ورد رياضیات وکاربرد آن در مدیریت

صفحه 1:
نام درس: رياضيات ۲ آن در مدیریت(1) تعداد واحد: 3 واحد نسخه قابل ویرایش دانشجویی دانشگاهی تعداد صفحات: 306 

صفحه 2:


صفحه 3:
نام درس: ریاضیات وکاربرد آن در مدیریت(1) تعداد واحد: 3 واحد 

صفحه 4:


صفحه 5:


صفحه 6:
هدف کلی درس دف کلي این درس آموزش میاحتی از رباضیات است که دانشجویان رشته شته های علوم انسانی دردروس تخصصی خود به آنها نبا خواهند داشت. مباحث کتاب رای ال ه اهذاف کلی مامت زیر درشس فصل رو لد ات قصل اول: نظريه مجموعه ها که شامل 44 اسلايد مى باشد. قصل دوم: دستگاههای مختصات که شامل 47 اسلاید می باشد. 

صفحه 7:
فصل سوم: رابطه وتابع که شامل 69 اسلاید می باشد. فصل جهارم: حد وبيوسة 5 که شامل 71 اسلايد مى ياشد. فصل ينجم: مشتق كه شامل 71 اسلايد مى باشد. فصل ششم: كاريردهاى مشتق كه شامل 74 اسلاید می باشد. 

صفحه 8:
غار هر فصل نکاتی به فنوان راهنمای مطالعه وهدف کلی آمده است,که: | کمک می کند تا منظور کل آن فصل را دریابید.درقسمتی که با عنوان های رفتاری وآمورشی مشجص شده است بازشما ان ظارمی رود که ‎ty‏ ‏اسم هرفصل مطالبی را که یادگرفته اید یا توجه به هدف های رفتار بری می تواند مثلا" بیان یک مفهوم ,مقایسه دو مفهوم بایکدیگر, توضیح یک نتیجه گیری ازیک مطلب, یا حل یک مسئله باشد.نظر به پيوستگي مفاه بی ,تا زمانی که به هدف های یک فصل نایل نشده اید,و مسائل آن فصل , نکرده اید به فصل بعدی نپردازید. 

صفحه 9:


صفحه 10:
‎ges ES‏ اناك ساك الت مجذقعطهاتؤانهاسايى كنيد ‏عضوهاى مجموعه هاى داده شده راتعيين كنيد. ‏زيرمجموعه هاى هر مجموعه داده شده راتعيين كنيد. ‏مجموعه تهى راشناسايى كنيد.مثال هايى از مجموعه تهى بياوريد. ‏اعمال جبرق روت حجموته هار اتعریف کنیدوبرای مج وعه های داده شد: مال مورد نظر راانجام بدهید. ‏بازه های باز وبسته راتشخیص بدهیدو آنها را به صورت مجموعه نمایش بد ‏مفهوم مجموعه جهانی را توضیح بدهید. 

صفحه 11:
. مکمل هر مجموعه را نسبت به مجموعه چهانی داده شده ,تعیین کنید. . ویژگی های اعمال جبری روی مجموعه هارابیان کنید ودرمسائل به کارببر 1.قوانین «دمورگان »را بیان کنیدودرمسائل به کارببرید. 1.تعدادعناصر هرمجموعه متناهی داده شده راتعیین کنید. 1.حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه رابیان کنید وآن رابرای مجموعه های : 

صفحه 12:
تموعه یکی از بنیادی ترین مفاهیم درریاضیات است وقالبا" نقطه آغازی ب ضیات پایه و کاربردهای آن در بسیاری از علوم محسوب می شود. مثلا":: ‎ais‏ مدیریت درموارد بسیاری صحبت از مجموعه تولیدات یک کارخانه ,یا تموعه کارگران یک کارگاه ,یا مجموعه تصمیمهای ممکن برای مدیر یک وا ظایر آن همان مس ای یرای درک یار ازمطالب رای سر ا كا نتایی باتعاریف ومفاهیم اولیه نظریه مجموعه ها ضروری است. این فصل ,مفهوم بنیادی مجموعه واعمال جبری روی مجموعه ها رامورد ب ار می دهیم. 

صفحه 13:
1-1مفهوم شهودی مجموعه پوم ریاضی یک مجموعه با مفهوم شهودی(عادی یا روز مره) آن تفاوت دار مجموعه اردظر رباطی هکایی ی اس که اشیای سل درون ۱ خص باشند.به بیان دیگر هنگامی که برای هر شی به دقت بتوان تعیین کر شي به آن مجموعه دازد ‎Dlg‏ طورکلی ,صفاتی مانند مهارت,تبحر, زیبایی. زشتی,کوچکی,بزرگی. شم کی وخ وش .كه تعريف ‎pts wily as ls hs‏ , مجموعه باشند. 

صفحه 14:
اس منال: هریک ازدسته های زیر یک مجموعه است: 2.دسته اعدادصحیح از 1ا100. 9. دسته حروف الفبای زبان فارسی. > آن دسته ازدانشجویان دانشگاه پیام نور که سن آنها کمتر از 25 است ۵ دسته کتاب های درسی سال اول ابتدایی. 6. دسته شهرهای کشور جمهوری اسلامی ایران. ۲ فت ‏ سب ارات مق وه 

صفحه 15:
1-1-3قرارداد: اگر «, عضوی از مجموعه 5 باشد, می نویسیم: ‎xeS‏ ‏نيم «كا متعلق به مجموعه 5 است» يا «لاعضوى از ‎ee ae‏ خلاصه,« »ادر 5است».نقيض 0 د نشان مى دهيم ومى خوانيم«“ عضو 5نيست» يا «لابه 5تعلق ‎asl eee‏ خلاصهء « در 5نیست». ازاين يس مجموعه ها را با حروف بزرگ لاتين مانند ...,0 ,ظ 4-1 نا 

صفحه 16:
1-1-6 نمایش مجمو عه ها: ۳۱۹ enc ‏ال‎ a ‏درداخل ا؛‎ vel aed ee Lop alos جه كنيد كه ترتيب نوشتن اعضای مجموعه , اهمیتی ندارد.برای دو و 123 مجموعه درواقع یک مجموعه را نمایش می دهند. 

صفحه 17:
تمرین 5-1-1(ب),معمولا" عضو ها را می توانیم برحسب خاصیت اكر مجموعه 5 شالتق)طلنام- ههابى باشد كه , ‎sui‏ = = ‎A= xe Q(2x- DGx+4f29 a‏ 

صفحه 18:
1-1-7 مثال: لف) مجموعه اعداداول بین 1 تا30 را می توان به صورت شان داد. 7192329 235,711131| ب)مجموعه ريشه های حقیقی معادله جیره-1 ۵۴+ را می توانیم. ه صورت زیر بنویسیم ۳ آپ) مجمو عه اعداد صحیح فردومثبت را می توانیم به هریک از صورت ها پر نشان بدهیم: 1۷ -2- دا _ ۳ 1۵57 

صفحه 19:
/1-1-1تعریف: بوعه‌5 راتهی می نامیم,اگروتنها اگر دارای هیچ عضوی نباشد.مجموعه را معمولا"با حرف يونانى (فق)نشان مى دهیم.بنابراین نماد 5-4 جموعه 5 تهی است» خوانده موسر یموس 5تهی نباشد.می نويس . خوانیم«5تهی نیست» يا «5ناتهی است». و درنتیجه, ‏ #منلواهد بوداگروتنها اگر حداقل دارای یک عضو باشد. 

صفحه 20:
1-1-1تعریف: رمجموعه ۸و 3ارادرنظر می گیریم.اگر هرعضو مجموعه ۸عضوی از مجمو اهم باشد ,۸رایک زیر مجموعه قامی نامیم وبا نماد AcB ‏بان می دهیم ومی خوانیم «۸زیرمجم وعه 8است» یا «3شامل ۸اسر‎ ‏ناد راگلامت شمول یا جزئیت می گوییم.‎ ‏صورتیکه #زیر مجموعه ای از 8نباشد, می نویسیم‎ AGB 

صفحه 21:
اروت , می کنیم مجموعه ۸,زیرمجموعه ای از مجموعه 8, باشد.اگر قاحداقل ب داشته باشدکه درمجموعه ۸ نباشد, آنگاه مجموعه ۸۵رایک زیرمجموعه سر امیم وبا نماد زیرنشان می دهیم. ‎AcB‏ ورتیکه مجموعه #۵زیر مجموعه سره 8نباشد می نویسیم ۶8 

صفحه 22:
1-1-5منال: ’ مجموعه های زیر رادر نظر مى گیریم: ‎A= xe 2x 106‏ ۱ زوش ابت كه عر فصو محنويه لابه معموتم نیز تعلق دارد.پس ازطرفی ‏ . ‎yj SB MEB AEA‏ مجموعه سره #۵است,یعنی اكنون فرض مى كنيم كه ‎ok‏ ‏عاد صديع متشاس عه بر ج720 عد د © زیر مجموعه اعاز #نیسنویرا = معا و ‎anne Jl tse nS a‏ يست ی ‎oly‏ 

صفحه 23:
1-1-0قضیه: اگر تعداد عضوهای مجموعه ۸برابر عدد طبیعی ۱باشد,آنگاه تعداد کل زیر مجموعه های ۸مساوی ‏ تاست. 1-1-2تعریف: مجموعه تمام زیر مجموعه های را مجموعه توانی ۸می نامیم وآن را با نماد (۳)۵ نشان می دهیم. 

صفحه 24:
1-1-2 مثال: رض کنید ‏ لاه تام زیر مجموعه های ۸عبارتند از طیه ار ط ار 2 ارو ابراین (۳)۸, مجموعه توانی #برایر است با اه | ره ره < (ه۳0 ابر قضیه20-1-1 اگر مجموعه ۸دارای (اعضو باشد,تعدادعضوهای مجموء 

صفحه 25:
1-1-6تعریف: اومجموعه ۵و8, رامساوی (يا برابر)مى ناميم اكروتنيا كذ ‎BEA‏ راين صورت مى نويسيم ‎A=B‏ بیان دیگر , دو مجموعه رامساوی می نامیم,اگروتنها اگر دارای عضوهای سانی باشند. 

صفحه 26:
1-1تعریف: , می کنیم 3 و ۵ دوعددحقیقی باشند به طوری که >8. مجموعه تمام اعداد حقیقی »«را که‌نگ *۵ ,بازه بسته وتامی نامیم و د [ظ,8]نشان می دهیم.پس جاک عدك ورع عع د إطية] کل 1-1بخشی از خط حقیقی که پررنگ کشیده شده است [8,9] رانشان .هد . b سس شکل1-1 

صفحه 27:
) مجموعه تمام اعدادحقیقی ‎a<x<beS Ix‏ ببازه باز ودامی نامیم وبانما ‎ua,‏ نشاق می دهیم.بنابراین (ab) =|xeRla<x<b ‏یکل 2-1قسمت پررنگ خط حقیقی ,نشان دهنده (ظبه)است.‎ a — 2s ‏و‎ وجه كنيد كه خود اعداد 3وطبه بازه (طره)تعلق ندارند,وبه همین علت درش؟ ادایره های توخالی نشان داده شده اند. 

صفحه 28:
هریک ازمجموعه های xe Rla<x <b |xeRla<x<b 1b) ‏؛ بازه نیمباز ودامی نامیم وبه ترتیب بانمادهای [ظرع)و(ظ,8]نشان می‎ ‏بکل های 3-1 و4-1 نگاه کنید.‎ b شکل3-1 

صفحه 29:
‌هنگام استفاده از علامت های باید مواطب باشیم که اين نمادها رابا اء یقی اشتباه نکنیم.زیرا آنها خواص اعدادحقیقی را ندارند.بنابراین بازه های (atx) = xeRk>a (2 ,bI=xeRx <b ‏داریم:‎ ‏(ممع] 2۴۳۰۱ (طر مس‎ 2:6۳ <۵ (G00 400) =R شکل 5-1بازه («ققلکل6-1 بازه (ظ:۲)رانمایش می دهد.توجه کنیدکه ال و تسام اعدا کی را سایش ی ‎a‏ 7 Sasa ‏هریک از بازه های(طبه) , [ظطرة],[طره), (طرة] , اعدادحقیقی 8ودارانقاط‎ | ‏هایی بازه می نامیم.‎ 

صفحه 30:
1-1-3مثال: موعه جواب نا معادله 3>5+6+2 راتعبین کنیدوآن راروی محور اعدا ی بدهید. دی بش ای صدق م ند اه ام ون تمام مرحله های بالا برگشت پذیر هستند, نتیجه می گیریم که ه۵بروعوبر ‎xo-2‏ ‏ابراین مجموعه جواب نا معادله مفروض ,بازه+2) است که در شکل1. شان داده شده است. ی 22 passa 

صفحه 31:
______ 1-2 مقدمه: بهی میان نظریه مجموعه هاونظریه اعداد حقیقی وجوددارد.باچهار عمل اه اتفریی اضر تقلسیم روی مجعوعه آعداد حقيقي اشنا هشتيم.اغمال جد بهی را می توان برای مجموعه ها نیز تعریف کرد.دراین بخش به معرفی و بی لس اعمال دی برداریت ۱ 

صفحه 32:
1-2تعریف: ض مى كنيم /وقادو مجموعه باشند.مجموعه تمام عضوهایی را که حداقل . آزاین دو مجموعه تعلق داشته باشند.اجتماع ۸و3امی نامیم وقانماژ ان مى دهيم.به بیان دیگر ‎AUB=|xxeA, xeB‏ ‎tee 2-3‏ الف)فرض می کنیم :8 < ۸ و ,۵,60 2 13 .اجتماع دو مجموعه ۸و ‏بنابر تعریف2-2-1عبارنست ا ز ‎AUB=abcde ‏ل ن را می خو‎ el ees ‏افرض می‎ ‏تمام‎ ee ‏رادی باشدکه روزنامه اطلاعات را می ‎Se‏ اقرادى ته حداقل يكن ار رورنامه هات سهان با اسلا 

صفحه 33:
-1-2تعریف: رض می کنیم ۵و8دو مجموعه باشند,مجموعه تمام عضوهایی را که به هر جموعه تعلق داشته باشند,اشتراك ۸وقامی نامیم وقانقل ‎wo Olt‏ دهیم.به بیان دیگر ‎AB =|x\xeA,xeB‏ 1-2-3منثال: الف)فرض می کنیم 7و ‎B=0247‏ .اشتراك دو مجموعه ۸ با ‎ee‏ ‏آب)مجموعه 5ومثال 3-2-1(ب)عبارتست از مجموعه تمام افرادی ؟ ردوروزنامه کیهان واطلاعات را می خوانند. 

صفحه 34:
عمل های اجتماع واشتراک از قوانین خاصی پیروی می کنند.این قوانين غال هی اندوما به منظور سهولت کاربرد. آنها رادر قالب سه قضیه زیر می آور ‎tauind 1-2-7‏ رای هر سه مجموعه دلخواه ۸وقاوت)ومجموعه جهانی لاداریم هد ونه 1 > 2 ‎BUA =AUB‏ ‎AU(BUC) =(A UB)UC‏ )© ‎eset :‏ )4 وعم ظنلوعم8 ُ ‎AUU=U‏ 

صفحه 35:
1-2-8قضیه: برای هرسه مجموعه دلخواه 8 ,۵و)ومجموعه جهانی لاداریم ۸0۵-4 ۸۵-۸ 50۸-8 0( ها عمظامم ‎AnBSA‏ > ظه ۸۲۲-۸ 1) 2) 3 4) 5) 

صفحه 36:
1-2-9نکته: بااستفاده از قسمت4 درقضیه های 7-2-1و8-2-1 .می توانیم پرانتزها را حذف کنیم واجتماع واشتراک سه مجموعه را به صورت های ‎AnBnC “AUBUC‏ بنویسیم. از قسمت5قضیه های مذکورنتیجه می شوکه۸ > ۸8 1-2-0 قضیه برای هرسه ‎eee‏ ۸وقاو ,داریم هام له ماد ۵م هام )1 مها (قم ها ‎An(BUC‏ (2 

صفحه 37:
-1-2نمودارون: ولابرای روشن تر شدن روابط بین مجموعه هااز نمودار ون استفاده می ک ثال هایی ازآن در شگل 8-1 آمده است. درهریک از آين نمودارهاناحیه سا ده نشان دهنده حجموعه ای است که درزیر نمودارنوشته شده استد AUB AUB AUB ANB ANB 

صفحه 38:
1-2-1تعریف: رمجموعه ۸و3را از هم جدا می نامیم درصورتی که عضو مشترکی ندان شند.به بیان دیگر,هرگاه 2۸ ۱۶ آنگاه مجموعه هو را ازهم جدا مى خوا 1-2-4منال: الف) مجموعه اعداد صحیح فرد و مجموعه اعدادصحیح زوح,دومجموعه ازهم ۸5-4 

صفحه 39:
-1-2تعریف: جموعه ۸و ارادرنظر می گیریم.تفاضل مجموعه #3ازمجموعه ۵,آن را بان ب شازميدهيم عبارتس از ز مام عضو هاییاز که عضوتان ی ستند. به A- B=|xxe A,x¢ B ‏دیگر‎ 

صفحه 40:
-1-2تعریف: لرمجد رع قا وك جيات لا رع فار ا مكيل موی ‎Mec‏ ماد نشال می دهیم.پس ۶۸ , 1( < ۸۵ + سایه خورده در شکل 10-1 نشان دهنده مکمل مجموعه #۸است. شکل10-1 

صفحه 41:
1-2-1مثال: ض می کنیم لامجموعه اعداد حقیقی ۸ مجموعه تمام اعدادگنگ(یااصم) تموعه تمام اعدادگویا باشد.بنابر تعریف 18-2-1 داریم ‎A'=U- A=jxxeR, x¢Al =B‏ براين برایو مجموعه اعداد گویاست.به همین ترتیب هد 8عع ,۳5 <ظ -1< ظ 1-2-2 قضیه: ر و8 زیرمجموعه از مجموعه جهانی لاباشند,آنگاه ‎o=U (ull‏ ب) ‎(ay=a‏ ‎ioe‏ ۲ ت) ‏ ۸۶8 آرگن2۸ 3آوبرعکس 

صفحه 42:
1-2-2 قضیه قوانین دمورگان: اگر ۵و8 زیرمجموعه ‎ioe:‏ باشند,آنگاه (AuB) =AUB ‏الف)‎ ‎(anB) =AnB iS ‏قضیه تعمیم قوانین دمورگان‎ 1-2-4 ale Ay As Ay ‏اگر عه های‎ << « Sei ‏باس‎ ‎(A, UA,U...UA,) =A;UAjU..UA, ‏الف)‎ ‎۱ ‏ب(‎ 

صفحه 43:
1-2-2 تعریف: رض می کنیم ۸و8 دو مجموعه باشند. مجموعه تمام عضو هایی راکه تنها؛ تنها به 8 تعلی دارند,تقاضل متقارن هقو8 ‎BSB, pol oo‏ رنه ‎AAB=(A- B)UG- A) SNE,‏ اوى بالا. دليل انتخاب نام نفاضل ‎AABI» gylite‏ رانشان می دهدزیرا ضل متقارن ۸و8 برابربا اجتماع دو تفاضل ‎9A-B‏ 3-۸ است. درشکل 12-1 ناحیه سایه خورده فشان داده شده است. 

صفحه 44:
ا ‏ بش ازاینکه به تعریف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه بپردازیم,.مفهوم وج ‎sla‏ مرتب را یادآوری می کنیم. 1-۰ تعریف: تایی (طبع) راکه درآن ترتیب عناصرمطرح است,یک دوتایی مرتب یا زوج تب یا جفت مرتب می نامیم.در زوج مرتب ‎(a,b)‏ « 3رامولفه اول وتاراموا م مى گوییم. 1تعريف: ج مرتب (38,8) و(6,0)رامساوى يا برایر می گوییم,اگروتتها اگر داشته با a=c ,b=d 

صفحه 45:
'-1-3 تعريف: رض مى كنيم 4و8 دو مجموعه ناتهى دليخواه باشند.حاصل ضرب دكا, و8 که با نماد *<گشان‌داده می‌شود. عبایتستاز مجموعه تمام زه رتبى به صورت (۲,ع) که درآن 36۸ آیعنی AxB=(ablac abel توجه کنید که هرعضو مجموعه ذا كيك زوج مرتب است. 

صفحه 46:
1-3-6مثال: > برض می کنیم (3 ,2 ,1) هو ,8-0 نار 5-3-1 حاصل ضرب دکارنء قبارشست از 0 اوه رم هم ,ره رو دهد حاصل ضرب دکارتی 13۶۵ پرابراست با (بط),قبط) ,طبط),(1(,)9,2,)9,3و) - هكدظ « طوری که مشاهده می کنیم , حاصل ضرب هاى دكاتي او روما "برابرنیستند. 

صفحه 47:
1-4-2قرارداد: تعدادعضو های مجموعه متناهی ۸ رابا نماد (9۸ نشان می دهیم. مجموعه تهی یک مجموعه متناهی ‎es,‏ ری مجموعه ای که تعداد اعضای آن متناهی باشد, مجموعه متناهی ‎LL‏ پایان نامیده ی تفن ‎ol atento‏ كد فار اونا اش بای الات 

صفحه 48:
1-4-3منال: الف) مجموعه (1, 3, 7, 9,11)متناهی است زیرادارای 5عضو است. ب) مجموعه 1-9 - ۷۸۴ > ۴لتناهي است . ب) مجموعه 2 14> >0 < |ح [2©إتناهى است. ت) هریک از مجموعه های اعداد طبیعی, صحیح, گویا گنگ, وحقیقی نامتناهی است. ت) بازه (طبع) که >۵,مجموعه ای نامتناهی است. 

صفحه 49:
1-4-5 قضیه: فرض می کنیم ‎BoA‏ و‌سه مجموعه دلخواه باشند.همواره داریم (A UB) =n) +n1B)- 11 0B) (all {A UBUC) =nlA) +n(B) + n(C)- 1 AB) fo - ‏(0مظمهاه+ 80« - ۸0اه‎ ۱ 00 

صفحه 50:
4-6 1منال؟ فرض كنيد مجموعه 8 داراى 40 عضو ومجموعه 8 داراى 35عضو است که 10 عضو آنها در و8 مشترک هستند. مجموْل۸ چند عضو دارد: ‎oe‏ 26 (0 ۳0۸ ,بنابر 5-4-1(الف) داریم ‎AUB) =n1A)+11B)- ANB)‏ 45+35-10=65= 

صفحه 51:
1-4-0 تعریف: مجموعه ناتهی ۸ رادرنظر می گیریم. مجموعه های نالمو...,,۸۵ بای افرار ل ار كد الف) مجموعه های .۰ ,۵ری۸,,...۵ دو یه دو ازهم جداباشند,به بیان دیگر به ازای هر اوژ که [* [,داشته باشیم - ,۱۸ بش ب)اجتماع مجموعه ها ,ي...,.4ك مساوی ۸ باشد, يعنى ماناس نا يفنا ب 

صفحه 52:
درشکل 15-1 افراز مجموعه ۸ به شش مجموظور۸, شب ,یش,بش نشان داده شده است. 

صفحه 53:
فصل دوم دستگاههای مختصات Pe Bs ۱ ‏وقطبی آشتا‎ cen (Ss ‏دف کلی فصل این است که بادستگاههای محتصات‎ معادلات خطوط رابشناسید ونمودار آنهارارسم کنید. 

صفحه 54:
‎Low jl‏ انتظار می رود که پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید: 1. مختصات دکارتی هر نقطه رادر صفحه مختصات تعیین کنید. ‏2 باداشتن مختصات دکارتی یک نقطه ,موضع نقطه را در صفحه ‏3. فاصله دو نقطه رادر صفحه مختصات محاسبه کنید. با ‎bai‏ وسط یک پاره خظ را با داشتن مختضات ‎bal‏ ‏پاره خط ‏5 مختصات محل تلاقی سه میانه مثلث رابا دانستن مختصات دکارتی 

صفحه 55:
‎ee‏ رادر دستگاهی که محور های آن به موازات خود يافته أندءتعيين كنيد ا 20 ‎ee ee‏ اه من ی های خطوط موازی ,متعامد. الم 000 ‎ee‏ ‏ارا ل ا ادا .فاصله یک نقطه رااز یک خط محاسبه كنيد. 

صفحه 56:
2. فاصله دو خط موازی راتعیین کنید. و ای له ‎Re loli lee goes‏ 4 دستگاه معتساب قطیی را شيف كدودر ‎a Lesa gust‏ قطبی را تعریف کنیدونحوه تعیین مختصات رابیان کنید. 15 رابطه بین مختصات دکارتی و مختصات قطبی یک نقطه رابدانید ودر حل مسائل به كاربريد. مقدمه ن فصل ابتدا به معرفى دستكاه مختصات دكارتى و دستكاه مختصات قطب ا 

صفحه 57:
2-1تعریف: صفحه هندسی ,یک خط مستقیم افقی رسم می کنیم.درروی این خط, نقد واه ۵ رابه عنوان مبدا وطولی رابه عنوان واحد طول اختیار می کنیم.اکنور خط رابر حسب این واحد طول به ترتیب اسلاید بعدی مدرج می کنیم: 

صفحه 58:
‎aes‏ 0 بیعنی میدا رابه عنوان نمایش عددصفر اختیار ‏می ‏) اگر ۵<0, نقطه ای رابه فاصله برا طول ‎ee ee‏ ‏ب) اكر 0>ءنقطه ای رابه فاصله -تابرایرواحدطولٍ 0 از خط اف ‎leis,‏ اعداد مثبت هستند درسمت راست ‎ ‎oes‏ اعداد منفى هستند,درسمت جب مبدا قراردارند.بنابراين,< داری به دست می کنیم آوریم که نمایش اعداد حقیقی است.اين خط جه. ر طول ها یا محور ها می کنیم نامیم.به شکل 1-2 نگاه کنید. ‎a>0‏ شك 12 0>ط 

صفحه 59:
2-1-2 مختصات نقطه در صفحه: ی می کنیم ۳ نقطه دلخواهی در صفحه هندسه 601 باشد. بکل 3-2,خطوط ۸و۳ رابه ترتیب عمودبرمحور ها وعمود بر محور / م می کنیم .اندازه جبری ۵۸روی محورها را طول نقطه ۴ واندازه جبری ؛ محور لاها را عرض نقطه ‎sero oP‏ 

صفحه 60:
درنتیجه یک تناظر یک به یک بین نقاط صفحه وزوج هایی مانند(ظ,ع),که در آن وظ اعدادحقیقی اند وجوددارد.نابراین ‎Ge‏ توان صفحه زد رابا مجموعه 9 یی گرفت درشکل 2-+,یک دستگاه محتصات دکارتی وچند نقطه درآن نشان داده شده است. 

صفحه 61:
2-1-4مثال: ‎C(1, -3)9A(2, 2).B(-1, 1) ol so Ea Rare ea)‏ 

صفحه 62:
:-2-1فاصله دو نقطه : | ر رض هن كنيع ۸ اه بو نصا ‎Ui Lares ey alas Big‏ شد.فاصله دو نقطه ۸و8رامساوی طول پاره خط ۸13 تعریف می کنیم ‏ ماد (۸,13)نشان می دهیم, می توان ثابت کرد که فاصله میان ۸ و 8 از ابطه زیربه دست می آید. (A,B) = [be ‏لمك‎ + - 

صفحه 63:
-2-1 مختصات وسط پاره خط: و نقطه ۸ و 8 را به ترتیب با مختصات ‎eric jee) Buds)‏ ر نظر می گیریم .اگرح نقطه وسط پاره خط ۸ باشد. آنگاه مختصات نق برابراستیا ليده معا 2 Ye a + ‏او‎ 

صفحه 64:
2-1-6مثال: ۲ بختصات نقطه وسط پاره خط 130در مثال 4-1-2 راتعیین کنید. 0 می کنیم ۵, نقطه وسط پاره خط 30باشد,بنابر7-1-2داریم ‎eels‏ ‎xy a 1+1) =0‏ 1 لاو ‎Yo‏ ‏ينابراين مختصات نقطه (1ء ,8:40 انس 

صفحه 65:
2-1-2 انتقال محورهای مختصات : ]۲ 2+۵ y=Y+b 

صفحه 66:
سس -2-2مقدمه: ط راست اراکه.موازی محور ها نیست(خط غیر قائم),درنظر می گیریم و8 دو نقطه متمایز دلخوله روی‌خط اب اشندآنگاه شیبی اضریبزاویه < ابا حرف 1انشأن مى دهيم وبه صورت زير تعریف می کنیم. 9 woe ‏و - و‎ 

صفحه 67:
قت کنید که شیب خط بستگی به نقاطی که برای محاسبه آن انتخاب می " د,وبرای تمام نقاط روی هر خط مقداری ثابت است.(چرا؟) -2-2 مثال: بیب خطی که ازدو نقطه (3-,۵)2و (1 ,3)4می گذرد برابراست با و4 63 1 2 4-2 1 -2نكتة: , خط ارا می توان به تانژانت زاویه ای که این خط با جهت مثبت م< , سازد نیزتعبیر کرد.به بیان دیگر ‎m=tand‏ 

صفحه 68:
©دراين جا 218 تایه ای است که خط اباجهت مثبت محور ها می سازد. 

صفحه 69:
به شکل های 10-2توجه کنید. 3 ‎m=0‏ شكل هاى 10-2 

صفحه 70:
-2-2 قضیه: ه نقطه و8 و)برروی یک خط واقع اند اگروتنها اگر شیب های خطوط 13 )3مساوی باشند,به عبارت دیگر داشته ‎me oan"‏ -2-2 مثال: اد هرا جنان تعيين كنيد كه سه نقطه (1-,4)1 ,(2 ,8)0 , (20-,0)۵,برروو ک خط راست واقع باشند. fle ‏بنابرقضیه 6-2-2بایدداشته باشیم‎ ene 2 = 3a=2a+2 درنتیجه 822. 

صفحه 71:
2-2-9 قضیه (شرط توازی وتعامد دوخط): فرض می کنیم 18 47 ترتیب شیب ‎gla dle b> sl‏ باشند. الف)دوخط ملو مآ متوازى اند اكروتنها اكرا- 7 ب)دوخط "تلو مابرهم عمودند اگر وتتها او -< رابود 2-2-6منال: شان بدهيد كه جهار نقطه (8)1,2, (7,6-)8 , (9,2-)0© ,(2-,1-)2, راس « ى مستطيل اند. te ‏دانیم مستطیل یک چهار ضلعی است که درآن اضلاع دو به دو برهم عمود‎ , ‏نلاع روبه رو با هم مساوی ومتوازی اند.به شکل11-2دراسلاید بعدی توجه‎ oo 

صفحه 72:


صفحه 73:
©ازآن جا كه 21 موب و 2-1 رل خطوط ۵1و۸و همچنین خطوط 30و01 دوبه دو برهم عمود ند. 0 ازطرفی چوو ۳ و۳۳ ,روخط 1و0 باهم ودوخط ۸ مطا باژ نت نود که چهار ضلعی ۸362 مستطبل است. 2-2-1 زاويه بين دو خط : رض می کنیم ,ور («الله ترتيب شيب هاى دو خبط يكو باشند. زاويه ن دو خط ‎2٠‏ «ارابطه زيربه دست مى آيد. لش ووم ا لت 

صفحه 74:
-2-2 معادله خط راست: فى کنیم ده لوق طه متمایزروی خط اباشند. اگر نقطه دلخواهاز خط اب اشدآنگاه ب رحسبلینکه خط اقائم باشد ی له خط اعبارت است از: الت اول)اگر خط | قائم نباشد,یعنی* * ,آنگاه معادله خطبا برابراس: - ‏شلاب رو‎ ۷) ee x) لد لصت رو ديو لت دوم)اكر خط اقائم باشد.يعنى*-,* ,آ نگاه معادله خط قائم :1 عبارر ت از ‎١ ١‏ ات یا 

صفحه 75:
2-2-6مثال: معادله خطی رابنویسید که ازدو نقطه (3, 4)و(-5, 2)می گذرد. 4-21 a “345 4 شیب خط برابراست با . ‎se em‏ 1522 (الف)عبارت است از ‎y- 4-1-3 =y ee x- 4y+13=0 ۲ ‎. :هتکن‎ 2-2-1 ‏طور کلی هر معادله ای به صورت ۸+131+6<0, که درآن اعدادحقیقی ‏و8 هردو باهم صفر نباشند. نمایشگر یکخط راسناست‌لین‌معادله رلک ‏امل توان های اول: ول(است,برحسب ۶ ولا ,خطی می نامیم. 

صفحه 76:
نابراین هر خط راست در صفحه به وسیله یک معادله خطی مشخص می ‎J‏ ‏ادله خطی معرف یک خط راست است. 2-2-9طول و عرض از مبدا خط: ادله خطی 620++:۸,راکه درآن اعدادحقیقی ۸ و 8 هردو باهم صف ستند,می توانیم به صورت زیر y=ax+b, ‏.درآن هارا عرض از مبدا خط و چا طول ازمبدا خط می نامیم.‎ ‏جه كنيد كه اعدادحقيقى داو به ترتيب به ازای 0- و0-لا از معادله‎ ‏به دسمی‌آیندبه شکل12-2 نگاه کنید.‎ ,<۵4 

صفحه 77:
حقیقت ی ای است که درآ«خط مورد نظر با محور /(ها تلاقی مم ‎aS ean! alae (sr)‏ درآن خط مورد نظر ع می: ادله ‎=axtb‏ ,شیب خط برابر است .چون این معادله برحسب 8,شیب از میدا خط نوشته شده است.آن را معادله شیب و عنرض از ‎Lise‏ ‎wae‏ 

صفحه 78:
2-2-23مثال: 2 ‎Y= Se Nea te‏ را رسم کنید. ‏506 خط به صورت شیب و عرض از مبدا داده شده است,لذا ‏ي خط با محور هاى مختصات ,يعنى عرض از مبدا از مبدا وطول از مبدا < ده است. داریم: ا ‎y= 2-8‏ ‏دو نقطه (0,2)و (3,0) روی اين خط قراردارند.خطی که اين دو نقطه را ‎Le‏ کند,نمودارخط داده شده است.اين نمودار درشکل 13-2 نشان داده : 0 

صفحه 79:
2-2-4 فاصله یک نقطه از یک خط: اصله نقطه (ظ,ج)۳از خط ابا معادله 0-0+:8+عتهبرابراست با: i+ Bb+ ۵ +7 

صفحه 80:
2-2-7 فاصله دو خط موازی: فاصله دو خط موازی با معادله های 1+00 +۸۵ و ‎wAX+By+D=0‏ | است با: : h=- A? + 2-2 مختصات نقطه تلاقی دو خط: تلاقی دو خط. نقطه ای است که برهر دو خط واقع است.بنابراین اگر معا ط به صورت ۸۵+۳+60-0 و 0- 6 +357 +ذهاشند. مختصات نقطه اين دو خط ,از حل دستكاه دو معادله دو مجهولى به دست مى آيد: ) 0 Ax+By+C’=0 

صفحه 81:
2-2-3مثال: ‎OS ale lal peace i=‏ ار 31-2-2 باید دستگاه دو معادله دو مجهولی زیررا حل کنیم. ‎es 4y+6=0‏ ‎x- 2y- 3=0‏ ی اين کار, معادله دوم دستگاه بالا رادر (3-)ضرب ونتیجه را با معادله اول 20 0+9 +3 1520+ 0+27 

صفحه 82:
‎wh LIT nw‏ شحور معادله دوم دستگاه به دست می آو ‎x=-12‏ = مق گرد بنا این | 12-لقطه تلاقى دو خط است ‎ 

صفحه 83:
‎eee‏ سس -2 مقدمه: ‏تش 1-2ديديم كه مکان یک نقطه از صفحه را می توانیم با طول وعرض نطه در دستگاه مختصات دکارتی مشخص کنیم.روش دیگری برای تعیین م قطه در صفحه وجوددارد که به کمک دستگاه مختصات قطبی انجام می ش , بخش ,دستگاه مختصات قطبی را معرفی می کنیم و سپس به بررسو ‏سات قطبی یک نقطه ورابطه آن با مختصات دکارتی آن نقطه می پردازیه 

صفحه 84:
2-3 تعریف: ض می کنیم ۳ نقطه ای ثابت باشد که بر 0,قطب,منطبق نیسلات.اگر زا ت دار ۸0۳باشد,۵۸را شعاع نخستین و 0۳را شعاع نهایی زالّیه می نامب نظر گرفته می شود.اگر ۲ فاصله جهت دار ۵ از ۴.باشد, زوح مشت ر تصات قطبی نقطه در صفحه می نامیم,ومی ‎Pgs‏ ۵به شکل ‏ ‎oe‏ رن 

صفحه 85:
مولا" زاویه برحسب درجه یا رادیان اندازه گیریمی شود.بین درجه وراد طه زیر برقراراست. 52-5 ماع نهایی ۵۳را شعاع حامل نقطه نیز می نا مند. -2-3منال: on ۵ ‏تعین مکان نقطه یه مختصات قطبی 3 بدا نیم خطی از‎ ol ‏عم می کنیم به طوریکه زاویه ۸0۳برابر باشد. نقطه ای که روی شعا‎ ‏یی این زاویه و در فاصله 3 از هقراردارد همان نقطه است.‎ 

صفحه 86:
| ١ 4 33) 

صفحه 87:
2-3-5 نکته: در دستگاه مختصات قطبی :تقاط 5 ,[3**7-] 20%( ‎polo arg‏ کلی به ازلی هر عدد صجح #انقطه | +۳" 3۳] برهم منطبق ههد انس 

صفحه 88:
2-3رابطه میان دستگاه مختصات دکارتی و قطبی : می کنیم محورها منطبق بر محور قطبی و 0,مبدا دستگاه مختصات دکار قطب واقع باشد.محور لاها را منطبق بر شعاع 0-3 . اختیار مى کنیم. می کنیم مختصات قطبی نقطه نسبت به محور *0وقطب 0,زوج مر و(امتظتصات دکارتی این نقطه نسبت به دستگاه مختصات دکارتی 21017 مرتب (/2,۷)باشد.در تعبین رابطه بین ۶ ,لا ,1و0 بسته به علامت ۲دو حالت ص مى دهیم: 

صفحه 89:
1)اگر ۲<0,نقطه "رویشعاع نهاییا) زاویه واقع لست.به طوری که درشکل های x =rcog § ‏ثلث‎ eu ee ee 

صفحه 90:
0 زور +0 مه شرت قزر + خر ‎=1'(co80+sitt 6) =‏ شر دم ) اگر 0> , نقطه ۴روی ادامه شعاع نهابى زاواله واقع است. شکل اسلا ید بعدی رایبینید. نارای 

صفحه 91:


صفحه 92:
در مثلت قائم الزاویل 9۳‏ داریم: ‎cos =—* =*‏ 1ه ‎a‏ با توجه به حالت هاي (1)و(2) داریم: ‎oe‏ ره ددم 

صفحه 93:
2-3-1مثال: ض کنید مختصات قطبی نقطه ۴,زوح مرت 3 ۰ باشد.مختصات دکارتی ‎ous‏ کنید.. ۱ حل: بنابر11-3-2 مختصات دکارتی "عبارت است از ‎3V3‏ + 2 ‎x =rcos) = Boose =‏ y=rsind = doin =- 3 بنايراين ۱ است. 

صفحه 94:


صفحه 95:
2-3-1 مثال: . ’ ا رض کنید مختصات دکارتی نقطه ۴,زوج مرتب(1۷3) باشد.بافرض 0<-۱ 2> لكلكسات قطبى نقطه داراتعيين كنيد. د روابط بین دستگاه های مختصات دکارتی و قطبی در -13-3داريم د اددع , ‎oe‏ ‏تمرح 3 ز 0<تیجه باشدکه 2سدبرای ‎ch alae! Gant‏ ‎ee‏ ‎(v3 =2sind‏ به دست می آوریم 

صفحه 96:
1 0 1 آده 1 پات بنابراین مختصات قطبی نقطه ۴,زوج ‎Ope‏ است. 2-3-1 تعریف: رض کنیم (0مقگتصات قطبی یک نقطه در صفحه باشد.معادله ای به سورت (3)0عادله قطبی می نامیم. 

صفحه 97:
-2-3منال: دله قطبی ۰ 6050+530-آذر نظر می گيریم. می خواهیم معادله دکارت را تعیین کنید. حل: ‎pepo bo sail,‏ ا دوم ر للد ‎sino‏ ‎r‏ 7 

صفحه 98:
P =cos0+sirto ‏ود‎ x? ee ‏جروج ربنم‎ 

صفحه 99:
فصل سوم كك رس را هدف کلی فصل این است که با مفاهیم رابطه و تایع. انواع توایع , توابع خاص , اعمال جبری روی توایع, و وارون تابع آشنا شوید. ee از شما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید: 1 مفهوم رابطه را توضیح دهید. 2) تایع را تعریف کنید وتفاوت آن را با رابطه توضیح دهید. 

صفحه 100:
4)نمودار توابع را با روش نقطه یابی رسم کنید. 6 انواع توایع جبری معرفی شده در کتاب را بشناسید , 8 5 هر يك را بشناسيد و اين ويزكيها را در حل مسائل به كار ببريد. 7 انواع توابع غير جبرى معرفى شده در كتاب را بشناسيد , ويزكيهاى هر یک را بشناسید و اين ویژگیها را در حل مسائل : به کار ببرید. 8) تعبين كنيد كه هر تابع معلوم زوج است یا فرد. یا 

صفحه 101:
1) تعیین کنید تابع یک به یک است یا نه. 12( شرایط وارون پذیری تابع را توضیح دهید و وارون آن هر تابع معلوم را در صورت وجود ,تین کنید. 3) نشان بدهید که توابع نمایی و لگاریتمی وارون همدیگرند. ‎lst |‏ توایع مثلثاتی را توضیح بدهید. 5 در علوم گوناگون . مجموعه هایی که عضوهای آنها زوج مرتب اند اهمیت ‏خاصی دارند. در اين فصل به معرفی و مطالعه این گونه ‎os a‏ 

صفحه 102:
3-1-1 مقدمه: در بسیاری از توابع با مجموعه هایی از زوجهای مرتب سروکار داریم . برای مثال , هنگامی که متحرکی روی خط مستقیم حرکت می کند, فاصله آن از طلذاارا در هر لحظه می نوان بوسیله زوج عرتب [, 8 ۲) نشان داد ‎as‏ را تال را ‏3-1-2 تعریف : هر مجموعه ای از زوج مرتب را یک رابطه دوتایی يا بطور 

صفحه 103:
3-1-4 تعریف : فرض می کنیم ایک رابطه باشد ۳۹3۴8 در این صورت مس نویسیم 8 و می خوانیم « ۲ رابطه 8 دارد با [| »یا «بین « ولا رابطه 8 برقرار است » یا « رابطه <, 8 را به ۱۷ نسبت می دهد(نظیر می کند» : منا 3-1-5 رابطه های مثال 3-1-3 را در نظر مى كيريم .بناير 4-1-3 داريم : 152 ل وعهة 254 با یک 2۵ 255 با ,2۵5 ايران تهوان ...با ی عایران‌تهران) 

صفحه 104:
: تتعری ف 3-1-6 ‎ee‏ 0 با قلمرو سم دتم مختصهای د ‏ا اه اه داور ا 5 ‎: ‏مثال‎ a ‏ابطه های مثال 3-1-3 را در نظر می گیریم.‎ ‏امنه مجهوعه [2و1) وهم دامنه آن مجموعه [8و3و2) است . ‏امنه وهم دامته تجموعه تمام اعداه حقیقی است . ‏امنه مجموعه تمام اعدد حقیقی وهم دامنه آن مجطلعة ‎ 4۷(۷‏ است امنه . مجلوعه (تهران,کابل, اسلام آباد) و هم دامنه آن (ایران, پاکستان فغانستان) است . 

