آن رايا يكك عد بيان كرد در واقع تعدا یوم ‎J‏ تراست. چنین مجموعه هابى را مجموعه هاى تامتناهى مى ناميم, 

صفحه 14:
درسامه رياضى ‎١‏ سل:اول هثال: متاهى يا ناتتاهى بودن هر يكك از مجموعه هاى زير را مششخص كنيد. درباره ى مجموعه هاى متتاهى اسعى كنيد تعداد دقيق يا تفربيى اعضاى هر يكك از آنها را بنويسيد. تانتاهی مجموعهاعداد ول یکت رقمی مجموعه انسان هاى روى زمين مجنوعه امداد طیمی فد مجموعه سلول های عصبی مقز یک انسان مجموعه تمام دايره هاى به مركز مبداً مخصات مجنوعه داش آموزانمدرسه ی ما مجموعه اعداد طیمی ده رقمی مجموعه درخت های جنگل های آمازون Kappes ape 1۳2 a Sane Cae مجموعه مولگولهای موجود در یک مول تعداداعضا ( در مورد مجموعه های نتاهی) Trani at 

صفحه 15:
مثال:دومجموعه ی متاهی ام رد ا:مجموعه ی دییران ریاضی ایلام 7مجموعه ی ماشین های موجود در یک نمایشگاه مثال: دو مجموعه ى نامتناهى مثال بزنید که یکی از آنها زیر مجموعه ی دیگری باشد. دوترصدي سو يي 1 دبای (۱,] ,(۳۸9) که (ج) ع (] * مجموعهى دايره هاى به مركز ميدأ مختصات با شعاع عدد صحیح که یر مجموعه ی مجنوعه ى تمام دايرة هابى به مركز ميدأ مختصات است, هثال: دو مجموعه ى نامتناهى مثل .9 و 83 مثال بزنيد كه 8 © 4 يوده و1946 تكك عضوى باشد. تذكر: ( تعداد اعضاى برخى از مجموعه هاى منناهى ممكن است بسيار زياد باشده با إين حال با داشتتن امكانات لازم وصرف وقت كافى ممكن است يتوان تعداد آنها را پدست آورد) تكد عو و که هر دو ناستاهى اندو 18 © ۸۷, [] < ۸۷ - ۱۷ 1-09 = 0.9 £660.00 sate ‏فعالیت: الف) عددی ین + و۱ است. چهار عدد گویایدیگر از اه ی (۱,.) نید رب‎ آب آیامی وان ‎oe‏ و ۱ یه هر تعداددلخواه عدد گویا رنه کرد؟ بل 

صفحه 16:
سل : ول ب در موره متاهى با نامتاهى بودن اعداد ككوياى موجود دو باز ى (1::) جه نتيجه لى مى كيريد؟ sh gta ‏ت در موردمتاهی یا متاهیبودن 2 چه می وان گفت؟ نمتاهی‎ ‏ث آگر .۸ دارای یک زیر مجموعه ی نامتناهی باشد آنگاه ۸ یکك مجموعه‎ ALD ‏عثال: فرض کنیل مجموعه ی تمام مضرب های طیعی عدد‎ ‏الف) را با نمایش اعضای آن بنویسید. رشان اذا اره] - نا‎ ‏ب) 1 متاهی است یا نامتاهی؟ نامتهی‎ ۱۳۰ ‏آپ) یک زیر مجموعه ی متاهی از لآ بنویسید. [۵,۱۰,۱۵,۲۰,۹۵) > مضارب طیمی ۵ کوچکتر از‎ .6 > 8 ‏ت) دو زیر مجموعه ی نامتاهی مانند 6 و از لآ شویسیده به طورى كه‎ ۲۰ ‏شارب ۱۰ و[ رد۶ ۲::۴) > 6 مضارب‎ > [iterate AS ‏عثال: متناهى يا انتاهى بودن مجموعه هاى زير را مشخص‎ ‏ألف) مجموعه اعداد طبيعى. تاتاهى‎ ‎Ae game‏ شمارنده های طیعی عدد ۳۶ متناهى ‏ت) (۷ > > 1 | ۸۷ 6 :2) < ۸ متاهی (چون با توجهبه مجموعه یلا[ می شود0) ‏ث) مجموعه ی مضرب های طیعی عدد ۱۰۰ تامتاهى ‎ ‎ 

صفحه 17:
سل : ول مثال: دو مجموعه ی نامتاهیمثل نید که اشتراک آنها مجموعه ای متاهی باشد.(۵,] و [۷1) که اشتراک آنها مجموعه ی () است که متهی است. مثال: اكر 8 © 4و 83 مجموعه اى متتاهى باشد» نكا ل متتاهى خواهد بود يا نامتتاهى؟ متناهى تعرین: اعضای هر یک از مجموعه هاى زير را نشان دهيد: سيس مجموعه هاى با بايان و بى بايان ( نامتناهي). را مشخص كيد سمو تانايد ۳ موه سا ین روج لكر ۴ مجبوع عدار مجموعه اعداد صحيح ‎Ke‏ از ۱۳۹۶ © مجموعه داد طیعیبزرگ از ۰ و کوچگر از 1 ۶ مچنوعهاعداد صح پین ۶و 2۷ 62-۱2 6۷۱ < ۱۰ ۵ 

صفحه 18:
درس دوم : متمم یک مجموعه ۲-۱-امجموعه مرجع تعریف مجموعه مرجع: در هر مبحثه مجموعه ای را که همه ی مجموعه هی مورد بحه زیر مجموعه آن باشتده مجموعه مرجع مى ناميم وبا لانشن می دهیم ‎TH}‏ اعتمم يكك مجموعه ‏تعريف متمم يكك مجموعه: ه ركاه لامجموعه مرجع باشد و لا ۳ ۸ آنگه مجموعه ی ۸۸ ‎A peel UR‏ ‏من اميم ويا تماد “4 نشان من دهي ‏به عبارت ديكر ۸ شامل عضوهایی از لا است که در ۸ نیستد ‏له فرض کنیم [۱,۲,۰..۱۰) = ‎U‏ ,199( = ۸باشد را مشخص کیم. ‎rey ey ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول درس اول :مجموعه های متناهی و نامتناهی مجموعه های اعداد انسان در طول تاریخ بر حسب نیاز خود از مجموعه های مختلف اعداد استفاده کرده است. برخی از این مجموعه ها که در سال های قبل با آنها آشنا شدید به شرح زیر است. } … ∶ 𝑁 = {1,2,3,مجموعه اعداد طبیعی } … ∶ 𝑤 = {0,1,2,3,مجموعه اعداد حسابی } … ∶ 𝑧 = {… , −2, −1,0, 1,2,3,مجموعه اعداد صحیح ‏𝑚 } ∶ 𝑄 = { ⎸𝑚, 𝑛 ∈ 𝑧, 𝑛 ≠ 0مجموعه اعداد گویا ‏𝑛 مجموعه اعدادی که نتوان آنها را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد = ∶ 𝑄′مجموعه اعداد گنگ ∶ 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝑄′مجموعه اعداد حقیقی ‏R ‏𝑄 ‏𝑄′ ‏𝑍 ‏𝑊 ‏𝑁 1 درسنامه :ریاضی 1 فصل :اول تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی نکته :با توجه به شکل باال داریم: ‏𝑅 ⊆ 𝑄 ⊆ 𝑍 ⊆ 𝑊 ⊆ 𝑁)1 2 ) 𝑅 − 𝑄 = 𝑄′ ‏𝑄 = 3 ) 𝑅 − 𝑄′ ∅ = 4 ) 𝑄⋂𝑄′ بیشتر بدانیم :اعداد گویا به دو دسته تقسیم می شوند دسته اول :اعداد گویای مختوم مانند 2 1 = 10 5 35 100 = 0⁄2 = 0⁄35 روش تشخیص اعدادگویا ی مختوم بدون تقسیم کردن صورت کسر بر مخرج اگر یک کسر را تا جایی که امکان دارد صورت و مخرج آن را با هم ساده کنیم و مخرج کسر را به عاملهای اول تجزیه کنیم و به غیر از 2یا 5عامل دیگری نداشته باشد آن عدد یک عدد گویای مختوم است. 1 1 = 10 2 × 5 , 3 5 3 3 2 = = 3 40 2 × 2 × 2 × 5 2 × 5 16 1 1 = = 2 120 20 2 × 5 دسته دوم :اعداد اعشاری متناوب :مانند 0⁄272727 … = 0⁄ 27 = 0⁄2 351 روش تشخیص اعدادگویا ی متناوب بدون تقسیم کردن صورت کسر بر مخرج 2 0⁄2 351 351 351 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول اگر یک کسر را تا جایی که امکان دارد صورت و مخرج آن با هم ساده کنیم و مخرج کسر را به عاملهای اول تجزیه کنیم مخرج هیچ کدام از عاملهای 2یا 5را نداشته باشد یا اگرعامل های 2یا 5داشت عاملهای دیگری نیز داشته باشد در آن صورت آن عدد یک عدد گویای متناوب است 4 7 , 13 13 = 60 2×2×3×5 , 4 4 = 15 3 × 5 نکته :اعداد اعشاری که نه مختوم هستند و نه متناوب جزء اعداد گنگ (اصم) به حساب می آیند .