صفحه 105:
eee ‏مقدمه:‎ 3-2-1 در این بخش دسته خاصی از رایطه ها را , که تأن هیده می شوند و اهمیت ویژه ای دارند. معرفی می کنیم. 2= -3 تعریف : فرض می کنیم دامنه رابطه ] مجموعه ۸ وهم دامنه ‎Ol‏ ‏مجموعه) باشد که (CSB) ‏زر موی اه ار اس اه :رای تاره‎ 8 

صفحه 106:
eee ‎a‏ .به بیان ‎f So‏ باید هر عضو ۸ را به عضوی ‎Get (ye‏ ‏ب) اكر و ‎ol ST‏ 1-2 .یعنی ؟ هر عضو ۸ را تنها ‏به یک عضواز 8 نسبت بدهد. ‎ee‏ یک تابع می گوییم در صورتی که هر 

صفحه 107:
: ‏تعریف‎ 3-2-3 eee wl Ba A jl aul f SI f:A>B Bao: Dube tel asi) Nacgens R ‏دهيم» و مجموعة‎ ‏را برد تابع؟ و باخماة نشانهودجيقم. بنابرلين:‎ 8 : ‏تعريف‎ 3-2-4 ‏چون بنابر تعریف تابع , به ازای هر ۷ از دامنه ؟ تنها یک عضو از‎ (> 0 ‏معمولا لارا مقدار؟‎ ٠ ‏مانند لا وجود دارد به گونه ای که‎ @ylef ‏در ا‎ 172100 ۰ ‏نویسیم:‎ wo ‏می نامیم وبجای‎ را متفیر و(۰)۳ را - صویر كلا قوسط # مئناميم فعائله 

صفحه 108:
3-2-6 مثال : بدهید ‎a‏ رابطه [(0-1)2,1(,)1,3(,)3,5(,)4,7 9۱ , مجموعه (2,1,3,4) و هم دامنه 2 37 ‏رو‎ a (58) مشاهده می کنیم که هر عضو از دامنه و فقط 5 ‎(Soa baad‏ تس از هم دامنه و توسط رابطه و نسبت داده شده است . بتابراین 9 ‎ca 7 gee‏ ی 

صفحه 109:
3-2-7 نکته: در مثال 6-2-3 , تابع بودن رابطه و را با بررسی تمام زوج هایمرتب ‎ea eee 0 0‏ در مثال 5-2-3 که رابطه ] با 3 یسیو ايت ‏(03,2۸)- با ۰ ۱ 

صفحه 110:
3-2-0 تعیین دامنه تایع: هر تایع با ضابطه تعریف و مجموعه های دامنه وبرد. مشخص می شود. معمولا روش ‎GIS‏ برای مشخص کردن یک تابع اين است که تابع را تعریف کنند , به اين ترتیب با ضابطه تعریف تابع ؛ مقدار تايع به ازاى هر عضو دامنه مشخص مى شود. اكر دامنه تابعى مشخص نشده باشد , آن را مجموعه تمام اعدادی در نظر می گيريم که به ازای آنها ضابطه تعریی تایع با معنی باشد. 

صفحه 111:
مثلا براى نايع 2= ‎toy‏ 1 ‏دامنه‎ ‎۱ 5 ee به ‎Ahn aol a one‏ مجموعه تمام عدد 0 ae ae ‏حقیقی نامنفی‎ زيرا دوم لح ی و ‎ae‏ 0-6 

صفحه 112:
3-2-4 مثال : 1)1(, 5020, ‏رگ وم مقادیر‎ 2 ee رارتعيين كنيد. داريم : اد عر ee £(- x) = aS SS ee a Me U=e gin = 

صفحه 113:
3-2-7 مثال : نمودار تابع ؟ با ضابطاتد ۶00 را رسم کنید. ه دنه نم 

صفحه 114:


صفحه 115:
3-2-8 مثال ‏ دار تابع ؛ با ضابطع 6۵ را اوناك 3 را رسم 7 f(x) 4 | 4 102 2 ‏د‎ ‎2 | 2 -2 13 \ ® 1 "3 | ‏ار تک‎ 1 S 41 -a|-Z iy 

صفحه 116:
3-3-1 مقدمه: (hee had ‏که در مسال حطرع می‎ ls Jl ‏است ترکیبی از توابع دیگر باشند. برای مثال , فرض كنيد‎ ‏مقدار سودی باشد که یک شرکت از فروش ۴ عدد‎ 2)( ‏از کالا یی بدست می آورد. اگر (130 از فروش ۶ واحد‎ : ‏و(6) هزینه تولید ا واحد کالا باشد, داریم‎ ممع دروم به اين ترتيب مى توار ها تاه ۳۵ (/3۳لستفاده از ویژگیهای توابع (۳)۶و (0)2 پیش بینی کرد. در اين بخش به بررسی اعمال جبری روی توابع می پردازیم. 

صفحه 117:
3-3-2 تعریف : دو تابع ؟ و و را برابر يا مساوی می نامیم , در صورتی که (الف) دامنه های ] و 9 مساوی باشند, هنی, (ب) به ازای هر « از دامنه مشترک آو 9 , تساوی 100-000 برقرار باشد. 3 ال ۱ الف) جو ناع با امه جای مک ‎oe)‏ دوز برابر نیستند , زیرا مجموعه 648- ,ظ , 1- ,2 وی نیستند. 

صفحه 118:
آب) دو تایع با ضابطه هاى ‎D gfx) teks‏ قت ور ‎D,=D,=R 24140‏ برابرند. زيرا همواره ‎Pa‏ 0 و ازاى هر عدد حقيقى داريم : 

صفحه 119:
3-3-5 تعریف : فرض می کنیم ۶ و 9 توابعی با دامن ةلهاه1 باشند. توابع جدید er” fig, tg, آلف)تابع حاصل جمع 9+ روی با ضا؛ ‎;xeD, ND,‏ 0 DAD, ‏ب) تابع تفاضل و روی‎ 0 g(x) >xeD, ND, 

صفحه 120:
ب) تايع حاصل ضرب 0 روعظ ۸ ,ظ با ضابطه ‎OD,‏ ,دز 19(6(۳۶0(900) ت) تابع خارج قسمت إأروى نقاطى ار 6 )2 که درل , با ضایطه ‎sxe, 0D, :9fx) 0‏ ات 

صفحه 121:
3-3-6 مثال : فرض مى كنيّق -4/:- ‎f(x) =Vx- 2 , g(x)‏ . دامنه های ۶ و9 عبارتند از )+2[= }220 -عرإظ عع - رط ‎Dy ={e RA- x 20} =(-0 Al‏ بنابراین دامنه توابع ۵ , 2+۵ , 59 عبارتند از [24]- [4 مس (سیا> رطم رط ن 124 ريشه معادله 90-0 است قامته تا ‎ois‏ بازه 0 ‎ee ete‏ و بر 

صفحه 122:
6+90( ‏علع‎ 2+ , xe[24) )6- )@)=vx-2- VEX , ۵ ‏-2/4-اد وه‎ , xe[24) هد يده 

صفحه 123:


صفحه 124:
3-4-1 مقدمه: در این بخش به معرفی توابعی می پردازیم که در مباحث مربوط به حساب دیفرانسپل و انتگرال نقش مهمی دارند. 3-4-2 تعریف : اگر دامنه و برد تابع ] زیر مجموعه هایی از اعداد حقیقی ‎٩ Lf. aul‏ 1:۳۳ ‎vo SEs‏ نامیم.برای مثال ؛ با ضابطه ‏تعریف 

صفحه 125:
ا « مجموعه ای یکانی باشد آتگاه ‎Lf‏ ‎tee‏ 3 1:1 م. برای مثال تایع با ضابطه تعریف ‎no‏ تايع ثابت است و داريم 3-(100 , 3--(1)1 , =)5-(£ نمودار 3-(00؟در رف 

صفحه 126:
3-4-4 تعریف : اگر دامنه وبرد تابع ] مجموعه عدد حقیقی و برای هر عدد حقیقی ‏ داشته باشیم ‎olST. f(x)=x‏ ] را تابع همانی می نامیم. بعضی مقادیر اين 8 اند از: اسه مرو مس 

صفحه 127:
3-4-5 تعریف : ‎Sel Joao ee‏ ۳۱ با ضابطه تعریف 1 است. چند تایی از مقادیر تب فاکتوریل ‎gabe‏ اهاز ‎T=‏ 1)2(-2 ۳-1-2 £(3)=31=b2x3 =6 £(4)=41E1X2x3 x4 =24 £(5)=5!=1x2x3x4x5 =12( 

صفحه 128:
3-4-6 تعريف : ‎£:R> ee‏ با ضابطه تعريفة|- 508 ‎ell‏ نامیم.یادآوری می کنیم که ‎i‏ ‎wo 0 0‏ قدر مطلق عدد حقیقی ‏ را مى دهيم و به صورت زير تعريف م ‎seas‏ دلا * از تعریف بال<اجه می شود که قدر مطلق هر عدد حقیقی ۷ عددی ِ ۴ نامنفی است . یعنی 

صفحه 129:
؛یعضی مقادیراین تابع عبارت اند از 20-0 10 2 2-2-2 ۶2 2-2 22 16 نمودار تایع قدر مطلق در شکل زیر رسم شده است : 

صفحه 130:
‎een‏ با ضابطه تعریف 100-00 رایع جزء صحیح ‏امی نامیم. ‏وه كد كه برات هر عدد حقيقى ‎٠»‏ . جزء صحيح < را با ‎ae‏ سم دای ۱۳ بزرگتریر] له اکقلتیا] ‎۲0 20-0 ‏(کوچکتر یا مساوی) ۲« تعریف می کرد ‎ue‏ ‏تا از مقاد؛ تا رت چند تا از مقادیر ‎JUS wl oul‏ 2 + ۶ ‏ده دو ۶ 

صفحه 131:


صفحه 132:


صفحه 133:
3-4 تعریف : ) خطی ۶ تابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعداد حقیقی است , و عدد حقیقی ۲ با ضابطه : ‎=axtb ee‏ ۶00 ف می شود , که در آن ۵ وتا عدد حقیقی ثابتی هستند . دار هر تابع خطی , یک خط راست است . دار تابع خطی 1-:2-(0] در شکل زیر رسم شده است . ۷ ‎f(x)=2x-1‏ / 

صفحه 134:
3-4-0 تعریف : تابع چند جمله ای ۵ تابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعدد حقیقی است و ‎sly‏ عدد حقیقی » با ضابطه ۱ تعریف می شود .در اینجا 0 یک عدد صحیح نا منفق ‎Parsi‏ عدد حقيقى اكور .را درجه چند جمله ای ۲00 و ‎PO)‏ را یک چند جمله اي از " می نامیم. 5+27 -- ۳00 تا ‎cise‏ ما وج ‎eee‏ بع چند : وم و یک تابع چند جمله ای از درجه چهار است . 

صفحه 135:
لح 3-5-1 مقدمه : در بخش 4-3 با توابع جبری آشنا شدیم . اما توابع دیگری نیز در ریاضیات مطرح می شودکه جبری نیستند . این دسته توابع را توابع غیر جبری يا متعالی مي نامیم . از جمله توابع غیر جبری می توان از توایع مایی , توایع لگاریتمی , و توابع مثلثانی نام برد که در این بخش به معرفی آنها می 

صفحه 136:
3-5-2 تعریف : برای هر عدد حقیقی فاهعیاه نیع ۲:5 با ما مروت ‎=a"‏ £0 را یک تابع نمایی می نامیم. و بنا بر تعریف بالا روشن است که برای هر عدد حقیقی ۲ داریم یادآوری كه بنا ال برا ‎Eas‏ ‎eh = oir alee‏ oe ‏أ ب(‎ sary (all ‎ty‏ ت) 

صفحه 137:
‎el Se‏ = هس اه ‏نمودارهای آنها درشکلهای زیر رسم شده است: 7 2= )£3 ‎ ‏ما و جر وی ‎BIE NT‏ 

صفحه 138:
ثم 2 2 1 4 1 8 OPN 1 a 3 

صفحه 139:
3-5-3 تابع نمایه : الما نل ‎Sl.‏ را براير عدد كنك © انتخاب رد مقدار تقریبی آن تا نه رقم برابر 718281828 /2 است ,تابع ایی ‎=exp®)‏ و بدست می آید , ما ‏نشا ‎ae‏ رن ‎f(x) =e‏ ‎ 

صفحه 140:
3-5-4 تعریف: فرض می کنیم ‎AIL cute sone a‏ . تانق حفقلقق ‎=log*‏ )£00 لاتوت را تابع لگاریتم در مبنای #می میم - تادآوری می کنوم که ور از ‎Glas ps Meaty sae pa‏ a S205) a log, 3 ‏است مانند لا به طوری که ر- اج ب رولگاييق در مینای‎ ‏را با ماد‎ نشان می دهیم . بنابر اين همواره داریم الل ای ان قفا ی ‎shawl‏ جر بت سا ام ال اه 

صفحه 141:
0 ِ : ‏مثال‎ 3-5-5 geod aeons log” =o ~* ce logis =-4 10* 5 Palo log; =0 7 =7@ log’ =1 

صفحه 142:
3-5-2 نمودار تابع لگاریتمی: آگر مببای بگاریتم را عد 110 کار ۲ 2 رت زد 10 اختیار کنیم , لگاریتم را اعشاری می نامیم.در لگاریتم معمولی , عدد مبنا را معمولا لحي ۱ ‎log} =logx‏ به عبارت دیگر: نمودار تابع لگاریتم معمولی در کل ۳ زیر رسم شده است . 

صفحه 143:
نمودار تایعٌْو10- (۶0 در شکل زیر رسم شده است . f(x) =log* 

صفحه 144:
3-5-3 تابع لگاریتم طبیعی: در محاسبات لگاریتمی اگر مبنا را عدد گنگ 6 اختیار کنیم, ‎eu‏ لگاریتم طبیعی یا لگاریتم نپری می نامیم. معمولا لگاریتم طبیعی را با نماد 12 نمایش می دهند. به عبارت دیگر: ‎log” =Inx‏ 

صفحه 145:
eee ‏در اين بخش برخی از ویژگی های توابع را بررسی می‎ : ‏منال‎ 3.6 الف)اگر 3+1 - 25۲ (؟ ,جون دامنه ؟ مجموعه تمام اعداد £(- x) =5(- (۴ - 3 (1 =5x*- 3x7+1 =fC0 ‏شایراین ۲ ک تا رس‎ ب)فرض ‎Q(X) =- 2° + 3x? - BES wo‏ .چون دامنه ‎Gel‏ مجموعه تمام اعداد حقیقی است , داریم 

صفحه 146:
OC x) ‏ع7 - 37+ ود‎ =2x5- 3x3 47x ‏بنا براين ويك تايع فرد است.‎ ‏ا" ۳ زرم‎ DE x) =3- x)= Aw)? + Ex) 1 =3x4 42x? +x7- 1 h(- x) #- h(x), h(- x) #h(x) , تابع 0 نه ذوج است 

صفحه 147:
3-6-5 تعریف : الف) اگر عددی مانند 1 وجود داشته باشد به طوری که للا ۷ 60 از دامنه ؟ داشته باشيم. آنكاه 6 را از بالا كراندار مى ناميم . ب) اگر عددی مانند لاا وجود داشته ‎aS‏ ‎sly‏ هر « از (< ۶0۵ دامنه ] داشته باشیم : آنگاه ؟ را از پایین کراندار می نامیم. 

صفحه 148:
بپ)اگر عددی مانند 0< 16 وجود داشته باشد بطوری که برای هر ۲ دامنه ۶ ‎ee‏ - M<f(x) <M ‏داشته باشیم‎ ‎u‏ مج رمع ‏آنگاه ۶ را کراندار می تمیم ۰ ‏ت) اگر تابع ] کراندار باشد , آن را بى كران مى ناميم . 

صفحه 149:
Nie EEE الف)تایع از بالا کراندار ب) تایع از پایین کراندا = ز پایین کراندار پ) تابع کراندار ت) تابع بی کران 

صفحه 150:
3-6-7 مثال : الف )اتوايع سینوس و کسینوس کراندار است , زیرا به ازای هر عدد حقیقی )ر دانيم ‎1sinx <1 -1<cox<1‏ = ب) تابعا+ 2 (50 از يايين كراقدار است ‎٠‏ زيرا برای هر عدد حقيقى»ا £(x) =2 +121 ‏داریم.‎ ب) تایعخد = ‎gx)‏ از بالا کراندار است , زیرا برای هر عدد حقیقی را 1< قد ماك وو داریم. 

صفحه 151:
"ت) تایع2+-( که نه از بالا کراندار است نه از پاین بى كران ۳ افقی 1-11 و 1-7۱۸ را که در نظر نقطه روى نمودار(6اغ8/1.[غولا زد كه در خارج ناحيه بين ۲ ۲ ۱ ‏توف تمودار تا‎ Peale) ‏روی نمودار‎ aie ولى بيرون از ناحيه بين دو خط ات 

صفحه 152:
3-69 تعریف : ا ا ا يي و از دامته ؟ f(x) <f(x,) Kesh! ‏و ۱ و‎ داشته باشیم ‎£(q) > fx)‏ ب) در صورتى كه تايع ؟ در هيج یک از ویژگیهای (الف) و (ب) صدق نكند , می گوییم ۴ نه صعودی است نه نزولی . 

صفحه 153:
3-6-2 تعریف : تام ۰۰۰۵ ایک به فک می‌تامیم ار اراك كيه و % =X, f(x) =f) ‏دامنه ؟ تساوی ایجاب کند که‎ : ‏مثال‎ 3-6-3 ‏الف)تایط سظ:؟ با ضابطه عرش 00-2؟ یک به یک انست‎ f(x) =£¢e,) 2 به ازاى هر و اد الب و ‎be‏ ‏آنكاه بدست مى آوريم ‎XP =x} =X) =x,‏ 

صفحه 154:
ب) تایقً ۳ با ضابطه تعريّت”*- 9080 یک به یک ‎atx) =o)‏ زيرا ازتساوى 0 به دسسجهب إوير ae ee re كه از ان نتيجه مى شود يا . بنابر اين و با هم ‎G- 2) -© 27-7--3‏ مساوی نیستند » مثلا 2-7-3 هو 2-2 ‏مى بينيم كه (9)2-(2-)0 در حالى كه 2 وینابر اين 9 یک 

صفحه 155:
3-6-4 تعریف : تعریف 12-6-3 را می توانیم به صورت زیر بیان کنیم : ‎a‏ :۶ را یک به یک می نامیم اگر به اواعدلقر و از دامنه بلاط را ‎fal‏ که داشته باشیم £(x,) 4f(x,) 3-6-5 مثال : تيع - ©©5 يى به يى نيست ,زيرًا- 1 در حالیل کل لا ا ا 

صفحه 156:
3-6-6 تعبیرهندسی یک به یک بودن در * 

صفحه 157:
3-6-8 قضیه : اگر تایع ] صعودی یا نزولی باشد. آنگاه ] یک به یک خواهد 3-6-0 نکته: ‎ice‏ ی تابعی یک به ‏یک باشد , الزاما صجودیها نزولقآئیست. برای مثال ‎tel‏ ‎xsl‏ - 100 0 ‎ee xo‏ ‎ ‏یک به یک است در حالی که نه صعودی ۱ 

صفحه 158:
‎eee 3-6-21‏ 9 و ازای هر ۵ از برد تایع ‏+ عضوی مانند 3 از دامنه ؟ وجود داشته باشد به طوری که داشته باشیم 2 منل‌زر ‎ee‏ ۰ با ضابطه تعرمّت2-(0 پوشاست. ‎Le‏ ‏هر 9 از برد تابع ۴ یعنی 10 , معادلق ‎U Diff).‏ ‏دارای یک ريشه ‎ie aoe‏ 5 ‎ 

صفحه 159:
چون برای هر عضو برد ] مانند ۵ ,عضوی از دامنه ] مانند 3 وجود دارد ۳ aka pee 06 : a "bate ‏اگر عضو دلبخواهی از برد ۵ يات‎ a: ‏احم‎ ۳9 می گيریم که : از اینجا مثلا به ازای 2-5ظ جوابی برای 3 بدست تمی ‎aul‏ ‎Us, Dot‏ tase نیست. به عبارت دیگر 5- عضوی از رد و است که تصوير ‎bea‏ 

صفحه 160:
دس لت در این بخش وارون تابع را تعریف می کنیم و به بررسی خواص آن می پردازيم. 3-7-1 وارون تابع: تابع 13 -18:؟ را در نظر می گیریم و آن را به صورت مجموعه ای f ={(x, yy =f} ‏از زوجهای مرتب می نویسیم:‎ رابطه 9 را به صورت زير تعروقي ع وی 9و زو - و روشن است که اعضای رابظه 9 از تعویض مو لفه های اول ودوم 

صفحه 161:
‎eee‏ را ‏: 35 بايد عضوى مانند 3 در ۸ وجود داشته ‏كه در اين صورت خواهيم داشت (8-1)8 . يس ره ال م بايد داشته بالتقيط 2 ,به ‎١ XX :‏ ‎Ae) i ۲‏ نتیجه گرفت که . ‎fom.‏ ‏به یک باشد , پس برای آنکه 9 تابعی از 8به ۸ باشد , باید ] ‏تابعی یک ‏یک و پوشا باشد غك 2.0 اشاس می توان تشان راک 

صفحه 162:
3-7-2 تعریف : ‎Bei‏ «-1:؟ تابعی یک به یک و پوشا باشد رابطه: 0,۶۱( ,)< و ‎a Bay‏ ۸ است وارون تابع ۶ می نمی و با ‎Pay. xeyet} , ftgtsab ve olive‏ fs 1 دقت كنيد كه دامنه برابر با برد ] و برد برایر با دامنه ۲ است . در شکل زیر وارون تایع توضیح داده شده است . 

صفحه 163:
— Fatt) تت ft y=f0) © x=) x ‏كه‎ تر A 

صفحه 164:
ا »يك به يك و پوشاست(چرا؟) = ۳ دارای وارون است . برای محاسبه وارون اين تایع , x ١ oe eee « ‏را بر حسب‎ ‏رشاو ای بای و را وس ی تیم رام‎ ‏داشت:‎ ل ل ل ور سار اسن 

صفحه 165:
موذار های ‎SK SB Tals‏ زیر رسم شفه است , توجه کنید که نمودارهای لو نسبت به خط 17 قرینه اند. 

صفحه 166:
3-7-6 وارون تایع نمایّق : فرض می کنبلا -3:؟ . با ضافطلء ‏ که در آن 220 2 ah =a fx) fen) ee ‏با‎ BS eg نتیجه می ۶۱ Oo ae i i Peleg!) =", sO Lb=f00) . ‏فن انینت‎ dte calals f alk 0% Sec) cpa aoa Ga tea ‏ل‎ 

صفحه 167:
برای محاسبه وارون ؟ , از معلقلة۷ . مقدار را ‎yy? Ye‏ 0 اکنون در تساوی اخیر جای « و لا را عوض می كنيم, داشت: عومك وود > ومد ogg" a بنابراین + وارون تابع نمایی تابع لگاریتمی است و ‎vans 3-127‏ ‎Y=§'y=Inx qb 92 (1‏ بنابر 6-7-3 وارون یکدیگرند. 2 دو ‎Y =JIPElog x whi‏ بنابر 6-7-3 وارون یکدیگرند. 

صفحه 168:
فصل ۳ هدف کلی فصل این است که با مفهوم حد تابع, قضیه های حدی ,حدهای چپ وراست تابع ,حد در بینهایت, و پیوستگی تابع در بینهایت وپیوستگی تایع در یک نقطه حقیقی ودر یک بازه آشنا شوید 

صفحه 169:
ى :از شما انتظار مى رود يس از يايان مطالعه اين فصل بتوانيد .مفهوم حد را تتوضیح يدهيد(1 .حد تابع را در ن قطه متناهوتا در تعریف نید (2 .حد تایع را در نقطه متناهفتثا در محاسبه كنيد (3 قضایای‌حد را بیان‌کنید ولنها را در محاسبه حد به کار(4 .ببرید صورتهاعمبهم يا نامعین‌حدعرا تشخیص بدهید ومقدار (5 ‎ads‏ «شنده را محاسبه کنید 

صفحه 170:
"6) حدهای راست و چپ را تعریف کنید ورابطه میان حدهای یک طرفه و حد ‎wl‏ توضیح دهید وآن را در حل مسائل به کار ببرید 7) مفهوم پیوستگی تابع را در یک نقطه توضیح بدهید. 8( رابطه بین پیوستگی تابع در یک نقطه وحد تابع در آن نقطه را بیان کنید. 9) نقاط پیوستگی و نا پیوستگی توایع داده شده را تعیین کنید. 0) پیوستگی از راست واز چپ را توضیح بدهید. 1 پیوستگی تابع را در بازه های باز و بسته تعریف کنید. ‎Lz‏ تا و رو تا ما 

صفحه 171:
مفهوم حد یکی از مفاهیم اساسی در حساب دیفرانسیل و إنتكرال ار اين فصل نذا با معهوم جد ره طور شوودی اشنا می شویم و سپس پیوست تایع را بررسی می کنیم 

صفحه 172:
:مقدمه 4-1-1 گهی ارم است زفتار تایعی را در بزدیکی ننطه ای بررسی کنیم تا معلوم شود که وقتى متغير مستقل به آن نقطه نزديك مى شود مقادير تابع به عدد ثابتى نزديك مى شوند يا نه.ابتدا با یک مثال مفهوم شهودی حد را توضیح ‎ip) Ge‏ 

صفحه 173:
= ‎R‏ «-ا:ضابطه تعریف ۰ 2-3-(گرا در نظر می گیریم. سح بررسم ورد 3 این مور وی ار ما رای ی که به اندازه دلیخواه ب عدد 2 نزدیک باشند تشکیل می دهیم: 1/999 1/99 ۴ ‎Bia / 0/998 0/9998 1‏ </0001 200 2/0100 2/1 1/0002 1/002 1/02 ۴ 1/2 

صفحه 174:
جدول بالا نشان می دهد هر قدر « به عدد 2 نزدی ‎CIEE Sake Sh‏ به عدد ام . به عبارت دیگر می توانیم مقادیر 100 | تا هر اندازه که عدد 1 نزدیک aves ‏نز‎ ee ‏و‎ مان نزدیک به عدد 2 نه لزوما برایر با 2 انتخاب 'رياضى 2 رامى توانيم به دلخواه كوجك كنيم را به اندازه کافی کوچک انتخاب کنیم. 

صفحه 175:
تعریف 4-1-3 عدد ارا حد تابع ؟ در 3 مي نامیم اگر برای هرلا<ع عدد مثبتی مّند (معمولا وابسته به )"جود داشته باشد به طوری که ‎O<|x- al<d3 = |f(x)- Lj<e‏ در این صورت می نویسیم: ]اح وم كحملا و مى خوانيم حد ‎£(X)‏ وقتى “ا به سمت 3 ميل مى كند برابر ا است . ©توجه كنيد كه 86۵ -کلامعنای ۶۵و 8>8-الست. 

صفحه 176:
الى يي بنابر شكل 1-4 اكر حد تابع 5 وقتی که ۲ به 3 میل میکند برابر | باشد آنگاه وقتی * بر محور افقی بینة -ه ود+ه واقع باشد (1 بر محور قائم بين :+و ‏ قزار خواهد داشت. 

صفحه 177:
4-1-5 مثال نشان بدهید که تایع. ‎oe‏ ود در 120 حد ندارد. حل فرض مى كنيم حد تابع 5 در 0-<برابر اباشد (فرض ‎eas‏ يس بتابر 7 لا<ع 6-5 8>0 تعریف حد برای هر از جمله عددی مانند وجود رد 3 دوه 0۵ مد 0426۵ 0 Bh te , 

صفحه 178:
واگر . گام 100-3+1 و در نتیجه بتبر (1) داریم: 5< بددممم از روابط بل به دست می آوریم: ‎Be+L)- x+ Ly‏ متمد تجرد التخل+عة ع +ز1 8+1 د ‎Sx+t+l]‏ ا ل لآ 1 -عة|+لا متجعود مه که اين یک تناقض است .بنابر این فرض خلف باطل است و در 20 ‎a>‏ ندارد. به شکل اسلاید بعدی نگاه کنید: 

صفحه 179:
1 F(x)=3x-1 

صفحه 180:
7 :مقدمه 4-2-1 محاسبه مقدار حد تابع با استفاده از تعریف حد و بکمک و غالبا طولانی و پیچیده است . در اين بخش قضیه هایی را در مورد حد بیان می کنیم و با روشهای محاسبه حدهای توابع آشنا می شویم. از اثبات اين قضيه ها صرف ‎oes‏ اه 

صفحه 181:
4-2-2 قضيه : فرض مى كنيم ‎dima)‏ (20:)5ذ! هر دو موجود باشند. در اين صورت: الف) اكر © عدد ثابتى باشد آنكاه ی کی هه وه linif 9+ 960 1=linf Gd + limgG) ‏ب‎ 

صفحه 182:
ا صوصن 0 عست -1 وكوك کلسنا ع ا« اكه وبي سد ‎United = [Lint eo) ie‏ 

صفحه 183:
ج) اگر 9 عدد صحیح مثبتی باشد, آنگاه : ا ©در اين رابطه اكر 0 زوج باشد, 1۴050 باید مثبت باشد. 4-2-3 قضيه : ,2 و8 سه عدد دلبخواه باشند , ‎ee‏ ‎lim@x+n)=na+n‏ 

صفحه 184:
انکته 4-2-8 نابر نتيجه 7-2-4 براى تعبين حد یک تابع چند جمله ای یا تابع گویاء کافی است مقدار تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنیم. البته مشروط بر اينكه تابع در آن نقطه تعریف شده بآشد. برای مثال داریم: ‎limpQxt- Se tx 5+ =" 38+ CDF CD42‏ ail سجنين جون ‏ وت ل#لتی کوباست. داریم ‎xe a Gps ee‏ 1 3-3 

صفحه 185:
4-2-9 S35 WS ‏د , قبل از اینکه بتوانیم قضیه های | به‎ ee oe de ae ‎‘4-2-1Q) lio :‏ حدهای ‎oes‏ محاسبه کنید. (الف و« موز ‏حل ۳ ( ۳ ‎eb (al‏ اه سیف نشده است وبا و3 ‏امعین است .این امر مشکلی به وجود نمی آورد. زیرا حد اين تابع وقتی ‎X‏ ‏به 3 ميل می کند تنها به مقادیر ۷ در نزدیکی 3 بستگی دارد و مقدار 3 را شامل نمی شود. از طرفی می دانیم : 

صفحه 186:
x= 9=(x- 3)(K+3)_ بس به ازاى0* * داريم : 3643 عون _ ود لل در نتيجه خواهيم داشت: 0 موم « موز گت کر ب) چون به ازای 20 مخرح کسر به صفر میل می کند نمی توانیم قضیه 4-2۰ (ج) را مستقیما به کار ببریم , ولی با استفاده از یک فن جبری ی توانیم این حد را قابل محاسبه کنیم. به این منظور, صورت و مخرج کب | در مزدوج صورت یعنی ۰ 9*3* زب مى کنیم وبه دست می آوریم: 

صفحه 187:
ووبد __ لوبوبص) 3 وبا ‎a 2 “EoD‏ 13 کم vx+9-3_,, 1 كه به ازاى 820 داريم : رن 

صفحه 188:
اکنون بنابر قضیه 2-2-4 (ج) خواهیم داشت: = aes +3) = 1 Ce ~N5+3 1 6 

صفحه 189:
مقدمه 4-3-1 تایع ] را با ضابطه زیر را در نظر مى كيريم0< ‎ *‏ 3+1 میم 0 3-1 ‎lis 5-1-4,‏ دادیم که اين تابع ‎y‏ ‏در0-< حد ندارد. ‎ ‎ ‎F(x)=3x+1 

صفحه 190:
چنان که در شکل دیده می شودء وقتی که < از سمت راست به صفر نزد: می شود, (0] به عدد 1 نزدیک می شود؛ و هنگامی كه »ا از سمت چپ (۱ طرف اعداد منفی) به صفر نزدیک می شود, (0] به عدد (1-) نزدیک می شود. در این صورت می گوییم حد راست تایع ۴ در نقطه ۵ برابر با 1 ب 0 ص12 اكنون به تعریف حدهای راست و چپ تابع که حدهای یک طرفه ناميده مى شوند می پردازیم. 

صفحه 191:
: تعریف4-3-2 فرض می کنیم تابع ] در بازه (ظ , 8) تعریف شده باشد , اگر برای هر ‎seo‏ 850 52 عدد مثیتیر مانیمی| بوچوج داشتج باشد به ای تا رت یم نامیق.وطی نویسیم: ۵ 7 

صفحه 192:
4-3-3 تعریف : فرض می کنیم تابع ؟ در بازه (ط , ۵) تعریف شده باشد .اگر برالح :هر عدد مثبتی مانند ومجود داشته باشد به طوری که: ‎d<x- a<0= |f(x)- L<e‏ - آنگاه عدد | را حد چپ تایع در نقطه 128 می نامیم.ومی نویسیم: ‎=L‏ 

صفحه 193:
4-3-4 نکته: الس لل لان 24 بیان کردیم باتقرارر دائتن- مور به جاى همچنان معتبرند. 4-3-5 مثال : تابع ؟ با ضابطه تعريف زير را در نظر بكيريد. ‎x21‏ 3+2 1 2 - حد چپ و حد راست تابع ] را در صورت وجود در ‎X=1‏ ‏تعیین کنید. £(x) =: 

صفحه 194:
حل: برای محاسبه حد راست تابع ۴ در 400-1[ ۰ بع بو يس و1< . در اين خالت داريم 100-3+2 Time Go) =limx+2) =30) +2=5 ‏وینابراین:‎ مک رت لبرای محاسبه حد چپ تابع ۴ در1-< یعنی چون پس ۱ 

صفحه 195:
4-3-8 مثال : تابر تیجه 7-3-4 (الف) تابع ۴در مثال 5-3-4 در نقطه 1-1 حد ندارد. ۰ 1 است که این تابع در هر نقطه حقیقی به استثنای 1 5-5 نکته: تابع جزء صحیطاعد ۶002 را در نظر می گیریم. می خواهیم حد چپ و حد راست ۴ را در نقطه 22 تعیین کنیم. _< عن كن ‎١‏ [د ع ای 

صفحه 196:


صفحه 197:
به سمت2 ا ا ‎A‏ ت زیرا وقتی که « برابر 2 يا كمى اختیار شود مقادير تايع ؟ بسيار نزديى ب4ت#تجواهند بود. اما هنگامی که loa 999 ‏مت‎ 2 sen sax اگر " عددي مثبت و کوچکتر از یک باشد میعنی 1<0> ,آنگاه : به ازای هر « که 2-2>>ظ داریم : ‎Eee ahs‏ ر؛ 

صفحه 198:
در نتیچه بنابر تعریف های 3-3-4 و2-3-4, حد چپ و حد راست 6 tl x=2 ‏در ی‎ tim ‏د ریز‎ . ‏چون حد چپ و حد راست تابع جزء صحیح در 22 برابر‎ ‏نیستند. این‎ تیعبنابر تیچه 7-3-4 (الف) در 2 حد ندارد. 

صفحه 199:
4 همین ترتيب به ازاى هر عدد صحیح 0 می توان نشان داد که تا ‎ese Diva xen 59 bx‏ ‎dimpx]=n-1 ne Z‏ 2عص ‎Jimixl=n‏ ‏روشن است که تایع جزء صحیح در هر عدد حقيقى غير 7 ماو اون xs در نتیجه, بنابر قضیه 6-3-4 داریم : ‎le‏ 

صفحه 200:
حدهای بیتهایت4-4 4-1 مفال: لأبع ؟ با ضابطص بح 00 را در نظر می گیریم. نمودار ‎al‏ تابع در ‎ ‎ ‎ ‎infinity ‎Neal oat euwy 95 IS ‎ ‎-intinity infinity ‎ ‎ 

صفحه 201:
‎ea‏ ل ‎ee‏ اش برس ی کی به جدول زیر توجه کنید: ‎ ‎16 ‎٩ scyystncctl be oe sa ‏0 بزرگتر می شود .به اين ترتیب ‎Sa 0 time ee ae ‏راست به یک نزدیک شود. این خاصیت را با نماد زیر نشان 

صفحه 202:
کنون مقادیر (0] را هنگامی که « از سمت چپ نزدیک : ‎ee a‏ ۱ به طوری که درجدول بالامی بینیم هر قدر ۷ از سمت جب به 1نزدیکتر شود, مقدار 1000 بزرگتر می شود.اين خاصیت را با نماد ‎See‏ ۳ می دهیم : ‎eee‏ 

صفحه 203:
4-4-3 مثال : ‎Pas anatase)‏ نان ‎wise,‏ 000 را در نزدیکی نقطه یک بررسی کر تابع و که نمودار آن در شکل زیر رسم ده است : 1 

صفحه 204:


صفحه 205:
مشاهده می کنیم هنگامی که « نزدیک به عدد یک شود G(X) ‏مقدار‎ بی اندازه کوچک می شود. این خاصییت را به صورت زیر تشان ات می دهیم: تن 4-4-4 تعریف اگر برای هر 16>0 ,عدد مثيتى ل#اقند وجود داشته باشد. به طوری کم (مع ‏ ۵>له »0 ا اک کند ,بینهایت منفی مه -= ‎limf (x)‏ می نامیم و می نویسیم: ‎oor‏ 

صفحه 206:
4-4-5 تذکر: وقتی که داشته بانتیت 00 دصرن[ مسي ‎limf(x)‏ یط حد ندارهژیرا - یا اعدادی حقیقی 4-4-6 مثال : الع ۰ ۱ ر تظر می گیریم . inti تمودار ایس تا ور شکل زیر رسم شده است . 7 

صفحه 207:
چنان که در شکل دیده می شود, هنگامی که ۷ از سمت راست به صفر نزديك مى شود , #سالبرةان ‎oie Se‏ داریم : جح منز اگر از سمت جب به صفر نزديك شود ,مقادير تايع منفى اند و timd =-0 

صفحه 208:
4-4-8 قضيه : ‎١‏ ‏اكر © عدد صحيح و مثبتى باشد , آنكاه داریم: سم ‎lim‏ ‎eh‏ بر 8 فرد باشد * "]- ورزر ‎x0 x” 1 aes 5‏ Plier Geyer oles Lyles ١ : ‏قضيه‎ 4-4- See ee eee ree al lima ‏صفر میل کند آنگاه : د‎ See ee lima 

صفحه 209:
4-4-3 مثال : ‎oe‏ حد ت30[ را محاسیه کنید. | )0-0 0 2 ‏0= )2 منز ‏چون2 پس 1>2 ود و در ‎XA‏ 0< تلا -4 و ‎: ‏داریم‎ ‎V4-x? _J4-x? J4-x* =a ۶-2 ‏هل‎ 2 4-2 (x- - 

صفحه 210:
2-04 = ‎Q+x)‏ - = چون 0- 7 )لا ‎VE‏ در حالی که هميشه مثبت است به سمت الي ی 9 8 Led EE Ay? oa 

صفحه 211:
4-5-1 مقدمه: در این بخش به بررسی رفتار تابعی مانند ۲ هکامی که < به اندازه کافی بزرگ شود , می پردازیم . وقتی می گوییم * مقادیر بزرگ را به دلخواه اختیار می کند , منظور این است که از هر قدار ثبت دلبخواه مانند ‎M‏ بزرگتر باشدد و در لین‌صورتمین ویسیم: ‏مد بر ‏هر گاه « هر مقدار دلبخواه کوچکتر از هر عدد منفی مانند 

صفحه 212:
infty infty 

صفحه 213:
در جدول ‎wan, sly ee‏ مقادیر بزرگ » سبه شده 1000 2120001 21000000 ونه ‎SSE‏ بینیم , به تدریج که مقادیر ‎i ae‏ نزدیکتر می شوند . این 

صفحه 214:
بر جدول زیر مقادیر (2؟ برای بعضی مقادیر کوچک ومنفی > محاسبه: کرده ایم: -100 -1000 00 ۳0 101 ۰ 0 eon 1000000¢ توجه کنید که برای هر عدد حقیقی ‏ داریم (101-(2020 بیعنی 7 تابعى زوج ’ است ‎See‏ به تدريج كه مقادير منفى “ا كوجكتر مى شوندء ‎f(x) jolie‏ به عدد 3 تزدیک می شوتنتای را به صورت زير نشان 

صفحه 215:
4-5-4 تعریف : اگر برای هو<ء عدد مثبتی مانند ۱ (معمولا ولیسته به ) وجود داشته باشد به طوری که: ‎x>M = |۶0(->۶‏ آنگاه عدد | را حد تابع ] ,«هنگامی که به سمت بینهایت مثبت ميل می کند, می نا ‎Ses‏ هر وی 4-5-4 تعریف : ‎a) ees Paes‏ وجود ۱ داشته باشد به طوری که ‎x<N = (۰ tee‏ ‏آنگاه عدد | را حد تابع ] ,هنگامی که به سمت بینهایت منفی ‎deo‏ می کند. می نامیم و مقنویمه منز ‎As 

صفحه 216:
4-5-5 قضیه : اگر ده عده صحیه کی باشد. آنگاه ‎Taub‏ jim 0 ‏الف)‎ lim ‏م‎ 0 oe : تعمیم قضیه بالا به صورت زیر است . 4-5-6 قضیه : فرض می کنیم 3 عددی حقیقی یا یکی اوه - م+ تمادهاى ع«ب< 0 کب مس )سنا ‎ee‏ 3 "re : ‏آنگاه‎ 

صفحه 217:
4-5-7 تذکر: تمام قضیه هایی که درباره حد در بخشهای 2-4 و 4-4 دیدیم در ص بعد م بير مور ‎Bees Ll oo elas‏ : ‏م4358 مثال‎ oe a ae x ee 1 ‏ور‎ lim3+4tim2 ‏نیو‎ eee ewe) oS) 0 ‎jim2- lim—‏ ی ‎ 

صفحه 218:
oe ‏محاسبه کنید.‎ ss im ۱ ‏ی‎ قل ای معایسه جد دایم هده . صورت و معرع ار ا 31 23 ‎x x)‏ اکنون حد صورت ومخرج را جداگانه در نظر می گیریم: 

صفحه 219:
مره عون [3 -5 ارو ِ =5- 30 =5 sim ‏م‎ aie iy و همواره مثبت به صفر ميل مى كند , نتیجونا: قضیه 9-4-4 ‎(call)‏ ‎ip‏ تايج حاصل از سه مثال اخیر را می توان به صورت زیر خلاصه کرد. 

صفحه 220:
4-5-2مثال : 2 ‏شاك‎ jim =a him om re ei 2 از ** 77 نتیجه می شود 0< یج 2 15 ۳ و بنابراین داریم: 9 3S ‏رع‎ ae 

صفحه 221:
4-5-8 حد تابع لگاریتمی: با توجه به نمودار تابع لگاریتم طبیعی , 0<: عاضا -(5)2 حد های زیر را داریم : limInx =+00 ‏سیر‎ all limlnx =-20 5 

صفحه 222:
4-5-9 حد تابع نمایی: با توجه با نمودار تابع نمایی(0؟ حدهای زیر را داریم : Jime® =+20 (all ۲ Jime* =0 (oo lime’ =1 ‏ب‎ ‎1 £(x) =e 

صفحه 223:
4-6-1 مقدمه: در اين بخش به معرفی مفهوم پیوستگی تابع , که شرط قویتری از حد داشتن تایع است , می پردازيم. 9 7 تابع ] را در 2 پیوسته می نامیم در صورتی که سه شرط زیر برقرار باشد: الف) ۲ در 3 تعریف شده باللعد) 1)3(194 وجود داشته باشد . 

صفحه 224:
پ) حد تابع ] در 2 برابر مقدار تابع در اين نقطه باشد, یعنی (۶)۵- (د) صخا هرگاه یکی از شرایط بالا در 2 برقرار نباشند , ؟ را در و ناپیوسته می نامیم. اگر ؟ در 3 پیوسته نباشد , ] را یک نقطه اعد ووو الول 

صفحه 225:
4-6-4 مثال : پیوستگی ۶0 رادر 1 ‎nee‏ کی ی دا ‎seemed el‏ ‎id‏ ‎=Himp@x- 3) =-1‏ )0( م ون حد چپ و حد راست تابع در 1 برابر نیستند, حد تابع 6 در 1- جود ندارد. بنابراين شرط (ب) تعریف پیوستگی برقرار نیست.در نتیجه 

صفحه 226:


صفحه 227:
5 : dite 4-6-5 بيوستكى ‎XE‏ رو بررسی کنید. 0 3+1 حل: ن 2-(1)0 پس شرط (الف) ت 2-6-4 برقرار ‎AEE‏ ‎limf (x) =limGc? +1) -1‏ ‎iim G9 =lim(3x +) =1‏ ‎limeGO =15,‏ , یعنی شرط (ب) 2-6-4 نیز برقرار ان ادا ؛ يعنى شرط (ب, نیز برقرار 

صفحه 228:
‎limf Co) ۶۶0‏ پس شرط (ب) تعریف پیوستگی برقرار نیست . در نتیجه ] در 20 ۳ ناپیوسته است . نمودار اين تایع در ش است . ‎=x? 41‏ ومع ‎ 

صفحه 229:
4-6-8 تعریف : ‎aus wo (Lal‏ تابع ] در 3 پیوستگی راست دارد, هرگاه: limf@ =f@) ‎af eb url oa (we‏ لوسك جد زارد ‎limf£G) =f@) —‏ 

صفحه 230:
4-6-1 قضیه : هرگاه توابع ۲ و 9 در 8-< پیوسته باشند , آنگاه : الف) تای96-)* در هك پیوسته است . ب) تابع 16300 در 26 پیوسته است ۰( عددی ثابت است .) . ae x=a PAIR! (Wy ( ‏در بيوسيه ات ر[‎ elite c 3 000 . در 128 پیوسته است . 

صفحه 231:
"4-6-2 نکته: در نتیجه 7-2-4 (الف) دیدیم که هر تابع چند جمله ای درهرنقطه ادف حد برابر با مقدار چند جمله ای اس نا اه اام در هر نقطه حقیقی پیوسته است . = ‎te‏ همچنین بنابر نتیجه 7-2-4 (ب) , هر تابع گوای 1020 ‎px).‏ : 

صفحه 232:
4-6-3 مثال : نشان بدهید که ت ‎os‏ £09 در همه نقاط دامنه اش . ‏است‎ ١ دامنه؟ مجموعه تمام اعداد حقيقى كه به ازاى آنها مخرج ‎a‏ ‎SUN OF‏ ی هم دنه ‎aeD; ‏فرض می کنیم . داریم : 

صفحه 233:
tt aot 3. 3x? +4x+1) = a Sa? - 3a? +4a+1 در نتیجه ] در هر نقطه از دامنه اش پیوسته است . 

صفحه 234:
4-6-4 قضيه : : ‏آنگاه‎ , limg@) = ‏پیوسته باشد‎ x=b yf wb SI imtfog 6) =£0) :به بيان ديكر ‎(mao)‏ ؛- وم وهس 

صفحه 235:
4-6-0 تعریف : ‎Nek‏ اوه تا( , ۵) پیوسته می نامیم هر گاه ۲ در هر نقطه از اين بازه پیوسته باشد. در صورتی که ] دست كم در یک نله آز ال , ۵) پیوسته نباشد , ۴ را در بازه ‎(a,b)‏ ‏تاه مفاتاميم ۰ ۲ تايع ‎ey‏ - لالار نظر مى كبريم .این تابع در هر نقطه حقیقی به استثنای 1و3- پیوسته است و در نتیجه , بنابر تعریف 4-6-0 در هر بازه بازی که شامل 1و 3- نباشد , پیوسته خواهد بود. 

صفحه 236:
4-6-2 تعریف : تابع ]را در بازه بسته [ظ , 2] پیوسته می نامیم هر گاه شرایط زیر برقرار باشند: الف) ۴ را در بازه باز (ظ , ۵) پیوسته باشد. ۴ در 2 پیوستگی راست داشته ‎Pete ait,‏ ب) ۴ در ط پیوستگی چپ داشته باشلا هگب در صورتی که دست کم یکی از شرایط بالا برقرار نباشد,؟ را در بازه بسته [ظ , 2] ناپیوسته می نامیم. 

صفحه 237:
4-6-3 مثال : پیوستگی تایع ۴ با ضابطه تعریف زیر را در بازه بسته [-2 , 2] ‎oe‏ عع لیر ‎a‏ 110-144 _ جون 5-. / 3 ‎Timf() =lim(x +4) =5‏ ‎Tim (x) =lim(x+2)=5‏ ‏يس (10- 5- (5] كله يعنى ؟ در 1-* ييوسته الست . بنابراين 6 در بازه (-2 , 2) يبوسته است .از طرفى داريم . 

صفحه 238:
تا ‎Jimf(s) =lim(c+ 4) =6‏ ‎xz‏ 2« ا پنابر 22-64 ,] در بازه [-2 , 2]پیوسته 

صفحه 239:
پمس هه جدفهای کلب نسق هدف کلی فصل این است که با مفهوم بنیادی مشتق تابع . قضیه های مشتق گیری, مشتق توابع جبری و غیر جبری , مشتق گیری از توابع ضمنی , و با مفهوم دیفرانسیل آشنا وید ‎ve‏ أنت ود که پس از بان مطالعه اين فصل ‏بتوانید: ‏1) مفهوم مشتق را توضیح بدهید. ‏2) قضیه های مشتق را بیان کنید و آنها را در حل مسائل به ‎Bus‏ ‏3( مشتق های چپ و راست تابع را در یک نقطه تعریف کنید.و برای توایع داده شده 1 وجود مشتق های یک طرفه را که در نقاط خواسته شده تحقیق کنید. 

صفحه 240:
4) رابطه بین مشتقهای یک طرفه و مشتق تابع در یک نقطه را بیان کنید و آن را در حل مسائل به کار ببرید. "5) قاعده زنجیری در مشتق گیری را توضیح بدهید و مشتق توایع مرکب را به کمک این قاعده محاسبه کنید . 6 روش مشتق گیری از توابع ضمنی را بیان كنيد و مشتق توابعى را که به صورت غير صريح بیان شده اند محاسیه کنید . 7) مشتق توایع مثلثاتی و توایع وارون مثلناتی داده شده را به 8) رابطه بين مشتق تابع و مشتق وارون تابع را بیان کنید و به کمک این رابطه , مشتق تابع داده شده را با استفاده از مشتق وار.ن آن , و بر عکس , تعیین کنید . Pa me ees eal eee ene eee ora. 

صفحه 241:
در حل مسائل به کار بیرید. ‎etal a‏ موم رل اه ) با استفاده از مفهوم دیفرانسیل , خطای مطلق , خطاى نسبی و درصد خطای محاسبه را "6) دیفرانسیل ‎١ om‏ متعيره را عرف كند و أن را براق ا ين انه صورت اه پل را به صورت پارامتری ‎Se‏ و آن را در محاسبه مشتق 

صفحه 242:
حصل چپارم با متهوم حد اشنا شدیم در این فصل با استفاده از آين پوم اساسی ,به معرفی مفهوم مهم مشتق می پردازیم . مشتق یک ابزار ‎sly wo‏ اندازه گیریتغییرات متغیرها نسبت به هم است . با مطالعه متق می توانیم آهنگ تغیبراتی راکه در مسائل مختلف پیش می آید تعیین م .علاوه براین ,به کمک مشتق می توانیم ماکسیمم ومینیمم توابع را نیز 

صفحه 243:
نال5-1-1 إن كودى با كدشت زمان تغيير مي کند و بس مى توانيم آن رأ به عنوان تاب زمان در نظر بگیریم . اگر اين تابع رال(« بنامیم ,آنگاه تغییر وزن کودک , بازة زمانى إنابزابر است با w(t,)- w(t) ‏نگ متوسط تغییر وزن کودک در اين بازة زمانی , از تقسیم تغییر وزن‎ ‏بر طول اين بازة به دست مى أبد - بنا يراين‎ تم عتوسط تغییر (۷)۷ در بازة زمانی 

صفحه 244:
5-1 تعریف : ض کنیم تابع ؟ در بازة [ط,۵] تعریف شده باشد . برای هردوعدد و در ‎(ab) »‏ که ۰ ۰ ظ>:0>3کنقییر مقدار 100 هنگامی ‎Bx oS‏ تغيير پرایر .۰ )£6 ‎Ll‏ 9 آهنگ تغبیر ۴ در بازه |زد,درابر(۹۳۳ "۳۵ "است . -5-1 مثال : رض کنید (16 مساحت دایره ای به شعاع ۲ باشد , پس تمد ما گ متوسط تغییر مساحت این دایره , هنگامی که شعاع آل از به تغيير / بر است 

صفحه 245:
‎Bet eels elas 51 oul wl‏ تغبير كند, اهن آن برار است ی ور ‎SS‏ از آهنگ متوسط تغییر یک تابع به تعریف مشتق ‏نقطه می پردازیم . 

صفحه 246:
-5 تعریف : و ی رد ار کر كر 8 - ورزر ۳ , داشته باشد , آن را مشتق تابع ۶ در نقطه د می ناملق) و با نشار هیم . ایع ۴ در نقطه ۵ مشتق داشته باشد ۶۰ را در 2-۵ مشتق پذیر می گوییم.: ابع ] در همه نقاط دامنه اش مشتق داشته باشد , ؟ را مشتق پذیر می نا 

صفحه 247:
5-1-9) ie . ‏تق تابع خله -**3- ار نقطه 2-< بااستفاده از تعريف به دست آوريد‎ ‏:حل‎ داريم : (8 02 -( - تار ىر )£2 -) 2 0 تور ۶2 لیزرب ري ‎xD! Tae 0‏ نو ‎f‏ - 4 ‏ای‎ ‎۱ 0 eae =lin@x+2)=8 

صفحه 248:
نكته 5-1-7 _ تعریف 4-1-5دیدیم که مشتق تابع ؟ در نقطه ۵ برابر است با ‎fe ’‏ قرار بدهیم متحط , به دست آوریم (+۵-, پس(+1)2-(0؟ . از طرفی اگز ؤتنها اكر 0 نتيجه (1) را می توان به صورت ‎Fe =i pana ۱ ‏ست . بنابراین , مشتق تابع ۴ در نقطه ‏ را می توان از رابطه (2) نیز به ت آورد . 

صفحه 249:
عبیر هندسی‌مشتق5-1-8 م مشتق یک تایع در یک نقطه را می توان به شیب خط مماس در آن نقط کرد .برای روشن شدن مطلب , تایع ۷-600 و دو ‎Pla, fla))aladi‏ و 6 , +06۵ را روعت‌مودار ] در نظر میگیریم . به شکل‌زیرتوجه کنید 

صفحه 250:


صفحه 251:
يجه 5-1-9 ب خط مماس بر نمودار ؟ در نقطه ‎m(a) L Ly ol aS x=a‏ نشان می دهیم ست با مشتق تایع ۶ در نقطه 2-, به عبارت دیگر ‎m(a) =f (a)‏ | 2905 بر نمودار ] در نقطه ‎x=a‏ خطی است که بر خط مماس پر نمودار نقطه عمود است . پس اگر #ال#تيب خط عمود بر نمودار در این نقطه داريم 5 1 He 

صفحه 252:
5-1-1 تعریف: ایک مشتف تا در نقطه # برار اس با ما ‎Fo) =p‏ ذؤذ ‎ee‏ ‏متغير مى تامیم و آن را با نماد نشان مى دهيم.تفاضل 400-(ط+*)؟ را نمو تايع ‎f‏ به ازاقفط عد می نامیم و با . یا نشان می یزاین وسيم 5-1-2 تماد گذاری : = مشتق ‎flx) wb‏ > در نقطهع را با نمادهای دیگری نیز نشان می دهند ,مانند 

صفحه 253:


صفحه 254:
وجه کنید که نمادهای 3 کومر نبستند . این نمادها ‎LDS‏ به معنای ما (/<۷ نسبت به متغیر ۲ اند . : تتعریف5-1-13 فرض می کنیم معادله حرکت جسم ۴ در روی محور 05 , به صورت 592500 بیان شده است . ‎Pp °‏ 3 سرعت متحرکم لحظه‌ه- : برابر است با vei 

صفحه 255:
نال5-1-14 ل كنيد 2+ -مفاله حرکت جسمی روی خط مستقیمی باشد .سری متحرک را در لحظه ۱-1 به دست آورید . گرد مو- ۱۵ 1 ‎et‏ =lim (+3t+3), 7= یه زیر رابطه مشتق پذیری تابع و پیوستگی آن را در یک نقطه بیان می کن 

صفحه 256:
قضیه 5-1-15 ر تایع ) در نقطه 2۵ ۶ مشق پذیر باشد . آنگاه در این نقطه پیوسته است نکته 5-1-17 وجه کنید که عکس قضیه 15-1-5 درست نیست . بعنی ممکن است تابعی ر نقطه ای پیوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذیر نباشد . برای مثال = اس ‎=f] =:‏ ‎x x<0‏ در نظر بگیرید ۰ ۰ 0-۲0 ‎elimi‏ می شود که ‎feb‏ 22059 وسته است , اما اين تابع در 0- * مشتق پذیر نیست , زیرا داریم 

صفحه 257:
<0 = -1 x<0 ون به تعريف مشتقهای یک طرفه یعنی , مشتقهای چپ و راست تايع دريك طه , می پردازيم. 

صفحه 258:
بعریف 5-1-18 ل می کنیم ۷-100 وة متعلق به دامنه تابع ] باشد . مشتقهای راست و< ۶ دره- > را به ترتیب با نمادهای ‎UL) FE)‏ می دهیم و به صورت تعریف می کنیم . ‎ee fla)‏ ناد 1:۵ ‎fu ۶0‏ اد 2 وا اي ها و دا اش مق ور | تقهای یک طرفه می نامیم . : قضیه 5-1-19 فقواجود است اگر وتنها اگر(8:؟ (۵:؟ موجود ومساوی باشند . 

صفحه 259:
منلل5-1-20 Bxe1 xed ‏شان بدهید که < 0 گدر 21 ۶ است‎ ‏ن بدهید که تابع جع وم آگدر 21 : پیوسته است ولی در‎ . ‏ن نقطه مشتق پذیر نیست‎ ‏حل‎ ‎Time ‏اريم 4= همست و‎ eas ر ۰ 24-10 00 لته می شود که ؟ در 1<: پیوسته است .اکنون مشتقهای راست و چپ؟ در 21 را محاسبه می کنیم . 

صفحه 260:
4 17+( ۶00 - (1+19)؟, 7 ا ‎[oo‏ ‎<timé +h) 0 2-4‏ ی ‎hee‏ ‏4+ ‏نفهای راست و چپ ] در 1- ۰ برابر نیستند , پس بنابر قضیه 19-1-5 ‎fel‏ ‎x =:‏ مشتق پذیر نیست . 

صفحه 261:
تعريف5-1-22 ‎eee ee ee‏ ؛در بازة باز (ط,ه) مشتقيذير باشد ) مشتقهای یک طرفه و©).؟ وجو قاشته باشند. 

صفحه 262:
هط .. ك5 5-2-1 قضيه : مشتق تابع ثابت 6< 100 كه درآن ع عدد حقيقى ثابتى است , برابر صفراست , 16 دوا 5-2-2 avo ‎=axtb wks ,‏ (100 درهر عدد حقیقی مشتق پذیر است و داریم ‎f(x) =a‏ ‎5-2-4 ava ‏"*«کهالآن۲ عددی حقیقی است روی دامنه تابع ۴ مشتق پذیر اسد ‏ريم ‏“تود و1 

صفحه 263:
هط 52-5 فرض كنيد لد ومع ‎LEO),‏ به دست آورید حل ‎os‏ 2.-#9قضيه 4-2-5 را به ازاى به كاز می بریم برای هروح 

صفحه 264:
ضيه 5-2-7 توايع 10 و(0)و مشتق يذير باشند آنكاه ۰) مجموع (900+(10 مشتق پذیر است وداریم (مو+دم ۳ ومو+مم؟ تفاضل 10۵-000 مشتق پذیر است وداریم (و -۵ ۲ إومو -ومما | برای هر عدد حقیقی , تایع00 مشتق پذیر است و داریم - وم وف 

صفحه 265:
ت) حاصل ضرب 1050900 مشتق پذیر است و داریم ۱ ث) خارج قسمت لي 0 ‎i gud‏ است و داریم ‎Base‏ ‏ج) برای هر عدد طبیعی ( , تابع 6*9" مشتق پذیر است وداریم 

صفحه 266:
ضيه تابع جند جمله او8- 5-2 Px) =ax"+ax" 4-44, xta, ‏بر تمام اعداد حقیقی مشتق پذیر است و داریم‎ ۰۵+ مق( -م) + “جوم وام 

صفحه 267:
: قضیه (قاعدة زنجیری 5-2-11 توایع (۷-۶0۵ و ۱-000 مشتق پذیر باشند , نگاه تابع مرکب ‎y=(fog)(x)=f(g(x))=f(u)‏ ‏بشتق پذیر است و داریم 0 0 ‎ie‏ و 9 ین رو ‎df‏ ‏ر رابطه بالا ء معناى مشتق تابع ؟ نسبت به متفیر و به معنای شتق ‎U‏ نسبت به « است .این رابطه را می توان به صورت زیر نوشت ‎Dy=Dy Du‏ 

صفحه 268:
مثلل5-2-12 axa cui Lf el ‏رض كنيد 3+7 - 2 دا 5+ - ۸-2 مشتق‎ : ‏سب آوزید‎ ode: ‏بنابر قاعدة زنجیری داریم‎ af _df du dx du dx ‏از طرفی‎ df_d oe ae Su +7) =8u- 6 = 82x" - x+5)- 62x - x+5) Bd ‏تیم‎ x45) 1 

صفحه 269:
در نتيجه به دست مى آوريم ‎A Sea - 457-62 x45) 62-1‏ مثالة 5-2-1 ‎ae‏ ‏استفاده از قاعدة زنجیری مشتق تابع ‎eo)‏ دست آورید قرارمى دهيم ‎١‏ كدو ‎١‏ ند (دزقیر قاعدة زنجیری داریم 

صفحه 270:
“afoo) _dftu) du “dx du dx 5 ee du a ‏ا نت و‎ ees 0 3 41 (۳ - - 32 +20 

صفحه 271:
نتیجه 5-2-15 ابر قضیه 4-2-5 وقاعدة زنجیری و با فرض (80-:۷39 ببرای هر عدد ویای ۲ خواهیم داشت [G0] =r") £60) B21 [pions ju 5 Sets ‏عای گرا‎ yy =4x"- 3x +5, ‏ر 3+5 2۵۰ آیگاه معادله‎ ‏طور صریح تعریف می کند . ولی همه توابع به طور صریح به صورت‎ ٠ ‏بیان می‌شوند . مثلاً معادله‎ 1-1 Fix, y) =x’ ‏ری + کر‎ de*y =0. ( نمی توان بر حسب ۷ یا بر حسب » حل کرد . 

صفحه 272:
ِ ۴0-0 ور ضمنی تعریف شده است اگر بخواهیم مشتق انسبت به « را بيابیم , از ود ۲ وعد اده می کنیم که در آن ملق تایه ۴ نسبت به با فرض ثابت بولق لا» ی تابع ۴ نسبت بها با فرض ثابت بودن ‎cul x‏ ؛ این روش محاسبه مشتق ی گیری ضمنی می نامیم . به مثال زیر توجه کنید مثلل5-2-18 ابع ۷-100 به طور ضمنی توسط معالله3 - ۱۴+ 2+۷ («,۳ _ بیان شده است, 10 را محاسبه کنید . 

صفحه 273:
0 نسبت به « با فرض ثابت بودن ۷ برابر است با ?010-0849« 6د 5 مطلتق ع نسبت بهدلا با فرض ثابت بودن * برابر است با ‎F, =0+ 2xy+4y? +0=2xy+ dy”‏ 2S ga ‏نق اين تابع را می توان به روش دیگری نيز محاسبه كرد . در اين روش از‎ ‏ف تساوی‎ ۳ 

صفحه 274:
بعه مشق می‌گيريم ,و الیت باید توجه کنیم که مشتق ز تسبت بل بر . نتیجه می شود ‎6x +y" + 2xyy'+4y"y’ =O‏ اخیر را نسبت به حل می کنیم . به دست مى آوريم ‎Hee 6+‏ ده مى کنیم که نتیجه حاصل از دو روش یکسان است . 

صفحه 275:
مشتقتايع سینوس5-3-1 ض می کنیم «زه-(0) ۰ در این صورت مشتق تابع «عنه ‎cosxyly‏ است, ی ‎=cox‏ وسن رم 523-2 ares ‏می کنیم ()وعنا تابع مشتق پذیری از« باشد و.نا هذة-(1)1 با استفاده از‎ , ‏ده زنجیری و1-3-5 به دست مى أوريم‎ ساقه _ (مموائه dx du dx d(sim) _d{sim) du__,., du dx du ‏يتك‎ dx 

صفحه 276:
.)5-3-3 کنید (1 26+ :۵:08< (طشتق؟ را نسبت به« محاسبه کنید . . قرار می دهیم؟ ار 2-3-5 داریم fc) _d(sim) du ‏ا‎ ‎=coat 4 Gx? +2x- 1) =cos6x’ +2x- 1) (15° +2) 

صفحه 277:
| مشتق‌تابع کسینوس5-3-4 فرض می کنیم 05-0 . در اين صورت يك ‎aon = sinx‏ عمیم 5-3-5 0وعا تابع مشتق پذیری از « و 51ه0-(1)1 باشد با استفاده از قاعدة زنجير -4 نتیجه می گیریم ‎da‏ d = | ‏و‎ = 

صفحه 278:
شتقنابع تانژلس5-3-6 ستفاده از اتحاد مثلثاتى 1856-6 , می توان مشتق تایع تانزانت را به بت آورد 4 0 ‏تصلق‎ ‎۳ ae) —cosxcosk- (- sinx)sinx 4 _cosx+sitx 1 -- دا seéx =1+ tanx team =1+ tarix =se¢x 

صفحه 279:
عميم 5-3-7 (00-د تابع مشتق پذیری از « و د«ها-(] باشد ,آنگاه با استفاده از 3-5 اعدة زنجیری به دست می آوریم كو قم جل - رمسم ل dx dx =seéu 

صفحه 280:
: قضیه 5-5-1 الف) مشتق تابع ۶ «-(10 كه 0<< ,برابر است با d 1 Gee ب) اكر 0<0)ن تايع مشتق بذيرى از * باشد آنگاه 1 du xa 2 (Inu) = 

صفحه 281:
مشتق‌تابع نمایی5-5-2 هگا ‎wer‏ ‏* به عبارت دیگر مشتق ‎eli‏ برابربا خودش است. سنیجه 5-5-4 (۷0 تابع مشتق پذیری از" باشد ,آنگاه بنابر2-5-5 و قاعدة زنجیری داریم 4 ‏مس‎ 419 es ce 

صفحه 282:
: منالک-5-5 الف )اكر 40+ سكت لا,آنكاه بنابر 1-5-5 (ب)داريم 1 : ‎Yar oO‏ ‎ y=Int+sirt $1 (WC‏ , آنگاه ‎Csim cos‏ سم - و مه ‎x‏ زو بر پ) اگر هبو , آتكاه. ‎y =e 2 stam)‏ =e" (1+ tarix), 

صفحه 283:
مشتق تايع 2-5-7 ‎monte abo‏ رای محاسبه مشثلق از روش مشتق كيرى یتمی استفاده می کنیم . به اين منظور از دو ‎YB yb‏ لكاريتم طبيعى گیریم : ‎Iny =Ina* =xIna‏ ی از دو طرف رابطه اخیر نسبت به« مشتق مى كيريم . توجه كنيد كه 8ه[ رى ثابت است . به دست می آوریم ‎١‏ ‎Y =ina‏ / ‎=a" Ina‏ مصارت و ‎a‏ oo ‏معام‎ یجه داریم 

صفحه 284:
ستیجه 5-5-8 :7-5 9 62615 زنجیری نتیجه می شود که اگر ‎QL u(x)‏ مشتق پذیری ازء باد ° نت ‎A ue‏ a , : ‏مثال‎ 5-5-9 ‏الف) مشتق تایع " "۷-2 بنابر 8-5-5 برابر است با‎ yo ‏موه که‎ ۳ ‏(5+ع6 مما‎ 

صفحه 285:
ب) مشتق تایع ۷-3۳۳۴ بنایر 85-5 برایر است با مومع زور ۳و بو 3۳۳۳ In3(- sink + cosK) مشتقتايع 50 دستور 8-5-5 اگر ها +ظطعيازز شود كه در آرل3)” تايع مشتق بذير « است , به دست می آوریم ‎say‏ ةق ‎Ina (log! )‏ = 

صفحه 286:
طرفی با توجه به (ج۷- "*وابطه بل به صورت زیر به دست می آید ‎a7 Saas‏ ‎log”) ّْ‏ ممه رد وي از آن به دست می آوریم. 0 ‎et as ae‏ ن رابطه را مى توانیم به صورت زیر خلاصه کنیم تس 

صفحه 287:
مثدل11- 5-5 لف) مشتق تایع (55*4+ ۷-109 بنابر 10-5-5 برابر است با ‎(C4544 1 ۵ 1‏ ‎YS Seaeed Ind +b +4 Tr‏ + 4+ ب) مشتق ‎ls y=log2+3c08x) el‏ 10-5-5 برابر است با (2+3c0$x) 1 ۲ ‏مدب‎ Ind ۱ 

صفحه 288:
: مثا 5-5-13 .مشتق 2+۷۳ را مجاسبه كنيد حل . .دو طرف معادله . لگاریتم طبیعی می كيريم ‎Iny =(6x" +2x) Ind+x’)‏ دو طرف رابطه اخیر نسبت به« مشتق می گیریم ‎nas! + 2nd x’) 2 Ge +209‏ لا نتیجه , مشتق تابع عبارت است از ‎y =(beey? 0 e +n) + Gc +201‏ 

صفحه 289:
: تعریفل-5-6 فرض می کنیم تابع(۷-۶ در نقطه و مشتق لایر باشد . را مشتق اول ((۶ وجودداردل6- ۸ أ دز لفطل ف عت اسيم . فرض مى 0 2۸ کنیم این صورت تابععلهرَوّی۸ هلت وم بوانیم درمورد مشتی ‎Cao) | ARG)‏ كنيم مشتی ‎“Las Sete L aalaai >‏ 2 هی تامیم وبا یا ‏نشان می دهیم .به همین ترتیب مشتقهای مرتبه های بالاتر در ‎alee:‏ را درصورتى كم ‏که وجود داشته باشند با ۸ ۶ ...و نشان مى دهیم و آنها را به ترتیب مشتق های مرتبه سوم , چهارم , ... وا ام تابع در نقطه 2 ‎wo‏ گوییم . بنابراین برای هر عدد طبیعی 0, اگر مشتق اول تابع وجود داشته باشد آن رامشتق « ام تایع ۶ مى نامیم و با نماد نشان می دهیم . 

صفحه 290:
نماد گر 56 .( گاهی رای ولژابا الشان می دهند . همان طور که را باآنماد ‎Bee als oa OU‏ است ‎hi‏ می دهیم . به همین ترتیب ۳ را ان زیر می توان نان همچنان که رالبا . “ شان مى دادیم ,۶۶۳و" را می توان به بب با نمادهاى ‏ ۶ ,06 ونان داد . 

صفحه 291:
مثالل5-6-3 مشتق های اول تا سوم ‎f(x) =e +sintk+Deb‏ را محاسبه کنید ‎=1&e"? +2cosk-+1) ait‏ )&(£ ‎=(F @) =1"* +1. &)e" - 22) sink +)‏ م10 ‎dsink&x +1),‏ - ?"108+ """@10= ”)د وت ( جوم )42 - 8 ‎&)e""? +10@x)e** +1087(1 &Je*‏ 101= ‎=1ke*"(8+16")- 8cosk +1)‏ 

صفحه 292:
| مقدمه 5-7-1 غرض می کنیم (۷-۶6 تابعی مشتق پذیر باشد بنابر تعریف مشتق داریم Eye eee epee ee ne نابر تعریف حد به ازای هر ۷< عدد مثبتی ماننة وجود دارد ‎a‏ طوری که ۳ 0>|۵->۵ f(x) > O<|ax|<d= [aes oe es 

صفحه 293:
۷ از للفایسه با - گللک است . به عبارت دیگر الا به اندازة , کوچک باشد , ۰ "0ب مناسبی برای۵۷ است , یعنی می توانیم بنوبه عدن كد ترد () کد ۶0۵ - لدجم 0 +۶0 مج ‎£(x+Ax)- f(x) sf (AX‏ 

صفحه 294:
5-7 تعریف ان ‎ee ee‏ دیفرانسیل با رابازة نشان می دهیم وبارا ر تعریف می کنیم dy=f (ax یفرانسیل‌متغیر 5-7-3 «<(20 باشد , آنگاه خواهیم داشت تولواباطه 2-7-5 به صورت سادهٌ درمتآید . یعنی اگر « متغیر مستقل باشد دیفرانسیل ‏ با نمو « برابر ند بود اد تیه عریف 275 به صورت زار يبان من شوة 2 ۲-0۵ این ,دیفرانسیل هرتایع مشتق پذیر برابربا حاصل ضرب مشتق آن دردیفرا ر مستقل است . 

صفحه 295:
5-7-4) lio | L cul whe yan (3x44) eli ‏یفرانسیل‎ 9 5-7-5 ‏نا‎ ‎Ax=dx=0/1 ‏تابع ۰ 4۲۰7+ 23 (لجاشقطه 0-: با فرض‎ sly Ay ays ‏یی کید‎ ‏حل‎ ‎=f(x+ Ax)- £60) ١ ay 0 -]3) + Ax)’ +4(x+ Ax)” [3x°+4x- 7] =3(Ax)’ +6xAx +4Ax 

صفحه 296:
هر 0-«و ‏ يفعت مى آوريم ‎١‏ ‎es‏ ‏00 املع و 0 و لاسن به دست می أوريم ...ل 0/4 وه هم رد برای محاسبات تقریبی از مفهوم دیفرانسیل استفاده مى شود. به مثالهای 4 مثالهاى 

صفحه 297:
-5-7 مثال : | استفاده از مفهوم دیفرانسیل مقدار ی را محاسبه کنید ese ‏تابع -(وادر نظر می گیریم . بنابر 1-7-5 داریم‎ f(x ax) FO) +f (ax 0 Neon ‏از طرفی داریم‎ FOS aa یرای بیط )+ صورت رد اه )2( د 4 

صفحه 298:
کنون فرض می کنیم 16-: و ۵22 از رابطه (2) نتیجه مي شود . ‎BAB 2‏ 24090625 بو ‎te‏ ‘5-7-U_lis ‏را حساب کنید‎ SMG A ‏با استفاده از مفهوم دیفرانسیل مقدار‎ 

صفحه 299:
دح فرض كنيد ##صله-100, بناير 1-7-5 داريم عدوم +600 مج پس ۰ 80-609 و رابطه بالا به صورت زیر در می آید ‎sin + Ax) ~sinx + cosk -Ax‏ ‎oF ace‏ ده ری ده رادیان باشد به دست : sing5+1)" “sot 2 238 0/7194 

صفحه 300:
. ‏متفاوت است‎ en oe یاطخ‎ , ‏داده می شود , اعم ز اينکه مثبت باشد یا منفی‎ fis ‏ت را با‎ ‏گیری « می نامیم . با معیاری بانام خطای نسبی , می توان دقت اندازه ؟‎ ‏ر سنجید . اين خطا که بیشتر به صورت در صد بیان می شود , خطای دره‎ . ‏صد خطا نامیده می شود. به تعریف زیر توجه کنید‎ 5-7 تعریف : i ‏مقدار خطایی باشد که در محاسبه ا مر تکب شده ایم, دار‎ du ای نسبی و تا خطای درصد یا درصد خطا می نامیم . 

صفحه 301:
تا(5-7-1 . , ضلع مریعی با حداکثر خطای 0/05 سانتی متر برابر 1/5 سانتی متر ه گیری شده است . خطای نسبی و خطای درصد در محاسبه مساحت این را محاسبه كنيد . : ey ‏فرض می کنیم «طول ضلع مربع و 5 مساحت مریقجاشد .,پس‎ sds=2xdx9 بنابر فرض مستله داریم 0/05- و5/1-: .بنابراین , خطای نسبی در محاسبه مساحت اين مرت 70099 توق نا قطای سیب ‎ales =1088=100)0196=1/96‏ درصد 

صفحه 302:
ن با معرفی توابع چند متغیره به تعربف مشتفهای جزئی و دیفرانسیل کل 7 ؛ بردازيم نعری ف 5-7-16 کنون با توابعی سر وکار داشتیم که تنها به یک متغیر وابسته بودند , این دد ايع را توايع يك متغيره مى ناميم . در صورتى كه تابعى به بيش از یک متفر ستگی داشته باشد, آن | تابع جند متغيره مى كوييم 

صفحه 303:
ای مال ی دام ی مب ی و یل کی »طول ,عرض , ‏به عبارت ديكرلا. حجم مكعب مستطيل‎ . ce V =f ‏عرضلا وارتفاع 2 آن است .بل‎ از طرفی حجم مکعب مستطیل صل ضرب طول . ‎ae‏ برابر حاصل ضرب طول , عرض . است , پس دا ‎eee‏ بنابرلين ‎fly.)‏ , تیع حجم مکعب مستطیل بیک تابع سه متغیره 

صفحه 304:
مثلل 5-7-1 ض كنيد در زمان معينى تعداد توليدات كارخانه أى با “ا واحد تبروى كارولا جد سرمایه , برابر ‎Ey) =70'y"‏ ۰ ) با به کارگیری 27واحد نیروی کارو8 واحد سرمایه , چند واحد محصول يد مى شود؟ ) نشان دهید که اگر مقادیر نیروی : مایه دو برابر شود . ‎ee‏ اگر مقادیر نیروی کار وسرمایه دو برابر کارخانه نیز دو برابر خواهد شد 

صفحه 305:
جل ا ا سم ازاى 27 واحد نيروى كار و 8 واحد سرمايه ب 7092=126= 7۵ص )£078 مقدار تولید حاصل از به کار گیری ۵ واحد نیروی کار ود واحد سرمایه بر که سم ‎a‏ کارگیری 25 واحد نيروى كار و2 واحد سرمایه برابر تکوم تمه خر اوه موه وب 

صفحه 306:
5-7-18 شنده یک نوع ماشین حسابگر الکترونیکی در می یابد که تحت شرایط خاص ماشینهای ‎oe tee‏ را ‎£(p,t)=-p+ 60t-0/02pt‏ en ae ‏تبلیغات 0 تومان‎ 0 ‏ال‎ 0 د ماشين حسابهايى كه مى تواند بفروشد برابر است يا 250)60+1000(-250)(1000)0/02(-=)10002505(£ 

صفحه 307:
مشتقهای‌جزئیت ایعم دو متفیره 5-7-19 ض می کنیم (1,یک تابع دو متغیره از متغیرهای " ولا باشد,مشتق جزئی (10:۷ نسبت به متغیر ۷ با نماد یا : تشن می دهیم و برایر مشتق ‎f(xy)‏ نسینمه ۷ عریفمیکنيم .هنگامیکه لت اینو (1),1تنها تابعیاز « در نظر گرفته ‎af t‏ ‏7 = شب متلنتی جزتی تایع (وعة نسبت يمر را يا با نشان می دهیم که بنابر تعریف ‏برابر است با مشتق تابع (,10 نسبت به ۷ هنگامی که ثابت و(:10 تنها تابعی از « فرض شود . 

صفحه 308:
منال5-7-20 درض كنيد 2:7+57+ 23 (۷,*مشتقهای جزتی ؟ را محاسبه کنید . تاجن مشتق جزئی ؟ نسبت به « برابر است با 2620 1 مشتق جزئی ۴ نسبت به لا برایر است با 7 

صفحه 309:
: مثلل5-7-22 . مشتق های جزتی4:+ 28+ ۷۶- 0,۲,2 را محاسبه كنيد ‎ioe‏ مشتق جزئی ؟ ‎x patio cum‏ برایر است با 2+ 0-6+ 29+ “6د رآ مشتق جزئى ؟ نسبت به متغير 2 برابراست با ‎Ore’ +xd =e xe‏ ۶ 

صفحه 310:
اف کلی فصل این است که با بعضی از کاربردهای مشتق از جمله تعیین ابع صعودی یانزولی, ماکسیموم ومینیموم نسبی و مطلق تابع.رسم نمودارت هرومحدب ونقطه عطف نمودار تابع ,وروش رفع ابهام از صورتهای مبهم دی آشنا شوید. 

صفحه 311:
‎las‏ دم رود که پس از پایان مطالعه اين فصل بتوانید: ‏1 برای تابع داده شده ,بازه هايي را که تابع در آنها صعودی با نزولی 2) قاط بحوانی توایع دادم شده را ین کنید. ‏1286 ‏آزمون های مشتق اول ودوم به دست أوريد. ‎pall‏ + مسموم مطلی توان داده شدو را در باره ای مورد نظرتعیین کنید. ‏5) تقعر وتحدب ونقطه عطف احتمالی نمودارتایع داده شده را مشخص كنيد 

صفحه 312:
7 مجانبهای مایل نمودار تابع داده شده را در صورت وجود تعیین کنید. 8 ) محور های تقارن ومرکز تفارن نمودار تابع داده شده راردر صورت ‎Somes Seon‏ را رسم کنید. ‏0) از صورتهای مبهم حدی داده شده رفع ابهام کنید. ‏ل كد را در حالت ‎sl‏ مختلف توضیح بدهید ودر مربوط به کار ببرید. 

صفحه 313:
دمه: بصل پنجم با برخی از کاربرد های مشتق آشنا شدیم.در این فصل کاربردها ی از مشتق را در تعیین بازه های صعودی ونزولی,نقاط ماکسیموم ومینیم وتحدب نمودار تابعمودر رفع ابهام از صورتهای مبهم بیان مي کنیم. 6-1-1 قضيه(آزمون يكنوايي): فرض مي كنيم تايع؟ دربازه [ظ,8]پیوسته و در بازه (,۵) مشتق ‎xe eee‏ الس ‎ma‏ آنگاه 2 er. ‏فص‎ ae ‏لزن"‎ Ce 

صفحه 314:
6-1-2منال: تایچ + *3- ۶00 را روی ‏ در نظر بگیرید.تعیین کنید آروی چه بازه هایی صاعودی وروی چه بازه هایی نزولی است. چون»6- (؟ روشن است که برای هر0 <8<اوتم؟ sles R R’ £(x)<0 ‏هر 0>: داریم .پس آروی صعودی وروی نزولی‎ f(x) =0 ‏است.توجه‎ كنيد كه ب ارا ا | .مطاللب بالا زا می توانیم در جدول زير ‎١ ١:‏ + ا | ‎ony ace‏ اا سم | ست | ‎ro)‏ 

صفحه 315:
مثال: نقاط بحرانی توابع الف) 1-224 ب) 00-8+398-2؟ را تعیین کنید. و f(x) =6x? ‏ل‎ = 6x? —O= x =O ‏الف)‎ £ (x) 236 +06 202 ‏الما‎ (eo -6-1 نتيجه وجه به قضیه ‎Ae‏ -1- وتعريف 4-1-6 براى تعيين بازه هايي كه تابع ری آنها صعودی و یا نزولی است , باید نقاط بحرانی تایع 5000را به دست ردو علامت . رانقتن کرد. 