همچنین اعدادرادیکالی که جذر دقیق ندارند جزء اعداد گنگ (اصم) به حساب می آیند. … 𝜋 = 3⁄141519 … 0⁄10100100010000 √2, √3, √5, بازه بازه ( فاصله) :به هر زیر مجموعه ی پیوسته از اعداد حقیقی یک بازه می گوییم. مثال A:مجموعه شامل اعداد حقیقی بین -2و 3یعنی }𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 2 < 𝑋 < 3 برای نشان دادن مجموعه Aبه زبان ساده تر ( به صورت بازه) با نماد ( )-2 , 3نمایش می دهیم. 3 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول انواع بازه :اگر𝑅 ∈ 𝑏 𝑎 < 𝑏, 𝑎,آن گاه داریم )1بازه های باز }𝑏 < 𝑥 < 𝑎⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = )𝑏 (𝑎, ‏𝑎 ‏𝑏 }(−3,4) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 3 < 𝑥 < 4 }(𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 > 0 ∞+ ‏𝑎 }(3, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 > 3 }𝑎 < 𝑥⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = )𝑎 (−∞, ∞− ‏𝑎 }(−∞, 4) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 < 4 (2بازه ی بسته: ‏Q ‏𝑏 }𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = ]𝑏 [𝑎, ‏𝑎 }[−2,3] = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 4 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول )3بازه های نیم باز }𝑏 < 𝑥 ≤ 𝑎⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = )𝑏 [𝑎, ‏𝑏 ‏𝑎 ‏𝑏 ‏𝑎 }𝑏 ≤ 𝑥 < 𝑎⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = ]𝑏 (𝑎, }[4 , 7) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸4 ≤ 𝑥 < 7 }(−6 , 2] = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 6 < 𝑥 ≤ 2 }𝑎 ≥ 𝑥⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = )∞[𝑎 , + ∞+ ‏𝑎 }𝑎 ≤ 𝑥⎸ 𝑅 ∈ 𝑥{ = ]𝑎 (−∞, ∞− ‏𝑎 }[−2, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 ≥ −2 }(−∞, 5] = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 ≤ 5 مثال :بازه های زیر را به صورت هندسی نمایش دهید: )[−3, 5 5 فصل :اول درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی )(−∞, −4 مثال :بازه های زیر را به صورت مجموعه نمایش دهید؟ }[−1, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 ≥ −1 }[−4, −1] = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 4 ≤ 𝑥 ≤ −1 مثال :درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید: درست ) ) − 1 ∈ (−2,0الف نادرست) ) − 3 ∈ (−3,1ب 4 1 درست)∈ [ , 2 3 2 درست ] )0 ∈ (−1, 0پ )ت نادرست } ) − 1 ∈ {−2,1ث دقت کنیم در مجموعه ؛فقط اعداد داده شده عضو مجموعه هستند درقسمت ت -1عضو مجموعه نیست ( مجموعه را با بازه اشتباه نگیریم) درست ) ) − 1 ∈ [−2,1ج درست)∞ ) 𝜋 ∈ (3, +چ نادرست] ) [2,5) ⊆ (2,5خ نادرست ] )√3 ∈ (0,1ح درست)∞)6 ∕ 022 × 1023 ∈ (1, +د درست) )√3 ∈ (−2,3ذ نادرست)[−1,3) ⊆ (−1,3ز درست ))(−1, 3) ⊆ [−1,3ر نادرست} [−2,3) ⊆ {−4,4ش درست )){0,1} ⊆ [−1,2س نکته :تهی زیر مجموعه ی همه مجموعه هاست . درست ) )∅ ⊆ [−10,0ژ اعمال روی بازه ها 6 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول با توجه به مفهوم اجتماع ،اشتراک و تفاضل در مجموعه ها می توان اجتماع ،اشتراک و تفاضل بازه ها را به دست آورد که بهتر است از نمایش هندسی ( محور اعداد) استفاده کنیم به این صورت که نمایش هندسی هر دو بازه را روی یک محور رسم می کنیم و با توجه به شکل جواب را بدست می آوریم. مثال: )∞(−1,4] ∪ (2, +∞) = (−1, + ](−1,4] ∩ (2, +∞) = (2,4 دقت کنیم چون )∞ 2 ∉ (2, +پس در اشتراک قرار ندارد. نکته :برای بدست آوردن تفاضل دو بازه مراحل زیر را انجام می دهیم مرحله ) 1اشتراک دو بازه را به دست می آوریم. مرحله ) 2اشتراک و بازه ای که منفی پشت آن قرار دارد را حذف می کنیم مرحله ) 3هر چه از باقی مانده است را به عنوان تفاضل در نظر می گیریم. مثال: )∞(−1,3] − (1, + مرحله 1اشتراک را بدست می آوریم. 7 فصل :اول درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی ](−1,3] ∩ (1, +∞) = (1,3 مرحله ) 2اشتراک و بازه ای که منفی پشت آن قرار دارد را حذف می کنیم مرحله ) 3هر چه از باقی مانده است را به عنوان تفاضل در نظر می گیریم. جواب نهایی(−1,1] : مثال :حاصل عبارت های زیر را بدست آورید. ) ) [−2,4) ∪ (3,7) = [−2,7الف ) ) (2, +∞) ∩ (−∞, 5) = (2,5ب ) ) [−1,4) ∪ [4,7) = [−1,7پ 4 ° ) )[−3,6) − [5,10) = [−3,5ث 8 درسنامه :ریاضی 1 فصل :اول تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی مثال :اگر ] B = (−1,3], A = (−4,2باشند حاصل عبارت های زیر را بدست آورید. ] ) 𝐴 − 𝐵 = (−4, −1الف ] ) 𝐵 − 𝐴 = (2,3ب مثال :حاصل هر یک از مجموعه های زیر را با رسم بازه های آنها روی یک محور به دست آورید ) ) (−3,0) ∪ (−2,5) = (−3,5الف ] ) (−∞, 6] ∩ (2,9) = (2,6ب ] ) (3, +∞) ∩ (6,10] = (6,10پ )∞ ) (−∞, 1) ∪ [1, +∞) = 𝑅 = (−∞, +ت 9 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول 1 ° )∞ ) (3, +∞) − [2,4) = [4, +ث 4 ° ] ) [2,4) − (3, +∞) = [2,3ج نکته :گاهی اجتماع دو یا چند بازه را به صورت تفاضلی می توان نشان داد(a < 𝑏). حالت اول }𝑎{ 𝑥 > 𝑎} = 𝑅 −یا 𝑎 < 𝑥⎸ 𝑥{ = )∞(−∞, 𝑎) ∪ (𝑎, + ‏𝒂 ° مثال :مجموعه ی } 𝑅 − {3را روی محور نمایش دهید و سپس آن را به صورت اجتماع دو بازه بنویسید. )∞𝑅 − {3} = (−∞, 3) ∪ (3, + تست [−1 , 3) ∪ (3 , 5) :برابر است با: {3}(1 (−1,5] − {3}(2 [−1,5) − {3}(3 گزینه 3 10 (−1,5) (4 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول حالت دوم )𝑏 𝑥 ≥ 𝑏} = 𝑅 − [𝑎,یا 𝑎 < 𝑥⎸ 𝑥{ = )∞(−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, + ‏𝒂 ‏𝒃 دقت کنیم برای نوشتن مجموعه)∞ (−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, +به صورت تفاضل کافی است مجموعه ای را پیدا کنیم که اجتماع آن مجموعه با )∞ (−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, +برابر𝑅 شود و آن مجموعه با مجموعه ی )∞ (−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, +اشتراکی نداشته باشد. در این جا داریم )𝑏 = 𝑅 ⟹ (−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, +∞) = 𝑅 − [𝑎, [𝑎, )𝑏 ⏟ ∪ )∞(−∞, 𝑎) ∪ [𝑏, + بازه ی مورد نظر از کل اعداد حقیقی بایستی )𝑏 [𝑎,را برداریم که همون )𝑏 𝑅 − [𝑎,میشود. تست :اجتماع بازه های )∞ (−∞, 4) ∪ (6, +را به کدام صورت زیر می توان نوشت؟ ‏𝑅 − (4,6) (1 ‏𝑅 − [4,6] (2 ‏𝑅 − [4,6) (3 ‏𝑅 − (4,6] (4 گزینه2 تست :کدام مجموعه ی زیر بیانگر ] 𝑅 − (−2,1است؟ 𝑥 ≥ 1}(1و{𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 < −2 𝑥 > 1}(2و{𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ 𝑥 ≤ −2 𝑥 ≥ 1}(3یا {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 < −2 𝑥 > 1}(4یا {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 ≤ −2 نکته :کلمه «و» در مجموعه ها معادل اشتراک)∩( و کلمه ی « یا» معادل)∪( می باشد. گزینه 4صحیح است. ° 11 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول تست :مجموعه } 𝑥 ≤ 3یا 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 > −2برابر است با: (−2,3](1 ‏𝑅(2 ‏𝑅 − [−2,3)(3 ∅(4 وقتی کلمه ی« یا» وجود دارد یعنی اجتماع بگیریم. ‏𝑅 = ] 𝑥 ≤ 3} = (−2, +∞) ∪ (−∞, 3یا {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 > −2 اگر اشتراک می خواست گزینه یک جواب درست بود. تمرین :اگر } 𝑐 = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸1 < 𝑥 ≤ 2}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸ − 2 < 𝑥 < 3}, 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ⎸𝑥 ≥ 1بازه هایی را که با مجموعه های زیر تعریف شده اند مشخص کنید. ‏𝐵 ∩ 𝐴 ) الف ‏𝐵∪𝐴)ب ‏𝐵)𝐶−پ ‏𝐶 ∪ )𝐵 ∩ 𝐴( ) ت )𝑐 ∩ 𝐵( ∪ )𝐵 ∩ 𝐴( ) ث 12 درسنامه :ریاضی 1 فصل :اول تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی مجموعه های متناهی و نامتناهی فرض کنید Aمجموعه ی اعداد طبیعی کمتر از 4و Bمجموعه ی اعداد صحیح کمتر از 4باشد. الف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید. }𝐴={1,2,3 }𝐵={….,−1,0,1,2,3 ب) Aچند عضو دارد؟ 3عضو پ) درباره ی تعداد اعضای Bچه می توان گفت؟ تعداد اعضا مشخص نیست( بیشمار عضو دارد) مجموعه هایی مانند Aرا که تعداد اعضای آنها یک عدد حسابی است ،مجموعه های متناهی می نامیم. با توجه به مطلب فوق B ،یک مجموعه ی متناهی نیست؛ زیرا ( نمی توان تعداد اعضای آن را با یک عدد بیان کرد .در واقع تعداد اعضای این مجموعه از هر عددی که در نظر بگیریم ،بزرگ تر است .چنین مجموعه هایی را مجموعه های نامتناهی می نامیم. 13 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول مثال :متناهی یا نامتناهی بودن هر یک از مجموعه های زیر را مشخص کنید .درباره ی مجموعه های متناهی سعی کنید تعداد دقیق یا تقریبی اعضای هر یک از آنها را بنویسید. مجموعه نامتناهی متناهی تعداد اعضا ( در مورد مجموعه های متناهی) مجموعه اعداد اول یک رقمی * مجموعه انسان های روی زمین * مجموعه اعداد طبیعی فرد * مجموعه سلول های عصبی مغز یک انسان مجموعه تمام دایره های به مرکز مبدأ 4عضو {}2,3,5,7 * * مختصات مجموعه دانش آموزان مدرسه ی شما * مجموعه اعداد طبیعی ده رقمی * مجموعه درخت های جنگل های آمازون * مجموعه کسرهای مثبت با صورت یک * مجموعه مضرب های طبیعی عدد 10 * بازه ()0,1 * * مجموعه مولکول های موجود در یک مول مشخص از آب 14 390000000000 درسنامه :ریاضی 1 فصل :اول تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی مثال :دو مجموعه ی متناهی نام ببرید. :1مجموعه ی دبیران ریاضی ایالم :2مجموعه ی ماشین های موجود در یک نمایشگاه مثال :دو مجموعه ی نامتناهی مثال بزنید که یکی از آنها زیر مجموعه ی دیگری باشد. :1مجموعه ی اعداد طبیعی که زیر مجموعه ی مجموعه اعداد حسابی است. :2دو بازه ی ) (−3,7), [0,1که)[0,1) ⊆ (−3,7 :3مجموعه ی دایره های به مرکز مبدأ مختصات با شعاع عدد صحیح که زیر مجموعه ی مجموعه ی تمام دایره هایی به مرکز مبدأ مختصات است. مثال :دو مجموعه ی نامتناهی مثل Aو Bمثال بزنید که 𝐵 ⊆ 𝐴 بوده و B-Aتک عضوی باشد. تذکر ( :تعداد اعضای برخی از مجموعه های متناهی ممکن است بسیار زیاد باشد؛ با این حال با داشتنن امکانات الزم و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آنها را بدست آورد) تک عضو Nو Wکه هر دو نامتناهی اند و 𝑊 ⊆ 𝑁 ⏞ , }𝑊 − 𝑁 = {0 یا دو بازه ی ) (1,2), [1,2که)[1,2) − (1,2) = {1}, [1,2) ⊆ [1,2 1 4 2 1 2 1000 7 5 2 فعالیت :الف) عددی بین 0و 1است .چهار عدد گویای دیگر از بازه ی ) (0,1بنویسید, , , . ب آیا می توان بین 0و 1به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد؟ بله 15 1 فصل :اول درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی پ در مورد متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در بازه ی ) (0,1چه نتیجه ای می گیرید؟ نامتناهی اند ت در مورد متناهی یا متناهی بودن 𝑄 چه می توان گفت؟ نامتناهی ث اگر Aدارای یک زیر مجموعه ی نامتناهی باشد ،آنگاه Aیک مجموعه نامتناهی خواهد بود. مثال :فرض کنید Uمجموعه ی تمام مضرب های طبیعی عدد 5باشد. الف) Uرا با نمایش اعضای آن بنویسید. } … 𝑈 = {5,10,15,20,25,30, ب) Uمتناهی است یا نامتناهی؟ نامتناهی پ) یک زیر مجموعه ی متناهی از Uبنویسید = {5,10,15,20,25} .مضارب طبیعی 5کوچکتر از 30 ت) دو زیر مجموعه ی نامتناهی مانند Cو Dاز Uبنویسید؛ به طوری که 𝐷 ⊆ 𝐶. } … 𝐷 = {10,20,30,40,مضارب 10و} … 𝐶 = {20,40,60,80,مضارب 20 مثال :متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه های زیر را مشخص کنید. الف) مجموعه اعداد طبیعی .نامتناهی ب) مجموعه شمارنده های طبیعی عدد .36متناهی 1 1 پ) بازه ) .( ,نامتناهی 4 2 ت) } .𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 ⎸1 < 𝑥 < 2متناهی (چون با توجه به مجموعه ی ، Nمی شود∅) ث) مجموعه ی مضرب های طبیعی عدد .100نامتناهی 16 درسنامه :ریاضی 1 فصل :اول تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی مثال :دو مجموعه ی نامتناهی مثال بزنید که اشتراک آنها مجموعه ای متناهی باشد [2,5).و] (−3,2که اشتراک آنها مجموعه ی } {2است که متناهی است. مثال :اگر 𝐵 ⊆ 𝐴 و Bمجموعه ای متناهی باشد ،آنگاه Aمتناهی خواهد بود یا نامتناهی؟ متناهی تمرین :اعضای هر یک از مجموعه های زیر را نشان دهید ،سپس مجموعه های با پایان و بی پایان ( نامتناهی) را مشخص کنید. )1مجموعه اعداد طبیعی فرد )2مجموعه اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 20 )3مجموعه اعداد زوج )4مجموعه اعداد صحیح کوچکتر از 1396 )5مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از 10و کوچکتر از 20 )6مجموعه اعداد صحیح بین -6و -2 ‏𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍 ⎸ − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4} )7 ‏𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 ⎸𝑥 > 2016} )8 ‏𝑐 = {2,4,8, … , 21234 )9 1 ‏𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑍 ⎸ ∈ 𝑍} )10 ‏𝑥 17 درسنامه :ریاضی 1 تهیه و تنظیم :حبیب هاشمی فصل :اول درس دوم :متمم یک مجموعه 1-2-1مجموعه مرجع تعریف مجموعه مرجع :در هر مبحث ،مجموعه ای را که همه ی مجموعه های مورد بحث ،زیر مجموعه آن باشند ،مجموعه مرجع می نامیم و با ∪ نشان می دهیم. 2-2-1متمم یک مجموعه تعریف متمم یک مجموعه :هرگاه ∪ مجموعه مرجع باشد و𝑈 ⊆ 𝐴 آنگاه مجموعه ی 𝐴 𝑈 −را متمم 𝐴 می نامیم و با نماد 𝐴′نشان می دهیم. ‏𝐴′ ‏A به عبارت دیگر 𝐴′شامل عضوهایی از Uاست که در 𝐴 نیستند. مثال :فرض کنیم } A = {2,4,5,6}, U = {1,2,3, … ,10باشد 𝐴′را مشخص کنیم. }𝐴′ = 𝑈 − 𝐴 = {1,2,3, … ,10} − {2,4,5,6} = {1,3,7,8,9,10 مثال :با فرض آنکه Nمجموعه مرجع باشد هر مجموعه را به متمم خودش وصل کنید. } … {1,3,5,7,9, } … {1,4,6,8,9,10,12,14, } … {2,4,6,8,10, } … {3,6,9,12, } … {1,2,4,5,7,8, }{1,2,3, … ,9 } … {2, 3, 5 ,7 ,11,13, } … {10,11,12,13,14 18