صفحه 316:
-6 تعریف:می گوییم تایع ؟ در »یک ماکسیموم نسبی یاماکسیموم موض .اگربرای هر ازبازه بازی که شامل > باشد داشته باشیم ‎=f(x)‏ ©(£ ا ا اا اک 

صفحه 317:
6-2-2 تعریف: می گوییم تابع ]در26: یک مینیموم نسبی يا مینیموم موضعی دارد.اگر برای هر < از بازه بازی که شامل باشد داشته باشیم 100 <f(x) شکلهای 3-6 و4-6 نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در مینیموم نسبی | | | | دارند 

صفحه 318:
6-2-6 تعبیر هند سی نقاط اکسترموم: بر هندسى قضيه4-2-6 كد در © مشتق يذير باشد و اين نقطه اكسترموم نسبى داشته باشدٍ مماس بر(۶0< در نقطه )1 ) افقى است . به شكل 5-6 توجه كنيد. 

صفحه 319:
6-2 تذکر:عکس قضیه 4-2-6 درست نیست میعنی تابعی مانند ؟ وجود د به طوری که ۰ 10 آزای مقادیری اد صفراست ولی این تابع دراين نة سیموم یا مینیموم نسبی ندارد.برای مثال فرض لید»)- ۶00 . . داریم. ‎=3x- 1?‏ £00 ‎abl‏ 20 لت می شود ‎x=1‏ ,پس0 ۵* .اما به ازای کند, ‏م 100(>0 وبه ازای ‎X>1‏ داریم 05(<0؟ ,درنتیچه آدر1-:د نه ماکسیموم ن ‏د و نه میدیموم نسبی ‏ 

صفحه 320:
6-2 نکته:ممکن است تابعی در نقطه ای اکسترموم نسبی داشته باشد ن نقطه مشتق پذیر نباشد. برای مثال فرض کنید صک 3 2 ‎Sx-‏ ‎Soo‏ عد -6 {= و داراین تابع درشکل 6-6 رسم شده است. آدر2: ماکسیموم نسبی دارذ . آما چون3- ۶۳۵ و ۶۵-1 است, = تيجه )59 ندارد. 

صفحه 321:
6-2 نتیجه: ض می کنیم تابع ؟ در نقطه > تعریف شده باشد.شرط لازم برای اینکه تابع در نقطه © اکسترموم نسبی داشته باشد این است که > یک نقطه بحرانی باشد,به عبارت دیگر ۰ ۶-0 ۵ موجود نباشد. 6-2-0 قضیه (آزمون مشتق اول برای اکسترموم های نسبی): ‎in Ry‏ بازی از نقطه بحرانی » مانذ اد 0 ‎ee‏ در بازه بازی از نقطه بحرا انند و در لكام نقاط آن جز احتمالاً در مشتق يذير باشد. )گر در بازه بازاه,ع) مثبت ودربازه باز(,8) منفی باشد 

صفحه 322:
‎ae‏ دربازه باز(»,2) منفی و دربازه باز(,6) مثبت باشد ‎Nemesis ‏3)اگر هیچ کدام از(1) و(2) برقرار نباشدآنگاه ۲ درد‎ ‏ار هیچ کداماا) و(2)برقرار مر‎ ‏یا مینیم وم نسبی ندارد.‎ ‏منال:‎ 6-2-1 ‏ستفاده ازآزمون مشتق اول,ماکسیموم و مینیموم نسبی تابع‎ ‏نوا بقاشت آورید‎ - 3 ۰2 

صفحه 323:
مشتق این تابع برابراس +54 - 2 ۶ ريشه هاى معادلة 560 عبارت اند از ۰-2 و53 .بنابراین 2و3 نقاط بحرانی تم آند ِ نقاط بحرانی تایع را درجدول قرارمی دهیم وآزمون مشتق اول را به کارمی بریم. ل 0 تاقالع ممتزعة)؟ عبارتند از , 

صفحه 324:
6-2-1قضیه (آزمون مشتق دوم برای اکسترموم های نسبی): ض می کنیم > یک نقطه بحرانی تابع ؟ باشد و 0- 10همچنین رض می کنیم گروباژه بازی شامل > وجود شته باشند. اكر 0> ا#فكناه ؟ در > ماکسی موم نسبی دارد. اكر لاه ] دره مينيموم نسبى دارد. 

صفحه 325:
‎io 6-2-18‏ و وه .با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکسیموم ل , و مینیموم نسبی تابع ۴ را به دست آورید. شتق اول تایع ۶ برایر است با: 9-129 و۶ شه های معادله 20 00 گبارت اند از 1 و3 .بنابراین 1و3 نقاط برانی تابع ؟ اند.مشتق دوم اين تابع برابر است با:12 -26 100 ‏2 26-12-60 ۲۳60 ادير نايع دود مار لد از 12-6<0 -(63- 8:00 

صفحه 326:
جه بنایر آزمون مشتق دوم ,این تایع در 5-1 ماکسیموم نسبی ودر3-: بوم نسبی دارد .مقادیر ماکسیموم ومینیموم نسبی عبارت اند از: 3 , 101(27 6-2-19 نکته: اگر در مورد تایع ۴ داشته 0۵-۶ آر ی ‎Ais) teed‏ ,آزمون مشتق دوم در چنین مواردی باید از آزمون مشتق اول استفاده کرد. 

صفحه 327:
برای مثال ,فرض ‎F(x) =(x- BAL ve‏ — .مشتق های اول ودوم ۲ عبارت اند از: 2° ‎f(x) =4x-‏ ‎£"(x) =19x- 2)‏ ۲ ‏نتیجه می شود 2<.پس 2نقطه بحرانی تابع‎ f(x) Ql ‏را‎ ‎wh wl ‏.برای تعیین ماکسیموم یا مینیموم نسبی‎ 862 -۶*62 0 ازآزمون مشتق اول استفاده كرد. 7 2 

صفحه 328:
باه ۲ در ۶ مشموم سی دارد مقدار آين میتموم برای است با 2)=1(£ نمودار تابع ۴ در شکل 10-6 رسم شده است. 

صفحه 329:
6-2-2 تعریف: ع ؟ واعداد © ول را دردامنه تابع ؟ درنظر می گیریم. 6()۵)؟ را ماکسیموم مطلق تابع ] روی دامنه اش می نامیم,اگر برای هر ؛ دامنه تایع ۴ داشته باشیم: 160< 10 ) (0)؟ را مینیموم مطلق تابع ] روی دامنه اش می نامیم.در صورتی که برا ۲ از دامنه تایع ] داشته باشیم: ‎f£@ > ۶60‏ کسیموم مطلق یا مینیموم مطلق تابع را اکسترموم مطلق تابع نیز می گوب 

صفحه 330:
جه كنيد كه مى توان تابعى مانند ] با دامنه | یافت که ؟ روی | اکسترموم ق نداشته باشد.ولی اگر؟ وا دارای شرایط خاصی باشند.آنگاه تیع ۴ روى | . اکسترموم مطلق خواهد بود. به زير اين شرايط را معرفی می کند.ازاثبات اين قضيه صرف نظر مى كنم -6-2 قضیه: تابع ؟ در بازه بسته [ظ, ۵]پیوسته باشد,آنگاه ؟ روی اینبازه دارای ماکسیمو 

صفحه 331:
, تعیین اکسترموم های مطلق تایع: عیین ماکسیموم ومینیموممطلق تایع ۴ روی بازه بسته [ظ,۵] ,درصورتی که ه باز(ط,ه) مشتقپ ذیر باشدلیتدا به کمک آزمونم شتق‌اولیا آزمون اکسیموم و مینیموم هاینسبی این تابع را دربازه داده شده به دست می آو مقادير(ة)1 و(ط)1 را محاسبه وآنها را با ماکسیموم ومینیموم های نسبی تا ‎fs‏ ‎ow‏ این مقادیر,مینیموم مطلق و بزرگترین آنها ماکسیموم مطلق تابع ؟ خو 

صفحه 332:
مثال زیر در اين مورد توجه کنید. 6-2-7 مثال: کسیموم ومینیموم مطلق تای12+ 9 - 22 (۶0 را دربازه بسته [3,0] به حت أورية, شتق تابع ؟ برابر است با: 2+ع18 - 62د 0 1 شه هاى معادله 0- © تعبارت انذ از 1-* و2: ,وبنابراین 1و2 نقاط را اف ان نون آزمون مشتق اول را به کار می بریم وجدول زیررا تشکیل می دهیم. ۳ م م ‎Yo‏ | Foy | sme | ‏نض‎ | me صنيموم نسي طكتييموم ندببي 

صفحه 333:
دول ديده مى شود كه ؟ در1-< ماکسیموم نسبی و در 122 مینیه ‎ee‏ ‏این ماکسیموم ومینیموم نسبی به ترتیب برابرند با 12 ع درنقاط رابرند با: ‎eo‏ مامت اين داريم: 3 , 4-(1)2 , 5>-(1)1 , 0-(1)0 نتيجه 0-(1)0 مينيموم مطلق و 9-(1)3 ماكسيموم مطلق تابع ] است. 

صفحه 334:
6 تعریف:نمودارتابع ۷-۶0۵ را درنقطه ((8,۶)8) مقعرمی نامیم هرگاه موجلق) باشد. بودار تایع ‏ دربازه تازی شامل 2-5 زرالاى خط عماس رسودار دراين ۰ قرا ركيرد. , 11-6 بخشی از نمودار یک تابع را که در نقطه ‎۲٩‏ مقعراست نشان دهد. 

صفحه 335:
اگرنم ودار تایع ۲ در هرنقطه ازبازه | مقعرباشد.می گوییم نمودار؟ روی بازه | مقعر است. 

صفحه 336:
Pig eee aoe حودارتابع ۴ دربازه بازی شامل 1-۵ درپایین خط مماس بر مودار در اين نقطه واقع شود. 05 ‎y‏ ‎ee‏ ‏شكل 12-6بخشی از نمودار 

صفحه 337:
ترنمودارتايع ؟ درهرنقطه ازبازه | محدب باشد,می گوبیم نصودار؟ روی زه | محدب است. ضیه زیرآزمونی برای تعیین تقعرو تحدب یک منحنی به دست می دهد. , اثبات اين قضیه صرف نظر می شود. 6-3۰ قضیه: ض می کنیم تبع ۴ روی بازه بازی شامل 6-: دارای مشتقهای اول و م باشد. 1< 520 ,آنگاه نمودار؟ درنقطه ((6,۶6) مقعر است. 2 ,آنگاه نمودار؟ در نقطه ((6,16) محدب 

صفحه 338:
6-3-4 منال: تعیین کنید نمودارثایم ‎f(x) =x*- 2x‏ — درچه بازه ای محدب و در بان اه مقر ات ما مشتقهای اول ودوم تایع برایر است با ‎f (x) =4x° - Gx? +2x‏ £"(x) =122- 1% +2 a Seay ‏عبارت‎ £)=O.sla ats 3+3 مه + ۱ ۶۳60 + + £0) 0 ا 0 

صفحه 339:
بتابراین,نصودار؟ دربازه هچب و(هه ككي3ة مقعر و ‎UN‏ 3 -6 تعریف: ‎(a,fla)) ۰‏ را نقطه عطف نمودارتایع ] می نامیم اگر ‎al Beso‏ ‏ره ‎sal ants args Lod‏ گوه ای که > ارزی هر زاین بازه ‎١‏ اگره< آنگاه اوق > آنگاه .۰ 200>0 ‏كره<: آنكاه ‏ 8)450>»آنكاه ‏ 5<0 

صفحه 340:
شکلهای 13-6 و14-6 بخشی ازنمودارتابعی را نشان می دهند که ۸ یک نقطه عطف آن است. 

صفحه 341:
6-3-8 مثال: بازه هایی را که نمودارتابع 7+1 - 36+ 22 (ر آنها مقعر با محدب است تعیین کنید بقاط عطف مودارتايم را نیزبه دست آورید. حل: مشتفهای اول ودوم ‎(x) =6x? +6x- 7 wl‏ £ ارات اه ۶۳00 -12+6 ريشه معادلیلک (۳۵* عبارت ‎x=yheuwl‏ 

صفحه 342:
بنابراین ,نمودارتایع درباژه 3 -, *) محدب ودربازه + 3 ©») مقعراست. نقطه 3 نطه عطف نمودارتایع است. saad 6-3-1 ض می کنیم تابع ؟ دربازه بازی شامل 3 مشتق پذیرو((8,2)۵) نقطه عطف دار تایع ۲ باشد. اگر )255508 باشد آنگاه 0- (ع) 6-3-7 روش تعیین تقاط عطف نمودار تابع: رای تعیین نقاط عطف احتمالی نمودارتایع ۲ ,باید « هایی ازدامنه تابع را ررسی کنیم که به ازای آنها 1100 (a ‏(ویود نداشته باشد.‎ . ) 

صفحه 343:
تسد -6-4 مقدمه: راين بخش ابتدا خلاصه ای ازمفاهیم مجانب ومحورتقارن ومرکزتقارن را ادآوری می کنیم وسپس روش رسم نمودارتوایع را توضیح می دهیم. 2 رف تابع 7-۶0 را درنظرمی گیریم . اگرنایع ۴ هنگامی"گه ‎X42‏ يا و بجع ماج مهیل کند,آنگاه خط ۰2۵ را مجانب قائم مورا مس ام ادرتايع طح الكزاضورت ومخرج عامل مشترکی نداشته باشند,مچانب ثم نمودار؟ ازحل معادله 0-(0 به دست می آید. 

صفحه 344:
6-4-3 مثال: مجایهی فنم یج - 1۳ را تعيين بل ريشه های معادله 0 16۰2 - عبارت اند از1, 1- ,2-درنتیجه بنابر تعریف 2-4-6 مجانبهای قائم اتود یی اند ازخط های x=Lx=-1 ‏تعريف:‎ 6-4-5 ‏؟ هنكافتث كه‎ eb ‏را درنظرمى كيريم.اكرحد‎ 99-100 0 ‏مو مي‎ مساوى عدد حقيقى 8 باشد , آنكاه . خط طحلآ را مجانب افقی . 

صفحه 345:
6-4-6 مثال:مجاب افتی سور را ae ۳ AG - pees. 4 2 ees ‏الا‎ 3 2 درنتیجه ,بنابرتعریف 5-4-6 ,خط 122 مجانب افقی نمودار؟ است. 

صفحه 346:
6-4-6 تعریف: ِ ِ بع ۱-۶۵ را در نظر مي گیریم.اگر حد تا ۴ وقتی که متیاتد ار ما مایلی با معادله +7۵ باشد. راى تعيين اين خط مجانب مايل به يكى از دو روش زیر عمل می کنیم. )تاي 9 را محاسبه مى كنيم وآن ‎Based oo aL‏ را محاسبه مى كنيم وآن را © می نامیم.معادله ۱-۵۲ معادله خط ‎les‏ ‎alae getty‏ حالت»* ۶-۰ است. 

صفحه 347:
= تاه گو ‎eli azo Sl. fo‏ صورت یک واحد درجه ‎a es‏ باشد, از تقسيم كردن صورت بر مخرج به ‎ax)‏ ۰ که درآن درجه 2050 از درجه (005 کمتر است.دراین صورت معادله +72۵ معادله خط مجانبمایلن مودار ] خولهد بود. 

صفحه 348:
6-4-2 تعریف: معادله 0-(200,۷ را درنظرمی گیریم. )اگربا تبدیل ۷۷ به (-۷) معادله تغییرنکند, محور« ها محورتقارن نمودارمعاد <(0,۷] لست )اگربا تبدیل < به -:)) معادله تغییر نکند. محور/ا ها محورتقارن نمودارمعا ‎cul f(y) =‏ )اگربا تبدیل “ا به لا ولا به “ا معادله تغييرنكند. خط :- محورتقارن نمودا عادله 0-(1):,70 است. 

صفحه 349:
) اگربا تبدیل ‏ به (-) ولا به (-۷) معادله تغبيرنکند, میداً مختصات مرکزتة ‎TS ABS IYE‏ SI cuul fy) ‏محورتقارن نمودارمعادله‎ x=a les (5 f(2a- x,y) =f(%, y) ‏6)خط 17-۲ محورتقارن نمودارمعادله (15,1؟ است اگر:‎ £(x,2b- y) =f (x,y) 7)نقطه (ظره) مرکزتقارن نمودارمعادله (02,1 است اگر: ‎f(a- x,2b- y) =f(%y)‏ 

صفحه 350:
64-3 مثال: الف) با تبدیل لا به (-) ماد +2 تغییرنمی کنده زيرا: 1 +22 ۴( +2 پس محور« هامحورتقارن نصودارمعادله است. ب) با تبدیل « به () معدله2 ۲ تغییرنمی کند, زیرا: و مهوت درنتیجه محورلا ها محور تقارن نمودار معادله است. 

صفحه 351:
نا تغییرنمی کند 3- ودعو بنابراین, خط - ۷ محورتقارن نمودار معادله است. ی له( ‎ab (Yar ys‏ تغییر تمی کند زيرا تيوك تووم بود در 

صفحه 352:
ث) خط للا ار است زیرا. مود يه ثور ل ليود ود ۶ ‎bx+c‏ - 0 - (ت معطو امد ‎bere‏ + غود ج) محل تلاقی مجانیهای فائم وافقی ‎=f) =p!‏ بیعنی نقطه , چرگزتفارن نمودار؟ است زیرا: ‏له ‎a(——- x)+b‏ ‎ee ‎Cree 

صفحه 353:


صفحه 354:
64-5 رسم نمودار توابع براى رسم نمودار تابع صریح 1-۶00 با تیم ضمنی (معاقج)(0۳3؟ . , به ترتیب زیرعمل می کنیم. 1) دامنه تابع را تعیین می کنیم. محورهای تقارن ومرکزتقارن نمودارتابع را درصورت وجود به دست می آ 3) مجانبهای نمودار تابع را درصورت وجود تعیین می کنیم. بازه هایی را که نمودارتابع درآنها صعودی يا نزولی است تعیین می کنیم. 

صفحه 355:
قاط اکسترموم ماکسیموم ومینیموم نسبی ومطلق تابع را به دست مى آو 6) نقاط عطف نمودارتایع را درصورت وجود پیدا می کنیم. انار های را که سوداربام درآنها حقعریا مت است تسین سس کم 8) اطلاعات حاصل را دریک جدول می نویسیم. 9 با اختبارکردن چند نقطه دلبخواه (کمکی) از تابع ,منحنی همواری 

صفحه 356:
64-4 منال: نمودار تایه -3+ 5+ 2 (۶ را رسم کنید. ‎ds‏ ‏مشتقهاى اول ودوم تایع ] برابرند با 103+ 3- ۶0 0( از 20 0 گنتیجه می شود مد و3-< ی از 00-0 أنتيجه مى شوق ‎X=‏ 

صفحه 357:
+= +x 5 3 - - 0 + + + oO ‏ى_‎ - jo | + Sees corr een مینیموم نسبی نقطه عطف ماکسیموم نسبی 121- 2 5 27 27 ۶۳00 f(x) ۶00 

صفحه 358:


صفحه 359:
6-4-7 ,منال: نمودار تایع 7 +:9- 100 را رسم کنید. حل: مشتقهای اول و دوم تابع ] برابرند با: 00+ = ° — | و تست 2 5 ‎ee‏ ا صعودی ومقعر لزولی و محدبلزولی و مجدیاصعودی ومحدب| (۶6 7 اک و ی 

صفحه 360:
روشن است که خط ۷-9 مجانب مایل نموا *9- 3 است. ازطرفی داریم سب و ‎poo peace‏ = )2 بصن موز 

صفحه 361:


صفحه 362:
. ‏مثال:‎ 64-8 Beer tee aca be حل: مشتقهای اول و دوم ؟ برابرند با ‎Pela) aig eed‏ 2 53 ‎x>2‏ ۲:۵ ر. 070ات می آوریم 1-2 .مشتقهای چپ وراست ؟ در2 برابرند ؛ ‎eb GAO lh @H0 0-0‏ 255 وجود ارد ولى (ار2 وجود ندارد زيرا 20 0:؟ و26 1702 

صفحه 363:
برای رسم دقیق نمودارتایع. از چند نقطه دلبخواه (۵,12( ,(3,1( ,(1-,3( کمک گرفتیم. شکل 17-6 

صفحه 364:
ا ‎eee‏ ‏6-5-1 مقدمه: ممکن ال هنگام محاسبه حد بعضی ازتوابع با صورتهایی مانند 0 اه و طلواجه شویم این صورتهارا 7 صورتهای مبهم یا نامعین می نامیم.دراین بخش باروش رفع ابهام از این صورتهای مبهم آشنا می شویم. 6-52 تعریف: اگردرمورد توایع آوو داشته باشیه- (کسنا 5 0= ‎lS, limg(s)‏ ‎maf (®)‏ 9 7 4 مزاصورت مبهم ورمی آید.برای رفع ابهام ازاین صورت مبهم, قضیه زیررا به کارمی بریم. 

صفحه 365:
6-5-3 قضیه (قاعده هوپیتال):فرض می کنیم ‎Os f eles‏ دربازه بازی شامل نقطه 3 مانند | , جزاحتمالاً درخود 3 ,مشتق پذیر باشند. همچنین فرض می کنیم به ازای هر۶۵ ۶ درا داشته باهمیر0و . . . دراین صورت. اگر ۰ 0- 00 - گر .یود 

صفحه 366:
6-5-4 متال: بح ‎Bs ena‏ a ‏چون‎ مدو ‎+2x- 3)=0 , lim@x? +3x-‏ مزر وشرایط قضیه 2-5-6 نیز برقراراست,می توانیم قاعده هوپیتال را به کار ببریم: 2+2 23+ ee ae 

صفحه 367:
6-5-9 قضیه (قاعده هوپیتال): فرض می کنیم دو تابع ؟ وو به ازای هر(< ,که || عدد ثابت مثبتی است. فد زین یت کیم برای هرل(< داشت 8600 ‎a‏ معا و۵ موجن کنر صورت " تس موجود باشد آنگاه: )@£ = £09 ‎tim‏ ‏0 و قضیه در حالتی که < -36 نيز يرقرار است. 

صفحه 368:
2 10 ‎jim‏ را درصورت وجوددمحاسيه كني حل نت ۳" ‎stl? a2‏ نابرقضیه 9-5-6 داریم: ‎z ee ; ۰ 

صفحه 369:
6-5-72 صورت مبهمٌ آگردرمورد توابع ؟ و9 داشته باشيم مح- ‎limf(x)‏ ود نوسن , آنكاه تم به صورت مبهم ۱ رفع ابهام ازاينكونه صورتهاي مبهم از قضيه زير مي کنیم. 

صفحه 370:
6-5-17 قضیه(قاعده هوییتال): رض می کنیم توابع ؟ وو دربازه بازی شامل نقطه ۵ مانند | ,جزاحتمالاً در بشتق پذیرباشند وبه ازای هر ۶۵ درا داشته باشبء 900 .دراین سورت اگر: . *2- 00نز و« (مواگز ود داشته باشد, آنگاه: 7 یه درحالتی که همه حدها ,حدهای راست یا حدهای چپ باشند نیزبرقراراس 

صفحه 371:
6-5-4 قضیه(قاعده هوپیتال): برض ‎wo‏ کنیم توایع ‎Jp f‏ به ازای هرللاحنا که لا عدد ثابت مثبتی است, بشتق پذیرباشند وبه ازای هر۷(<ع داشته باشم(و . .دراين صورت گر منوا ومد ممچگر.- لت 9فلموجود باشد آنگه: ات 3 و رم قضیه درحالتی که *- «- نیز برقرار است. 

صفحه 372:
6-5-7 مثال: ی ‎ae‏ تیه را درصورت وجود. we limQx? +3x- 4)=+20 ‏چون‎ tee وس ا ۱ با ادتقاده از oe moet 3K- 4 _ ti 4643 ‏موب‎ 45K Teed 

صفحه 373:
اما چون مهد إ3+عوزز وم+- 59+ )بل بیک باردیگرازفاعده: هوپیتال استفاده می کنیم,خواهیم داشت: 3+ lings ing ‏د‎ درنتیجه خواهیم داشت: 

صفحه 374:
6-5-9 صورت مبهمم. : _درمورد توابع ] ول داشته 0 ( += ‎Jimg(x)‏ ‏اگردرمور توابع ۲ وو ‎ie ste,‏ وم گنز 09 ‎aay‏ ‏به رت ‎٠‏ درهم 3 رفع ‎rec 1‏ صورت مبهم رمی اید.برای ر سس ال ون مى نويسيم. 

صفحه 375:
* ابن ترتيب حد مورد نطريه يكى ازصورتهاى مه .یل می ند كه درهردو حالت مى توانيم قاعده هوبيتال را به كارببريم. تی که به ه يكى ازتقاةهاق - هه به جای عدد حقیقی ۵ یکی ازاذهاع» - يا باشیم نیزمی توانیم همین روش را برای رفع ابهام به کاربریم. 6-5-0 مثال: ‎li up‏ را محاسبه کنید. 

صفحه 376:
‎ae‏ رس ریس نس ال تا لصوت طوس سس فاد بل را کر مسا یب یب مل الروك عاك الخدم 00 ‎ 

صفحه 377:
6-5-2 صورت مبههم > : اگردرمورد توابع ] وو داشته باشيم ص ۳1۳9 ۳0 ,آن زان - 0« به صورت متهم- 6 درمی آید.برای رفع ابهام ازاین صورت مبهم,آن را به یکی ازدو چوریته مبهم. آي تبدیل می کنیم. ‎+O‏ 70 1 تی که به جای عدد حقيقي ۵ , یکی ازنمادهای يا ijl ‏به‎ atl, ‎pa‏ بر به هی عبت بل ی گرد بو بل وی ‎PO EE TS,‏ ‎7 1 aa 

صفحه 378:
6-5-3 مثال: ‎ae‏ ‎Bak ge]‏ را محاسبه كنيد. ل اين حد يه صورت مبهم » - ناست.ابندا مخرج مشترک می گیریم. ‎epee‏ 1 حد اخیر به صورت هم ۵ است,نارقاعده هویتال داریم: ‎ee -1- 2-3‏ ‎ue atx -1‏ 3 1 وید ‎a‏ 

صفحه 379:
ابن حد تيزيه صورت مبهم 8 است, پس يكبارديكرقاعده هویتال را به كارمى بريم. ل 11 و جوا دج 

صفحه 380:
6-5-4 مثال: ‎cor a‏ اون را محاسبه حل: ين حد به صورت مبهم 90 - 60 است.می نویسیم: ع ‎tark-‏ ۷ 3 11 م است.ازقاعده هوینال استفاده می کنیم. ‎se¢x-1‏ ع ها ‎ier EP tancexsedx‏ 

صفحه 381:
این حد نیز به صورت مبهم است,بتیر قاعده هویتال داریم: ‎_2se¢xtane‏ رن 6و ۱ ‎tan‏ ‏مم ب در نتيجه به دست مى أور آوریم: مس 

صفحه 382:
6-5-6 صورتهای مبهم توانی: فرص ‎Y=FO) aus‏ و هعددی حقیقی یا یکی از نقاهای -. باشد,در این صورت الف) اگر 6- ‎lima) -0' fmt)‏ ,016 ینز به صورت مبهم و می آید. ب) اگر ‏ 2۶ مسن و0- ونا آنگاه "۳7۴620۳ به صورت مبهم اهر ‎aioe‏ ب) اكر 1- نا و «- 00و آنگاه "136۳ به صورت مبهم "لآر مى آيد. صورتهای مبهم بالا را صورتهای مبهم توانی می نامیم. 

صفحه 383:
راى رفع ابهام از اين كونه صورتهاى مبهم,از دو طرف تبلثاؤه)6- :8 گاریتم طبیعی می گیریم,به دست می آوریم Iny ‏زمو- *۳(م عم‎ Inf) ‏حد مى كيريم.‎ XB ‏سپس از دو طرف تساوی اخیر هنگامی‎ limlny =a0s) Info) د سمت راست تساوى اخير به صورتی است که می توان قاعده هوپیتال ر ای رف ابهام آن به کار برد.در مثالهای زیر روش رفع ابهام از صورتهای هم توانی توضیح داده شده است. 

صفحه 384:
نام درس: ریاضیات وکاربرد آن در مدیریت(1) تعداد واحد: 5 واحد نام منبع : ریاضیات پایه مولتف: لیا فرخو تهیه کننده: مهدی صحت خواه ناشر: دانشگاه ييام نور 

صفحه 385:


دانلودفایل رياضیات وکاربرد نــام درس: آن در مدیریت()1 تعداد واحـد 3 :واحد نسخه قابل ویرایش دانشجویی دانشگاهی تعداد صفحات306 : نــام درس: وکاربرد آن در تعداد واحـد: رياضیات مدیریت()1 3واحد دف كلي اين درس آموزش مباحثی از رياضيات است که دانشجويان رشته شته های علوم انسانی دردروس تخصصی خود به آنها نياز خواهند داشت. مباحث کتاب برای نيل به اهداف کلی ،ـمباحث زير درشش فصل تدوين شده است. فصل اول: نظريه مجموعه ها که شامل 44اساليد می باشد. فصل دوم: دستگاههای مختصات که شامل 47اساليد می باشد. فصل سوم: رابطه وتابع که شامل 69اساليد می باشد. فصل چهارم: حد وپيوستگی توابع که شامل 71اساليد می باشد. فصل پنجم: مشــــتق که شامل 71اساليد می باشد. فصل ششم: کاربردهای مشتق که شامل 74اساليد می باشد. غاز هر فصل نکاتی به عنوان راهنمای مطالعه وهدف کلی آمده است،که ب ا کمک می کند تا منظـور کل آن فصـــل را دريابيد،درقسمتی که با عنوان ف های رفتاری وآموزشی مشخـص شده است ،ازشما انتـظارمی رود که پس يان مطالعه هرفصل مطالبی را که يادگرفته ايد با توجه به هدف های رفتاری نجيد. يری می تواند مثال“ بيان يک مفهوم ،مقايسه دو مفهوم بايکديگر ،توضيح يک يه نتيجه گيری ازيک مطلب ،يا حل يک مسئله باشد.نظر به پيوستـگي مفاهي ضی ،تا زمانی که به هدف های يک فصل نايل نشده ايد،و مسائل آن فصل ر نکرده ايد به فصل بعدی نپردازيد. فصــــل اول نظريه مجموعه ها هدف کلی: هدف کلی اين فصل اين است که با مفهوم مجموعه ،انواع آن،اعمال جبری روی مجموعه ها،و ويژگی های اين اعمال آشنا شويد. :هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود پس از پايان مطالعه اين :فصل بتوانيد هاراشناسايی کنيد. مجموعه عضوهای مجموعه های داده شده راتعيين کنيد. زيرمجموعه های هر مجموعه داده شده راتعيين کنيد. مجموعه تهی راشناسايی کنيد.مثال هايی از مجموعه تهی بياوريد. اعمال جبری روی مجموعه هاراتعريف کنيدوبرای مجمــوعه های داده شده مال مورد نظر راانجام بدهيد. بازه های باز وبسته راتشخيص بدهيدو آنها را به صورت مجموعه نمايش بد مفهوم مجموعه جهانی را توضيح بدهيد.  .8مکمل هر مجموعه را نسبت به مجموعه جهانی داده شده ،تعيين کنيد. .9ويژگی های اعمال جبری روی مجموعه هارابيان کنيد ودرمسائل به کارببر .10قوانين «دمورگان »را بيان کنيدودرمسائل به کارببريد. .11تعدادعناصر هرمجموعه متناهی داده شده راتعيين کنيد. .12حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه رابيان کنيد وآن رابرای مجموعه های د شده محاسبه کنيد. مقدمه: جموعه يکی از بنيادی ترين مفاهيم دررياضيات است وغالبـا“ نقطه آغازی بر اضيات پايه و کاربردهای آن در بسياری از علوم محسـوب می شود .مثال“،د شته مديريت درموارد بسياری صحبت از مجموعه تولـيدات يک کارخانه ،يــا جموعه کارگران يک کارگاه ،يا مجموعه تصميمهای ممکن برای مدير يک واح ظاير آن به ميان می آيد.برای درک بسياری ازمطـالب ارائه شده دراين کتاب شنايی باتعاريف ومفاهيم اوليه نظريه مجموعه ها ضروری است. اين فصل ،مفهوم بنيادی مجموعه واعمال جبری روی مجموعه ها رامورد بح رار می دهيم. 1-1-مفهوم شهودی مجموعه هوم رياضی يک مجموعه با مفهوم شهودی(عادی يا روز مره) آن تفاوت دار مجموعه ازنظر رياضی هنگامی معين است که اشيای تشکيل دهنده آن کام شخص باشند.به بيان ديگر هنگامی که برای هر شی به دقت بتوان تـعيين کر شی به آن مجموعه دارد يا تعلق ندارد. طورکلی ،صفاتی مانند مهـــارت،تبحر ،زيبايی ،زشـتی،کوچکی،بزرگی، شمزگی،وخوش سليقگي و...که تعريف دقيقی ندارند ،نمی توانند مشخص ک مجموعه باشند.  1-1-2مثال: هريک ازدسته های زير يک مجموعه است: .aدستــه اعدادصحيـــح از 1تا.100 .bدستــه حروف الفبای زبــان فارسی. .cآن دسته ازدانشجويان دانشگاه پيام نور که سن آنها کمتر از 25است .dدستـه کتاب های درسـی سال اول ابتدايی. .eدسته شهرهای کشور جمهوری اسالمی ايران. .fدستــه سيــارات منظـومـه شمســی. 1-1-3قرارداد: اگر ،xعضوی از مجموعه Sباشد ،می نويسيم: ‏x S ومی خوانيم « xمتعلق به مجموعه sاست» يا «xعضوی از ‏x S ‏Sاست» يا به طور رابا نماد خالصهx «،در Sاست».نقيض ‏x S نشان می دهيم ومی خوانيم« xعضو Sنيست» يا «xبه sتعلق ندارد» يا به طور خالصه،ـ « xدر Sنيست». ازاين پس مجموعه ها را با حروف بزرگ التين مانند D, C,... ,B, Aو نکته: 1-1-4 بتوانd, c, b, نظير,... التين باحروف زمانیآنها را عضو های تشخيص دادكه ،xبه شی x کوچکهر که برای معين است جموعه S ،نشان خواهيم داد. علق a دارد يا نه.  1-1-6نمايش مجمو عه ها: برای نمايش يک مجمو عه تمام عضو های آن را،ـ که با عالمت « »,از هم جدا کرده ايم ،درداخل ابرو می آوريم: و ‏S 5,8,26,73 ‏A  2,4,6,8 ‏توجه کنيد که ترتيب نوشتن اعضای مجموعه ،اهميتی ندارد.برای مــثال دو ‏1,2,3 ‏ 3,1,2 و مجموعه درواقع يک مجموعه را نمايش می دهند. درمواردی که نوشتن تمام عضو های يک مجموعه غيرعملی باشد، مانند مجموعه تمرين (5-1-1ب)،معموال“ عضو ها را می توانيم برحسب خاصيت مشترکی معين کنيم .فرض می کنيم گزاره ) ،P(xبيان کننده اين خاصيت مشــترک مربوط به x شامل( x P باشد .دراين صورت اگر مجموعه x) S ‏Sهايی باشد که به تمام x ازای آنها گزاره مانند ـتسـت،مـینــويـسيم: )P(xدرـس اـ ‏A  x  Q (2x  1)(3x  4) 0  1-1-7مثال: لف) مجموعه اعداداول بين 1تا 30را می توان به صورت شان داد. ‏ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 جبریx2  4x  1 0 ب)مجموعه ريشه های حقيقی معادله ه صورت زير بنويسيم ‏ 4x  10 ‏x R x 2 را می توانيم پ) مجمو عه اعداد صحيح فردومثبت را می توانيم به هريک از صورت ها زير نشان بدهيم: ‏ x x 2k  1, k  N يا ‏1,3,5,7,... 1-1-10تعريف: موعه Sراتهی می ناميم،اگروتنها اگر دارای هيچ عضوی نباشد.مجموعه ‏ (فی)نشان می دهيم.بنابراين نماد ی را معموال“با حرف يونانی ‏S  جموعه Sتهی است» خوانده می شود.اگر مجموعه Sتهی نباشد،می نويسي ی خوانيم« Sتهی نيست» يا « Sناتهی است». ‏S  درنتيجه، ‏S  خواهد بوداگروتنها اگر حداقل دارای يک عضو باشد. 1-1-13تعريف: ومجموعه Aو Bرادرنظر می گيريم.اگر هرعضو مجموعه Aعضوی از مجمو ‏Bهم باشد A ،رايک زير مجموعه Bمی ناميم وبا نماد ‏AB شان می دهيم ومـی خوانيم « Aزيرمجمــوعه Bاست» يا « Bشامــل Aاست ماد راعالمت شمــول يا جــزئيت می گوييم. رصورتيکه Aزير مجموعه ای از Bنباشد ،می نويسيم ‏AB 1-1-تعريف: ض می کنيم مجموعه ،Aزيرمجموعه ای از مجموعه ،Bباشد.اگر Bحداقل يک داشته باشدکه درمجموعه Aنباشد،آنگاه مجموعه Aرايک زيرمجموعه سره اميم وبا نماد زيرنشان می دهيم. ‏AB صورتيکه مجموعه Aزير مجموعه سره Bنباشد می نويسيم ‏AB 1-1-15مثال: مجموعه های زير رادر نظر می گيريم: ‏ ‏ ‏B  x x  Z ‏A  x x  Z , x 100 ‏ , x 50 ‏ روشن است که هــر عضـو مجموعه Bبه مجموعه Aنيز تعلق دارد.پس ‏BA ازطرفی 80 B ،پس Bيک زير مجموعه سره Aاست،يعنی ولی 80 A اکنون فرض می کنيم که ‏BA ‏x ـتC  x x  720 عدد صــحيح مـثبتیاـسـتکــه بـــر 4بـــخشپ ِذراـس ، نــيستزـيــرا ، ‏Cزـيـــر مـجمــوعه اـیاز A 180 ‏Cوـلـی 180 ‏A .پـــس ‏C A توجه کنيد که Aهم زيرمجموعه ای از مجموعه Cنيست، ‏A C پس29 ‏C زيرا 29 ‏A ولی 1-1-20قضيه: اگر تعداد عضوهای مجموعه Aبرابر عدد طبيعی nباشد،آنگاه تعداد کل زير مجموعه های Aمساوی ‏n 2 است. 1-1-22تعريف: مجموعه تمام زير مجموعه های Aرا مجموعه توانی Aمی ناميم وآن را با نماد ) P(Aنشان می دهيم.  1-1-23مثال: رض کنيد ‏A  a, b .تمام زير مجموعه های Aعبارتند ا ز ‏, a , b , a, b نابراين ) ،P(Aمجموعه توانی Aبرابر است با ‏P(A )  , a , b , a, b  نابر قضيه 20-1-1اگر مجموعه Aدارای nعضو باشد،تعدادعضوهای مجموعه ،P(Aبـــراـبر ـواـهد بـــود. ‏nخ2 1-1-26تعريف: ‏A ‏B اگر دومجموعه Aو ،Bرامساوی (يا برابر)می ناميم اگروتنها دراين صورت می نويسيم ‏A B ‏ AوB . ه بيان ديگر ،دو مجموعه رامســاوی می ناميم،اگروتنها اگر دارای عضوهای کسانی باشند. 1-1تعريف: ض می کنيم aو bدوعددحقيقی باشند به طوری که .a<b )مجموعه تمام اعداد حقيقی xرا کهa x b ،بازه بسته aوbمی ناميم و د []a,bنشان می دهيم.پس ‏ a, b  x  R a x b شکل 1-1بخشی از خط حقيقی که پررنگ کشيده شده است [ ]a,bرانشان دهد. ‏b ‏a شکل1-1 ب)مجموعه تمام اعدادحقيقی xرا که، a<x<bبازه باز aوbمی ناميم وبانماد )a,يا ‏a, b نشان می دهيم.بنابراين ‏ a, b  x  R a  x  b شکل 2-1قسمت پررنگ خط حقيقی ،نشان دهنده ()a,bاست. ‏b شکل2-1 ‏a وجه كنيد که خود اعداد aوbبه بازه ()a,bتعلق ندارند،وبه همين علت درشک بادايره های توخالی نشان داده شده اند. هريک ازمجموعه های ‏ x  R a x  b ‏ x  R a  x b ک بازه نيمباز aوbمی ناميم وبه ترتيب بانمادهای [)a,bو(]a,bنشان می دهيم شکل های 3-1و 4-1نگاه کنيد. ‏b ‏b شکل3-1 شکل4-1 ‏a ‏a ) هنگام استفاده از عالمت های بايد مواظب باشيم که اين نمادها رابا اعد قيقی اشتباه نکنيم.زيرا آنها خواص اعدادحقيقی را ندارند.بنابراين بازه های ز داريم: ( , b]  x  R x b (a,)  x  R x  a [a,)  x  R x a ( , b)  x  R x  b ( ,) R شکل 5-1بازه )(a, وشکل 6-1بازه ] ( , bرانمايش می دهد.توجه کنيدکه ازه مجموعه تمام اعدادحقيقی را نمايش می دهد. ‏b ‏a شکل5-1 شکل6-1 ر هريک از بازه های( ، ]a,b) ،(a,b[،]a,b[ ، )a,bاعدادحقيـقی aوbرانقاط تهايی بازه می ناميم. 1-1-3مثال: جموعه جواب نا معادله 3x<5x+6+2راتعيين کنيدوآن راروی محور اعدا قيقی نمايش بدهيد. حل: گر xعددی باشدکه در نامساوی صدق می کند،بايدداشته باشيم يــا2x<4- ‏x>-2 چون تمام مرحله های باال برگشت پذير هستند ،نتيجه می گيريم که ‏x   2 2+3x<5x+6 ،بازه( 2, ) ابراين مجموعه جواب نا معادله مفروض شان داده شده است. شکل7-1 -2 است که در شکل-1 1-2مقدمه: بهی ميان نظريه مجموعه هاونظريه اعداد حقيقی وجوددارد.باچهار عمل اص ع،تفريق ،ضرب ،تقسيم روی مجموعه اعداد حقيقی آشـنا هشتيم.اعمال جبر ابهی را می توان برای مجموعه ها نيز تعريف کرد.دراين بخش به معرفی و سی اين اعمال می پردازيم . 1-2-تعريف: ض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند،مجموعه تمام عضوهايی را که حداقل ی ازاين دو مجموعه تعلق داشته باشند،اجتماع Aو Bمی ناميم A B وبانماد ان می دهيم.به بيان ديگر ‏x  B يا A  B  x x  A 1-2-3مثال: الف)فرض می کنيم A  a, bو. B  a, c, d, eاجتماع دو مجموعه AوB بنابر تعريف2-2-1عبارتست ا ز ‏A  B  a, b, c, d, e )فرض می کنيم Aمجموعه تمام افرادی باشد که روزنامه کيهان را می خوا خوانندA. ‏B عبارت Bمجموعه تمام افرادی باشدکه روزنامه اطالعات را می ست از مجموعه تمام افرادی که حداقل يکی از روزنامه های کيهان يا اطالع می خوانند. 1-2-4تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند،مجموعه تمام عضوهايی را که به هر ‏A جموعه تعلق داشته باشند،اشتراك Aو Bمی ناميم B وبانماد شان می دهيم.به بيان ديگر ‏A  B  x x  A, x  B 1-2-3مثال: الف)فرض می کنيم A 1,2,3,7و . B 0,2,4,7اشتراك دو مجموعه A و Bبنابر تعريف4-2-1عبارتست ا ز ب)مجموعه ‏A  B  2,7 ‏A B درمثال (3-2-1ب)عبارتست از مجموعه تمام افرادی که هردوروزنامه کيهان واطالعات را می خوانند. عمل های اجتماع واشتراک از قوانين خاصی پيروی می کنند.اين قوانين غالب هی اندوما ،به منظور سهولت کاربرد ،آنها رادر قالب سه قضيه زير می آور 1-2-7قضيه: رای هر سه مجموعه دلخواه Aو Bو Cومجموعه جهانی Uداريم ‏A  A ‏A  A A (1 (2 ‏B A A  B ‏A  B C  A  B C ‏A  A B ‏B  A B ‏A  U U (3 (4 (5 (6 :قضيه1-2-8 داريمU ومجموعه جهانیC وA، B برای هرسه مجموعه دلخواه 1( A   2( A  A A 3( B A A  B 4( A  B C  A  B C 5( A B  B 6( A  U A A B  A 1-2-9نکته: بااستفاده از قسمت 4درقضيه های 7-2-1و، 8-2-1می توانيم پرانتزها را حذف کنيم واجتماع واشتراک سه مجموعه را به صورت های ‏A  B C ‏A  B C شودکهA  B  A ‏B بنويسيم.ازقسمت5قضيه های مذکورنتيجه می 1-2-10قضيه: دلخواه Aو Bو، Cداريم برای هرسه مجموعه 1( A  B C  A B  A C 2( A  B C  A B  A C 1-2-نمودارون: والبرای روشن تر شدن روابط بين مجموعه هااز نمودار ون استفاده می کن مثال هايی ازآن در شکل 8-1آمده است .درهريک از اين نمودارهاناحيه ساي ده نشان دهنده مجموعه ای است که درزير نمودارنوشته شده است. ‏A ‏B ‏B ‏A B ‏A B ‏B ‏A ‏A B ‏A ‏B ‏A B ‏B ‏A ‏A ‏A B ‏B ‏A ‏A B 1-2-13تعريف: ومجموعه Aو Bرا از هم جدا می ناميم درصــورتی که عضو مشترکی نداش شند.به بيان ديگر،هرگاه ‏A B آنگاه مجموعه Aو Bرا ازهم جدا می خوا 1-2-14مثال: الف) مجمـوعه اعـداد صحيح فرد و مجموعه اعدادصحيح زوج،دومجموعه ازهم جداهستند. ‏A  B  1-2-تعريف: جموعه Aو Bرادرنظر می گيريم.تفاضل مجموعه Bازمجموعه ،Aآن را بانم ‏Aنــشانمـیدـهيم،عبارـتـستاز تـــمام عضو هايـیاز Aکــه عضـوBنــيــستند .بـــه ديگر ‏A  B  x x A,x B کل 9-1ناحيه سايه خورده ،تفاضــل Bاز Aيعنی A-Bرابرای مجموعه های واه Aو Bنشان می دهد. 1-2-تعريف: ی هرمجموعه Aبامجموعه جهانی ،Uمجموعه U-Aرامکمل مجموعه Aمی نا ماد ‏A نشان می دهيم.پس ‏A  x x  U , x  A ه سايه خورده در شکل 10-1نشان دهنده مکمل مجموعه Aاست. ‏U شکل10-1 ‏A 1-2-1مثال: رض می کنيم Uمجموعه اعداد حقيقی Aمجموعه تمام اعدادگنگ(يااصم)، جموعه تمام اعدادگويا باشد.بنابر تعريف 18-2-1داريم ‏A U  A  x x  R , x  A B ابراين Aمجموعه اعداد گوياست.به همين ترتيب برابر ‏ ‏B U  B  x x  R , x  B A 1-2-21قضيه: گر Aو Bزيرمجموعه از مجموعه جهانی Uباشند،آنگاه الف) ‏ U ب) ‏U  پ) ت) ‏ A A , A  Bآنگاه B  Aوبرعکس  1-2-22قضيه قوانين دمورگان: اگر Aو Bزيرمجموعه هايی از مجموعه جهانی Uباشند،آنگاه الف) ‏ A B A B ب) ‏ A B A B 1-2-24قضيه تعميم قوانين دمورگان اگر مجموعه های باشند ،آنگاه A n ,...,A2, A1زيرمجموعه ای از مجموعه جهانیU الف) ‏ A1 A2 ...A n  A1 A2 ...An ب) ‏ A1 A2 ...A n  A1 A2 ...An 1-2-28تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه باشند .مجموعه تمام عضو هايی راکه تنهاب ا تنها به Bتعلق دارند،تفاضل متقارن Aو Bمی ناميم AB وبانماد شان می دهِم .به بيان ديگر )AB (A  B)(B A برایA ساوی باال ،دليل انتخاب نام تفاضل متقارن B رانشان می دهد،زيرا ضل متقارن Aو Bبرابربا اجتماع دو تفاضل A-Bو B-Aاست. درشکل 12-1ناحيه سايه خورده ‏AB نشان داده شده است. يش ازاينکه به تعريف حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه بپردازيم،مفهوم زوج های مرتب را يادآوری می کنيم. 1-3-تعريف: تايی ( )a,bراكه درآن ترتيب عناصرمطرح است،يک دوتايی مرتب يا زوج رتب يا جفت مرتب می ناميم.در زوج مرتب (a ، )a,bرامولفه اول وbرامول م می گوييم. 1-تعريف: ج مرتب ( )a,bو()c,dرامساوی يا برابر می گوييم،اگروتنها اگر داشته با ,b=d ‏a=c  1-3-5تعريف: رض می کنيم Aو Bدو مجموعه ناتهی دلبخواه باشند.حاصل ضرب دکــار ‏Aو Bکــه بـــا نــماد AB نــشاندادـه مـیشــود ،عبارـتـستاز مـجموعه تـــمام زوـ مرتبی به صورت ( )a,bکه درآن ‏a Aو bيعنی . B ‏A B   a,b a A,b B ‏توجه کنيد که هرعضو مجموعه A Bيک زوج مرتب است. 1-3-6مثال: فرض می کنيم }A={1, 2, 3و.)B={g, hبنابر 5-3-1حاصل ضرب دکارتی ‏A B عبارتست از ‏A B  (1, g),(1, h),(2, g),(2, h),(3, g),(3, h) حاصل ضرب دکارتی BAبرابراست با ‏BA  (g,1),(g,2),(g,3),(h,1),(h,2),(h,3) ‏A دکارتی ه طوری که مشاهده می کنيم ،حاصل ضرب های B زوما“برابرنيستند. ‏BAو 1-4-2قـــرارداد: تعدادعضو های مجموعه متناهی Aرابا نماد ) n(Aنشان می دهيم. ‏مجموعه تهی يک مجموعه متناهی محسوب می شود. 1-4-1تعريف: مجموعه ای که تعداد اعضای آن متناهی باشد ،مجموعه متناهی يابا پايان ناميده می شود .مجموعه ای که متناهـی نباشد،نامتناهی يا بی پايان 1-4-3مثال: الف) مجموعه {}9,11 ,7 ,3 ,1متناهی است زيرادارای 5عضو است. ب) مجموعه پ) مجموعه ‏ ‏ 10 ‏ x  R xمتناهي است . 2 ‏0,1  x0x 1 نامتناهی است. ت) هريک از مجموعه های اعداد طبيعی ،صحيح،گويا،گنگ،وحقيقی نامتناهی است. ث) بازه ( )a,bکه ،a<bمجموعه ای نامتناهی است. : قضيه1-4-5 همواره داريم،سه مجموعه دلخواه باشندC وB وA فرض می کنيم n A  B n A   n B  n A  B n A  B C n A   n B  n C  n A  B )الف )ب  n A C  n B C  n A  B C n AB n A  B  n B  A  )پ 1-4-6مثال: فرض کنيد مجموعه Aدارای 40عضو ومجموعه Bدارای 35عضو است مجموعهA  ‏B که 10عضو آنها در Aو Bمشترک هستند. چند عضو دارد؟ حل: چون ، n A B 10بنابر (5-4-1الف) داريم ‏n A  B n A   n B  n A  B ‏45 35 1065 1-4-10تعريف: ناتهیA n ,...,A2 مجموعه ناتهی Aرادرنظر می گيريم .مجموعه های , A1 رايک افراز مجموعه Aمی ناميم،درصورتی که: الف) مجموعه های A n ,...,A2, A1دو به دو ازهم جداباشند،به بيان ديگر به ازای هر iو jکه ، i  jداشته باشيم ‏Ai  A j  ‏A n ,...,A2, A های ب)اجتماع مجموعه 1 يعنی ‏A1  A2 ... An مساوی Aباشد ، درشکل 15-1افراز مجموعه Aبه شش مجموعهA6, A 5, A4,A 3, A2, ‏A1 نشان داده شده است. ‏A5 ‏A4 ‏A6 ‏A3 ‏A2 شکل15-1 ‏A1 فصل دوم دستگاههای مختصات دف کلی: دف کلی فصل اين است که بادستگاههای مختصات دکارتی وقطبی آشنا ش معادالت خطوط رابشناسيد ونمودار آنهارارسم کنيد. هدف های رفتاری: ازشما انتظار می رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: .1مختصات دکارتی هر نقطه رادر صفحه مختصات تعيين کنيد. .2باداشتن مختصات دکارتی يک نقطه ،موضع نقطه را در صفحه معين کنيد. .3فاصله دو نقطه رادر صفحه مختصات محاسبه کنيد. مختصات وسط يک پاره خط را با داشتن مختصات ابتدا .4 پيدا کنيد. وانتهای پاره خط .5مختصات محل تالقی سه ميانه مثلث رابا دانستن مختصات دکارتی  .6مختصات نقطــه رادر دستگاهی که محور های آن به موازات خود انتقال يافته اند،تعيين کنيد. .7مــعادله خـط را با استفاده از داده های مسئله بنويسيد. .8شيب خط راتعريف کنيد،رابطه بين شيب های خطوط موازی ،متعامد،ومتقاطع شده است،ـرسم کنيد. به داده معادلهآنها هايی را که نمودار کارببريد. درحل مسائل خطباشيد را بلد .1عــرض ازمبدا وطــول ازمبدا خــط هاراتعيين کنيد. .1فاصــله يک نقطـــه رااز يک خـــط محاسبه کنيد.  .12فاصله دو خط موازی راتعيين کنيد. .13مختصات نقطه تالقی دو خط رابيابيد. .14دستگاه مختصات قطبی را تعريف کنيدونحوه تعيين مختصات قطبی يک نقطه رابيان کنيد. .15رابطــه بين مختصات دکارتی و مختصات قطبی يک نقطه رابدانيد ودر حل مسائل به کاربريد. مقدمه ين فصل ابتدا به معرفی دستگاه مختصات دکارتی و دستگاه مختصات قطبی پردازيم وسپس رابطه بين اين دو دستگاه رابررسی می کنيم. 2-1تعريف: صفحه هندسی ،يک خط مستقيم افقی رسم می کنيم.درروی اين خط ،نقط واه Oرابه عنوان مبدا وطولی رابه عنوان واحد طول اختيار می کنيم.اکنون خط رابر حسب اين واحد طول به ترتيب اساليد بعدی مدرج می کنيم: الف) نقطه ، Oيعنی مبدا رابه عنوان نمايش عددصفر اختيار می کنيم. ب) اگر ،a>0نقطه ای رابه فاصله aبرابرواحد طول درسمت راست مبدا به عنوان نمايش aاختيار می کنيم . پ) اگر ،b<0نقطه ای رابه فاصله –bبرابرواحدطول درسمت چپ مبدا به نمايش اعداد مثبت هستند درسمت راست اختيارمیکه ازخط افقی ،نقاطی ن ترتيب کنيم. نمايش b عنوان طی که نمايش اعداد منفی هستند،درسمت چـــپ مبدا قراردارند.بنابراين،خط داری به دست می کنيم آوريم که نمايش اعداد حقيقی است.اين خط جهت ور طول ها يا محور xها می کنيم ناميم.به شکل 1-2نگاه کنيد. ‏a ‏b 0 ‏a>0 ‏b<0 شكل 1-2  2-1-2مختصات نقطه در صفحه: ض می کنيم Pنقطه دلخواهی در صفحه هندسه xoyباشد. شکل ،3-2خطوط PAو PBرابه ترتيب عمودبرمحور xها وعمود بر محور y م می کنيم .اندازه جبری oAروی محورxها را طول نقطه Pواندازه جبری ‏y ی محور yها را عرض نقطه Pمی ناميم. ‏P ‏B ‏b ‏x ‏A ‏a ‏O درنتيجه يک تناظر يک به يک بين نقاط صفحه وزوج هايی مانند(،)a,bکه در آن aو bاعدادحقيقی اند وجوددارد.بنابراين می توان صفحه xoyرابا مجموعه 2 ‏R R Rيکی گرفت.درشکل ،4-2يک دستگاه مختصات دکارتی وچند نقطه درآن نشان داده شده است. ()3 ,2 ( ,2 )0 ‏O ()o,-2 ()3- ,2 ()3 ,2- ()2,1- ()3-,2- 2-1-4مثال: مثلثی رسم كنيدکه مختصات راس های آن )A(2, 2)،B(-1, 1و)C(1, -3 باشد. ‏A ‏B ‏O ‏C 2-1-5فاصله دو نقطه : مختصات xB , y ‏B فرض می کنيم Aنقطه به مختصات  xA , yA و Bنقطه به اشد.فاصله دو نقطه Aو Bرامساوی طول پاره خط ABتعريف می کنيم و ماد )d(A,Bنشان می دهيم .می توان ثابت کرد که فاصله ميان Aو Bاز رابطه زيربه دست می آيد. 2 2 ‏d(A, B)   xB  xA    yB  yA   2-1-7مختصات وسط پاره خط: و نقطه Aو Bرا به ترتيب با مختصات ‏ xA , yA و ‏ xB , yB  ،در صفحه ر نظر می گيريم .اگر Cنقطه وسط پاره خط ABباشد ،آنگاه مختصات نقط ‏Cبـــراـبراـسـتبـــا 1 ‏xC   x A  x B  2 1 ‏yC   yA  yB  2 2-1-8مثال: مختصات نقطه وسط پاره خط BCدر مثال 4-1-2راتعيين کنيد. حل: رض می کنيم ،Dنقطه وسط پاره خط BCباشد،بنابر7-1-2داريم 1 ‏xD    11 0 2 1 ‏yD    3 1  1 2 بنابراين مختصات نقطه ) D،(0, -1است. : انتقال محورهای مختصات2-1-12 y Y A Y X X ´o b x o a x X  a   y Y  b 2-2-1مقدمه: خط راست Lراکه،موازی محور yها نيست(خط غير قائم)،درنظر می گيريم. ‏Aو Bدو نــقطه مـتمايز دـلـخواـه روـیخـط Lبـــاشـند،آـنـگاه شــيبيــاضريـبزاوـيـه خـط ابا حرف mنشان می دهيم وبه صورت زير تعريف می کنيم. ‏L ‏y  yA ‏m B ‏xB  xA ‏y ‏B ‏yB  yA ‏A ‏x ‏xB  xA ‏O شکل 8-2 دقت کنيد که شيب خط بستگی به نقاطی که برای محاسبه آن انتخاب می ک رد،وبرای تمام نقاط روی هر خط مقداری ثابت است(.چرا؟) 2-2-3مثال: شيب خطی که ازدو نقطه )A(2,-3و )B(4, 1می گذرد برابراست با 1 ( 3) 4 ‏m ‏ 2 4 2 2 2-2نكته: ب خط Lرا می توان به تانژانت زاويه ای که اين خط با جهت مثبت محو ی سازد نيزتعبير کرد.به بيان ديگر ‏m tan L ‏y ‏B ‏A ‏x ‏ ‏O ‏دراين جا می سازد. ‏ 0 ‏ 180 ،زاويه ای است که خط Lباجهت مثبت محور xها به شکل های 10-2توجه کنيد. ‏y ‏m=0 ‏y ‏mوـجودـندارد ‏O ‏y ‏y ‏m>0 ‏m<0 ‏x ‏O ‏x شکل های 10-2 ‏O ‏x ‏x ‏O  2-2-قضيه: ه نقطه Aو Bو Cبرروی يک خط واقع اند اگروتنها اگر شيب های خطوط AB ‏BCمساوی باشند،به عبارت ديگر داشته باشيم ‏mAB mBC 2-2-7مثال: دد aرا چنان تعيين کنيد که سه نقطه )،C(a,-2a) , B(0, 2), A(1,-1برروی ک خط راست واقع باشند. حل: بنابرقضيه 6-2-2بايدداشته باشيم درنتيجه .a=2 2 ( 1)  2a  2 ‏mAB mBC  ‏ ‏ 3a 2a  2 0 1 ‏a 0  2-2-9قضيه (شرط توازی وتعامد دوخط): فرض می کنيم ‏m2 m به ترتيب شيب های خط L1 های L2و 1و الف)دوخط L1و L2متوازی اند اگروتنها اگرm1 m2 ب) دوخط ‏L ‏m1m2  1 1و L2برهم عمودند اگر وتنها اگر باشند. . . 2-2-10مثال: شان بدهيد که چهار نقطه ) ،D(-1,-2), C(-9,2) , B(-7,6) ,A(1,2راس ه ک مستطيل اند. ل: ی دانيم مستطيل يک چهار ضلعی است که درآن اضالع دو به دو برهم عمود ضالع روبه رو با هم مساوی ومتوازی اند،به شکل11-2دراساليد بعدی توجه د. mAD  B mAB A C D  2 2 2  1 1 2 6 1   1 7 2 mBC  2 6 2  9 7 mCD   2 2 1   1 9 2 ازآن جا که mAD .mAB  1و ،mCD.mBC  1خطوط ABوADو همچنين خطوط BCوCDدوبه دو برهم عمود ند. چونmAD m وmCD mAB ‏BC ‏ازطرفی ودوخطAB ،دوخط ADوBCباهم وCDباهم متوازی اند. مطالب باال نتيجه می شود که چهار ضلعی ،ABCDمستطيل است. 2-2-12زاويه بين دو خط : رض می کنيم 1و ‏m ن دو خط ، ‏m2به ترتيب شيب های دو L1 خط L2و باشند .زاويه ‏ ،ازرابطه زيربه دست می آيد. ‏m1  m2 ‏tan  1 m1m2  2-2-معادله خط راست: ض می کنيم ‏A x1, y1 و ‏B x2, y2 نقطه متمايزروی خط Lباشند .اگر دو ـسبيـنکه خـط Lقــائـم بـــاشد يــ اـ P(xنــقطه دـلـخواـهیاز خـط Lبـــاشدآـنـگاه بـــرح له خط Lعبارت است از: الت اول)اگر خط Lقائم يا نباشد،يعنیx1 x2 ‏y2  y1 ‏ x  x1 ‏x2  x1 ،آنگاه معادله خط Lبرابراست ‏y  y1  ‏y  y1 m x  x1 لت دوم)اگر خط Lقائم ت از باشد،يعنیx1 x2 ،آ نگاه معادله خط قائم Lعبارت ‏x x1 2-2-16مثال: معادله خطی رابنويسيد که ازدو نقطه ()4 ,3و()2 ,5-می گذرد. حل: شيب خط برابراست با معادله خط بنابر ( 15-2-2الف)عبارت است از 4 2 1 ‏m  ‏ 3 5 4 1 ‏ x  3  y 1 x  13 4 4 4 2-2-1نکته: ‏y  4 ‏x  4y 130 طور کلی هر معادله ای به صورت ،Ax+By+C=0که درآن اعدادحقيقی ـتاـيـنمـعـادـلـه راـکـه ـتس . و Bهردو بـــاهم صــفر نــباشـند ،نــمايـشگر يــکخـط راـس اـ امل توان های اول xوyاست،برحسب xو، yخطی می ناميم. بنابراين هر خط راست در صفحه به وسيله يک معادله خطی مشخص می ش ادله خطی معرف يک خط راست است. 2-2-19طول و عرض از مبدا خط: عادله خطی ،Ax+By+c=0راکه درآن اعدادحقيقی Aو Bهردو باهم صفر ستند،می توانيم به صورت زيربنويسيم: ‏y=ax+b ‏b ‏aرا طول ازمبدا خط می ناميم. ه درآن bرا عرض از مبدا خط و وجه كنيد که اعدادحقيقی bو ‏b ‏a به ترتيب به ازای x=0و y=0از معادله ،y=ax+بـــه دـسـتمـیآـيـند.بـــه شــکل 12-2نــگاه کــنيد. y ‏y=ax+b ‏x ‏ b  ,0 ‏ ‏ a  ()b,0 ‏o حقيقت (،)b,0نقطه ای است که درآ«خط مورد نظر با محور yها تالقی می ‏ b  ,0 نيز نقطه ‏a  است که درآن خط مورد نظر محور xها را قطع می ک ادله ،y =ax+bشيب خط برابر aاست .چون اين معادله برحسب ،aشيب از مبدا خط ،نوشته شده است،آن را معادله شيب و عـــرض از مبدا ميم. 2-2-23مثال: 2 نمودار خطی با معادله y  x  2 3 را رسم کنيد. ل: ن معادله خط به صورت شيب و عرض از مبدا داده شده است،لذا تعيـين ن قي خط با محور های مختصات ،يعنی عرض از مبدا از مبدا وطول از مبدا خ ده است .داريم: ‏y 2 ‏x 0  ‏x 3 ‏y 0  دو نقطه ()0,2و ( )3,0روی اين خط قراردارند،خطی که اين دو نقطه را وصل کند،نمودارخط داده شده است.اين نمودار درشکل 13-2نشان داده ش ت. y ()0,2 )3,0( x ‏o 2-2-26فاصله يک نقطه از يک خط: فاصله نقطه )P(a,bاز خط Lبا معادله Ax+By+c=0برابراست با: ‏Aa  Bb C ‏A2  B2 ‏d  2-2-27فاصله دو خط موازی: فاصله دو خط موازی با معادله های Ax+By+C=0و Ax+By+D=0برا است با: ‏C D ‏A2  B2 ‏h 2-2-مختصات نقطه تالقی دو خط: ه تالقی دو خط ،نقطه ای است که برهر دو خط واقع است.بنابراين اگر معا ط به صورت Ax+By+C=0و Ax  By  C 0باشند ،مختصات نقطه ی اين دو خط ،از حل دستگاه دو معادله دو مجهولی به دست می آيد: ‏Ax  By  C 0 ‏ ‏Ax  By  C 0 2-2-3مثال: ختصات نقطه تالقی دوخط با معادله های 3x-4y+6=0و x-2y-3=0را به د ريد. ل: بر 31-2-2بايد دستگاه دو معادله دو مجهولی زيررا حل کنيم. ‏3x  4y  6 0 ‏ ‏x  2y  3 0 ای اين کار ،معادله دوم دستگاه باال رادر ()-3ضرب ونتيجه را با معادله اول ستگاه جمع می کنيم،يعنی ‏3x  4y  6 0 ‏ ‏ 3x  6y  9 0 0 2y 150 نتيجه، 15 ‏y ‏ ‏ . 2با قرار دادن 15 ‏y ‏ ‏ در معادله دوم دستگاه به دست می آور 2 ‏x  12 بنا براين ‏ ‏  15 ‏x  2 ‏  3 0 ‏ 2  15 ‏ ‏  12, 2 نقطه تالقی دو خط است ‏ ‏ 3x-4y+6=0 ‏x-2y-3=0 ()3 ,0 ()2,0- 15 ‏ ‏  12,  2 ‏  2-3مقدمه: خش 1-2ديديم که مکان يک نقطــه از صفحه را می توانيم با طول وعرض قطه در دستگاه مختصات دکارتی مشخص کنيم.روش ديگری برای تعيين مح قطه در صفحه وجوددارد که به کمک دستگاه مختصات قطبی انجام می شو ن بخش ،دستگاه مختصات قطبــی را معرفــی می کنيم و سپس به بررسی صات قطبــی يک نقطه ورابطه آن با مختصات دکارتی آن نقطه می پردازيم  2-3-تعريف: ‏ نيست.اگر ض می کنيم Pنقطه ای ثابت باشد که بر ،oقطب،منطبق زا ت دار AoPباشدoA،را شعاع نخستين و oPرا شعاع نهايی  زاويه می ناميم ت مثبت دراندازه گيری زاويه ،برخالف عقربه های ساعت (پادساعتگرد) مرتب( نظر گرفته می شود.اگر rفاصله جهت دار oاز ،Pباشد ،زوج )r,  نويسيمP(r ),  ختصات قطبی نقطه Pدر صفحه می ناميم،ومی اه کنيد. )P(r,  شع ا ع ـ نه ايي ‏A ‏ ‏o شعاع نخستين ر 0به شکل 2 عموال“ زاويه ‏ برحسب درجه يا راديان اندازه گيریمی شود.بين درجه ورادي بطه زير برقراراست. ‏ راديان  180 1درجه عاع نهايی oPرا شعاع حامل نقطه Pنيز می نا مند. 2-3-مثال: اي تعيين مکان نقطه Pبه مختصات ‏ 3  قطبی 3,  ‏ 4 سم می کنيم به طوريکه زاويه AoPبرابر 3 4 ،ابتدا نيم خطی از o باشد .نقطه ای که روی شعاع ايی اين زاويه و در فاصله 3از oقراردارد همان نقطه Pاست.  3  P 3,   4 3 4  2-3-5نکته: در دستگاه مختصات قطبی ‏ 3  ‏ 3,  ،نقاط 4  3  ‏ ‏ 3 , ‏ ‏ ‏ ‏ 4، ‏ 3  ‏ 3 , 2 ‏ ‏ ‏ ‏ و4  ‏ 3  ‏ ‏k 3 ( ‏ 1 ) , ‏k ‏ ‏ ‏ حح ،kنقطه  کلی به ازلی هر عدد ص ِ 4 ‏ ‏ 3  ‏ ‏ 2   4 ‏ برهم منطبق هست ‏P ‏A 3  ‏ ‏  4 ‏ وبه طور 2-3-رابطه ميان دستگاه مختصات دکارتی و قطبی : ض می کنيم محورxها منطبق بر محور قطبی و ،oمبدا دستگاه مختصات دکار ‏ قطب واقع باشد.محور yها را منطبق بر شعاع   2 ض می کنيم مختصات قطبی نقطه Pنسبت به محور اخـتيار می کنيم. ‏oxوقطب ،oزوج مرت و r,  مختصات دکارتی اين نقطه نسبت به دستگاه مختصات دکارتـی ،xoy مرتب ()z,yباشد.در تعيين رابطه بين r, y, xو بسته به عالمت rدو حالت ص می دهيم: )1اگر ،r>0نقطه Pرویشعاع نهايی زاويه واقع لست.به طوری که درشکل های ‏ داريمx rcos: زير ديده می شود،در مثلث قائم ازاويه oPQ ‏ ‏ y rsin ‏y ‏y ‏P r,  ‏r ‏y ‏ ‏x ‏Q ‏ ‏P r,  ‏r ‏y ‏x ‏x ‏x ‏Q پس ‏x2  y2 r2 cos2   r2 sin2  ‏r2(cos2   sin2 ) r2 بنابراين ‏r  x2  y2 ‏ زاويه )2اگر ، r<0نقطه Pروی ادامه شعاع نهايی شکل اسال يد بعدی راببينيد. واقع است. y P  x, y r- y-  o Q x- Q x x )x,y( r P r,   الزاويهoPQ در مثلث قائم داريم: ‏ x x ‏cos  ‏ ‏r r ‏ y y ‏sin  ‏ ‏r r با توجه به حالت هاي ()1و( )2داريم: ‏x rcos ‏ ‏ y rsin که از آن نتيجه می شود. ‏r  x2  y2 2-3-1مثال: ‏ مرتب ( 3, ) رض کنيد مختصات قطبی نقطه ،Pزوج 6 باشد،مختصات دکارتی تعيين کنيد. حل: بنابر 11-3-2مختصات دکارتی Pعبارت است از ‏ 3 3 ‏x rcos  3cos  6 2 ‏ 3 ‏y rsin  3sin  6 2 3 ) مرتب بنابراين مختصات دكارتي ،Pزوج 2 ‏3 3 , 2 ( است. y  6 3 3 2  P( 3, ) 6  3 2 x  2-3-13مثال: رض کنيد مختصات دکارتی نقطه ،Pزوج مرتب)(1, 3 باشد.بافرض r>0و 0 2 ،مختصات قطبی نقطه Pراتعيين کنيد. ل: بر روابط بين دستگاه های مختصات دکارتی و قطبی در 11-3-2داريم ‏r  1 3 2 , ‏1rcos ‏ ‏ 3 rsin ‏ تعيين ازمعادله های از r>0نتيجه باشدکه .r=2برای ‏12cos ‏ ‏ 3 2sin به دست می آوريم 1 ‏ ‏cos ‏ ‏ ‏ ‏ 2 ‏  ‏ 3 ‏sin  3 ‏ 2 ‏ مرتب (2, ) بنابراين مختصات قطبی نقطه ،Pزوج 3 است. 2-3-16تعريف: فرض کنيم صورت )(r,  مختصات قطبی يک نقطه در صفحه باشد.معادله ای به )f (راr  معادله قطبی می ناميم. 2-3-1مثال: دله قطبی ‏r2 cos2   sin2 رادر نظر می گيريم .می خواهيم معادله دکارتی را تعيين کنيد. حل: باشرط r 0قرارمی دهيم ‏x ‏cos  ‏r ‏r2 x2  y2 , ‏y ‏sin  ‏r r2 cos2   sin2  2cos sin  cos2  y x x x  y 2( )( )  ( )2 r r r 2 2 پس 2xy  x2  2 x  y2 .در نتيجه بدست می آوريم (x2  y2)2 2xy  x2 فصل سوم هدف کلی رابطه وتابع هدف کلی فصل اين است که با مفاهيم رابطه و تابع ،انواع توابع ،توابع خاص ،اعمال جبری روی توابع ،و وارون تابع آشنا شويد. هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: )1مفهوم رابطه را توضيح دهيد. )2تابع را تعريف کنيد وتفاوت آن را با رابطه توضيح دهيد. )4نمودار توابع را با روش نقطه يابی رسم کنيد. )5اعمال جبری روی توابع را تعريف کنيد و در حل مسائل بکار ببريد. )6انواع توابع جبری معرفی شده در کتاب را بشناسيد ، ويژگيهای هر يک را بشناسيد و اين ويژگيها را در حل مسائل به کار ببريد. )7انواع توابع غير جبری معرفی شده در کتاب را بشناسيد ، ويژگيهای هر يک را بشناسيد و اين ويژگيها را در حل مسائل به کار ببريد. )8تعيين کنيد که هر تابع معلوم زوج است يا فرد ،يا .تـــعيينکــنيد تـــابـعـ پـــوشاسـتيــا نــه )10 )11تعيين کنيد تابع يک به يک است يا نه. )12شرايط وارون پذيری تابع را توضيح دهيد و وارون آن هر تابع معلوم را ،در صورت وجود ،تعيين کنيد. )13نشان بدهيد که توابع نمايی و لگاريتمی وارون همديگرند. وارون توابع مثلثاتی را توضيح بدهيد. )14 مقدمه: در علوم گوناگون ،مجموعه هايی که عضوهای آنها زوج مرتب اند اهميت خاصی دارند .در اين فصل به معرفی و مطالعه اين گونه  3-1-1مقدمه: در بسياری از توابع با مجموعه هايی از زوجهای مرتب سروکار داريم . برای مثال ،هنگامی که متحرکی روی خط مستقيم حرکت می کند ،فاصله آن از 0 مبدا tرا در هر لحظه می توان بوسيله زوج مرتب (s , )tنشان داد که در آن ،و sفاصله متحرک از مبدا است . 3-1-2تعريف : هر مجموعه ای از زوج مرتب را يک رابطه دوتايی يا بطور  3-1-4تعريف : فرض می کنيم Rيک رابطه باشد و ، (x, y)  Rدر اين صورت می نويسيم xRyو می خوانيم « xرابطه Rدارد با » yيا «بين xو yرابطه R برقرار است » يا « رابطه R ، xرا به yنسبت می دهد(نظير می کند» :مـثاـل3-1-5 رابطه های مثال 3-1-3را در نظر می گيريم .بنابر 4-1-3داريم : يا (1,2)  S1 1S12 يا (2,4)  S2 2S24 2S35 ايران ‏S4 تهران يا (2,5)  S3 يا ( S4ايران،تهران)  :تـــعـريـف3-1-6 مجموعه تمام مختص های اول زوج مرتب يک رابطه دامنه يا قلمرو يک رابطه و مجموعه تمام مختصهای دوم عضوهای رابطه را هم دامنهرابطه می ناميم 3-1-7مثال : رابطه های مثال 3-1-3را در نظر می گيريم. دامنه ‏S1 مجموعه {2و }1وهم دامنه آن مجموعه {8و3و }2است . دامنه وهم دامنه دامنه دامنه ‏S2 ، مجموعه تمام اعداد حقيقی است . ‏S3 {y y  1 } مجموعه مجموعه تمام اعدد حقيقی وهم دامنه آن است ‏S4 مجموعه {تهران،ـکابل،اسالم آباد} و هم دامنه آن {ايران ،پاکستان فغانستان} است .  3-2-1مقدمه: در اين بخش دسته خاصی از رابطه ها را ،که تابع ناميده می شوند و اهميت ويژه ای دارند ،معرفی می کنيم. 3-2-2تعريف : فرض می کنيم دامنه رابطه fمجموعه Aوهم دامنه آن مجموعه Cباشد که )(C  B زير مجموعه ای از Bاست ‏B .رابطه fرا يک تابع از Aبه عضوx الف) برای هر A ‏y ،عضوی B مانند وجود داشته باشد به گونه (x, y)  f ای که از B نسبت دهد. (x, y)  f ب) اگر .به بيان ديگر fبايد هر عضـــو Aرا به عضوی (x, z)  f و آنگاه . y=zيعنـی fهر عضــو Aرا تنها به يک عضواز Bنسبت بدهد. به طور خالصه رابطــه fرا يک تابــع می گوييم در صورتی که fهر  3-2-3تعريف : اگر fتابعی از Aبه Bباشد ،می نويسيم: ‏f :A  B مجموعه Aرا دامنه تابع fمی ناميم Df وبا نماد دهيم ،و مجموعه نشان می ‏Rf نــماد Bرا بـــرد تـــابـعـ fو بـــا ‏R ‏f B ـهيم .بـــنابراـيـن: مـی ‏د Df نــشانA , 3-2-4تعريف : چون بنابر تعريف تابع ،به ازای هر xاز دامنه fتنها يک عضو از برد (x, y)  f ،معموال yرا مقدارf مانند yوجود دارد به گونه ای که (x, y)  f در x می ناميم وبجای می نويسيم: )y=f(x xرا مـتغير و) f(xرا تــصوير xتــوسـط fمـینــامـيم .مـعـادـلـه  3-2-6مثال : نشان بدهيد که رابطه})g={(2,1),(1,3),(3,5),(4,7 يک تابع است . حل:دامنه رابطه ، gمجموعه { }2,1,3,4و هم دامنه آن { }1,3,5,7است . 3 1 1 2 5 3 7 4 مشاهده می کنيم که هر عضـو از دامنه gفقط و فقط به يک عضــو از هم دامنــه gتوسط رابطــه gنسبت داده شده است . بنابراين g  3-2-7نکته: در مثال ، 6-2-3تابع بودن رابطه gرا با بررسی تمام زوج هایمرتب آن انجام داديم،ـ در حالی در مثال 5-2-3که رابطه fبا ضابطه ای تعريف 3-2-8مثال : شده است ،برای تشخيص تابع بودن fاز تعريف تابع استفاده تحقيق کنيد کدام يک از رابطه های زير تابع است . کرديم. })R1 {(1,3),(1,4),(2,4 :حل })R2 {(1,3),(2,4 3 4 1 2 3 4 1 2  3-2-10تعيين دامنه تابع: هر تابع با ضابطه تعريف و مجموعه های دامنه وبرد مشخص می شود. معموال روش کلی برای مشخص کردن يک تابع اين است که نخست دامنه تابع را تعريف کنند ،به اين ترتيب با ضابطه تعريف تابع ، مقدار تابع به ازای هر عضو دامنه مشخص می شود. اگر دامنه تابعی مشخص نشده باشد ،آن را مجموعه تمام اعدادی در نظر می گيريم که به ازای آنها ضابطه تعريف تابع با معنی باشد. 1 ‏x مثال برای تابع ‏f (x)  چون تقسيم بر صفر مجاز نيست ،دامنه تابع مجموعه تمام يعنیD R  اعداد حقيقی ناصفر است{0} ، ‏f تابع )g(x به همين ترتيب ،دامنه x مجموعه تمام عدد حقيقی نامنفی است ،يعنی }Dg R  {0 زيرا ريشه دوم عدد حقيقی xفقط وقتی تعريف می شود که داشته باشيم: ‏x 0 : مثال3-2-14 f(1), f(-x), مقادير f (x)  2x , x  R  { 1کنيد } فرض x 1 f(x-1) .را تعيين کنيد :حل : داريم 2(1) f (1)  1 11 2( x)  2x 2x f ( x)     x  1  x 1 x  1 2(x  1) 2(x  1) f (x  1)   (x  1) 1 x  3-2-17مثال : ضابطهf (x)  ‏x3 نمودار تابع fبا را رسم کنيد. ‏y 25 20 15 10 ‏f (x) x3 ‏x 1 2 3 -54 -10 -15 -20 )f(x 2- 3- 4- 0 1 8 27 -1 -8 -27 ‏x 0 1 2 3 -1 -2 -3  3-2-18مثال : 1 ‏f (x)  ضابطه نمودار تابع fبا ‏x کنيد. را رسم )f(x ‏ 4 ‏ 2 ‏x 1 ‏ 4 1 ‏ 3 ‏ 1 ‏ 1 1 2 1 ‏ 3 1 ‏ 4 ‏ 2 ‏ ‏ 3 ‏ 4 4 2 1 1 2 1 3 1 4 ‏x )f(x 1 4 1 2 1 2 3 4  3-3-1مقدمه: بسياری از توابعی که در مسائل مطرح می شوند ممکن است ترکيبی از توابع ديگر باشند .برای مثال ،فرض کنيد ) P(xمقدار سودی باشد که يک شرکت از فروش xعدد از کاال يی بدست می آورد .اگر ) R(xاز فروش xواحد و) C(xهزينه توليد xواحد کاال باشد ،داريم : )P(x)=R(x)-C(x (هزينه)(-درآمد)=(سود) به اين ترتيب می توان رفتار تابع ) P(xرا با استفاده از ويژگيهای توابع )P(xو ) C(xپيش بينی کرد .در اين بخش به بررسی اعمال جبری روی توابع می پردازيم.  3-3-2تعريف : دو تابع fو gرا برابر يا مساوی می ناميم ،در صورتی که يعنیDf (الف) دامنه های fو gمساوی باشندDg، (ب) به ازای هر xاز دامنه مشترک fو ، gتساوی ) f(x)=g(xبرقرار باشد. 3-3-3مثال : 2x2  5x ‏f (x)  تعريف, g(x) 2x الف) دو تابع با ضابطه های  5 ‏x هایDg R , Df R برابر نيستند ،زيرا مجموعه } {0 مساوی نيستند. )(2x  5)(x2 1 تعريف ‏f (x)  , g(x) 2x ب) دو تابع با ضابطه های  5 2 ‏x 1 ‏Df Dg R , x2 10 برابرند ،زيرا همواره عالوه ،به ،به ‏f (x) g(x) 2x  5 ازای هر عدد حقيقی داريم :  3-3-5تعريف : ‏D های دامنه فرض می کنيم fو gتوابعی با ‏f ,D ‏g باشند. توابع جديد ‏f ‏g , f+g , f-g , fg را بـــه صــورـتزـير تـــعـريـفمـیکــنيم: ‏Df  Dg الف)تابع حاصل جمع f+gروی با ضابطه (f  g)(x)f(x) g(x) ; x  Df  Dg ‏Df  Dg ب) تابع تفاضل f-gروی با ضابطه (f  g)(x)f(x) g(x) ; x  Df  Dg رویDf  D پ) تابع حاصل ضرب fg ‏g با ضابطه (fg)(x)f(x)g(x) ; x  Df  Dg ‏f ت) تابع خارج قسمت ‏g با ضابطه ازDf  D روی نقاطی g آن)g(x که در0 ‏f )f(x ( )(x) ; x  Df  Dg ; g(x) 0 ‏g )g(x ،  3-3-6مثال : فرض می x کنيم . f (x)  x  2 , g(x)  4دامنه های f وg عبارتند از )Df {x  R x  20}[2, ]Dg {x  R 4 x 0}( ,4 بنابراين دامنه توابع fg , f+g , f-gعبارتند از ]Df  Dg [2,)  ( ,4] [2,4 ‏f .دامنه تابع چون x=4ريشه معادله g(x)=0است ‏g برابر با بازه (f  g)(x)  x  2  4 x , x  [2,4] (f  g)(x)  x  2  , x  [2,4] 4 x (fg)(x)  x  2 4 x f x 2 ( )(x)  g 4 x , , x  [2,4] x  [2,4) f g  3-4-1مقدمه: در اين بخش به معرفی توابعی می پردازيم که در مباحث مربوط به حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش مهمی دارند. 3-4-2تعريف : اگر دامنه و برد تابع fزير مجموعه هايی از اعداد حقيقی ‏f : R  R باشند f ،را 2 ‏f ( ‏x ) ‏ ‏x يک  ‏x تابع حقيقی می ناميم.برای مثال تعريـف ،با ضابطه  3-4-3تعريف : اگر برد تابع حقيقی ، fمجموعه ای يکانی باشد آنگاه fرا يک تابع ثابت }f : R  {3 با ضابطه تعريف می ناميم .برای مثال تابع f(x)=3يک تابع ثابت است و داريم . f(-5)= , f(1)==3 , f(0)=3 نمودار ‏y ‏f(x)=3 ‏f(x)=3در شــکلزـير رـسـم شــده اـ 3 ـت س . 2 1 0 ‏x  3-4-4تعريف : اگر دامنه وبرد تابع fمجموعه عدد حقيقی و برای هر عدد حــقيقی x داشته باشيم ، f(x)=xآنگاه fرا تابع همانی می ناميم. بعضی مقادير اين تابع عبارت اند از: ‏f(0)=0 , f(-3)=-3 , f(2)=2 ‏y 2شده است . شکل زير رسم نمودار تابع همانی در ‏f(x)=x 1 ‏x 2 1 -1 -2 0 1- 2- 3-  3-4-5تعريف : مانندf : N تابعی {0} ‏N تابع فاکتوريل !f(n)=nاست. با ضابطه تعريف چند تايی از مقادير تابع فاکتوريل عبارت اند از: ‏f(0)1 ‏f(1)1 ‏f(2)2!122 ‏f(3)3!123 6 ‏f(4)4!1234 24 ‏f(5)5!12345 120  3-4-6تعريف : تابع } f : R  R {0با ضابطه تعريفf (x)  x قدر مطلق را تابع ‏x می ناميم.يادآوری می کنيم که قدر مطلق عدد حقيقی xرا با نماد نشان ‏x 0 ‏x ‏x  می دهيم و به صورت زير تعريف می کنيم: ‏x 0 ‏ x باالx  از تعريف 0 نتيجه می شود که قدر مطلق هر عدد حقيقی xعددی نامنفی است .يعنی :بعضی مقاديراين تابع عبارت اند از ‏f (0) 0 0 ‏f ( 2)   2  ( 2) 2 ‏f ( 2)  2  2 نمودار تابع قدر مطلق در شکل زير رسم شده است : ‏y ‏f (x)  x ‏x 0  3-4-8تعريف : حقيقیf : R  ‏Z تابع جزء صحيح می ناميم. توجه کنيد که برای هر عدد حقيقی ، xجزء صحيح xرا با نماد []x با ضابطه تعريف ] f(x)=[xرا تابع حقيقی][x عدد[x  ‏x] 1 نشان می دهيم وبرابر است با بزرگترين صحيح نابيشتر از ‏f (0) [0] 0 (کوچکتر يا مساوی) xتعريف می کنيم. بنابراين 3 3 ‏f ( ) [ ] 1 2 2 3 چند تا از مقادير اين تابع عبارت اند از3 : ‏f ( ) [ ]  2 2 2 ‏f ( 5) [ 5]  5 دقت کنيد که جزء صحيح هر عدد حقيقی ،عددی صحيح است وجزء صحيح هر عدد صحيح با خود آن برابر است .برای رسم نمودارتابع ] ، f(x)=[xاز مقادير زير استفاده می کنيم: اگر  4 x  3آنگاه ‏ f(x)=[x]=-4 3 x   2 اگر  2x   1آنگاهf(x)=[x]=- ‏ 1x  0 3 اگر x  1 آنگاهf(x)=[x]=-2 0 آنگاهf(x)=[x]=-11 اگر x  2 آنگاه f(x)=[x]=0 اگر 2x  3 آنگاهf(x)=[x]=1 3 اگر x  4 آنگاه f(x)=[x]=2 اگر آنگاه f(x)=[x]=3 اگر y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x  3-4تعريف : ع خطی fتابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعداد حقيقی است ،و ی هر عدد حقيقی xبا ضابطه : ‏f (x) ax b يف می شود ،که در آن aو bعدد حقيقی ثابتی هستند . دار هر تابع خطی ،يک خط راست است . دار تابع خطی f(x)=2x-1در شکل زير رسم شده است y . ‏f(x)=2x-1 1 x 2  3-4-10تعريف : تابع چند جمله ای pتابعی است که دامنه و برد آن مجموعه اعدد حقيقی است و برای عدد حقيقی xبا ضابطه ‏P(x) a0xn  a1xn 1  ... an 1x  an ‏a0 استaو تعريف می شود .در اينجا nيک عدد صحيح نا منفیn ,...,a1, ‏0و a0 عدد حقيقی اند n.را درجه چند جمله ای ) P(xو ) P(xرا يک چند جمله ای از nمی ناميم. ‏P(x)  3x2  2x  7 تابع 2 تابعq(x)  2x4  3x ‏1 يک تابع چند جمله ای درجـــه دوم و يک تابع چند جمله ای از درجه چهار است .  3-5-1مقدمه : در بخش 4-3با توابع جبری آشنا شديم .اما توابع ديگری نيز در رياضيات مطرح می شودکه جبری نيستند .اين دسته توابع را توابع غير جبری يا متعالی مي ناميم .از جمله توابع غير جبری می توان از توابع نمايی ، توابع لگاريتمی ، و توابع مثلثاتی نام برد که در اين بخش به معرفی آنها می  3-5-2تعريف : ثابتa 1, a برای هر عدد حقيقی 0 ضابطه تعريف ‏x با ،تابعf : R  ‏R ‏f (x) a را يک تابع نمايی می ناميم. ‏ax 0 بنا بر تعريف باال روشن است که برای هر عدد حقيقی xداريم يادآوری می کنيم که بنا بر خواص توان اعداد ،برای هر دو عدد 1 ‏x y ‏a x  x زيرaبرقرارند : روابط a حقيقی xوax yy ‏x الف) پ) ‏ax  y ‏a ‏a ‏ay ب) ت) ‏xy ‏y ‏x (a ) a 1 هر يک از توابع g(x) ( )x 2 ‏f (x) 2،x توابعی نمايی اند ،که نمودارهای آنها درشکلهای زير رسم شده است: ‏y ‏f (x) 2x ‏x ‏o ‏f (x) 2x 1 2 4 8 ‏x 0 1 2 3 1 2 ‏1 1 4 ‏2 x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 x x   g x ( ) 2 2 1 1 2 1 4 1 8 y 1 g(x) ( )x 2 x 2 4 8 x نمايی: e 3-5-3تابع در تعريف تابعf (x) ax ‏a ، اگر را برابر عدد گنگ eانتـخاب کنيم که ‏f (x) ex مقدار تقريبی آن تا نه رقم برابر 2/ 718281828است ،تابع نمايی )ex exp(x بدست می آيد ،اين تابع را با نماد ‏f (x) ex نيز نشان می دهند .نمودار تابع شده است. ‏f (x) ex ‏x yدر شکل زير رسم 1 0  3-5-4تعريف: فرض می کنيم aعددی مثبت 1 باشدaو با ‏x ‏f (x) loga ضابطه تعريف نا ميم . حقيقی تابع f : R  ‏R . را تابع لگاريتم در مبنای aمی ‏y ‏a يادآوری می کنيم که x منظور از لگاريتم عدد مثبت xدر مبنای ، aعدد ی ‏x ‏loga ‏x لگاريتم xدر مبنای a است مانند yبه طوری که .  ay x ‏loga y را با نماد نشان می دهيم .بنابر اين همواره داريم : مثال3-5-5 25 5 2 5 25 log 4 2 داريم 2 1 1   log216  4 16 1 1 10   log10100  3 1000 3 1 30 1 log3 0 7 71 7  log7 1  3-5-12نمودار تابع لگاريتمی: اگر مبنای لگاريتم را عدد 10اختيار کنيم ،لگاريتم را لگاريتم معمولی يا اعشاری می ناميم.در لگاريتم معمولی ،عدد مبنا را معموال ‏x نمی نويسند، ‏log logx 10 به عبارت ديگر: ‏y ‏F(x)=lo نمودار تابع لگاريتم معمولی در شکل ‏gx زير رسم شده است . ‏x 1 x نمودار تابعf (x) log2 در شکل زير رسم شده است . ‏y 1 ‏x ‏x ‏f (x) log2  3-5-13تابع لگاريتم طبيعی: در محاسبات لگاريتمی اگر مبنا را عدد گنگ eاختيار کنيم، لگاريتم را لگاريتم طبيعی يا لگاريتم نپری می ناميم .معموال لگاريتم طبيعی را با نماد lnنمايش می دهند .به عبارت ديگر: ‏x ‏e ‏log lnx در اين بخش برخی از ويژگی های توابع را بررسی می کنيم. 3-6-2مثال : الف)اگر f (x) 5x4  3x2 1 اعداد ‏f ( x) 5( x)4  3( x)2 1 حقيقی است ،داريم ،چون دامنه fمجموعه تمام )f (x ‏5x4  3x2 1 بنابراين ، fيک تابع زوج است کنيمg(x)  2x5  3x3  7 ب)فرض می x تابع g مجموعه تمام اعداد حقيقی است ،داريم .چون دامنه g( x)  2( x)5  3( x)3  7( x) 2x5  3x3  7x  g(x) .يک تابع فرد استg بنا براين ، را در نظر می گيريم 4 h(x) 3x4  2x3  x2  1 پ) تابع 3 2 h( x) 3( x)  2( x)  ( x)  1 داريم 3x4  2x3  x2  1 h( x)  h(x),h( x) h(x) نه ذوج استh تابع، چون نه فرد  3-6-5تعريف : الف) اگر عددی مانند Mوجود داشته باشد به طوری که برای هر x ‏f (x) M از دامنه fداشته باشيم. آنگاه fرا از باال کراندار می ناميم . ب) اگر عددی مانند Nوجود داشته باشد به گونه ای که برای هر xاز ‏f (x) N دامنه fداشته باشيم : آنگاه fرا از پايين کراندار می ناميم. پ)اگر عددی مانند M >0وجود داشته باشد بطوری که برای هر xدامنه f داشته باشيم ‏ M f (x) M يا ‏f (x) M آنگاه fرا کراندار می ناميم . ت) اگر تابع fکراندار باشد ،آن را بی کران می ناميم . y =M ‏y =N الف)تابع از باال کراندار پ) تابع کراندار ب) تابع از پايين کراندار ت) تابع بی کران  3-6-7مثال : الف)اتوابع سينوس و کسينوس کراندار است ،زيرا به ازای هر عدد حقيقی x داريم ‏ 1cosx 1 ‏ 1sinx 1 و کراندار است ،زيرا برای هر عدد ب) تابع f (x) 2x2 1از پايين حقيقیx داريم ‏f (x) 2x2 11 پ) تابع g(x) 1 x2از باال کراندار است ،زيرا برای هر عدد حقيقی x داريم ‏g(x) 1 x2 1 ت) تابعh(x) x3  2 که نه از باال کراندار است نه از پاين بی کران است زيرا هر دو خط افقی y=Mو y=-Mرا که در نظر بگيــريم ، 3 ( ‏1, h تابعM نقطه روی نمودار) 3 ‏Mدارد که در خارج ناحيه بين وجود اين دو خط ‏y M واقع است .مثال نقطه قرار دارد روی نمودار تابع h ولی بيرون از ناحيه بين دو خط است .  3-6-9تعريف : ازای xهر و الف) تابع fرا صعودی می ناميم اگر به2 x1 که داشته باشيم از دامنه f )f (x1)  f (x2 ب) تابع fرا نزولی می ناميم اگر به x1 ازایx2هر که داشته باشيم و دامنهfx از 1  x2 )f (x1)  f (x2 پ) در صورتی که تابع fدر هيچ يک از ويُژگيهای (الف) و (ب) صدق نکند ،می گوييم fنه صعودی است نه نزولی .  3-6-12تعريف : xهر x2و ازای تابع f : A  Bرا يک به يک می ناميم اگر به 1 از ‏x1 x2 )f (x1) f (x2 . ايجاب کند که دامنه fتساوی 3-6-13مثال : الف) تابعf : R  R ،زيرا ‏x2 x1 به ازای هر و تعريف f (x) 2x3 ‏5 با ضابطه )f (x1) f (x2 داشته باشيم از ، Rاگر 3 3 2x1  5 2x2  5 آنگاه بدست می آوريم x13 x23  x1 x2 يک به يک است ،يا R R تابع ب) نيست ، تعريفg(x) x2 با ضابطه  7 يک به يک )g(x1) g(x2 2 به دست2 می آوريمx ‏ 7 ‏ ‏x 1 2 7 زيرا از تساوی 2 2 ‏x1 x2 x1 x2 يا که از ان نتيجه می شود با هم 2 ‏g( 2) ( 2)  7  3 مساوی نيستند ،مثال ‏x2 x1 .بنابر اين و ‏g(2) 22  7  3 2  2 می بينيم که ) g(-2)=g(2در حالی که وبنابر اين gيک  3-6-14تعريف : تعريف 12-6-3را می توانيم به صورت زير بيان کنيم : تابع f : A  Bرا يک به يک می ناميم اگر به x1 ازایx2هر و از دامنه ‏x1 x2 تابع fکه داشته باشيم )f (x1) f (x2 3-6-15مثال : تابعf (x)  x ،زيرا 1 يک به يک نيست 1 ) يعنی. f (1) f ( 1 ، که1  در حالی 1  3-6-16تعبيرهندسی يک به يک بودن : ‏y ‏y )y=f(x ‏x )y=g(x ‏x  3-6-18قضيه : اگر تابع fصعودی يا نزولی باشد ،آنگاه fيک به يک خواهد بود. 3-6-20نکته: عکس قضيه 18-6-3برقرار نيست ،به بيان ديگر ،ـ اگر تابعی يک به 2 نزولیxنيست .برای مثال تابع: يا صعودی0 يک باشد ،الزاما x  1 ‏y ‏ ‏f (x) 0 ‏x 1 ‏x3 ‏x 1 ‏ يک به يک است در حالی که نه صعودی است نه 1 نزولی . 0 ‏x  3-6-21تعريف : تابع f : A  Bراپوشا می ناميم اگر به ازای هر bاز برد تابع ، fعضوی مانند aاز دامنه fوجود داشته باشد به طوری که داشته باشيم : : مثال 3-6-22 )b=f(a ‏f :R  R الف) تابع تعريفf (x) 2x3 ‏5 با ضابطه پوشاست. زيرا برای ) b=f(aيا هر bاز برد تابع fيعنی ، Rمعادله ‏b 2a3  5 ‏b 5 2 دارای يک ريشه حقيقی ‏a 3 است و داريم: ‏b 5 3 ‏b 5 3 (f (a) 2 ()  5 2 )  5 b 2 2 چون برای هر عضو برد fمانند ، bعضوی از دامنه fمانند a وجود دارد به گونه ای که ) b=f(aپس fتابعی پوشاست. تعريف g(x) 2x2، 1 ب) تابع g: R  Rبا ضابطه نيست،ـ زيرا پوشا ‏b 2a2  1 اگر عضو دلبخواهی از برد gباشد از ) b=g(aيا ‏b 1 ‏a  نتيجــه 2 می گيريم که : از اينجا مثال به ازای b=-5جوابی برای aبدست نمی آيد، پس gپوشا نيست .به عبارت ديگر -5عضوی از برد gاست که تصوير هيچ عضوی در اين بخش وارون تابع را تعريف می کنيم و به بررســـی خواص آن می پردازيم. 3-7-1وارون تابع: تابع f : R  Rرا در نظر می گيريم و آن را به صورت مجموعه ای })f {(x , y) y f (x از زوجهای مرتب می نويسيم: رابطه gرا به صورت زير تعريف می کنيم: })g {(y , x) y f (x روشن است که اعضای رابطه gاز تعويـــض مو لفه های اول و دوم اکنون می خواهيم ببينيم تحت چه شرايطی gتابعی از Bبه Aخواهد بود . ‏b B الف) برای هر به(b, a باشد)  ‏g طوری بايد عضوی مانند aدر Aوجود داشته که در اين صورت خواهيم داشت ) . b=f(aپس که ب) بايد ‏f باشيمx باشدg .و (y , x2)  پوشا)(y , x1 اگر  g ،به بايد داشته 1 x2 عبارت ديگر ‏x1 x2 )f (x1) f (x2 .پس f نتيجه گرفت که بايد بتوان از تساوی بايد يک به يک باشد ،پس برای آنکه gتابعی از Bبه Aباشد ،بايد f تابعی يک به يک و پوشا باشد .بر عکس ،به آسانی می توان نشان داد که  3-7-2تعريف : اگر f : R  Rتابعی يک به يک و پوشا باشد رابطه: } g {(y , x) (x , y)  f ‏1 را که تابعی از Bبه Aاست وارون تابع fمی ناميم fو با نماد نشان می دهيم.پس ‏f 1:B A ‏f1 دقت کنيد که دامنه fاست . ‏f  1 {(y , x) (x , y)  f } , ‏f1 برابر با برد fو برد برابر با دامنه در شکل زير وارون تابع توضيح داده شده است . f x 1 x f (y) f1 y f (x)  x f  1(y) A y=f(x) B  3-7-4مثال : 3 ‏f (x)  ‏x تعريف تابع f : R  Rبا ضابطه ،يک به يک و پوشاست(چرا؟) ‏y x3 پس دارای وارون است .برای محاسبه وارون اين تابع ، معادله ‏x 3 y را بر حسب xحل می کنيم و به دست می آوريم: ‏y 3 x در تساوی اخير ،جای xو yرا عوض می کنيم ،خواهيم داشت: ‏f  1(x) 3 x , f  1 : R  R پس وارون fعبارت است از: نمودار های توابع  1fوf در شکل زير رسم شده است . ‏1 ‏f توجه کنيد که نمودارهای fو نسبت به خط y=x قرينه اند. ‏y ‏x 0 ‏y=x x ‏a نمايی 3-7-6وارون تابع ‏ ‏f :R  R فرض می کنيم : ضابطه)f (x با ax ، و تعريف می شود . ‏a>0 که در آنa 1 )f (x1) f (x2 الف) تابع fيک به يک است ،زيرا تساوی نتيجه می شود ‏ax1 ax2 يا پوشاست ،ـ زيرا اگر bbعضو دلبخواهی از برد f ب) تابع f ‏x باشد ،از ba ‏x loga ) b=f(xيــا ‏logab ‏ـود f (x) aو دارـيـم: ‏bشـ نــتيجه مـی از (الف) و(ب) نتيجه می شود که تابع fدارای وارون است . معادلهy برای محاسبه وارون ، fاز ax برحسب yتعيين می کنيم : ‏y مقدار xرا ‏y ax  )x loga f  1(y اکنون در تساوی اخير جای xو yرا عوض می کنيم، خواهيم داشت: ‏x ‏x ‏y log ‏ ‏f  1(x) log ‏a ‏ax بنابراين ،وارون تابع نمايی بر عکس. ‏a ‏x ‏loga تابع لگاريتمی است و 3-7-7نتيجه : ‏x ‏y e )1دو تابع y=ln xو بنابر 6-7-3وارون يکديگرند. ‏x 10وy  ‏y=log )2دو تابع x بنابر 6-7-3وارون يکديگرند. فصل چهارم حد و پيوستگی توابع :هدف کلی هدف کلی فصل اين است که با مفهوم حد تابع ،قضيه های حدی ،حدهای چپ وراست تابع ،حد در بينهايت ،و پيوستگی تابع در بينهايت وپيوستگی تابع در يک نقطه حقيقی ودر يک بازه آشنا شويد :هدفهای رفتاری :از شما انتظار می رود پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد .مـفهـوم حـد را تـــوضـيح بـــدهيد)1 .حـد تـــابـعـ را در نــقطه مـتناهی در يــا تـــعـريـفکــنيد )2 ‏ يــا در .حـد تـــابـعـ را در نــقطه مـتناهی مـحاسـبه کــنيد )3 قــضايایحـد را بـــيانکــنيد وآـنـهـا را در مـحاسـبه حـد بـــه کــار)4 .بـــبريد صــورـتـهـایمـبهم يــا نــامـعينحـدیرا تـــشخيصبـــدهيد وـمـقدار )5 واـقـعیحـد دادـه .شده را محاسبه کنيد  )6حدهای راست و چپ را تعريف کنيد ورابطه ميان حدهای يک طرفه و حد تابع را توضيح دهيد وآن را در حل مسائل به کار ببريد )7مفهوم پيوستگی تابع را در يک نقطه توضيح بدهيد. )8رابطه بين پيوستگی تابع در يک نقطه وحد تابع در آن نقطه را بيان کنيد. )9نقاط پيوستگی و نا پيوستگی توابع داده شده را تعيين کنيد. )10پيوستگی از راست واز چپ را توضيح بدهيد. )11پيوستگی تابع را در بازه های باز و بسته تعريف کنيد. )12قضيه های پيوستگی را تعريف کنيد و آنها را در حل مسائل :مقدمه مفهوم حد يکی از مفاهيم اساسی در حساب ديفرانسيل و انتگرال است .در اين فصل ابتدا با مفهوم حد به طور شهودی آشنا می شويم و سپس پيوستگی تابع را بررسی می کنيم :مـقدمـه 4-1-1 گاهی الزم است رفتار تابعی را در نزديکی نقطه ای بررسی کنيم تا معلوم شود که وقتی متغير مستقل به آن نقطه نزديک می شود مقادير تابع به عدد ثابتــی نزديک می شوند يا نه.ابتدا با يک مثال مفهوم شهودی حد را توضيح می دهيم. :مـثاـل4-1-2 ابع ‏f(x)=2x-3را در نظر می گيريم. باf : ‏R R ضابطه تعريف می خواهيم رفتار اين تابع را هنگامی که xبه عدد 2نزديک می شود بررسی کنيم. حل: به اين منظور جدولی از مقادير fرا به ازای xهايي که به اندازه دلبخواه به عدد 2نزديک باشند تشکيل می دهيم: 1 0/9998 1/99 1/999 2 0/998 2/01 2/1 1/02 2/001 1/002 ‏x 1/9 0/8 1/9999 0/98 )F(x ‏x 2/0001 1/0002 1/2 ‏F(x جدول باال نشان می دهد هر قدر xبه عدد 2نزديکتر باشد مقدار )f(x به عدد يک نزديکتر می شود .به عبارت ديگر می توانيم مقادير )f(x را تا هر اندازه که بخواهيم به عدد 1نزديک کنيم به شرطی که xرابه ‏f (x)  1 اندازه کافی نزديک به عدد 2نه لزوما برابر با 2انتخاب ‏ 2 کنيمx.به بيان رياضی مشروط براينکه را می توانيم به دلخواه کوچک کنيم را به اندازه کافی کوچک انتخاب کنيم. :تـــعـريـف4-1-3 عدد Lرا حد تابع fدر aمي ناميم اگر برای هر   0عدد مثبتی  مانند (معموال وابسته به )وجود داشته باشد به طوری که 0 x  a    f (x)  L   در اين صورت می نويسيم: ‏limf(x) L ‏x a و می خوانيم حد ) f(xوقتی xبه سمت aميل می کند برابر Lاست . ‏توجه کنيد که ‏ x a   به0معنای ‏aوx ‏x  a  است . y )Y=f(x ‏L ‏L ‏L  ‏a  ‏x ‏a ‏a  بنابر شکل 1-4اگر حد تابع fوقتی که xبه aميل ميکند برابر Lباشد آنگاه وقتی xبر محور افقی قائم بين ‏L  و بينa   وa   قرار خواهد داشت. ‏L  واقع باشد ) f(xبر محور  4-1-5مثال ‏3x 1 f (x) در x=0حد ندارد. ‏3x  1 ‏x 0 نشان بدهيد که تابع ‏x 0 :حل فرض می کنيم حد تابع fدر x=0برابر Lباشد (فرض خلف) .پس بنابر 1 ‏ 0 ‏ 2 تعريـف حـد برای هـر دارد به گونه ای که: 0 x   اما آنگاه از جملـه ‏ 0 عددی ماننـد وجــود 1 0 x  0    f (x)  L    2 ‏x 0 معادل با 1 2 ‏   x 0 ‏   x  و است .اکنون اگر ‏f (x)  L  3x  1 L  ‏f(x)=3x-1در نتيجه بنابر ( )1داريم : واگر 0 X   آنگاه f(x)=3x+1و در نتيجه بنابر ( )1داريم: 1 2 ‏f (x)  L  3x 1 L  از روابط باال به دست می آوريم: )211 11 (3x  L)  (3x  L ) (3x 1 L)  ( 3x 1 L ‏ 3x 1 L   3x 1 L ‏ 3x 1 L  3x  1 L 1 1 ‏  1 2 2 که اين يک تناقض است .بنابر اين فرض خلف باطل است و fدر x=0 حد ندارد .به شکل اساليد بعدی نگاه کنيد: y 4 1 -1 x -1 F(x)=3x-1 -4 limf (x) limg(x) limh(x) 4 x 1 x 1 x :مـقدمـه 4-2-1 محاسبه مقدار حد تابع با استفاده از تعريف حد و به کمک غالبا طوالنی و و پيچيده است .در اين بخش قضيه هايی را در مورد حد بيان می کنيم و با روشهای محاسبه حدهای توابع آشنا می شويم .از اثبات اين قضيه ها صرف نظر کرده ايم.  4-2-2قضيه : فرض می کنيم )limg(xو )f (x limهر دو موجود باشند .در اين صورت: ‏x a ‏x a الف) اگر cعدد ثابتی باشد آنگاه )limCf(x) C limf (x ‏x a ‏x a ب) اگر rعدد حقيقی مثبت باشد آنگاه ‏lim [f(x)]r [limf (x)]r ‏x a پ) ‏x a ‏lim )[f(x) g(x)]limf (x) limg(x ‏x a ‏x a ‏x a lim [f (x) g(x)]limf (x) limg(x) )ت lim [f (x)g(x)](limf (x))( limg(x)) )ث x a x a x a x a limf (x) f (x) lim  x a x a g(x) limg(x) x a x a g(x)  0 ) ج: آنگاهlim اگر x a x a limf (x)  limf (x) x a x a )چ ح) اگر nعدد صحيح مثبتی باشد ،آنگاه : )limn f (x) n limf (x ‏x a ‏در اين رابطه اگر nزوج باشدlimf (x) ، ‏x a ‏x a بايد مثبت باشد. 4-2-3قضيه : اگر n , mو aسه عدد دلبخواه باشند ، آنگاه : ‏lim(mx  n) ma  n ‏x a :نــکته 4-2-8 بنابر نتيجه 7-2-4برای تعيين حد يک تابع چند جمله ای يا تابع گويا، کافی است مقدار تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنيم .البته مشروط بر اينکه تابع در آن نقطه تعريف شده باَشد .برای مثال داريم: ‏lim(2x4  3x3  x2  5x  2) 2( 1)4  3( 1)3  ( 1)2  5( 1)  2 ‏x  1 ‏13 همچنين چون ‏x2  3x  4 ‏r(x)  3 تابعی گوياست ،داريم : 4x  3x  7 ‏x2  3x  4 (1)2  3(1)  4 ‏lim 3 ‏ ‏x 1 4x  3x  7 4(1)3  3(1)  7 2 1 ‏  8 4 :تـــذکر 4-2-9 در اکثر موارد ،قبل از اينکه بتوانيم قضيه های حد را به کار ببريم ،الزم است که ضابطه تعريف تابع داده شده را ساده کنيم به مثال زير توجه کنيد :مـثاـل4-2-10 حدهای زير را محاسبه کنيد. ‏x2  9 ‏lim )الف x 3 x  3 :حل الف) تابع ‏x 9 3 )ب ‏x ‏lim ‏x 0 2 (3)2  9 0 ‏x ‏9 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ x  3در x=3تعريف نشده است .زيرا 3  3 0 نامعين است .اين امر مشکلی به وجود نمی آورد .زيرا حد اين تابع وقتی x به 3ميل می کند تنها به مقادير xدر نزديکی 3بستگی دارد و مقدار x=3 را شامل نمی شود .از طرفی می دانيم : )x2  9 (x  3)(x  3 پس به ازای x 0داريم : )x2  9 (x  3)(x  3 ‏ ‏x  3 ‏x 3 ‏x 3 در نتيجه خواهيم داشت: ‏x2  9 ‏lim ‏lim(x  3) 3  3 6 ‏x 3 x  3 ‏x 3 ب) چون به ازای x=0مخرج کسر به صفر ميل می کند نمی توانيم قضيه ( 4-2-2ج) را مستقيما به کار ببريم ،ولی با اســتفاده از يک فن جبری می توانيم اين حد را قابل محاسبه کنيم .به اين منظور ،صورت و مخرج کس ا در مزدوج صورت يعنی ‏x  9  3ضرب می کنيم وبه دست می آوريم:    x 9 3 . x   x 9 3 x  9 9  x  9  3 x( x  9  3) x  x( x  9  3) 1  x 9 3 1  x 9 3 : داريمx 0 که به ازای x 9 3 1 lim lim x 0 x 0 x x 9 3 بنابراين: : (ج) خواهيم داشت2-2-4 اکنون بنابر قضيه lim1  x 0 lim( x  9  3) x 0  1 lim(x  9)  lim3 x 0 1  9 3 1  6 x 0 مـقدمـه4-3-1 تابع fرا با ضابطه زير را در نظر می گيريمx 0: ‏x 0 در 5-1-4نشان داديم که اين تابع در x=0حد ندارد. ‏F(x)=3x+1 ‏3x 1 ‏f (x)  ‏3x  1 ‏y 1 ‏x -1 ‏F(x)=3x-1 چنان که در شکل ديده می شود،ـ وقتی که xاز سمت راست به صفر نزدي می شود f(x) ،به عدد 1نزديک می شود ،و هنگامی که xاز سمت چپ (از طرف اعداد منفــی) به صفر نزديک می شود f(x) ،به عدد ( )-1نزديک می شود .در اين صورت می گوييم حد راست تابع fدر نقطه 0برابر با 1 حد چپ تابع fدر نقطه 0برابر با ( )-1است . اکنون به تعريف حدهای راست و چپ تابع که حدهای يک طرفه ناميـــده می شوند می پردازيم.  :تـــعـريـف4-3-2 فرض می کنيم تابع fدر بازه ( )a , bتعريف شده باشد ، اگر برای هر ‏ 0 ‏ 0 عدد حقيقی طوری که: داشته 0باشد به مثبتی وجود x  a مانند    f (x)  L عدد   ‏lim f(x) L آنگاه عدد Lرا حد راست تابع در نقطه x a x=aمی ناميم.ومی نويسيمx  a : ‏x  a نماد به معنای x>aو ‏x ‏y است . ‏C ‏L ‏a 0  4-3-3تعريف : فرض می کنيم تابع fدر بازه ( )a , bتعريف شده باشد .اگر 0 برای هر عدد مثبتی مانند ‏ وجود داشته باشد به طوری که: ‏   x  a 0 f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد چپ تابع در نقطه x=aمی ناميم.ومی نويسيم: ‏lim f(x) L ‏x a نماد ‏y بهx  ‏a معنای x>aو x  aاست . ‏L ‏x ‏a ‏b 0  4-3-4نکته: تمام قضيه هايي که در بخش 2-4بيان کرديم يا دادنx  قرار a باx  a ‏x a به جای همچنان معتبرند. 4-3-5مثال : تابع fبا ضابطه تعريف زير را در نظر بگيريد. ‏x 1 ‏x 1 ‏3x  2 ‏f (x)  ‏5x  2 حد چپ و حد راست تابع fرا در صورت وجود در x=1 تعيين کنيد. حل: ‏lim ‏f (xx=1 برای محاسبه حد راست تابع fدر ) يعنی ‏ ‏x 1 چون ‏x  1 ‏x 1 پس وبنابراين: و . x>1در اين حالت داريم f(x)=3x+2 ‏lim ‏f (x)  lim (3x  2) 3(1)  25 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 ‏lim )f (x ‏ ‏x 1 ‏x  1 چون ‏x 1 برای محاسبه حد چپ تابع fدر x=1يعنی پس ‏limf (x) lim (5x  2) 5(1)  23 ‏ ‏x ‏ 1 و . x<1در اين حالت داريم f(x)=5x-2و بنابراين : ‏x 1  4-3-8مثال : بنابر نتيجه ( 7-3-4الف) تابع fدر مثال 5-3-4در نقطه x=1 حد ندارد. روشن است که اين تابع در هر نقطه حقيقی به استثنایx=1 دارایحد است. 4-3-9نکته: تابع جزء صحيحf (x)  x، x  R را در نظر می گيريم .می خواهيم حد چپ و حد راست fرا در نقطه x=2تعيين کنيم. يادآوری می کنيم که منظور از جزء صحــــيح ،xبزرگترين عدد صحيح نابزرگتر از xاست . y 3 2 1 ( 0 1 2-h ) 2 3 2+h 4 x به طوری که در شکل ديده می شود،ـ تابع fهنگامی که x به سمت 2ميل می کند دارای حد نيست زيرا وقتی که xبرابر 2يا کمی بزرگتر از 2 به  اختيار شود مقادير تابع fبسيار نزديک 1 ‏ x2خواهند بود .اما هنگامی که xاـندکـیکــوچـکتر از ، 2مـثال 999/1بـــاشد دارـيـم عبارـتدـيـگر اگر hعددی مثبت و کوچکتر از يک باشد ،ـيعنی ، h<1<0آنگاه : به ازای هر xکه h<x<2-2داريم : [1=]x .بـــه در نتيجه بنابر تعريف های 3-3-4و ،2-3-4حد چپ و حد راست f در x=2برابرند با: ‏limf (x)  lim [x] 1 ‏ ‏x 2 ‏x 2 ‏lim ‏f (x)  lim [x] 2 ‏ ‏ ‏x 2 ‏x 2 چون حد چپ و حد راست تابع جزء صحيح در x=2برابر نيستند ،اين تابع بنابر نتيجه ( 7-3-4الف) در x=2حد ندارد. به همين ترتيب به ازای هر عدد صحيح nمی توان نشان داد که تابع [ ]xدر x=nحد ندارد و داريم : ‏n Z ‏lim [x] n  1 ‏ ‏n Z ‏lim [x] n ‏ ‏x n ‏x n روشن است که تابع جزء صحيح در هر عدد حقيقی غير صحيح دارای حد است .برای مثال : ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5 , ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5 در نتيجه ،بنابر قضيه 6-3-4داريم : ‏lim [x] 2 ‏x 2/ 5  4-4-1مثال: 1 ‏f (x)  تابع fبا ضابطه (x  1)2 اين تابع در شکل زير رسم شده است . را در نظر می گيريم .نمودار اکنون مقادير fرا هنگامی که xنزديک به يک باشد بررسی می کنيم. به جدول زير توجه کنيد: 1/001 108 1/01 106 1/1 100 104 1/5 1/3 1/0001 9 100 4 2 ‏F(x) 1 به طوری که در جدول باال می بينيم ،هر قدر xاز سمت راست به 1 نزديکتر شود ،مقدار ) f(xبزرگتر می شود .به اين ترتيب می توان ) f(xرا بـــیاـندازـه بـــزرـگکــرد مـشروـط بـــر آـنـکه xبـــی 1 اـندازـه از ســمت ‏lim ‏ (x  1)2 ‏X ‏x 1 راست به يک نزديک شود .اين خاصيت را با نماد زير نشان اکنون مقادير ) f(xرا هنگامی که xاز سمت چپ نزديک به يک باشد بررسی می کنيم .به جدول زير توجه کنيد: 0/999 108 0/9 0/99 106 100 104 0/5 0/7 0/9999 9 4 100 0 ‏X ‏F(x) 1 به طوری که درجدول باالمی بينيم هر قدر xاز سمت چپ به 1نزديکتر شود ،مقدار ) f(xبزرگتر می شود.اين خاصيت را با نماد زير نشــان می دهيم : 1 ‏ 2 )(x  1 ‏lim ‏ ‏x 1  4-4-3مثال : ‏1 ‏g(x)  تابع با روشی مشابه مثال 1-4-4می توان رفتار (x  1)2 را در نزديکی نقطه يک بررسی کرد. تابع gکه نمودار آن در شکل زير رسم شده yاست . 1 ‏x ‏1 (x  1)2 ‏g(x)  -1 g(x)  1 (x  1)2 مشاهده می کنيم هنگامی که xنزديک به عدد يک شود مـــقدار )g(x بی اندازه کوچک می شود .اين خاصييت را به صورت زير ‏1 نشــــان ‏lim ‏ ‏ ‏x 1 (x  1)2 می دهيم: 4-4-4تعريف : وجود داشته اگر برای هر ، M<0عدد مثبتی  0 مانند باشد .به طوری که0 x  a    f (x)  :M آنگاه حد تابع fرا هنگامی که xبه سمت aميل می کند ،بينهايت منفی می ناميم و می نويسيم: ‏limf(x)   ‏x a  4-4-5تذکر: باشيمlimf (x)  وقتی که داشته  ‏x a ‏ ندارد،زيرا  يا می گوييم fدر aحد نيستند . 4-4-6مثال : 1 تابع ‏f (x)  xرا در نظر می گيريم . نمودار اين تابع در شکل زير رسم شده است . ‏limf (x)  يا ‏x a اعدادی حقيقی چنان که در شکل ديده می شود ،هنگامی که xاز سمت راست به صفر نزديک می شود ،مقادير تابع بزرگ و بزرگتر می شوند ،يعنی 1 داريم : ‏lim  ‏x ‏x 0 اگر xاز سمت چپ به صفر نزديک شود ،مقادير تابع منفی اند و کوچک وکوچکتر می شوند ،يعنی داريم 1 ‏lim ‏ ‏ ‏x 0 x  4-4-8قضيه : اگر nعدد صحيح و مثبتی باشد ،آنگاه 1 داريم: ‏ الف) ب) ‏n ‏x ‏lim ‏x 0 اگر nفرد باشد   1 ‏lim n  ‏x 0 x اگر nزوج باشد   قضيه باال را می توان به صورت زير تعميم داد. 4-4-9قضيه : الف) اگر تابع fدر حالی که همواره مثبت است ،به سمت 1 صفر ميل کند آنگاه : ‏lim ‏ )f (x ‏x a ب) اگر تابع fدر حالی که همواره منفی است ،به سمت 1 صفر ميل کند آنگاه : ‏lim ‏ )f (x ‏x a : مثال4-4-13 4 x2 . را محاسبه کنيدxlim حد  2 x 2 2 lim 4 x   x 2  2 lim 4 x  x 2  0 0 lim (x  2) 0 حل: : داريم و x 2 و 4 xيا2 0 x2نتيجه  4 و در xو  2x<2 پسx  2چون 4  x2 4  x2 4  x2  . x 2 x 2 4  x2 4  x2  (x  2) 4 x2  : داريم   (2 x)(2 x)  (2 x) 4 x2  (2 x) 4  x2 در حالی که هميشه مثبت است 4 xو2 lim 4 x2 0 چون x 2 به سمت : (الف) داريم9-4-4 بنابر قضيه، صفر ميل می کند 1 :در نتيجه به دست می آوريم lim  x 2 4 x2 4 x2  (x  2) lim  lim x 2 x 2 x 2 4 x2  lim  (2 x)   x 2   1   lim   4()   x 2 2  4 x    4-5-1مقدمه: در اين بخش به بررسی رفتار تابعی مانند fهنگامی که x به اندازه کافی بزرگ شود ،می پردازيم .وقتی می گوييم xمقادير بزرگ را به دلخواه ‏x مثبت مقدار اختيار می کند ،منظور اين است که xاز هر  دلـبخواه مانند Mبـــزرـگـتر بـــاشد ،ـ و در اـيـنصــورـتمـینــويـسيم: ‏x   هر گاه xهر مقدار دلبخواه كوچکتر از هر عدد منفی مانند  4-5-2مثال : 3x2 ‏f (x)  2 تابع x 1 رادر نظر می گيريم .نمودار اين تابع در شکل زير رسم شده است . در جدول زير مقادير ) ، f(xبرای بعضی مقادير بزرگ x محاسبه شده است . 1000 300000000 100000001 3000000 1000001 100 10000 30000 100001 10 300 101 به طوری که در جدول باال می بينيم ،به تدريج که مقادير مثبت xبزرگتر می شوند ،مقادير ) f(xبه عدد 3نزديکتر می شوند .اين خاصيت را به 3x2 ‏lim ‏3 ‏x  x2 1 صورت زير نشان می دهيم: ‏x ‏F(x ) در جدول زير مقادير ) f(xبرای بعضی مقادير کوچک ومنفی xمحاسبه کرده ايم: -10000 300000000 100000001 -1000 3000000 1000001 -100 30000 100001 -10 300 101 ‏x )F(x توجه کنيد که برای هر عدد حقيقی xداريم )، f(-x)=f(xيعنی f تابعی زوج است .بنابراين به تدريج که مقادير منفی xکوچکتر می شوند، مقادير )f(x 3x2 خاصيت را به صورت زير نشان به عدد 3نزديک می شوند.3اين ‏lim ‏x  x2 1 می دهيم:  4-5-4تعريف : اگر برای 0 هر  عدد مثبتی مانند ( Mمعموال  وابسته به ) وجود داشته باشد به طوری که: ‏x  M  f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد تابع ، fهنگامی که xبه سمت بينهايت مثبت نويسيمlim: ميل می کند ،می ناميم و میf(x) L ‏x  4-5-4تعريف : هر،  عدد مانند ( N<0معموال  وابسته به ) وجود اگر برای 0 داشته باشد به طوری که: ‏x  N  f (x)  L   آنگاه عدد Lرا حد تابع ، fهنگامی که xبه سمت بينهايت منفی نويسيم: ‏lim میf(x)  ميل می کند ،می ناميم و L ‏x    4-5-5قضيه : اگر nعدد صحيح مثبتی باشد ،آنگاه داريم : الف) 1 ‏0 ‏n ‏x  x ب) 1 ‏lim n 0 ‏x  x ‏lim تعميم قضيه باال به صورت زير است . 4-5-6قضيه : فرض می کنيم aعددی حقيقی يا يکی از    نمادهای يا ‏limf (x)  ‏x a باشد .در اين صورت اگر 1 ‏lim ‏0 )x a f (x آنگاه : ‏limf (x)  يا ‏x a : تذکر4-5-7 4-4 و2-4 تمام قضيه هايی که درباره حد در بخشهای ديديم در x   نيز صدق يا x   مورد حدهايی که در آنها .می کند : مثال4-5-8 را محاسبهxlim   3x  4 2x  1 .کنيد 4 3x  4 x lim  lim حل: x  2x  1 x  1 2 x 4 1 lim[3  ] lim 3  4 lim x  3  4(0) 3 x  x  x x     1 1 2 0 2 lim[2 ] lim 2  lim x  x  x  x x 3  4-5-10مثال : 5x2  3x xlimرا محاسبه کنيد. حد   2x 1 حل 2 رای محاسبه حد داده شده ،صورت و مخرج کسر را xبر تقسيم می کنيم. 3 5x2  3x ‏x ‏lim ‏ lim ‏x  2x 1 ‏x  2 1 ‏ ‏x x2 3 ‏ ‏lim 5  ‏x  ‏x ‏ ‏ ‏2 1 ‏lim  2  ‏x  x ‏x  ‏ 5 اکنون حد صورت ومخرج را جداگانه در نظر می گيريم: 3 1 ‏ ‏lim 5   lim5 3 lim ‏x  ‏x  x ‏x  x  ‏ ‏5 3(0) 5 1 1 ‏2 1 ‏lim  2  2 lim  lim 2 ‏x  x ‏x  x ‏x  x ‏x  ‏ ‏2(0) 00 حد صورت عدد مثبت 5است و مخرج در حالی که همواره مثبت است به صفر ميل می کند ،در نتيجه بنا 2بر قضيه ( 9-4-4الف) 5x  3x ‏lim ‏ داريم : ‏x  2x 1 نتايج حاصل از سه مثال اخير را می توان به صورت زير خالصه کرد. : مثال4-5-12 .را محاسبه کنيد lim x  2x 2 x 3  lim x  lim x  2x 3 x (1 2 ) x 2 2x x2  3 حل: x2  x يعنی x x>0 نتيجه می شودx   از  lim x   lim x  :و بنابراين داريم 2x x 1 3 x2 2 3 1 2 x  2 2 10  4-5-18حد تابع لگاريتمی: با توجه به نمودار تابع لگاريتم طبيعی x>0 ، f(x)= lnxحد های زير را داريم : الف) ب) ‏lim lnx  ‏x  ‏limlnx  ‏y ‏x 0 ‏f(x)= lnx ‏x 1 0  4-5-19حد تابع نمايی: نمايی)f (x با توجه با نمودار تابع ex الف) حدهای زير را داريم : ‏lim ex  ‏x  ب) ‏lim ex 0 ‏x  پ) ‏limex 1 ‏y ‏x 0 ‏f (x) ex ‏x 1 0  4-6-1مقدمه: در اين بخش به معرفی مفهوم پيوستگی تابع ،که شرط قويتری از حد داشتن تابع است ،می پردازيم. 2 -4-6تعريف : تابع fرا در x=aپيوسته می ناميم در صورتی که سه شرط زير برقرار باشد: الف) fدر aتعريف شده )x f(a) limوجود داشته باشدf (،يعنی ‏x a باشد . پ) حد تابع fدر x=aبرابر مقدار تابع در اين نقطه باشد ،يعنی )limf (x) f (a ‏x a هرگاه يکی از شرايط باال در x=aبرقرار نباشند f ،را در a ناپيوسته می ناميم .اگر fدر aپيوسته نباشد f ،را يک نقطه ناپيوستگی fمی ناميم.  4-6-4مثال : ‏x 1 پيوستگی تابع ‏x 1 کنيد. ‏2x  3 ‏f (x)  ‏4x  2 را در x=1بررسی حل: ‏lim ‏f (x)  lim (2x  3)  1 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 ‏limf (x)  lim (4x  2) 2 ‏ ‏x 1 ‏x 1 ون حد چپ و حد راست تابع در x=1برابر نيستند ،حد تابع fدر x=1 جود ندارد .بنابراين شرط (ب) تعريف پيوستگی برقرار نيست.در نتيجه ـت ـت نــمودار تـــابـعـ fدر شــکلزـير رـسـم شــده اـس . Fدر x=1نــاپـيوسـته اـس . 2 F(x)=4x-2 -2 F(x)=2x -3 x  4-6-5مثال : ‏x2 1 x 0 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ پيوستگی تابعx 0 2را در x=0بررسی کنيد. ‏3x 1 x 0 ‏ حل: چون f(0)=2پس شرط (الف) تعريف 2-6-4برقرار است ،از طرفی داريم : 2 ‏lim ‏f ( ‏x ) ‏ ‏lim ( ‏x ‏1) 1 ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 ‏lim ‏f (x) lim (3x 1) 1 ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 پسf (x) 1 ، limيعنی شرط (ب) 2-6-4نيز برقرار ‏x 0 است ،اما )limf (x) f (0 ‏x 0 پس شرط (پ) تعريف پيوستگی برقرار نيست .در نتيجه fدر x=0 زير رسم شده ناپيوسته است .نمودار اين تابع در شکل ‏y است . 2 ‏f (x) x2 1 ‏x ‏o ‏f(x)=3x+1  4-6-8تعريف : الف) می گوييم تابع fدر aپيوستگی راست دارد، هرگاه: ‏lim )f(x) f (a ‏ ‏x a ب) می گوييم تابع fدر aپيوستگی چپ دارد، هرگاه: ‏lim )f (x) f(a ‏ ‏x a  4-6-11قضيه : هرگاه توابع fو gدر x=aپيوسته باشند ،آنگاه : الف) تابع)f (x) g(x در x=aپيوسته است . ب) تابع ) kf(xدر x=aپيوسته است k(.عددی ثابت است ). )f(x)g(xدر x=aپيوسته است . پ) تابع )f (x )g(x ت) تابع ث) تابع )f (x ‏g(a) 0 در x=aپيوسته است (. در x=aپيوسته است . )  4-6-12نکته: در نتيجه ( 7-2-4الف) ديديم که هر تابع چند جمله ای درهرنقطه حقيقی حد دارد واين حد برابر با مقدار چند جمله ای در آن نقطه ‏p(x) a0xn  a1xn 1  ... an 1x  an است .بنابراين هر تابع چند جمله ای در هر نقطه حقيقی پيوسته است . )p(x )q(x ‏f (x)  گويای q(a) 0 همچنين بنابر نتيجه ( 7-2-4ب) ،هر تابع a R )p(x) p(a ‏f (x اشپيوستهاست lim، در همه دامنه)f (a limهر ازای ) به زيرا ‏x a )x a q(x )q(a که داريم :  4-6-13مثال : 5x3  3x2  4x 1 f (x) در همه نقاط نشان بدهيد که تابع 2 ‏x 9 دامنه اش پيوسته است . حل: دامنه fمجموعه تمام اعداد حقيقی که به ازای آنها مخرج صفر نمی شود ‏x 3 می شود ،دامنه f مخرج کسر صفر چون به ازای 2 }Df {x x  90}R  {3, 3 عبارت است از: ‏a Df فرض می کنيم داريم : 5x  3x2  4x 1 limf (x) lim x a x a x2  9 lim5x3  3x2  4x 1  x a lim x2  9 x a 5a3  3a2  4a 1  a2  9 f (a) . در هر نقطه از دامنه اش پيوسته استf در نتيجه : قضيه4-6-4 : آنگاه، limg(x) b پيوسته باشد وx=b درf اگر تابع x a lim(fog)(x) f (b) x a lim(fog)(x) f x a به بيان ديگر:  limg(x) x a  4-6-20تعريف : تابع fرا بر بازه باز ( )a , bپيوسته می ناميم هر گاه fدر هر نقطه از اين بازه پيوسته باشد .در صورتی که fدست کم در يک نقطه از بازه ( )a , bپيوسته نباشد f ،را در بازه ()a ,b مثال: 4-6-21 ناميم . ناپيوسته می تابع 5x3  1 )x)  (x  1)(x  3را( fدر نظر می گيريم .اين تابع در هر نقطه حقيِقی به استثنای 1و -3پيوسته است و در نتيجه ،بنابر تعــريف ،4-6-20در هر بازه بازی که شامل 1و -3نباشد ،پيوسته خواهد بود.  4-6-22تعريف : تابع fرا در بازه بسته [ ]a , bپيوسته می ناميم هر گاه شرايط زير برقرار باشند: الف) fرا در بازه باز ( )a , bپيوسته باشد. )lim f (x) f (a ب) fدر aپيوستگی راست داشته باشد ،يعنی ‏x a يعنیlim f (x باشد) f (،b ) پ) fدر bپيوستگی چپ داشته ‏x b در صورتی که دست کم يکی از شرايط باال برقرار نباشد f،را در بازه بسته [ ]a , bناپيوسته می ناميم.  4-6-23مثال : پيوستگی تابع fبا ضابطه تعريف زير را در بازه بسته []2 , 2- بررسی ‏3x  2  2x  1 کنيد . حل: چون f(1)=1+4=5 1x 2 ‏f (x)  ‏x  4 ‏lim f (x) lim (x  4) 5 ‏x 1 ‏x 1 ‏lim f (x) lim (3x  2) 5 ‏x 1 ‏x 1 در limf پس)(x) 5 f (1 ،x=1يعنی fدر x=1پيوسته است . ‏x 1 بنابراين fدر بازه ( )2 , 2-پيوسته است .از طرفی داريم : lim f (x)  lim (3x  2)  4 x  2 x  2 lim f (x)  lim (x  4) 6 x 2 x 2 ]پيوسته2 , 2-[ در بازهf، 22-6-4 در نتيجه بنابر . است فصل پنجم هدفهای کلی : مشتق هدف کلی فصل این است که با مفهوم بنیادی مشتق تابع ،ـ قضيه های مشتق گیری ،مشتق توابع جبری و غیر جبری ، مشتـق گیری از توابع ضمنی ،و با مفهوم دیفرانسیل آشنا شوید. هدفهای رفتاری از شما انتظار می رود که پس از پایان مطالعه این فصل بتوانید: )1مفهوم مشتق را توضیح بدهید. )2قضيـــه های مشتق را بیان کنید و آنها را در حل مسائل به کار ببرید. )3مشتق های چپ و راست تابع را در یک نقطه تعريف کنید.و برای توابع داده شده ،ـ وجود مشتق های یک طـــــرفه را که در نقاط خواسته شده تحقیق کنید.  )4رابطه بین مشتقهای یک طرفه و مشتق تابع در یک نقطه را بیان کنید و آن را در حل مسائل به کار ببرید. )5قاعده زنجیری در مشتق گیری را توضیح بدهید و مشتق توابع مرکب را به کمک این قاعده محاسبه کنید . )6روش مشتق گیری از توابع ضمنی را بیان کنید و مشتق توابعی را که به صورت غیر صریح بیان شده اند محاسبه کنید . )7مشتق توابع مثلثاتی و توابع وارون مثلثاتی داده شده را به دست آورید )8رابطه بین مشتق تابع و مشتق وارون تابع را بیان کنید و به کمک این رابطه ،مشتق تابع داده شده را با استفاده از مشتق وار.ن آن ،و بر عکس ،تعیین کنید . )9مشتق توابع نمایی و لگاریتمی داده شده را محاسبه کنید .  )10روش مشتق گیری لگاریتمی را توضیح بدهید و مشتق توابع داده شده را با استفاده از این روش محاسبه کنید. ) (x ‏u ( ‏x ) را توضیح )11روش محاسبه مشتق توابعی به صورت بدهید و از آن در حل مسائل استفاده کنید . )12مفهوم دیفرانسیل تابع و دیفرانسیل متغییر را توضیح بدهید و برای تابع داده شده ،مقدار دیفرانسیل تابع را محاسبه کنید . )13روش محاسبه مشتق های مرتبه های باالتر از یک را بیان کنید و در حل مسائل به کار ببرید. )14با استفاده از مفهوم دیفرانسیل ،مقدار تقریبی اعداد رادیکالی را محاسبه کنید. )15با استفاده از مفهوم دیفرانسیل ،خطای مطلق ،خطای نسبی و درصـــد خطای محاسبه را تعیین کنید. )16دیفرانسیل کـــل تابع nمتغیره را تعريف کنید و آن را برای توابع داده شده ،محاسبه کنید . )17روش محاسبه مشتق توابعی را به صورت پارامتری بیان می شوند توضیح بدهید و آن را در محاسبه مشتق توابع داده شده بکار ببرید. مقدمه ر فصل چهارم با مفهوم حد آشنا شديم .در اين فصل با استفاده از اين هوم اساسی ،به معرفی مفهوم مهم مشتق می پردازيم .مشتق يک ابزار ضی برای اندازه گيریتغييرات متغيرها نسبت به هم است .با مطالعه شتق می توانيم آهنگ تغييراتی راکه در مسائل مختلف پيش می آيد تعيين م .عالوه براين ،به کمک مشتق می توانيم ماکسيمم ومينيمم توابع را نيز رسی کنيم . مـثاـل5-1-1 زن کودک با گذشت زمان تغيير می کند ،پس می توانيم آن را به عنوان تابع زمان در نظر بگيريم .اگر اين تابع را) w(tبناميم ،آنگاه تغيير وزن کودک ‏ t1, t2 برابر است با ر بازۀ زمانی )w(t2)  w(t1 نگ متوسط تغيير وزن کودک در اين بازۀ زمانی ،از تقسيم تغيير وزن بر طول اين بازۀ به دست می آيد .بنا براين )w(t2)  w(t1 ‏ آهنگ متوسط تغيير ) w(tدر بازۀ زمانی ‏t2  t1  5-1-تعريف : رض کنيم تابع fدر بازۀ [ ]a,bتعريف شده باشد .برای ه ( )a,bکه د برابر هردوعددx1 ‏x0 از1 xتاx ‏a ،x0  x1  b تغيير مقدار ) f(xهنگامی که 0 x در و تغييـر )f (x1)  f (x0 است و آهنگ تغيير fدر بازه  x0, x1برابر ) f (x1)  f (x0است . ‏x1  x0 5-1-مثال : رض کنيد ) f(rمساحت دايره ای به شعاع rباشد ،پس 2 ‏f (r) r گ متوسط تغيير مساحت اين دايره ،هنگامی که شعاع r1 آن 2 از rبه بر است با تغيير ک f (r2)  f (r1)  r22   r12 ‏ ‏r2  r1 ‏r2  r1 ) (r2  r1 ‏r2 4 به دايرهr1  2 از بنابراين ،اگر شعاع متوسط تغيير مساحت آن برابر است با ‏(4 2) 6 تغيير کند ،اهنگ اکنون با استفاده از آهنگ متوسط تغيير يک تابع به تعريف مشتق تابع در يک نقطه می پردازيم .  5-1تعريف : ) y=f(xونقطه aدر دامنه fرا در نظر می گيريم .اگر )f (x)  f (a ‏lim ‏x a ‏x a )x ناميم(و fبا د داشته باشد ،آن را مشتق تابع fدر نقطه aمی دهيم . نشان ابع fدر نقطه aمشتق داشته باشد f ،را در x=aمشتق پذير می گوييم . ابع fدر همه نقاط دامنه اش مشتق داشته باشد f ،را مشتق پذير می نام 5-1-5مـثاـل x) 3x2  4x . بااستفاده از تعريف به دست آوريدx=2 در نقطهf (را تق تابع حل: 2 f (x)  f (2) (3x  4x)  (12 8) f (2) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 3x2  4x  4 (3x  2)(x  2) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 lim(3x  2) 8 x 2 : داريم  :نــکته 5-1-7 ر تعريف 4-1-5ديديم که مشتق تابع fدر نقطه x=aبرابر است با )1 )f (x)  f (a ‏ ‏f (a) lim ‏x a ‏x a ر قرار بدهيم ، h=x-aبه دست آوريم ، x=a+hپس) . f(x)=f(a+hاز طرفی اگرx  ‏a وتنها اگر ) ‏h ،0 در نتيجه ( )1را می توان به صورت )f (a  h)  f (a ‏f (a) lim ‏h 0 ‏h شت .بنابراين ،مشتق تابع fدر نقطه aرا می توان از رابطه ( )2نيز به ست آورد . ـعبير هـندسـیمـشتق5-1-8 م مشتق يک تابع در يک نقطه را می توان به شيب خط مماس در آن نقطه کرد .برای روشن شدن مطلب ،تابع ) y=f(xو دو نقطه))P(a , f(a و Q(a+h , f(aرا روـینــمودار fدر نــظر مـیگــيريـم .بـــه شــکلزـيرتوجـه کــنيد. y=f(x) خـط مـماس f(a+h) Q P f(a) M h  O  a a+h تيجه 5-1-9 ب خط مماس بر نمودار fدر نقطه x=aکه آن را با ) m(aنشان می دهيم ست با مشتق تابع fدر نقطه ، x=aبه عبارت ديگر )m(a) f (a ط عمود بر نمودار fدر نقطه x=aخطی است که بر خط مماس بر نمودار نقطه عمود است .پس اگر ،داريم )m(a شيب خط عمود بر نمودار در اين نقطه 1 )m(a ‏m(a)   5-1-11تعريف: بنابر ، 7-1-5مشتق تابع fدر نقطه xبرابر است با )f (x  h)  f (x ‏f (x) lim ‏h 0 ‏h در اين رابطه h ،را ،که ممکن است مثبت يا منفی باشد ،نموّ متغير می ناميم ‏x نشان می دهيم.تفاضل ) f(x+h)-f(xرا نمو و آن را با نماد ازایf h  ‏y تابع fبه می ناميم و با يا ‏y بنابراين می نويسيم دهيم نشان می ‏f (x) . lim 5-1-12نماد گذاری : ‏x ‏x 0 مشتق تابع ) y= f(xدر نقطه xرا با نمادهای ديگری نيز نشان می دهند ،مانند y=f(x) Q(x+h,f(x+h)) y P(x,f(x)) x h 0 x dy y , dx x+h , df dx y x D , وجه کنيد که نمادهای ‏dy و ‏dx ‏df کسر ‏dx نيستند .اين نمادها ‏y وDxنماد به معنای مش ) y=f(xنسبت به متغير xاند . :تـــعـريـف5-1-13 فرض می کنيم معادله حرکت جسم Pدر روی محور ، OSبه صورت )S=S(t بيان شده است . ‏O ‏S ‏P سرعت متحرک pلحظه t =aبرابر است با )s(t)  s(a ‏V(a) S(a) lim ‏t a ‏t a ثاـل5-1-14 ض کنيد ‏S(t) t3  2t2 معادله حرکت جسمی روی خط مستقيمی باشد .سرعت متحرک را در لحظه t =1به دست آوريد . 3 2 (t  2t )  3 ‏V(1) S(1) lim ‏t 1 ‏t 1 )(t2  3t  3)(t  1 ‏lim ‏t 1 ‏t 1 2 )lim (t  3t  3 ‏t 1 ‏7 ضيه زير رابطه مشتق پذيری تابع و پيوستگی آن را در يک نقطه بيان می کند قــضيه 5-1-15 ر تابع fدر نقطه x =aمشتق پذير باشد ،آنگاه در اين نقطه پيوسته است . نــکته 5-1-17 وجه کنيد که عکس قضيه 15-1-5درست نيست .يعنی ممکن است تابعی ر نقطه ای پيوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذير نباشد .برای مثال ‏x 0 ‏x 0 ا در نظر بگيريد . ‏x ‏ ‏f (x)  x  ‏ x )limf (x) 0f (0 نتيجه می شود که تابع fدر x =0 ‏x 0 وسته است ،اما اين تابع در x =0مشتق پذير نيست ،زيرا داريم x 0 )f (x)  f (0 ‏lim ‏lim ‏x 0 ‏x 0 x  0 ‏x 0 ‏x ‏x ‏lim ‏x 0 ‏x 0 ‏1 ‏ ‏ ‏ 1 x 0 نون به تعريف مشتقهای يک طرفه يعنی ،مشتقهای چپ و راست تابع دريک قطه ،می پردازيم ــعـريـف5-1-18 ض می کنيم ) y=f(xو aمتعلق به دامنه تابع fباشد .مشتقهای راست وچ ع fدر x =aرا به ترتيب با نمادهای )f (aو )f(aنشان می دهيم و به صورت تعريف می کنيم . )f (a  h)  f (a ‏f  (a) lim ‏h 0 ‏h )f (a  h)  f (a ‏f  (a) lim ‏h 0 ‏h روط بر اينکه اين حدها وجود داشته باشند .مشتقهای چپ وراســت را تقهای يک طرفه می ناميم . :قــضيه 5-1-19 )f (a موجود است اگر وتنها اگر) f (aو) f (aموجود ومساوی باشند . مـثاـل5-1-20 شان بدهيد که تابع ‏x 1 ‏x 1 ‏3x 1 ‏ ‏f ( ‏x ) ‏ ‏ در x =1پيوسته است ولی در ‏2x2  2 ين نقطه مشتق پذير نيست . :حل داريم ‏lim ‏f (x)  lim (3x 1) 4 ‏ ‏ ‏x 1 ‏x 1 2 ‏lim ‏f ( ‏x ) ‏ ‏lim ( 2 ‏x ‏ 2) 4 ‏ ‏ ‏x 1 ز ‏x 1 )limf (x) 4 f (1 نتيجه می شود که fدر x =1پيوسته است .اکنون ‏x 1 مشتقهای راست و چپ fدر x =1را محاسبه می کنيم . f  (1) lim  h 0 f (1 h)  f (1) 3(1 h) 1 4 lim h 0 h h 3h lim lim 3 3   h 0 3 h 0 2 f (1 h)  f (1) 2(1 h)  2 4 f  (1) lim  lim   h 0 h 0 h h 2 2h  4h lim lim (2h  4) 4   h 0 h  0 1 f تابع19-1-5 پس بنابر قضيه، برابر نيستندx =1 درf تقهای راست و چپ . مشتق پذير نيستx =1 تـــعـريـف5-1-22 بع fرا در بازۀ بسته [ ]a,bمشتق پذير می ناميم اگر ) fدر بـــازۀ بـــاز ( )a,bمـشتقپـــذير بـــاشد . ) مشتقهای يک طرفه و )a) f (a وجو( fداشته باشند .  5-2-1قضيه : مشتق تابع ثابت f(x) =cکه درآن cعدد حقيقی ثابتی است ، برابر صفراست ، ‏f (x) 0 يعنی قــضيه 5-2-2 ع خطی f(x) =ax+bدرهر عدد حقيقی مشتق پذير است و داريم ‏f (x) a ــضيه 5-2-4 ‏r ريم کهf (x ) x درآن rعددی حقيقی است ،ـروی دامنه تابع fمشتق پذير است ‏f (x) rxr 1 :مـثاـل5-2-5 فرض کنيد f (x) ، f (x)  xرا به دست آوريد . :حل چون داريم 1 2 f،(x)  2قضيه 4-2-5را به ازای 1 به  کار rمی بريم برای هرx>0 1 1 2 1 1  2 ‏f (x)  x  x 2 2 1 ‏ 2 x 1 1 2 ‏ 2x قــضيه 5-2-7 توابع ) f(xو) g(xمشتق پذير باشند آنگاه ف) مجموع ) f(x)+g(xمشتق پذير است وداريم ) f (x)  g(x)  f (x)  g(x تفاضل ) f(x)-g(xمشتق پذير است وداريم ) f (x)  g(x)  f (x)  g(x ) برای هر عدد حقيقی ،kتابع) kf(kمشتق پذير است و داريم ) kf(x)  kf (x ت) حاصل ضرب ) f(x)g(xمشتق پذير است و داريم ) f (x)g(x)  f (x)g(x)  f (x)g(x ث) خارج قسمت )f (x ، )g(x )(g(x) 0مشتق پذير است و داريم ‏ ‏ f (x)  )f (x)g(x)  f (x)g(x ‏ g(x)   ‏ g(x) 2 ‏ ‏ ‏n ‏f ج) برای هر عدد طبيعی ، nتابع ) (xمشتق پذير است وداريم ‏n 1 )(x)f (x ‏ ‏f (x) nf ‏n قــضيه تـــابـعـ چـند جـمله اـی5-2-8 ‏   an 1x  an ‏n 1 ‏n ‏p(x) a0x  a2x در تمام اعداد حقيقی مشتق پذير است و داريم ‏p(x) na0xn 1  (n  1)a1xn 2   an 1 ـجيری 5-2-11 ) :قــضيه (قــاعدۀ زـن اگر توابع ) y=f(uو ) u=g(xمشتق پذير باشند ، آنگاه تابع مرکب )y=(fog)(x)=f(g(x))=f(u مشتق پذير است و داريم ‏dy d ‏df du ‏ (fog)(x)   ‏dx dx ‏du dx ر رابطه باال ، ‏df duمعنای مشتق تابع fنسبت به به ‏du ‏dxو متغير u به معنای شتق uنسبت به xاست .اين رابطه را می توان به صورت زير نوشت ‏Dx y Duy Dx u  بهx را نسبت بهf مشتق تابع 5-2-12مـثاـل 3 ،u 2x  x  5 f(وu) 2u4  3u2  7 رض کنيد . ست آوريد حل: بنابر قاعدۀ زنجيری داريم df df du   dx du dx از طرفی df d  (2u4  3u2  7) 8u3  6u dx du 3 3 3 8(2x  x  5)  6(2x  x  5) du d  (2x3  x  5) 6x2  1 dx dx در نتيجه به دست می آوريم ‏df ) 8(2x3  x  5)3  6(2x3  x  5) (6x2  1 ‏dx ‏ مـثاـل5-2-13 2 استفاده از قاعدۀ زنجيری مشتق تابع :حل قرار می دهيم ‏ ‏x 1 5 )(x) ( x3 1را fبه دست آوريد 2 ‏x 1 ‏ 3وu ‏x 1 5 ‏f (u) u .بنابر قاعدۀ زنجيری داريم df(x) df(u) du   dx du dx df(u) df(u5 ) x2 1 4 4  5u 5( 3 ) du du x 1 du 2x(x3 1)  3x2(x2 1)  x4  3x2  2x   3 dx (x 1) (x3 1)2 در نتيجه به دست می آوريم 2 4 2 df(x) x 1  x  3x  2x 5( 3 )4 ( ) 3 2 dx x 1 (x 1) 2 4 4 2 5(x 1) ( x  3x  2x)  3 6 (x 1) نــتيجه 5-2-15 ‏r )u u=f(xوy  ابر قضيه 4-2-5وقاعدۀ زنجيری و با فرض ويای rخواهيم داشت )[f r (x)] rfr 1(x) f (x ،برای هر عدد مـشتقگــيریضــمنی5-2-17 ‏(x, y) y 4x  3x  5 تابع ff را ‏y آنگاه معادله ، 4x  3x  5 ر ه طور صريح تعريف می کند .ولی همه توابع به طور صريح به صورت ( y=fبـــياننــمیشــوند .مـثال ً مـعـادـلـه 2 )1 3 2 3 ‏F(x, y) x7  3x4y6  5y3x  4e2x y 0 نمی توان بر حسب yيا بر حسب xحل کرد . F(x,y)=0 ور ضمنی تعريف شده است اگر بخواهيم مشتق yنسبت به xرا بيابيم ،از ور ‏Fx ‏Fy ‏y f (x)  ‏Fy ‏FX بودن ، y مشتق تابع Fنسبت به xبا فرض ثابت اده می کنيم که در آن ق تابع Fنسبت به yبا فرض ثابت بودن xاست ؛ اين روش محاسبه مشتق ق گيری ضمنی می ناميم .به مثال زير توجه کنيد :مـثاـل5-2-18 4 2 3 معادلهF(x, y) 2x  xy  y  3 ‏0 ابع ) y=f(xبه طور ضمنی توسط شده است f، (x) ،را محاسبه کنيد . بيان حل ‏FX مشتق Fنسبت به xبا فرض ثابت بودن yبرابر است با ‏FX 6x2  y2 006x2  y2 ‏Fy ، مشتق Fنسبت به yبا فرض ثابت بودن xبرابر است با ‏Fy 0 2xy  4y3 02xy  4y3 براين ،طبق 17-2-5داريم 6x2  y2 ‏f (x)  2xy  4y3 تق اين تابع را می توان به روش ديگری نيز محاسبه کرد .در اين روش از د ف تساوی 4 2 3 2x  xy  y  3 0 ت به xمشتق می گيريم ،و البته بايد توجه کنيم که مشتق yنسبت به xyبرابر .نتيجه می شود 6x2  y2  2xyy  4y3y 0 ه اخير را نسبت به حل می کنيم .به دست می آوريم 2 2 6x  y ‏y  2xy  4y3 هده می کنيم که نتيجه حاصل از دو روش يکسان است . مـشتقتـــابـعـ ســينوس5-3-1 ض می کنيم ، f(x)=sinxدر اين صورت مشتق تابع sinxبرابر cosxاست، ی ‏d (sin . x) cosx ‏dx ــعميم 5-3-2 ض می کنيم ) u=g(xتابع مشتق پذيری از xباشد و f(u)=sin u.با استفاده از دۀ زنجيری و 1-3-5به دست می آوريم ‏df(g(x)) df(u) du ‏ ‏ ‏dx ‏du dx ‏d(sinu) d(sinu) du ‏du ‏ ‏ cosu ‏dx ‏du dx ‏dx 5-3-3ثاـل 3 f (x)، sin(5x  2x  1) . محاسبه کنيدx را نسبت بهfمشتق ض کنيد حل: 3 داريم2-3-5 بنابر. u 5x  2x  1قرار می دهيم df(x) d(sinu) du   dx du dx d cosu (5x3  2x  1) dx 3 2 cos(5x  2x  1) (15x  2)  :مـشتقتـــابـعـ کــسينوس5-3-4 فرض می کنيم (. cosx=)x در اين صورت ‏d (cosx)  sinx ‏dx ـعميم 5-3-5 u=g(xتابع مشتق پذيری از xو f(u)=cosuباشد با استفاده از قاعدۀ زنجير 4-3نتيجه می گيريم ‏d ‏du (cosu)  sinu ‏dx ‏dx 5-3-6شتقتـــابـعـ تـــانژاـنـت tanx  می توان مشتق تابع تانژانت را به، sinx ستفاده از اتحاد مثلثاتی cosx ست آورد d d sinx (tanx)  ( ) dx dx cosx cosx cosx  ( sinx) sinx  2 cos x 2 2 cos x  sin x 1   2 2 cos x cos x sec2 x 1 tan2 x در نتيجه داريم d (tanx) 1 tan2 x sec2 x dx ــعميم 5-3-7 ) u=g(xتابع مشتق پذيری از xو f(u)=tanuباشد ،آنگاه با استفاده از -3-5 اعدۀ زنجيری به دست می آوريم ‏d ‏du )(tanu) (1 tan2 u ‏dx ‏dx ‏du 2 ‏sec u ‏dx  :قــضيه 5-5-1 الف) مشتق تابع f(x)=ln xکه ، x>0برابر است با ‏d 1 (lnx)  ‏dx ‏x ب) اگر u(x)>0تابع مشتق پذيری از xباشد آنگاه ‏d 1 du (lnu)   ‏dx ‏u dx مـشتقتـــابـعـ نــمايـی5-5-2 . هرگاهy ‏ex ‏x ‏ ‏y ‏ ‏e آنگاه ‏به عبارت ديگر مشتق تابع ex برابربا خودش است. نــتيجه 5-5-4 ر ) u(xتابع مشتق پذيری از xباشد ،آنگاه بنابر 2-5-5و قاعدۀ زنجيری داريم )d u(x) du(x ‏e  ‏dx ‏dx 5-5-5 مـثاـل: 2 (ب)داريم1-5-5 آنگاه بنابر، y ln(3x  4x) الف)اگر 1 y  2 (6x  4) 3x  4x آنگاه، 1 y  (2sinx cosx) 2x 1 sin 2 y ln(1 sinاگر x) )ب sin2x  2 1 sin x آنگاه، y e3 tanx 3 tanx e d (3  tanx) dx 2 (1 tan x) 3 tanx y e پ) اگر x ق تـــابـعـ a5-5-7 مـشت : ض می کنيم ‏x ‏x ‏a ‏ 1 ‏a ‏y ‏ ‏a .برای محاسبه مشتق کهa>0 , ‏x از روش مشتق گيری ‏y ‏a طرف ريتمی استفاده می کنيم .به اين منظور از دو گيريم : لگاريتم طبيعی ‏x ‏lny lna x lna س از دو طرف رابطه اخير نسبت به xمشتق می گيريم .توجه کنيد که lna اری ثابت است .به دست می آوريم ‏y ‏lna ‏y يجه داريم ‏y y lna ax lna ‏d x (a ) ax lna ‏dx نــتيجه 5-5-8 7-5و قاعدۀ زنجيری نتيجه می شود که اگر ) u(xتابع مشتق پذيری از xباشه )d u(x ‏du ) u( x ‏a a lna ‏dx ‏dx 5-5-9مثال : 2 3x 5x الف) مشتق تابع y 2بنابر 8-5-5برابر است با ‏d 2 )ln2 (3x  5x ‏dx )ln2(6x  5 2 3x 5x 2 ‏y 2 3x 5x ‏2 cosx sinx برابر است با8-5-5 بنابرy 3 cosx sinx y 3 ln3 ب) مشتق تابع d (cosx  sinx) dx 3cosxsinx ln3( sinx  cosx)  (x) log 5-5-10 مـشتقتـــابـعـ a  (x)  ( x ) u ( x )  log تابع مشتق پذيری اختيار شود که در آنa اگر8-5-5 ر دستور به دست می آوريم، استx d loga( x ) d a lna (loga(x) ) dx dx ز طرفی با توجه به )(x ) loga ( x ‏aرابطه باال به صورت زير به دست می آيد ‏d ‏d ) )(x) (x) lna (loga(x ‏dx ‏dx ه از آن به دست می آوريم ‏d 1 )1 d(x (loga(x) )  ‏  ‏dx ‏(x) lna dx ن رابطه را می توانيم به صورت زير خالصه کنيم ‏d ‏(x) 1 ) (x (loga )  ‏ ‏dx ‏(x) lna 5-5-11 مـثاـل: برابر است با10-5-5 بنابر 3 2 y log2 (x3  5x2  4) الف) مشتق تابع 2 (x  5x  4) 1 3x 10x 1 y  3    2 3 2 x  5x  4 ln2 x  5x  4 ln2 برابر است با10-5-5 بنابرy log3 (2 3cos2 x) (2 3cos2 x) 1  6sinx cosx 1 y     2 2 2 3cos x ln3 2 3cos x ln3 ب) مشتق تابع  :مـثاـل5-5-13 .مشتق 3 2 5x 2x ) y (4 x را محاسبه کنيد حل ز دو طرف معادله ،لگاريتم طبيعی می گيريم )lny (5x3  2x) ln(4 x2 دو طرف رابطه اخير نسبت به xمشتق می گيريم ‏y 2x 2 2 3 ‏(15x  2) ln(4 x )  ( 5 ‏x ) 2x 2 ‏y 4 x نتيجه ،مشتق تابع عبارت است از 2x 3 [(15x  2) ln(4 x )  ( 5 ‏x ]) 2x 2 4 x 2 2 3 2 5x 2x ) y (4 x  :تـــعـريـف5-6-1 را فرض می کنيم تابع) y=f(xدر نقطه aمشتق )f (a پذير باشد . }) f (xوجوددارد A {x مــــشتق اول تابع f  f ‏f ‏a A در نقطه aمی ناميم .فرض می )(2 ‏f رویf (a) A تابعیf (a ) است .در ايــن صورت کنيم صـحبت کنيم .مشتق و می توانيم درمورد مشتق در نقطه )(4 )(3 )(n ‏f ( ‏a ) ‏f درنقطه aرا مشتق )(a ‏f ( ‏a ) يا دوم fدر نقطه aمی ناميم وبا نشان می دهيم .به همين ترتيب مشتقهای مرتبه های باالتر در )(n 1 ‏f )(x نقطه aرا درصورتی نشان می ... ، f (n) (a)،و که وجود داشته باشند با دهيم و آنها را بـه ترتيب مشتق های مرتبه سوم ،چهارم ... ،وn ام تابع در نقطه aمی گوييم .بنابراين برای هر عدد طبيعی ،nاگر وجود داشته باشد آن رامشتق nام تابع f مشتق اول تابع نشان می دهيم . می ناميم و با نماد 5-6-2 ـی ر گــذا نــماد )(1 ف) گاهی راf با و ffرا با ) همان طور که را باf نماد )(0 ‏f نشان می دهند . ‏df ‏dx ‏ داديم ، fرا که نشان می 2 ‏dnf ‏d ‏f )(n ‏f نماد را با نشان می دهيم .به همين ترتيب ‏n 2 ‏dx ‏dx ) همچنان که يب با نمادهای ‏ را fبا ‏d df برابر ( ) ‏dx dx زير می توان نشان د ‏Dxf نشان می داديم ،f (3)،f (2)،و)f (n ‏n 3 2 ‏D وf ‏ ، ‏D ‏f،، ‏x ‏xf ‏xنشان داد . است را می تـوان به 5-6-3مـثاـل را محاسبه کنيد 2 5x 3 f (x) e 5x23 f (x) 10xe 5x23 f (x) (f (x)) 10e حل:  2cos(2x 1) 5x23 10x(10x)e 5x23 100e  sin(2x 1)مشتق های اول تا سوم تابع 2 5x23 100 xe  2(2) sin(2x 1)  4sin(2x 1) (3) f (x) (f (x)) 2 5x 3 10(10x)e 5x23 10xe 2 5x 3 100 (2x)e 2 2 100x (10x)e (3 10x )  8cos(2x 1) 2 5x 3  4(2) cos(2x 1)  :مـقدمـه 5-7-1 فرض می کنيم ) y=f(xتابعی مشتق پذير باشد بنابر تعريف مشتق داريم )f (x  x)  f (x ‏y ‏lim ‏x 0 ‏x 0 x ‏x ‏f (x) lim بنابر تعريف حد به ازای هر  0عدد مثبتی مانند وجود دارد به طوری که ‏y ‏ f (x)   ‏x 0 x  0    يا ‏y  f (x)x 0 x    ‏ ‏x درy  ‏f (x)x مقايسه با ی کوچک باشد ، کوچک است .به عبارت ديگر x ‏x اگر به اندازۀ ‏f (x)x تقريب مناسبی برای yاست ،يعنی می توانيم بنويس ‏y f (x)x ‏f (x  x)  f (x) f (x)x اين ‏f (x  x) f (x)  f (x)x ‏f (x  x)  f (x) f (x)x  5-7تعريف : گاه تابع ) y=f(xمشتق پذير باشد ،ديفرانسيل yرابا dyنشان می دهيم وبارا ر تعريف می کنيم ‏dyf (x)x يـفراـنـسيلمـتغير 5-7-3 ‏1و )f (x f(x)=xباشد ،آنگاه خواهيم داشت رابطه 2-7-5به صورت سادۀ درx میdxآيد .يعنی اگر xمتغير مستقل باشد ديفرانسيل xبا نمو xبرابــر هد بود .در نتيجه تعريف 2-7-5به صورت زير بيان می شود : ‏dy f (x)dx راين ،ديفرانسيل هرتابع مشتق پذير برابربا حاصل ضرب مشتق آن درديفران ر مستقل است . 5-7-4 مـثاـل: برابر است باy=ln (3x+4) ديفرانسيل تابع dy ydx  3 dx 3x  4 2 f (x) 3x  4x  7 x dx 0/1 با فرضx=0 نقطهyدر y f (x  x)  f (x) [3(x  x)2  4(x  x) 7 ]  [3x2  4x  7] 3(x)2  6xx  4x 5-7-5مـثاـل برای تابعراy dyو . اسبه کنيد حل : داريم ی هر x=0و ‏x 0 دست می آوريم به ‏y 3(0/1)2 0 4(0/1) 0/ 43 ن داريم ‏dy f (x)dx (6x  4)dx ی x=0و dx=0/1به دست می آوريم ‏y (6(0)  4)(0/1) 0/ 4 برای محاسبات تقريبی از مفهوم ديفرانسيل استفاده می شود .به مثالهای نيد .  5-7-مثال : 4 با استفاده از مفهوم ديفرانسيل مقدار 18 تقريبی را محاسبه کنيد :حل تابع (x) 4 xرا fدر نظر می گيريم .بنابر 1-7-5داريم )(1 ‏f (x  x) f (x)  f (x)x از طرفی داريم 1 4 3 1 4 1 ‏ ‏ ‏f (x) (x )  x  3 4 44 x .بنابراين ،رابطه ( )1به صورت زير در می آيد )(2 ‏x 3 44 x 4 ‏x  x  x  4 اکنون فرض می کنيم x=16و x 2از رابطه ( )2نتيجه می شود . 1 44 212 ‏2 2 44 163 18 4 16 4 1 ‏2 20/0625 16 ‏2/0625 :مـثاـل5-7-7 با استفاده از مفهوم ديفرانسيل مقدار ‏sin 46 تقريبی را حساب کنيد  :حل فرض کنيد ،f(x)=sinxبنابر 1-7-5داريم ‏f (x  x) f (x)  f (x)x .پس ‏f (x) cosxو رابطه باال به صورت زير در می آيد ‏sin(x  x) sinx  cosx x ‏ کنيم1 x 45وx  .اکنون فرض می به دست می آوريم ‏ 3/14 ‏x  يعنی  180 180 3/14 ‏sin(451) sin45  cos45  180 2 2 3/14 ‏  ‏ 2 2 180 ‏0/ 7071 ‏0/0123 ‏0/ 7194 راديان باشد فهـوم خـطا 5-7-10 دازه گيريها معموال ً مقدار اندازه گيری شده با مقدار واقعي متفاوت است . ت را با ‏x نشان داده می شود ،اعم ز اينکه مثبت باشد يا منفی ،خطای مط ه گيری xمی ناميم .با معياری بانام خطای نسبی ،می توان دقت اندازه گ ر سنجيد .اين خطا که بيشتر به صورت در صد بيان می شود ،خطای درص صد خطا ناميده می شود .به تعريف زير توجه کنيد . 5-7-1تعريف : ‏du ‏u duمقدار خطايی باشد که در محاسبه uمر تکب شده ايم ،مقدار ای نسبی و ‏du ‏u 100خطای درصد يا درصد خطا می ناميم . را را ثاـل5-7-12 ل ضلع مربعی با حداکثر خطای 0/05سانتی متر برابر 1/5سانتی متر زه گيری شده است .خطای نسبی و خطای درصد در محاسبه مساحت اين ع را محاسبه کنيد . :حل 2 فرض می کنيم xطول ضلع مربع و sمساحت مربعs x باشد .پس و.ds=2xdx بنابر فرض مسئله داريم dx=0/05و. x=5/1بنابراين ،خطای نسبی در محاسبه  ds 2xdx 2dx 2(0/05) 0/0196خطای نسبی است5با مساحت اين مربع برابر ‏s ‏x2 ‏x /1 ‏ds ) 1/96 100 100(0/0196خطای درصد ‏s ن با معرفی توابع چند متغيره به تعريف مشتقهای جزئی و ديفرانسيل کل تا ی پردازيم تـــعـريـف5-7-16 کنون با توابعی سر وکار داشتيم که تنها به يک متغير وابسته بودند ،اين دس وابع را توابع يک متغيره می ناميم .در صورتی که تابعی به بيش از يک متغير ستگی داشته باشد ،آن ا تابع چند متغيره می گوييم برای مثال ،می دانيم که حجم يک مکعب مستطيل بستگی به ،طول ،عــرض و ارتفاع آن دارد .به عبارت ديگر ، Vحجم مکعب مستطيل ، تابعی از طول x .پسV f (x, y عرض yوارتفاع zآن است ), z از طرفی حجم مکعب مستطيل برابر حاصل ضرب طول ،عرض ، و ارتفاع آن است ،پس داريم ‏f(x,y,z)=xyz بنابراين ) ، f(x,y,zتابع حجم مکعب مستطيل ،يک تابع سه متغيره است . مـثاـل5-7-17 ض کنيد در زمان معينی تعداد توليدات کارخانه ای با xواحد نيروی کاروy حد سرمايه ،برابر 1 3 2 3 ‏f (x, y) 70x yباشد . ف ) با به کارگيری 27واحد نيروی کارو 8واحد سرمايه ،چند واحد محصول ليد می شود؟ ب ) نشان دهيد که اگر مقادير نيروی کار وسرمايه دو برابر شود ، تعداد توليدات .کارخانه نيز دو برابر خواهد شد حل ف) تعداد توليدات کارخانه به ازای 27واحد نيروی کار و 8واحد سرمايه بر ست با 2 1 ‏f (27,8) 70(27)3 (8)3 70(9)(2) 1260 ) مقدار توليد حاصل از به کار گيری aواحد نيروی کار و bواحد سرمايه برا 1 3 2 3 ‏f (a, b) 70 ‏a b قدار توليد حاصل از به کارگيری 2aواحد نيروی کار و 2bواحد سرمايه برابر f(2a,2اـسـتو دارـيـم 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 ‏f (2a,2b) 70(2a) (2b) 70(2) a (2) b 1 3 2 3 ‏ab 2 1 ‏ 3 3 )70(2 )2f (a, b ثاـل5-7-18 شنده يک نوع ماشين حسابگر الکترونيکی در می يابد که تحت شرايط خاصی د ماشينهای حسابگری که می تواند بفروشد از معادله ‏f(p,t)=-p+60t-0/02pt ست می آيد که در آن pقيمت يک ماشين حسابگر و tمبلغی به تومان است ف تبليغات می شود .اگر قيمت هر دستگاه ماشين حسابگر 1000تومان و تبليغات 250تومان باشد ،ـ فروشنده چند ماشين حسابگر می تواند بفروش حل اد ماشين حسابهايی که می تواند بفروشد برابر است با )=-)250()1000(0/02-)250(60+1000وf(1000250 مـشتقهـایجـزئـیتـــابـعـ دو مـتغيره 5-7-19 ض می کنيم )f(x,yيک تابع دو متغيره از متغيرهای xو yباشد،مشتق جزئی ع) f(x,yنسبت به متغير xبا نماد يا f x ‏f ‏x نشان می دهيم و برابر مشتق ) f(x,yنــسبتبـــه xتـــعـريـفمـیکــنيم .هـنگامـیکــه yثـــابـتو )f(x,yتـــنهـا تـــابـعیاز xدر نــظر گــرفــــته ‏f ‏fy ‏x نشان می دهيم يا شود.مشتق جزئی تابع ) f(x,yنسبت به yرا با که بنابر تعريف برابر است با مشتق تابع ) f(x,yنسبت به yهنگامی که xثابت و)f(x,y تنها تابــعی از yفرض شود .  :مـثاـل5-7-20 فرض کنيد 2 3 ‏f ( ‏x , ‏y ) ‏ 3 ‏x ‏ 2 ‏xy ‏ 5 ‏y .مشتقهای جزئی fرا محاسبه کنيد . :حل مشتق جزئی fنسبت به xبرابر است با ‏f x 6x  2y 06x  2y مشتق جزئی fنسبت به yبرابر است با ‏f y 0 2x 15y2 2x 15y2  :مـثاـل5-7-22 ‏z ‏y ‏x .مشتق های جزئیf (x, y, z) ye  ze  xe را محاسبه کنيد :حل مشتق جزئی fنسبت متغير xبرابر است با ‏f y ex  zey 0ex  zey مشتق جزئی fنسبت به متغير zبرابراست با ‏fz 0 ey  xez ey  xez فصـل شـشم: دف کلی: کاربـردهای مشتـق دف کلی فصل اين است که با بعضی از کاربردهای مشتـق از جمله تعيـين وابع صعودی يانزولی،ماکسيموم ومينيموم نسبی و مطلق تابع،رسم نمودارتا عـرومحدب ونقطه عطف نمودار تابع ،وروش رفع ابهام از صورتهای مبهم ـدی آشـنا شويد. فهای رفتاری: شما انتظار مي رود که پس از پايان مطالعه اين فصل بتوانيد: )1برای تابـع داده شده ،بازه هايي را که تابع در آنها صعـودی يا نـزولی است تعييـن کنيـد. )2نقـاط بحـرانی توابـع داده شده را تعييـن کنيـد. )3ماکسيـموم ومينيمـوم نسبی توابع داده شده را با استفاده از مشتق اول ودوم به دست آوريـد. آزمون های )4ماکسيـموم و مينيـموم مطلـق توابـع داده شـده را در بـازه های مورد نظـرتعييــن کنيـد. )5تقعر وتحدب ونقطه عطف احتمالی نمودارتابع داده شده را مشخص کنيد.  )7مجانبـهای مايل نمودار تابـع داده شده را در صورت وجود تعييـن کنيـد. ) 8محـور های تقـارن ومرکز تقـارن نمودار تابـع داده شده را،در صورت وجود ،تعييـن کنيـد. )9نمـودار توابـع داده شـده را رسم کنيـد. )10از صورتــهای مبهم حــدی داده شده رفـع ابهام کنيـد. )11قضيه هوپيتال را در حالت های مختلف توضيح بدهيد ودر مسائل مربوط به کار ببريد. دمه: فصل پنجم با برخی از کاربرد های مشتق آشنا شديم.در اين فصل کاربردهای ری از مشتق را در تعيين بازه های صعودی ونزولی،نقاط ماکسيموم ومينيمو ر وتحدب نمودار تابع،ـودر رفع ابهام از صورتهای مبهم بيان مي کنيم. 6-1-1قضيـه(آزمـون يکنوايي): فرض مي کنيم تابع fدربازه []a¸bپيوسته و در بازه ( )a,bمشتق پذير باشند. ‏f (x)  0 )1اگر برای هر استx . ‏fصعودی )(a,b داشته باشيم ‏f (x)  0 ،آنگاه 6-1-2مثال: تابع f (x) 3x2  5را روی Rدر نظر بگيريد.تعيين کنيد fروی چه بازه هايی صعودی وروی چه بازه هايی نزولی است. حل: ‏(x)  0 روشن است که برای هرx> 0 ،داريم f چون f (x) 6x وبرای ‏R ‏f (x) 0 .پس fروی هر x<0داريم ‏f (x) 0 است.توجه کنيد که به ازای x=0داريم جدول زير خالصه کنيم: + صعودي ‏0 ‏R صعودی وروی ‏ نزولی .مطالب باال را می توانيم در )(x ‏f ‏ 0 نزولي ‏  )f(x مثال: نقاط بحرانی توابع الف) f (x) 2x3  4 حل: 2 2 ‏ 6 ‏x ‏0 x 0 ‏ ‏f (x) 6x 0 الف) ب) ب) f (x) x3  3x2  2را تعييـن کنيـد. ‏x 0 , x  2 ‏f (x) 3x2  6x 0 6-1-نتيجه: وجه به قضيه -1-1-6وتعریف 4-1-6برای تعيين بازه هايي که تابع وی آنها صعودی و يا نزولی است ،بايد نقاط بحرانی تابع )f(xرا به دست ردو عالمت )f (x راتعيين کرد.  6-2تعريف:می گوييم تابع fدر x=cيک ماکسيموم نسبی ياماکسيموم موضع د.اگربرای هر xازبازه بازی که شامل cباشد داشته باشيم )f (c) f (x شکلهای 1-6و 2-6نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در c ماکسيموم نسبی ‏ ‏ دارند. ‏ ‏ ‏C ‏ ‏ ‏ ‏ ‏C  6-2-2تعريف: می گوييـم تابع fدر x=cيک مينيمـوم نسبـی يا مينيموم موضعی دارد.اگر برای هر xاز بازه بازی که شامل cباشد داشته باشيم )f (c) f (x شکلهای 3-6و 4-6نمودارهای توابعی را نشان می دهند که در c مينيموم نسبی ‏ ‏ دارند ‏ ‏ ‏C ‏ ‏ ‏C ‏  6-2-6تعبيـر هند ســی نقاط اکسترمـوم: ير هندسی قضيه 4-2-6اين است که اگر تابع fدر cمشتق پذير باشد و اين نقطه اکسترموم نسبی داشته باشد ،آنگاه مماس بر) y=f(xدر نقطه )c,f(cافقی است .به شکل 5-6توجه کنيد. (y= f ) c,f(c خط مماس ‏c شکل 5-6 6-2 تذکر:عکس قضيه 4-2-6درست نيست ،ـيعنی تابعی مانند fوجود د به طوری که )(x بهf ازای مقاديری از xصفراست ولی اين تابع دراين نقا کنيد f (x) (x کسيموم يا مينيموم نسبی ندارد.برای مثال فرض  1)3 .داريم ‏f (x) 3(x  1)2 معادله ‏f (x) 0 نتيجه می شود ، x=1پس. f (1) 0اما به ازای ، x<1 م f(x)<0وبه ازای x>1داريم . f(x)>0درنتيجه fدر x=1نه ماکسيموم نس د و نه مينيموم نسبی .  6-2نکته:ممکن است تابعی در نقطه ای اکسترموم نسبی داشته باشد ا ن نقطه مشتق پذير نباشد .برای مثال فرض کنيد ‏x 2 ‏x 2 ‏3x  2 ‏f (x)  ‏ 6 x داراين تابع درشکل 6-6رسم شده است. ‏fدر x=2ماکسيموم نسبی دارد ،ـ اما چون f  (2) 3و f  (2)  1 نتيجه ‏ )f (2 وجود ندارد. ‏ 6 ‏ 2 ‏ 0 است،  6-2-نتيجه: ض می کنيم تابع fدر نقطه cتعريف شده باشد،شرط الزم برای اينکه تابع در نقطه cاکسترموم نسبی داشته باشد اين است که cيک نقطه بحرانی ع fباشد،به عبارت ديگر يا(f  ‏c) 0 )f (cموجود نباشد. 6-2-10قضيه (آزمون مشتق اول برای اکسترموم های نسبی): فرض می کنيم تابع fدر بازه بازی از نقطه بحرانی cمانند ( )a,bپيوسته باشد و در )(x تمام fنقاط آن جز احتماال ً در cمشتق پذير باشد. )1اگر در بازه باز( )a,cمثبـت ودربازه باز( )a,bمنفـی باشد  )2اگر) f (xدربازه باز( )a,cمنفـی و دربازه باز( )c,bمثبـت باشد آنگــاه ‏F در x=cيــکمـينيمـوم نــسبـیدارد. )3اگر هيـچ کدام از( )1و( )2برقـرار نباشـد،آنگــاه fدرx=c ماکسيمـوم يا مينيمــوم نسبـی ندارد. 6-2-1مثال: ستفاده ازآزمون مشتق اول،ماکسيموم و مينيموم نسبی تابع 1 3 5 2 ‏f ( ‏x ) ‏ x  x  6x  12را بدست آوريد. 3 2 حل: ‏ 6باf (x)  x2  5x مشتق اين تابع برابراست ‏f (x)  0 معادله ريشه های عبارت اند از x=2و. x=3بنابراين 2و3 نقاط بحرانی تابع fاند. نقاط بحرانی تابع را درجدول قرارمی دهيم وآزمون مشتق اول را به کارمی بريم. 33 50 ‏f (3 تابعوبه )  نسبیf (2 ) ترتيب نتيجه می گيريم مقاديرماکسيموم ومينيموم 2 3 عبارتند از: ‏x ‏ 0 + صعودي ‏ + 0 نزولي مينيموم نسبي صعودي ماکسيموم نسبي ‏ ) (x ‏f ‏ )f (x 6-2-1قضيه(آزمون مشتق دوم برای اکسترموم های نسبی): رض می کنيـم cيک نقطه بحـرانی تابـع fباشد و .f (0) 0همچـنين ـرض می کنيــم ‏f درو f  بـازه بـازی شامـل cوجـود شـته باشـند. ) اگر ) اگر ‏f (c)  0 ،آنگــاه fدر cماکسيــموم نسبـی دارد. ‏f (c)  0 ،آنگــاه fدر cمينيــموم نسبـی دارد.  6-2-18مثال: 3 2 ‏f ( ‏x ) ‏ ‏x ‏ 6 ‏x کنيد 9x  فرض 3 .با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکسيـموم ل: و مينيـموم نسبی تابـع fرا به دست آوريـد. شتق اول تابع fبرابر است با: ‏f (x) 3x2  12x  9 شه های معادله f (x) 0عبارت اند از x=1و. x=3بنابراين 1و 3نقـاط حـرانی تابع fاند.مشتـق دوم اين تابـع برابر است باf (x) 6x  12: قادير تابع ‏ در1fو 3عبارت اند از: ‏f (x) 6  12 6  0 ‏f (x) 6(3)  126  0 يجه بنابر آزمون مشتق دوم ،اين تابع در x=1ماکسيـموم نسبی ودرx=3 موم نسبی دارد .مقادير ماکسيمـوم ومينيمـوم نسبی عبارت اند از: ‏f(3 ‏f(1)=7 , 6-2-19نکته: باشيمf (c) f  اگر در مورد تابع fداشته (c) 0 ،آزمون مشتق دوم اطالعاتی از ماکسيموم نسبی يا مينيموم نسبی بودن cبه دست نمی دهد. در چنين مواردی بايد از آزمون مشتق اول استفاده کرد. .مشتق های اول ودوم کنيمf (x) (x  2 برای مثال ،فرض می)4  1 fعبارت اند ازf (x) 4(x  2)3 : ‏f (x) 12(x  2)2 از f (x) 0نتيجه مـی شود .x=2پس 2نقطه بحرانی تابع f است.ازطرفـی داريـم . f (2) f (2) 0برای تعيين ماکسيموم يا مينيموم نسبی تابع بـايد ازآزمون مشتق اول استفاده کرد. ‏x )f(x 0 صعودي نزولي مينيموم نسبي ) f (x تابع fدر x=2مينيموم نسبی دارد.مقدار اين مينيموم برابر است با: ‏f(2)=1 نمودار تابع fدر شکل 10-6رسم شده است. ‏ ‏f (x) (x  2)4  1 ‏ ‏      ‏1 ‏x ‏ 1 2 ‏  6-2-2تعريف: ع fواعداد cو dرا دردامنه تابع fدرنظر می گيريم. ف)) f(cرا ماکسيموم مطلق تابع fروی دامنه اش می ناميم،اگر برای هر x دامنه تابع fداشته باشيم: )f(c) f(x ) ) f(dرا مينيموم مطلق تابع fروی دامنه اش می ناميم،در صورتی که برای ر xاز دامنه تابع fداشته باشيم: )f(d) f(x کسيموم مطلق يا مينيموم مطلق تابع را اکسترموم مطلق تابع نيز می گويي جه کنيد که می توان تابعی مانند fبا دامنه Iيافت که fروی Iاکسترموم ق نداشته باشد.ولی اگر fو Iدارای شرايط خاصی باشند،آنگاه تابع fروی I ی اکسترموم مطلق خواهد بود. يه زير اين شرايط را معرفی می کند.ازاثبات اين قضيه صرف نظر می کنيم 6-2-2قضيه: تابع fدر بازه بسته []a¸bپيوسته باشد،آنگاه fروی اينبازه دارای ماکسيموم يموم مطلق است. ش تعيين اکسترموم های مطلق تابع: عيين ماکسيموم ومينيموممطلق تابع fروی بازه بسته [، ]a¸bدرصورتی که زـه بـــاز( )a,bمـشتقپـــذير بـــاشد،اـبـتدا بـــه کــمکآزـمونمـشتقاوـليــا آزـمونم اکسيموم و مينيموم هاینسبـی اين تابع را دربازه داده شده به دست می آور مقادير) f(aو) f(bرا محاسبه وآنها را با ماکسيموم ومينيموم های نسبی تاب ه می کنيم. رين اين مقادير،مينيموم مطلق و بزرگترين آنها ماکسيموم مطلق تابع fخو مثال زير در اين مورد توجه کنيد. 6-2-2مثال: 3 2 کسيموم ومينيموم مطلق تابع f (x) 2x  9x  12xرا دربازه بسته [ ]3¸0به ست آوريد. ل: شتق تابع fبرابر است با: ‏f (x) 6x2  18x  12 ‏f (x) 0عبارت اند از x=1و، x=2وبنابراين 1و 2نقاط شه های معادله حرانی تابع اند. نون آزمون مشتق اول را به کار می بريم وجدول زيررا تشکيل می دهيم. ‏x ‏ 0 0 + صعودي 0 نزولي مينيموم نسبي + صعودي ماکسيموم نسبي ) (x ‏f )f ( x ‏ دول ديده می شود که fدر x=1ماکسيموم نسبی و در x=2مينيموم نسبی ديراين ماکسيموم ومينيموم نسبی به ترتيب برابرند با: )f(1 )f(2 دير تابع درنقاط 0و 3برابرند با: ‏f(0)=0 , )f(3 راين داريم: )f(0)=0 , f(1)=5 , f(2)=4 , f(3 ر نتيجه f(0)=0مينيموم مطلق و f(3)=9ماکسيموم مطلق تابع fاست.  6تعريف:نمودارتابع ) y=f(xرا درنقطه () )a,f(aمقعرمی ناميم هرگاهموجود(f  )a باشد. مودار تابع fدربازه بازی شامل x=aدرباالی خط مماس برنمودار دراين ه قرارگيرد. ل 11-6بخشی از نمودار يک تابع را که در نقطه Mمقعـراست نشـان دهد. ())a,f(a ‏M ‏a اگرنمـودار تابع fدر هرنقطـه ازبازه Iمقعـرباشد،می گوييـم نمـودارf روی بازه Iمقعـر است.  6-3تعريف: دارتابع ) y=f(xرا در نقطه () )a,f(aمحدب می ناميم اگر: )(a موجودf باشد. نمودارتابع fدربازه بازی شامل x=aدرپايين خط مماس بر مودار در اين نقطـه واقـع شود. ‏y ())a,f(a شکل 12-6بخشی از نمودار ‏N )f(a يک تابع را نشان مـي دهد، که درنقطه Nمحـدب استx . ‏a شکل 12-6 ‏o گرنمودارتابع fدرهرنقطه ازبازه Iمحدب باشد،می گوييم نمـودار fروی ازه Iمحدب است. ضيه زيرآزمونی برای تعيين تقعـرو تحدب يک منحنی به دست می دهد. ز اثبات اين قضيـه صرف نظر می شـود. 6-3-قضيه: رض می کنيم تابع fروی بازه بازی شامل x=cدارای مشتقهای اول و م باشد. ‏f (c)  0 )1اگر )2اگرf (c)  0 است. ،آنگاه نمودار fدرنقطه () )c,f(cمقعــر است. ،آنگاه نمودار fدر نقطه () )c,f(cمحـدب  6-3-4مثال: درچه بازه ای محـدب و ‏f (x)  x4  2x3  نمودارتابع ‏x2 تعيين کنيد درچه بازه ای مقعــر است. حل: مشتقهای اول ودوم تابع برابر است با ‏f (x) 4x3  6x2  2x ‏f (x) 12x2  12x  2 3 3 ريشه های f (x) 0عبارت اند از 6 3 3 6 ‏ ‏ ‏o مقعر و 3 3 6 3 . 3 ‏  6 ‏ محدب ‏o ‏x ‏ )f (x مقعر )f (x ) بنابراين،نمـودار fدربـازه دربازه 3 3 3 3 6 , 6 6-3تعريف: 3 3 3 3 ( ,و ),   ) های 6 6 ( مقعـر و ( محـدب است. ه () )a,f(aرا نقطه عطف نمودارتابع fمی ناميم اگر موجود(f  )a باشد. ازه بازی شامل aوجود داشته باشد به گونه ای که به ازای هر xازاين بازه ) اگر x>aآنگــاه واگر(f  ‏x)  0 x<aآنگــاه ‏f (x.)  0 اگر x>aآنگــاه واگر(f  ‏x)  0 x<aآنگــاه ‏f (x).  0 شکلهای 13-6و 14-6بخشی ازنمودارتابـعی را نشان می دهند که Aيک نقطه عطف آن است. ‏y ‏y ‏A ‏x ‏a شکل -6 14 )f(a ‏o )f(a ‏x ‏a شکل -6 13 ‏o  6-3-8مثال: بازه هـايی را که نمودارتابـع ‏f (x) 2x3  3x2  7x  1 در آنها مقعر يا محـدب است تعيين کنيد.نقاط عطف نمـودارتابع را نيزبه دست آوريد. حل: ‏f (x) 6x2  6x  7 مشتقهای اول ودوم تابع برابراست با: ‏f (x) 12x  6 1 ريشه معادله f (x) 0عبارت است ازx  2 ‏ ‏ مقعر . 1 2 ‏o ‏ ‏ ‏ محد نقطه عطف ب ‏x )f (x )f (x 1 1 ودربازه( ,   ) بنابراين ،نمودارتابع دربازه ) ( ,  2محـدب 2 نقطه مقعراست. 1 ( ) , 5نقطـه عطـف نمودارتـابع است. 2 6-3-1قضيه: ض می کنيم تابع fدربازه بازی شامل aمشتق پذيرو() )a,f(aنقطه عطف ودار تابع fباشد.اگر )f (a موجود باشد آنگاه f (a) 0 6-3-13روش تعيين نقاط عطف نمودار تابع: رای تعيين نقاط عطف احتمالی نمودارتابع ، fبايد xهايی ازدامنه تابـع را ررسی کنيم که به ازای آنها لف) ب) ‏f .(x) 0 )f (x وجود نداشته باشد.  6-4-1مقدمه: راين بخش ابتدا خالصه ای ازمفاهيم مجانب ومحورتقارن ومرکزتقارن را يادآوری می کنيم وسپس روش رسم نمـودارتوابع را توضيـح می دهيم. 6-4-2تعريف: تابع ) y=f(xرا درنظرمی گيريم .اگرتابع fهنگامیaکهx  ‏ aبهx يا نمودار fمی ناميم. ‏درتابع )p(x )g(x ‏يا  ‏ ‏x ‏a يا ‏  ميل کند،آنگاه خط x=aرا مجانب قائـم ‏f (x)  ،اگرصورت ومخرج عامل مشترکی نداشته باشند،مجانب ائم نمودار fازحل معادله q(x)=0به دست می آيد.  6-4-3مثال: ‏x 3 ‏f (x)  2 مجانبهای قائم تابع )(x  1)(x  2 را تعيين کنيد. حل: 2 ريشه های معـادله (x  1)(x  2) 0عبارت اند از.-2، -1 ،1درنتيجـه بنابـر تعريـف 2-4-6مجانبـهای قائم نمودار fعبارت اند ازخـط های ‏x 1, x  1, x 2 6-4-5تعريف: که x هنگامی  ‏ تابع ) y=f(xرا درنظرمی گيريم.اگرحــد تابع f يا ‏x   مسـاوی عـدد حـقيقی bباشد ،آنگـاه ،خط y=bرا مجانب افقی را 4x2  3x  1 f (x)  2 مجانب افقی نمودارتابع:مثال 2x  5x  7 6-4-6 .تعيين کنيد 4x2  3x  1 lim f (x)  lim 2 x  x  2x  5x  7 :حل داريم 3 1  2 4 x x  lim  2 x  5 7 2 2  2 x x 4 4x2  3x  1 lim f (x)  lim 2 2 x  x  2x  5x  7 . استf مجانب افقی نمودارy=2 خط، 5-4-6 بنابرتعريف، درنتيجه  6-4-8تعريف: تابع ) y=f(xرا در نظر مي گيريم.اگر حد تابع fوقتیکهx  به ‏ يا ‏ياx  ‏  ميل کند،ممـکن است نمــودارتابع fدارای خط مجانـب مايلی با معادله y=ax+bباشد. برای تعييـن اين خط مجانـب مايل به يکی از دو روش زير عمل می کنيـم. )f (x ‏lim را محاسبه می کنيم وآن را aمی )(f (x)  ax ناميم.سپس )1ابتدا ‏x  x ‏x  ‏lim را محاسبه می کنيم وآن را bمی ناميم.معادله y=ax+b معادله خط مجانـب مايـل نمودار fاست. حالت نيزکامال ً مشابه حالتx   ‏x   است. )p(x )2درمورد تابع گويای f (x)  )q(x بيشتراز ،اگردرجه تابع صورت يک واحد ِ درجه تابـع مخرج باشد ،از تقسيـم کردن صورت بر مخرج به دست مي آوريم. )r(x )q(x ‏y ax b  که درآن درجه ) r(xاز درجه ) q(xکمتـر است.دراين صورت معادلـه y=ax+bمـعـادـلـه خـط مـجانـبمـايـلنــمودار fخـواـهد بـــود.  6-4-12تعريف: معادله f(x,y)=0را درنظرمی گيريم. )1اگربا تبديل yبه ( )y-معادله تغييرنکند ،محور xها محورتقـارن نمودارمعاد ـت f(x,y)=0اـس . )2اگربا تبديل xبه – ))xمعادله تغيير نکند ،محور yها محورتقارن نمودارمعاد ـت f(x,y)=0اـس . )3اگربا تبديل xبه yو yبه xمعادله تغييرنکند ،خط y=xمحورتقارن نمـودا معادله f(x,y)=0است.  )4اگربا تبديل xبه ( )x-و yبه ( )y-معادله تغييرنکند ،مبدأ مختصات مرکزتق مودار معادله ) f(x,yاست. )5خط x=aمحورتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (2a  x, y) f (x, y )6خط y=bمحورتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (x,2b  y) f (x, y )7نقطه ( )a,bمرکزتقارن نمودارمعادله ) f(x,yاست اگر: )f (2a  x , 2b  y) f (x, y  6-4-13مثال: 2 معادله2x  y الف) با تبديل yبه (1 )y- تغييرنمی کند،ـ زيرا: 2x  ( y)2 2x  y2 1 پس محـور xهامحـورتقارن نمـودارمعادله است. معادلهy 2x2 ب) با تبديـل xبه ( 5 )x- تغييـرنمی کند ،زيرا: 2( x)2  5 2x2  5  y درنتيجه محـور yها محور تقارن نمــودار معادله است. معادلهxy پ) با تبديل xبه yو yبه 3 x زيـرا ‏yx  xy 3 تغييـرنمی کند بنابراين ،خط y  xمحورتقــارن نمـودار معادله است. ت) با تبديل xبه ( )x-و yبه(y  x3 )y- معادله زيرا از تغيير نمی کند ‏ y ( x)3  x3 ‏y x3 نتيجه می شود نمودارمعادله است. ،درنتيجه مبدأ مختصات مرکزتقارن  b است زيراf (x) ax  bx cمحـورتقارن نمـودارx  2a b b b f (  x) a(  x)2  b(  x)  c a a a 2 ث) خـط b2 b b2 2 a( 2  2 x  x )   bx  c a a a ax2  bx  c يعنی نقطـه، y f (x)  ax b ج) محل تالقی مجانبهای قائم وافقی نمودار cx  d d a ( , ) : است زيراfمرکزتقارن نمودار، c c  2d  x)  b  2d c f(  x)   2d c c(  x)  d c a(   2ad acx bc  2cd c2x  cd 2ad acx bc  c(cx d) 2ad 2acx acx bc  c(cx d) 2a(cx d)  c(ax b)  c(cx d) 2a ax b   c cx d 2a   f (x) c 2a   y c  6-4-15رسم نمودار توابع (معادله))f (x, y ‏0 برای رسم نمودار تابع صريح ) y f (xيا تابع ضمنی ، به ترتيب زيرعمـل می کنيم. )1دامنه تابع را تعيين می کنيـم. محورهای تقارن ومرکزتقارن نمودارتابع را درصورت وجود به دست می آو )3مجانبهای نمودار تابع را درصورت وجود تعييـن می کنيـم. ) بازه هايی را که نمودارتابع درآنها صعودی يا نزولی است تعيين می کنيم. نقاط اکسترموم ماکسيموم ومينيموم نسبی ومطلق تابع را به دست می آور )6نقاط عطف نمودارتابع را درصورت وجود پيدا می کنيم. ) بازه هايی را که نمودارتابع درآنها مقعريا محدب است تعييـن می کنيم. )8اطالعات حاصل را دريک جدول می نويسيم. )9با اختيـارکردن چند نقطه دلبخـواه (کمکی) از تابـع ،منحـنی همـواری از نقـاط به دست آمده رسـم می کنيـم.  6-4-14مثال: نمودار تابعf (x)  x3  5x2  3x  4 را رسم کنيد. حل: مشتقهای اول ودوم تابع fبرابرند با ‏f (x) 3x2  10x  3 ‏f (x) 6x  10 1 از f (x) 0نتيجه می شود x و x  3 3 5 از f (x) 0نتيجه می شود x  3 . . 1 3 ‏ 5 3 ‏ ‏ ‏ ‏ صعودی مقعـر نزولی مقعـر مينيموم نسبی ‏ 121 27 ‏ ‏o ‏ ‏ ‏o ‏3 ‏ ‏o ‏ ‏ )f (x ‏ )f (x نزولی محدب صعودی محدب نقطه عطف 7 27 ماکسيموم نسبی 5 ‏x )f (x y 5 o x 5515-6 شکل  6-4-17مثال: 1 نمودار تابع f (x) 9x  ‏x را رسم کنيد. حل: 1 9x2  1 ‏f (x) 9 2  ‏x ‏x2 2 ‏f (x)  3 ‏x مشتقهای اول و دوم تابع fبرابرند با: 1 3 ‏ ‏ ‏ ‏o 1 3 ‏o ‏ وجود ندارد ‏ وجود ندارد ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏o ‏ ‏x )f (x )f (x صعودی ومقعر نزولی و محدبنزولی و محدبصعودی ومحدب )f (x مينيموم نسبی ماکسيموم نسبی 1 روشن است که خط y 9xمجانب مايل نمودارy 9x  ‏x ازطرفی داريم 1 )  ‏x ‏lim ‏f (x)  lim (9x  ‏ ‏ 1 )  ‏x ‏lim ‏f (x)  lim (9x  ‏ ‏ ‏x 0 ‏x 0 ‏x 0 ‏x 0 پس x=0يعنی محور yها مجانب قائم نمودار fاست. است. y y 9x 1 ( , 6) 3 o 1 ( ,  6) 3 16-6 شکل x  6-4-18مثال: ‏3(x  2)2 x 2 ‏f (x)  نمودار تابع 3 ( 2 ‏ ‏x ) ‏x ‏ 2 ‏ را رسم کنيد. حل: مشتقهای اول و دوم fبرابرند با ‏ 6(x  2) x  2 ‏f (x)  2 ‏ 3 ( 2 ‏ ‏x ) ‏x 2 ‏ ‏x 2 ‏ 6 ‏f (x)  ‏6(2 x) x  2 ز بهf (x ) 0 دست می آوريم . x=2مشتقهای چپ وراست fدر 2برابرند با ‏f  (2) ،0 دارد ولی ‏f  (2) 0 بنابـراين )(x در 2f وجود ندارد زيرا ‏f (2) 0 ،يعنی تابـع ‏f در 2وجـود f (2) 0و .f (2) 6 2 ‏ ‏x ‏  ‏ وجود ندارد ‏ )f (x ‏ ‏o ‏ )f (x مقعـر و نزولی )f (x محدب و نزولی نقطه عطف برای رسم دقيق نمودارتابع، 120 3 از چـند نقطـه دلبـخواه ((3,-1(، (3,1(، (0,12 کمک گرفتيم. 3 شکل 17-6 1 2 ‏o  6-5-1مقدمه: ممـکن است هنـگام محاسـبه حد بعضـی ازتوابـع با صـورتهـايی ‏ 0 ‏ 0 0 1 و ‏ ، 0 ، ‏ ‏ ‏ ، 0 ‏ ‏ ، ، مواجـه شويم.اين صورتـهارا مانند ‏ 0 صورتهای مبهـم يا نامعيـن می ناميم.دراين بخش باروش رفع ابهام از اين صورتهای مبهـم آشنا می شويـم. 6-5-2تعريف: ،آنـگاه باشيم limf (x) و limg(x) 0 0 اگردرمورد توابع fو gداشته ‏x a ‏x a 0 )f (x درمی آيد.برای رفع ابهام ازاين صورت ‏limصورت مبهـم به )x a g(x 0 مبهـم ،قضيه زيررا به کارمی بريم.  6-5-3قضيه (قاعده هوپيتال):فرض می کنيم توابع fو gدربازه بازی شامـل نقطه aمانند ، Iجزاحتماال ً درخود ، aمشتـق پذيـر باشنـد. همچنين فرض می کنيم به ازای هرx a دراين صورت ،اگر باشيمg(x در Iداشته ) 0 limf (x) 0وlimg(x) 0 ،اگر ‏x a ‏x a داشته باشد آنگاه: )f (x )f (x ‏lim ‏lim )x a g(x )x a g(x )f (x ‏lim وجـود )x a g(x .  6-5-4مثال: ‏x2  2x  3 limرا محاسبه کنيد. حـد ‏x 1 2x2  3x  5 حل: چون ‏lim(2x2  3x  5) 0 ‏x 1 ‏lim(x2  2x  3) 0 , ‏x 1 وشرايط قضيه 2-5-6نيز برقراراست،می توانيم قاعده هوپيتـال را به کار ببريم: ‏x2  2x  3 2x  2 4 ‏lim 2 ‏lim ‏ ‏x 1 2x  3x  5 ‏x 1 4x  3 7  6-5-9قضيه (قاعده هوپيتـال): فرض می کنيـم دو تابع fو gبه ازای هر، x>Nکه Nعدد ثابت مثبتی است، مشتـق پـذيرباشند .کنيم برای هر x>Nداشتـهg(x) 0 عالوه فرض می به .درايـن بـاشيم lim f (x) 0و lim g(x) 0 صورت اگر آنگاه: ‏x  ‏x  )f (x ‏lim )x  g(x واگر )f (x )f (x ‏lim ‏ lim )x  g(x )x  g(x قضيه در حالتی که x   نيز برقـرار است. موجود باشد : مثال6-5-10 3 ـمحاسبه،را درصورت وجود   sin  x  lim حـد x  2 .کنيد x :حل  2  3 0 وlim sin  0 چون : داريم9-5-6 بنابرقضيه، xlim   x  x     x  3 3 3 3 3 cos  2 cos sin  x  3 x x x lim  lim  lim  x  x  x  2 2 2 2  2 x x  6-5-12صورت ‏ مبهم ‏ : ‏ اگردرمورد توابع fو gداشته باشيـم ‏ limf (x) و ، limg(x) آنگاه )f (x ‏lim ‏x a ‏x a )x a g(x به صورت مبهم درمی آيد.برای رفع ابهام ازاينگونه صورتهاي مبهم از قضيـه زير استفاده مي کنيم.  6-5-13قضيه(قاعده هوپيتال): فرض می کنيم توابع fو gدربازه بازی شامل نقطه aمانند ، Iجزاحتماال ً درa باشيمg(x)  0 مشتـق پذيرباشند وبه ازای هر x aدر Iداشـته صورت اگر: limf (x) وlimg(x)  واگر ‏x a ‏x a باشد ،آنگاه: )f (x )f (x ‏lim ‏lim )x a g(x )x a g(x .درايـن )f (x ‏lim وجود داشته )x a g(x ضيه درحالتی که همه حدها ،حدهای راست يا حدهای چپ باشند نيزبرقراراس  6-5-16قضيه(قاعده هوپيتال): فرض می کنيم توابع fو gبه ازای هر x>Nکه Nعدد ثابت مثبتی است، باشيم )g(x ‏0 مشتق پذيرباشند وبه ازای هر x>Nداشته گر lim f (x) وlim g(x)  واگر ‏x  ‏x  .دراين صورت )f (x ‏xlimموجود باشد آنگاه: )  g(x )f (x )f (x ‏ lim )x  g(x )x  g(x ‏lim قضيه درحالتی که x  نيز برقرار است. : مثال6-5-17 2x2  3x  4 را درصورت وجودxlim   ex  5x حـد .بيابيد :حل (ex  5x)  وـlim(2x2  3x  4)  چون با استفاده ازxlim   x  .قاعده هوپيتال به دست می آوريم 2x2  3x  4 4x  3 lim x  lim x x  x  e  5 e  5x اما چون lim 4x  3 و ، lim(ex  5x) يک بارديگرازقاعده ‏x  ‏x  هوپيتال استفاده می کنيم،خواهيم داشت: 4x  3 4 ‏ ‏lim ‏0 ‏x ‏x ‏x  e  5 ‏x  e ‏lim درنتيجـه خواهيم داشت: 2x2  3x  4 ‏lim x ‏0 ‏x  ‏e  5x  6-5-19صورت مـبهم: 0 اگردرمورد تـوابع fو gداشته باشيم )limf (x)g(x ‏x a limf (x) 0وlimg(x)  ‏x a ،آنگاه حد 0 به صـورت مبهم درمی آيد.برای رفع ابهـام ،تابـع ازدو( fصورت : ) f(x).g(xرا به يکی )x حاصلضرب )g(x f (x).g(x) يا ‏f (x).g(x)  1 )f (x می نويسيم. 1 )g(x ‏x a 0 ه اين ترتيب حد مورد نظربه يکی ازصورتهای مبهم 0 ‏ يا ‏ تبديل می شود که درهردو حالت می توانيم قاعده هوپيتال را به کارببريم. ‏ درصورتی که به جای عدد حقيقی aيکی   ازنمادهای يا را داشـته باشيم نيزمی توانيم همين روش را برای رفع ابهام به کارببريم. 6-5-20مثال: 1 ‏ ‏ ‏x ‏x 1 e  xlimرا محاسبه کنيد. ‏ ‏0 ‏ ‏ :حل 1   x x 0 چون :می نويسيم،xlim 1 e   وxlim  0  0   1 x 1 x   1 e lim1 e   lim x 0 x 0 1   x  د سمت راست به صورت مبهم  پس قاعده هوپيتال را به کارمی بري،است 1 1 x e 1 2   1 e x x lim  lim  lim   e   x 0 x 0 x 0 1 1    2 x x 1 x : درنتيجه خواهيم داشت 1   x lim1 e   x 0   مبهم   6-5-22صورت  : اگردرمورد توابع fو gداشته باشيم ‏limf (x) limg(x)  ‏ ،آنگاه)lim f (x)  g(x ‏x a ‏x a ‏x a مبهم  به صورت  درمی آيد.برای رفع ابهام ازاين صورت مبهم،آن را به يکی ازدو مبهم صورت 0 0 يا ‏ تبديل می کنيم. ‏   درصورتی که به جای عدد حقيقي ، aيکی ازنمادهـای را داشـته يا باشيم ،نيز به همين ترتيب عمل می کنيم.در دو مثال زيرروش رفع ابهام از اين  6-5-23مثال: 1  ‏1 ‏ x  xlimرا محاسبه کنيد. ‏ 0  x ‏e  1 حل: اين حد به صورت مبهم  ‏ است.ابتدا مخرج مشترک می گيريم. 1  ‏ex  1 x ‏1 ‏lim ‏ x   lim ‏ ‏x 0  x ‏e  1 x0 x ex  1 ‏ 0 حد اخير به صورت مبهم 0 ‏ است.بنابر قاعده هوپيتال داريم: ‏ex  1 x ‏ex  1 ‏lim ‏ lim ‏x ‏x ‏x ‏x 0 x e  1 ‏x 0 e  xe  1 ‏ ‏ 0 است ،پس يکبارديگرقـاعده هوپيتـال را اين حد نيزبه صورت مبهم 0 به کارمی بريم. ‏ex  1 ‏ex ‏lim x ‏lim x ‏x ‏x ‏x 0 e  xe  1 x 0 2e  xe 1 1 ‏lim ‏ ‏x 0 2 x 2 درنتيجـه به دست می آوريم: 1  1 ‏1 ‏lim ‏ ‏ ‏x ‏ ‏ ‏x 0  x ‏e  1 2 : مثال6-5-24 1   را محاسبهlim  cotx حـد x 0  x  .کنيد  :حل :می نويسيم.است   اين حد به صورت مبهم 1  tanx  x 1  1 lim  cot x  lim   lim  x0  x tanx  x0 x tanx x0  x .ازقاعده هوپيتال استفاده می کنيم.است 0 0 سمت راست به صورت مبهم tanx  x sec2 x  1 lim lim 2 x0 x tanx x0 tanx  x sec x 0 :بنابر قاعده هوپيتال داريم.است اين حد نيز به صورت مبهم 0 sec2 x  1 2sec2 x tanx lim  lim 2 x 0 tanx  x sec x x0 2sec2 x  2x sec2 x tanx tanx  lim 0 x 0 1 x tanx :در نتيجه به دست می آوريم 1  lim  cot x 0   x 0  x   6-5-26صورتهای مبهم توانی: )x کنيم(y f (x)g فرض يا نمادهای  و aعددی حقيقی يا يکی از   باشد،در اين صورت الف) اگر limf (x) 0و ، limg(x) 0آنگاه )f (x)g(x limبه صورت مبهم ‏x a ‏x a ‏x a در می آيد. 00 ب) اگر ) g( x ‏lim ‏f ( ‏x ) limf (x) و g(x) 0 x aبه صورت مبهم limآنگاه ‏x a ‏x a در می آيد. ‏0 پ) اگر ) g( x ‏lim ‏f ( ‏x ) limf (x) 1و g(x)  x aبه صورت مبهم limآنگاه ‏x a ‏x a ‏ 1 در می آيد. صورتهای مبهم باال را صورتهای مبهم توانی می ناميم. تساویy f (x رای رفع ابهام از اين گونه صورتهای مبهم،از دو طرف ))g(x گاريتم طبيعی می گيريم،به دست می آوريم )lny lnf (x)g(x) g(x) lnf (x که x  سپس از دو طرف تساوی اخير هنگامی a حد می گيريم. )limlny g(x) lnf (x ‏x a د سمت راست تساوی اخير به صورتی است که می توان قاعده هوپيتال را رای رفع ابهام آن به کار برد.در مثالهای زير روش رفع ابهام از صورتهای بهم توانی توضيح داده شده است. نــام درس: مدیریت()1 تعداد واحـد: رياضیات وکاربرد آن در 3واحد نام منــبع :رياضيات پايه مؤلــــــف: ليـــدا فـــرخو تهيه کننده: مهدی صحت خواه ناشـــــــر: دانشگاه پيـــــام نور